Оценка роста коразмерностей многообразий диалгебр Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.554

ОЦЕНКА РОСТА КОРАЗМЕРНОСТЕЙ МНОГООБРАЗИЙ

ДИАЛГЕБР

© 2014 П.С. Колесников,1 Т.В. Скорая2

Получены оценки, связывающие коразмерности многообразий неассоциативных алгебр и соответствующих им многообразий диалгебр.

Ключевые слова: диалгебры, алгебры Лейбница, многообразия линейных алгебр, коразмерности многообразий, рост многообразия.

Введение

Одним из наиболее изученных обобщений алгебр Ли являются алгебры Лейбница — это линейные пространства с билинейной операцией [ж, у], удовлетворяющей тождеству [х, [y,z]] = [[х, у], z] + [у, [x,z]] (оператор левого умножения является дифференцированием). В дальнейшем Leib означает многообразие всех алгебр Лейбница над фиксированным полем. Многие алгебраические задачи об алгебрах Лейбница легко решаются с помощью общей конструкции, предложенной в [2], которая связывает данное многообразие Var алгебр с бинарными операциями умножения (ассоциативных, коммутативных, альтернативных, Ли, Пуассона и так далее) с некоторым многообразием di-Var диалгебр — векторных пространств с удвоенным набором операций. В частности, многообразие алгебр Лейбница — это в точности многообразие диалгебр Ли, из этого замечания легко получить (см. [3]) простые доказательства аналогов теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта [8; 16] и теоремы Адо (позднее независимо доказанной в [10]) для алгебр Лейбница.

В данной работе мы рассмотрим обратную задачу: как по данному многообразию диалгебр V (в частности, алгебр Лейбница) построить наименьшее многообразие алгебр V такое, что V С di-V. Также мы установим связь между коразмерностями многообразий V и V, из которой, в частности, вытекает отсутствие многообразий алгебр Лейбница промежуточного роста [5].

Пусть k — поле характеристики нуль. Алгеброй над полем k мы называем линейное пространство над k, снабженное набором билинейных алгебраических операций ош, ш G О. Для произвольной алгебры A будем обозначать через Var(A) многообразие, порожденное алгеброй A. Над полем нулевой характеристики любое многообразие M полностью описывается операдой, управляющей этим многообразием [11]. В дальнейшем мы используем тот же символ M для обозначения

колесников Павел Сергеевич ([email protected]), Институт математики СО РАН, лаборатория теории колец, 630090, Российская Федерация, г. Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4.

2Скорая Татьяна Владимировна ([email protected]), кафедра алгебро-геометрических вычислений Ульяновского государственного университета, 432017, Российская Федерация, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42.

операды, задающей многообразие M, а через M(X) обозначаем свободную алгебру многообразия M, порожденную множеством X.

Через M(n), n ^ 1, обозначим n-ю компоненту операды M — это линейное пространство всех полилинейных многочленов степени n от xi,...xn в свободной алгебре M(xi,x2,...). Величина cn(M) = dimM(n) называется n-й коразмерностью многообразия M.

Пусть дана алгебра Ли L и некоторый L-модуль M. Через L к M обозначим расщепляемое нулевое расширение алгебры L при помощи M, то есть векторное пространство L ф M с операцией

[а + u,b + v] = [а, b] + av — bu, a,b € L,u,v € M.

Хорошо известно, что пространство L ф M с «односторонней» операцией

[a + u,b + v] = [a, b] + av

является (левой) алгеброй Лейбница. В дальнейшем будем обозначать алгебру Лейбница, построенную таким способом, через L X M.

Многие примеры многообразий алгебр Лейбница с критическими свойствами получаются при помощи конструкции X (см., например [1; 6; 7]), поэтому возникают естественные вопросы:

(а) Как в общем случае связаны многообразия

Var(L к M) С Lie и Var(L X M) С Leib?

(б) Как связаны между собой скорости роста коразмерностей этих многообразий? Ответ на эти вопросы может быть получен в общем виде с использованием

теории диалгебр, частным случаем которых являются алгебры Лейбница.

В работе [2] было показано, как по любому многообразию M алгебр, заданных семейством полилинейных тождеств, построить соответствующее многообразие диалгебр di-M. В данной работе мы покажем, как по данному многообразию диалгебр V построить "обертывающее" многообразие алгебр V, и получим оценку на коразмерности cn(V). Характеристика основного поля k всюду предполагается нулевой.

1. Многообразия диалгебр

Приведем основные конструкции общей теории диалгебр, следуя [15]. Пусть Perm — многообразие ассоциативных алгебр, удовлетворяющих тождеству (xy — yx)z = 0. Базис пространства Perm(n) образуют мономы вида ef^ = (xi .. .x,i... xn)xi, i = 1,... ,n (здесь и ниже cti как обычно означает пропуск г-го множителя).

Например, если G — абелева группа, P = kG — ее групповая алгебра, то P с операцией f ■ g = e(f )g, где e — стандартная коединица на групповой алгебре, является алгеброй многообразия Perm.

Частным случаем таких алгебр является двумерная алгебра P2 € Perm (P2 ~ kZ2) с базисом ei,e2 таким, что

ei ■ x = x, e2 ■ x = 0, x € {ei, e2}.

Аналогичный пример получается из алгебры многочленов k[x] относительно операции

f (x) ■ g(x) = f (0)g(x), f,g € P. (1.1)

Обозначим полученную Perm-алгебру через P0.

Если A — алгебра с набором билинейных умножений ош, ш G Q, и P G Perm, то на пространстве P <g> A можно определить новый (удвоенный) набор билинейных операций —ш и Чш по правилу

(p & a) (q & b) = pq <g> a ош b, (p <g> a) (q & b) = qp <g> a ош b, p,q G P, a, b G A.

Определение 1. Пусть M — многообразие алгебр над k. Тогда через di-M обозначим многообразие алгебр над k с билинейными операциями —ш, Чш, заданное всеми теми тождествами, что выполняются на всех алгебрах вида P <g> A, A G M, P G Perm, то есть

di-M = Var({P ® A | P G Perm, A G M}).

Непосредственно из определения вытекает, что операда di-M изоморфна произведению Адамара (см. [17]) операд Perm и M:

di-M = Perm ® M

В работе [15] это равенство было принято за определение di-M. Ранее в [2] был приведен явный алгоритм, позволяющий построить определяющие тождества многообразия di-M для случая одной операции, и было доказано, что данные тождества действительно определяют многообразие, управляемое операдой Perm ® M.

Пример 1. Для M = Lie с операцией a • b = [a, b] многообразие di-Lie состоит из алгебр с двумя операциями [a — b] и [a Ч b], связанными соотношением [a — b] = = — [b Ч a]. Операция [a — b] удовлетворяет левому тождеству Лейбница, и других независимых тождеств на di-Lie нет. Поэтому di-Lie = Leib.

Пример 2 [12]. Для класса алгебр Пуассона Pois многообразие di-Pois состоит из алгебр с двумя бинарными операциями (A, •, {•, •}), где (A, •) — алгебра многообразия Perm, (A, {•, •}) G Leib, и выполнены тождества

{xy, z} = x{y, z} + y{x, z}, {x, yz} = {x, y}z + y{x, z}.

Поскольку dimPerm(n) = n, из определения 1 вытекает следующая связь коразмерностей:

c„ (di-M) = nCn(M). (1.2)

Имеет место

Теорема 1 [15]. Для любой алгебры D G di-M существует алгебра D G M такая, что D вкладывается в алгебру P0 ® D G di-M.

Здесь Po — это алгебра многочленов относительно операции (1.1).

Тогда P0 ®D является конформной алгеброй петель над алгеброй D [14]. Теорема 1 отражает связь между многообразием di-M и классом M-конформных алгебр в смысле [19], впервые замеченную в случае |Q| = 1 в [2].

Напомним, что D в работе [15] строилась по принципу, предложенному в [18]:

D = D ф D, D = D/span(a —ш b — a Чш b | a,b G D,w G Q), a ош b = a —ш b, a ош b = a Чш b, a,b G D, a ош b = 0, a,b G D. Вложение D в Po <g> D осуществлялось следующим образом:

a ^ 1 ® a + x ® a, a G D. Легко видеть, что если вместо Po рассмотреть алгебру P2 G Perm, то отображение

D ^ P2 ® D,

a ^ ei < а + < a, a £ D,

является вложением D в P2 < D.

Следствие 1. Если M = Var(A, | г £ I), то di-M = Var(P2 ® A, | i £ I).

2. Пре-алгебры и тождества диалгебр

Аналогичный общий подход к определению многообразий, управляемых дуальными операдами, был предложен в [9] и [12]. Приведем эквивалентное алгебраическое определение из [13].

Пусть D — алгебра над k с набором билинейных операций уш, , ш £ О, и пусть P £ Perm. Обозначим через P Н D векторное пространство P < D с операциями ош, ш £ О, заданными следующим образом:

(p < a) ош (q < b) = pq < a уи b + qp < a b, p,q £ P, a,b £ D.

Определение 2. Пусть M — многообразие алгебр над k. Тогда через pre-M обозначим класс всех таких алгебр D над k с удвоенным набором билинейных операций уш, , что P Н D £ M для любого P £ Perm.

Тождества, определяющие многообразие pre-M, легко выводятся из определяющих тождеств многообразия M по определению.

Пример 3. Пусть M = Com — многообразие ассоциативных коммутативных алгебр. Тогда pre-Com состоит из алгебр с двумя операциями у и удовлетворяющими тождествам

x у y = y — x,

(x у y + y у x) у z = x у (y у z).

Следовательно, пре-коммутативные алгебры можно задавать только одной из операций, например, ab = a у b, которая удовлетворяет тождеству

(xy + yx)z = x(yz).

Теорема 2 [12]. Если M — бинарная квадратичная операда и dimM(1) = 1, то (pre-M)' = di-(M'), где индекс ! обозначает двойственную в смысле Кожуля операду.!

В частности, (pre-Com)' = di-(Com') = di-Lie = Leib, ввиду этого факта пре-коммутативные алгебры часто называются в литературе «алгебрами Цинбеля» (Zinbiel algebra)3.

Пример 4. Рассмотрим пространство Zo = xk[x] полиномов от одной переменной x без свободного члена. Определим на базисе этого пространства произведение по правилу

xn ■ xm = 1 xn+m n

Пространство Zo относительно билинейной операции • является пре-коммутатив-ной алгеброй.

Пример 5. (Свободная алгебра Цинбеля [16]) Алгебра pre-Com(X) порождена как векторное пространство линейно независимыми мономами

(... ((ziz2)z3) ...zn), zi £ X.

Произведение двух таких мономов вычисляется по правилу

(. . . (ziz2) . . . zn )(... ( zn+1zn+2) . . . zn+m ) —

3«Zinbiel» — вымышленная фамилия, полученная инвертированием из «Leibniz».

У, ( ■ ■ (zia z2a ) ■ ■ ■ z(n+m—i)a )zn+m,

где Sn,m—i — множество всех перетасовок (shuffles) — таких подстановок а £ Sn+m—i, что 1а <■■■ < па, (n + 1)а < ■ ■ ■ < (n + m — 1)а.

Пусть Z £ pre-Com, D — алгебра над k с набором билинейных операций и , ш £ П. Обозначим через Z Н D векторное пространство Z ® D с операциями умножения ош, заданными правилом

(z ® a) ош (w ® b) = zw ® a b + wz ® a b, z,w £ Z, a,b £ D■ (2.1)

Лемма 1. Пусть A — алгебра над k с операциями ош, ш £ П. Тогда для любых P £ Perm, Z £ pre-Com алгебры Z Н (P ® A) и (P Н Z) ® A изоморфны.

Доказательство. Непосредственные вычисления показывают, что ai2 — перестановка 1-й и 2-й компонент тензорного произведения в Z <g> P <g> A — является изоморфизмом П-алгебр Z Н (P ® A) и (P Н Z) ® A.

Лемма 2. Пусть M — многообразие алгебр над k с операциями ош, ш £ П. Тогда для любой алгебры D £ di-M и для любой Z £ pre-Com

Z Н D £

Доказательство. По теореме 1 любая алгебра D £ di-M вкладывается в P2 ® D, D £ M. Следовательно, Z Н D С Z Н (P2 ® D) ~ (P2 Н Z) ® D £ M, поскольку P2 ® Z — ассоциативная коммутативная алгебра.

Очевидно, что в любая пре-коммутативная алгебра удовлетворяет тождеству zi(z2z3) = z2(ziz3). Отсюда следует, что правонормированный моном

(zi(z2 ■ ■ ■ (z„— i(z„z„+i)) ■ ■ ■)) £ pre-Com(n + 1), n > 1, не меняется от перестановки переменных zi^^z^ В дальнейшем нам потребуется следующая

Лемма 3. В любой пре-коммутативной алгебре выполнено тождество

n

J2(zi (z2 ■■

■ zi ■ ■ ■ (zn—i(znzi )) ■ ■ -))zn+i = (zi(z2 ■ ■ ■ (znzn+i) ■ ■ ■))

i=i

для всех n ^ 1.

Доказательство. Достаточно вычислить нормальный вид левой и правой частей искомого соотношения по правилу из примера 5. Нетрудно видеть, что результаты совпадают: в обоих случаях получаем

У^ (zia (z2a ■ ■ ■ (zna zn+i) ■ ■ ■))■

3. Многообразия, порожденные нулевыми расширениями

Пусть А — алгебра с операциями ош, ш £ П, принадлежащая некоторому многообразию М. Говорят, что пространство М является М-бимодулем над А (в смысле Эйленберга), если заданы линейные отображения тш : М®А ^ М, 1Ш : А®М ^ М, ш £ П, такие, что нулевое расширение А при помощи М, то есть прямая сумма пространств А ф М с набором билинейных операций

и ош а = тш (и, а), а ош и = 1Ш (а, и), и ош V = 0,

а £ А, и^ £ М, является алгеброй многообразия М. Обозначим построенное по данному правилу нулевое расширение через А к М.

Пусть M — некоторый M-бимодуль над A € M. Обозначим через A X M алгебру с операциями , , ш € О, построенную на пространстве A ф M по правилу

a b = a b = a ош b, a u = 1Ш (a,u), u a = 0, a u = 0, u a = ru (a, u), u v = u v = 0,

a,b € A, u,v € M. Заметим, что A X M лежит в многообразии di-M. Действительно, отображение

A X M ^ P2 ® (A к M),

a + u ^ ei ® a + e2 ® u, a € A, u € M,

является вложением алгебр с операциями , , ш € О.

Обозначим через Alg многообразие всех алгебр с операциями ош, ш € О, а через di-Alg0 — многообразие, управляемое операдой Perm ® Alg: оно состоит из всех алгебр с операциями , , ш € О, удовлетворяющих тождествам

(x Ьш y — x Чш y) z = x (y z - y Чш z) = 0,

ш, ¡л € О.

Лемма 4. Пусть Z = pre-Com(z1 ,z2,...), A = di-Alg0(a1 ,a2,...) — свободные алгебры в соответствующих многообразиях. Тогда для любого f = f (xi,... ,xn) € € Alg(n)

f (zi <g> ai ,...,zn <g> an) =

n

= ^2(zi(z2 ...Zi ... (zn-i(znzi)) ...)) ® (e(n) ® f )(ai,. .., an) (3.1)

i=i

в алгебре Z H A.

Доказательство. Соотношение (3.1) тривиально для n = 1 и по определению (см. (2.1)) выполняется для n = 2.

Заметим, что если равенство (3.1) верно для некоторого f € Alg(n), то оно остается верным и для fa(xi,... ,xn) = f (xia,... ,xna), a € Sn. Поэтому достаточно доказать лемму в случае, когда f имеет вид

f = Comp(xi ош x2,u, v), u € Alg(k), v € Alg(n — k), 1 ^ k ^ n — 1, ш € О,

где Comp означает композицию в операде Alg. Обозначим

zla,b = (za+i(za+2 ...Zi ... (zb-i(zbzi)) . ..)), 0 < a < i < b. По предположению индукции допустим, что (3.1) выполнено для u и v. Тогда

f (zi ® ai ,...,zn ® an) =

(к \ ln-k \

z0,k ® (e(k) ® u)(ai,...,an)J оШ ( zl+n ® (eji-k) ® v)(ak+i,...,an) I =

к n-k

= Y^ Y z0,kz k+n ®(e(k) ® u)(al, ...,an) ^^ (eij'-k) ® v)(ak+b..., an)+

i=1 n =1

к п — к

+ 53 53 *\к ® (4к) ® и)(а1 , ■■■,ап) X (е{"—к) ® у)(ак+1, ..., ап).

г=1 з=1

По определению композиции в [2]

(е(к) ® и)(а1, ...,ак) (е!п—к) ® у)(а,к+1,...,ат) = (е^, ® / )(а1, . ..,ап).

(е(к) ® и)(а1, ...,ак) Нш (е!п—к) ® у)(а,к+1, ...,0^) = (е{(п) ® / )(аь . .., ап). Поэтому

п — к/к \

/ (г1 ® а1 ® ап) = X) Еч0,к ® (4+з ® / )(аЬ .. . > ап^)+

з

г —к

*к,п~ 20

+ Е [ Е ^ Ч,,к I ® (е\п ® / )(а1,..., ап),

г=1 \з=1

и для завершения доказательства достаточно применить лемму 3:

к п—к

Еч Ч к+з = Ч к+з V4 Ч к+з = ч ч

20,кчк,п = 20,п , к,п = 20,к20,п.

г=1 з=1

Предложение 1. Если 2 = рге-Сош^, х2,..., 2т), то

Уаг(2 Н (А X М)) = Уаг(А к М).

Доказательство. Поскольку АXМ С Р2 ® (А к М), то по следствию 1 Уаг(АX М) С Уаг(Р2 ® (А к М)) = &-Уаг(А к М). Поэтому

Уаг(2 Н (А X М)) С Уаг(А к М). (3.2)

Допустим, вложение (3.2) строгое. Тогда найдется / = /(х1,...,хп) € Ш(п) такое, что тождество / = 0 выполнено на 2 Н (А X М), но не выполнено на А к М.

Тогда по лемме 4 диалгебра AXM удовлетворяет всем тождествам е(п) <£>/ = = 0 для г = 1,... ,п. С другой стороны, для любых а1,... ,ап € А

А э / (а1, ...,ап) = (е(п) ® / )(аь ...,ап) € А X М по определению А X М (значение этого выражения не зависит от г). Более того, А к М э /(а1, .. ., аг—1,и, аг+1, .. ., ап) = (е~п ® /)(а1,. .. ,и, ..., ап) € А X М

при а1,..., аг—1, аг+1,..., ап € А, и € М. При двух и более значениях переменных из М значение многочлена / обращается в нуль. Следовательно, / = 0 тождественно на А к М, — противоречие.

Теорема 3. Для любой алгебры А € ёьА^0

Уаг(2 Н А) = Уаг(А)

для 2 = рге-Сош(^1, 22,..., 2т).

Доказательство. Согласно общей конструкции [15] А = А к А. Заметим, что А ^ А X А по правилу а ^ а + а. Следовательно,

Уаг(2 Н А) С Уаг(2 Н (А X А)) = Уаг(А к А) = Уаг(А) по предложению 1.

С другой стороны, пусть f £ Alg(n) — некоторое тождество на алгебре Z Н A. Тогда по лемме 4 A удовлетворяет всем тождествам ef^ ® f = 0, i = 1,... ,n, и, следовательно, f = 0 тождественно на A к A = A. Таким образом, Var(A) С С Var(Z Н A).

Пусть V С di — Alg0 — некоторое многообразие диалгебр (например, алгебр Лейбница). Обозначим через V подмногообразие в Alg, порожденное классом всех алгебр вида Z Н A, Z £ pre-Com, A £ V.

Следствие 2. Для данного многообразия V С Alg0 класс V является наименьшим среди всех таких многообразий M С Alg, что V С di-M.

Доказательство. С одной стороны, если A £ V, то ZН A £ V и по теореме 3 A £ V. Далее, A С P2 ® A £ di-V влечет V С di-VV.

С другой стороны, если V С di-M для некоторого M С Alg, то для всякого f £ Alg(n) такого, что f = 0 тождественно на M, любая алгебра A £ V удовлетворяет тождествам e(n)<g>f = 0, i = 1,... ,n. Но тогда по лемме 4 ZHA удовлетворяет тождеству f = 0 и, следовательно, V С M.

4. Рост коразмерностей

В этом параграфе мы применим полученные результаты для оценки роста коразмерностей многообразия V для данного многообразия V С di-Alg0.

Теорема 4. Пусть V С di-Alg0 — некоторое многообразие диалгебр. Тогда

(C1) с„(V) < ncn(V);

(C2) cn(V) < ncn(V).

Следовательно, многообразие V имеет полиномиальный (экспоненциальный) рост коразмерностей тогда и только тогда, когда таково же V. Доказательство. (C1) По следствию 2

V С di-V,

и утверждение (C1) следует из соотношения (1.2).

(C2) Пусть A = V(ai,a2,...) — свободная алгебра многообразия V, порожденная счетным множеством {ai,a,2,...}. Пусть также Z = pre-Com(zi, z2,...).

Обозначим через Фп линейное отображение Alg(n) ^ Z Н A, действующее по следующему правилу:

Alg(n) э f = f (xi, ...,xn) ^ f (zi ® au...,zn ® an) £ Z Н A.

Заметим, что если Фи(^) = 0, то f является тождеством на любой алгебре вида Y Н B, Y £ pre-Com, Y £ V, то есть Ke^n содержится в вербальном идеале многообразия V. Следовательно,

cn (V) < dimAlg(n)/Ker Фп = dimФn(Alg(n)).

По лемме 4 Фп^^(п)) С Z(n)®V(n), где Z (n) — линейная оболочка всех правонор-мированных слов вида (z1a(z2a ... (z(n-1)azna)...)), a £ Sn. Поскольку dimZ(n) = = n, получаем

cn(V) < dimФn(Alg(n)) < ndim V(n) = ncn(V).

Следствие 3. Если для данного многообразия M С Alg не существует подмногообразий промежуточного роста, то и в di-M нет подмногообразий промежуточного роста.

Обратное утверждение очевидно ввиду того, что M С di-M. Доказательство. Если для некоторого V С di-M последовательность коразмерностей cn(V) имеет субэкспоненциальный рост, то такова же cn(V). Поскольку V С M, cn(V) должно мажорироваться полиномом от n. Но тогда

Cn(V) < Cn (di-V) < nCn(V),

то есть cn(V) имеет полиномиальный рост.

В частности, отсутствие многообразий алгебр Ли промежуточного роста [4] влечет отсутствие многообразий алгебр Лейбница промежуточного роста [5].

Литература

[1] Абанина Л.Е., Рацеев С.М. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2005. № 6(40). С. 36-50.

[2] Колесников П.С. Многообразия диалгебр и конформные алгебры // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49. № 2. С. 323-340.

[3] Колесников П.С. Конформные представления алгебр Лейбница // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49. № 3. С. 540-547.

[4] Мищенко С.П. Многообразия алгебр Ли со слабым ростом последовательности коразмерностей // Вестник МГУ. 1982. № 5. С. 63-66.

[5] Мищенко С.П., Череватенко О.И. Многообразия алгебр Лейбница слабого роста // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2006. № 9(49). С. 19-23.

[6] Мищенко С.П., Череватенко О.И. Необходимые и достаточные условия полиноми-альности роста многообразия алгебр Лейбница // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12. № 8. С. 207-215.

[7] Скорая Т.В., Фролова Ю.Ю. О некоторых многообразиях алгебр Лейбница // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2011. № 5(86). C. 71-80.

[8] Aymon M., Grivel P.-P. Un théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt pour les algèbres de Leibniz // Comm. Algebra. 2003. V. 31. № 2. P. 527-544.

[9] Splitting of operations, Manin products, and Rota—Baxter operators / C. Bai [et al.] // Int. Math. Res. Notices. 2013. № 3. P. 485-524.

10] Barnes D. W. Faithful representations of Leibniz algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 2013. V. 141. P. 2991-2995.

11] Ginzburg V., Kapranov M. Koszul duality for operads // Duke Math. J. 1994. V. 76. № 1. P. 203-272.

12] Gubarev V.Yu., Kolesnikov P.S. Embedding of dendriform algebras into Rota-Baxter algebras // Central European Journal of Mathematics. 2013. V. 11. № 2. P. 226-245.

13] Gubarev V.Yu., Kolesnikov P.S. Operads of decorated trees and their duals // preprint (2013).

14] Kac V.G. Vertex algebras for beginners // University Lecture Series. Providence, RI: AMS, 1998. V. 10.

15] Kolesnikov P.S., Voronin V.Yu. On special identities for dialgebras // Linear and Multilinear Algebra. 2013. V. 61. № 3. P. 377-391.

16] Loday J.-L. Dialgebras // Dialgebras and related operads. Lectures Notes in Math. Berlin: Springer-Verlag, 2001. V. 1763. P. 1-61.

17] Loday J.-L., Vallette B. Algebraic Operads // Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Berlin: Springer-Verlag, 2012. V. 346.

18] Pozhidaev A. 0-dialgebras with bar-unity, Rota-Baxter and 3-Leibniz algebras // Groups, Rings and Group Rings (ed. by A. Giambruno [et al.]). Providence, RI: AMS, 2009. P. 245-256.

19] Roitman M. On free conformal and vertex algebras //J. Algebra. 1999. V. 217. № 2. P. 496-527.

References

Abanina L.E., Ratseev S.M. Variety of Leibniz algebras connected with standard identities // Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Estestvennonauchnaya Seriya. 2005. № 6(40). P. 36-50.

2] Kolesnikov P.S. Varieties of dialgebras and conformal algebras // Sib. Math. Zhurnal. 2008. V. 49. № 2. P. 323-340.

3] Kolesnikov P.S. Conformal representations of Leibniz algebras // Sib. Math. Zhurnal. 2008. V. 49. № 3. P. 540-547.

4] Mishchenko S.P. Varieties of Lie algebras with weak growth of sequence of codimensions // Vestnik MGU. 1982. № 5. P. 63-66.

5] Mishchenko S.P., Cherevatenko O.Iv. Varieties of Leibniz algebras of weak growth // Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennonauchnaya Seriya. 2006. № 9(49). P. 19-23.

6] Mishchenko S.P., Cherevatenko O.Iv. Necessary and sufficient conditions for a variety of Leibniz algebras to have polynomial growth // Fundamental'naya i prikladnaya matematika. 2006. V. 12. № 8. P. 207-215.

7] Skoraya T.V., Frolova Yu.Yu. About some varieties of Leibniz algebras // Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennonauchnaya Seriya. 2011. № 5(86). P. 71-80.

8] Aymon M., Grivel P.-P. Un theoreme de Poincare-Birkhoff-Witt pour les algebres de Leibniz // Comm. Algebra. 2003. V. 31. № 2. P. 527-544.

9] Splitting of operations, Manin products, and Rota—Baxter operators / C. Bai [et al.] // Int. Math. Res. Notices. 2013. № 3. P. 485-524.

Barnes D.W. Faithful representations of Leibniz algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 2013. V. 141. P. 2991-2995.

Ginzburg V., Kapranov M. Koszul duality for operads // Duke Math. J. 1994. V. 76. № 1. P. 203-272.

Gubarev V.Yu., Kolesnikov P.S. Embedding of dendriform algebras into Rota-Baxter algebras // Central European Journal of Mathematics. 2013. V. 11. № 2. P. 226-245.

Gubarev V.Yu., Kolesnikov P.S. Operads of decorated trees and their duals // preprint (2013).

Kac V.G. Vertex algebras for beginners // University Lecture Series. Providence, RI: AMS, 1998. V. 10.

Kolesnikov P.S., Voronin V.Yu. On special identities for dialgebras // Linear and Multilinear Algebra. 2013. V. 61. № 3. P. 377-391.

Loday J.-L. Dialgebras // Dialgebras and related operads. Lectures Notes in Math. Berlin: Springer-Verlag, 2001. V. 1763. P. 1-61.

[17] Loday J.-L., Vallette B. Algebraic Operads // Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Berlin: Springer-Verlag, 2012. V. 346.

[18] Pozhidaev A. 0-dialgebras with bar-unity, Rota-Baxter and 3-Leibniz algebras // Groups, Rings and Group Rings (ed. by A. Giambruno [et al.]). Providence, RI: AMS, 2009. P. 245-256.

[19] Roitman M. On free conformal and vertex algebras // J. Algebra. 1999. V. 217. № 2. P. 496-527.

Поступила в редакцию 6/Д/2014; в окончательном варианте — 6/II/2014.

CODIMENSIONS GROWTH ESTIMATE OF THE VARIETIES OF DIALGEBRAS

© 2014 P.S. Kolesnikov4 T.V. Skoraya5

The estimates connecting codimensions of varieties of non-associative algebras and corresponding varieties of dialgebras are obtained.

Key words: dialgebras, Leibniz algebras, varieties of linear algebras, codimensions of varieties, growth of variety.

Paper received 6/Д/2014. Paper accepted 6/Я/2014.

4Kolesnikov Pavel Sergeevich ([email protected]), Laboratory of Rings Theory, Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090, Russian Federation.

5Skoraya Tatyana Vladimirovna ([email protected]), the Dept. of Algebra and Geometrical Calculations, Ulyanovsk State University, Ulyanovsk, 432017, Russian Federation.