CC BY
30
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МОМЕНТОВ ЭКСТРЕМУМА В ДИФРАКЦИОННОЙ КАРТИНЕ ЭЙРИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ АДДИТИВНОЙ ПОМЕХИ
Г.Д. Фефилов
С помощью метода имитационного моделирования исследовано влияния аддитивной помехи на величину погрешности определения экстремальных значений в дифракционной картине Эйри. Показано, что без применения специальных мер погрешность определения экстремальных значений, в основном, существенно больше 1%. Уменьшить погрешность определения экстремальных значений до величин менее 1% позволяет применение метода весовой обработки путем свертки анализируемого сигнала с оптимальной весовой функцией.
Введение
Одним из способов получения информации о линейном размере микрообъекта является измерение линейного (углового) размера боковых лепестков его дифракционной картины. При облучении объекта круглой формы пучком лазерного излучения в дальней зоне возникает дифракционная картина, известная под названием картины Эйри, имеющая вид светлого диска, окруженного светлыми и темными кольцами, интенсивность которых быстро уменьшается с увеличением радиуса [1]. Для измерения ширины дифракционного кольца производится радиальное сканирование дифракционной картины Эйри и преобразование распределения интенсивности во временной электрический сигнал и(г), вид которого, нормированный к единице, показан на рис. 1 (сигнал 1). В полученном сигнале фиксируются моменты экстремума, соответствующие минимумам интенсивности дифракционной картины. Интервалы времени между выделенными моментами появления экстремума сигнала и(г) прямо пропорциональны ширине соответствующих дифракционных колец.
Рис. 1. Сигнал и(() = [2J1 (ш0г)/ю0г]2, получаемый при сканировании дифракционной картины Эйри (1); сигнал и (г) = ю0г ■ 4J12(ю0г), на выходе КИХ-фильтра (2)
В любом эксперименте регистрация сигнала сопровождается принципиально неустранимой аддитивной помехой, воздействие которой на этапах преобразования сигнала приводит к появлению погрешности измерения, поэтому можно говорить лишь о
степени влияния аддитивной помехи на результат измерения и путях фильтрации полезного сигнала от помехи [2, 3, 4].
Особенности сигнала, используемого в лазерной дифрактометрии, и расчет погрешности определения экстремумов в нем при воздействии аддитивной помехи
На практике сигнал, получаемый при сканировании дифракционной картины Эй-ри, ограничен несколькими периодами и описывается выражением
U(() = [2J1 (ш0t)/ш01]2 (где J1 - функция Бесселя первого рода; ro0=2naV/XF - частота анализируемого сигнала; - контролируемый размер объекта; V - скорость сканирования; X - длина волны излучения лазера; F - фокусное расстояние Фурье-объектива; t -текущее время). Фиксирование моментов появления экстремума в таком сигнале - непростая техническая задача. Это обусловлено, в основном, двумя факторами:
• сложностью фильтрации аддитивной помехи, так как практическая ширина спектра сигнала с быстро затухающей амплитудой в десятки раз больше значения частоты анализируемого сигнала [5];
• низкой эффективностью подавления аддитивной помехи традиционными полосовыми фильтрами за время сравнимое с периодом сигнала, так как фильтры, представляющие собой пассивные или активные LRC-цепи, обладают теоретически бесконечной импульсной характеристикой и теоретически бесконечным временем установления сигнала на выходе при скачке амплитуды сигнала на входе фильтра [6,
7].
Определители момента появления экстремума делятся на две основные группы
[8]:
• устройства, в основу работы которых положено определение максимального или минимального значения амплитуды сигнала, например, вычитанием сдвинутого во времени сигнала из исходного;
• устройства с предварительным дифференцированием анализируемого сигнала, с его помощью момент появления экстремума фиксируется по переходу через ноль производной анализируемого сигнала.
Из-за влияния аддитивной помехи срабатывание устройства фиксирования момента экстремума происходит либо раньше, либо позже. Поэтому за момент появления экстремума могут приниматься значения сигнала, отстоящие от истинного на интервал времени ± .
Применяя метод имитационного моделирования, оценим влияние аддитивной помехи на погрешность фиксирования моментов появления экстремума двумя рассмотренными способами в сигнале, получаемом при сканировании дифракционной картины Эйри. При этом следует учитывать, что на практике приведенная погрешность фиксирования моментов появления экстремума может быть не более 0.2% [8], а технологический допуск на многие промышленные изделия, имеющие микронные размеры, составляет 1% и менее. Принято считать, что аддитивная помеха является белым шумом и характеризуется математическим ожиданием n, и дисперсией a n [9]. Разложим аналитическое выражение U(t)=[2J1 (cc0t)/ra0t]2 в ряд Фурье на интервале ± T0/2 относительно минимума сигнала, здесь T0 - период сигнала U(t). Ограничиваясь двумя членами разложения и учитывая среднее значение шума, представим ряд Фурье в виде
U(t) = Umax - -Ус-+Mn, (1)
COS(Q0t)
где Umax - амплитуда сигнала в точке максимума. Величину наибольшей погрешности фиксирования момента экстремума ± Atext найдем из выражения (1), подставив в него в
момент времени г = 0 вместо г и и(г}, соответственно ±Лгх и ( п+3 аи), тогда при
фиксировании минимального значения амплитуды сигнала и(г}
Г ^
, (2)
Т
± ЛгехГ = — ■ агссоз
2п
1 _. 3а 2
у и тах
а для устройств с предварительным дифференцированием сигнала погрешность фиксирования момента экстремума определяется из выражения
Т За 2
= • агсвтЦь. (3)
2П и 0
В сигнале и(() = [2/ (сс0г)/ш0г]2 амплитуда переменной составляющей уменьшается по кубическому закону, поэтому отношение сигнал / шум для всех периодов сигнала и(г) неодинаково. Для оценки погрешности фиксирования моментов экстремума в сигнале и(г) зададим величину отношения сигнал / шум равной 10 и 100 для первого периода сигнала. Тогда при неизменном уровне аддитивной помехи отношение сигнал / шум в последующих периодах сигнала и(г) уменьшается в соответствии с уменьшением амплитуды переменной составляющей в нем. Используя выражения (2) и (3), моделируя два способа фиксирования моментов появления экстремума, рассчитаны величины относительной погрешности ± ЛгехГг в шести первых периодах сигнала и(г). Результаты вычислений приведены в табл. 1.
Анализируемый сигнал Отношение сигнал-шум Относительная погрешность ± Лгехгг фиксирования моментов экстремума в шести минимумах анализируемого сигнала 1 2 3 4 5 6
и (г) 10 100 6.9% 2.3% 14% 4.6% 22% 7.5% 33% 11% 45% 15% 57% 19%
йи (г)/ /йг 10 100 0.5% 0.2% 2.0% 0.7% 5.3% 1.7% 11% 3.3% 20% 6.4% 32% 11%
Таблица 1. Погрешность фиксирования моментов экстремума в сигнале и(1)
Анализ данных, приведенных в табл. 1, показывает, что при фиксировании минимального значения амплитуды в сигнале и(г), величина относительной погрешности ± Лгехгг интенсивно возрастает от периода к периоду в соответствии с уменьшением
амплитуды в нем и при этом составляет недопустимо большую величину как при отношении сигнал / шум, равном 10, так и при 100. После предварительного дифференцирования сигнала и(г) погрешность ± Лгехгг становится приблизительно в три раза меньше и не превышает 1% только при отношении сигнал / шум, равном 100 для первых двух минимумов сигнала и (г), что при широкой полосе спектра частот, занимаемой сигналом и(г), относительно частоты ш0 является трудно выполнимой задачей.
В лазерной дифрактометрии фильтрацию сигнала от аддитивной помехи целесообразно проводить в два этапа. На первом этапе выравнивается амплитуда переменной составляющей сигнала и(()=[2/(сс0г)/ш0г]2 путем свертки с оптимальной весовой функции %(иЛ}- В результате преобразования возникает сигнал вида и (г) = ю0г ■ 4/12 (со0г) [10], как показано на рис. 1 (сигнал 2). Данное преобразование выполняется фильтром, обладающим конечной импульсной характеристикой (КИХ-
фильтр) [6, 7], который может быть реализован как в пространственной, так и пространственно-временной области. На втором этапе подавляется аддитивная помеха с использованием полосовых фильтров, применение которых становится возможным, так как на выходе КИХ-фильтра изменен характер сигнала, а практическая ширина его спектра всего в 3-5 раз больше частоты анализируемого сигнала [5].
После выравнивания амплитуды переменной составляющей существенно уменьшается погрешность фиксирования момента появления экстремума в анализируемом сигнале, не превышающая 0.5% для любого периода сигнала иё{(), при отношении сигнал / шум 10. С увеличением отношения сигнал / шум влияние аддитивной помехи на погрешность фиксирования момента появления экстремума становится еще меньше.
Заключение
Проведенные исследования показывают:
• из двух рассмотренных способов фиксирования момента появления экстремума наиболее помехоустойчивым является способ, в котором применяется предварительное дифференцирование анализируемого сигнала, при этом погрешность фиксирования моментов появления экстремума приблизительно в три раза меньше;
• из-за влияния аддитивной помехи величина относительной погрешности ± &ехГг составляет менее 1% только при отношении сигнал / шум, равном 100 для первых двух минимумов сигнала, после его предварительного дифференцирования, что при широкой полосе частот, занимаемой сигналом и ( )= [2 (ш0^ )/ю0^ ]2, является практически трудно выполнимой задачей.
Применение метода весовой обработки, который заключается в свертке анализируемого сигнала с оптимальной весовой функцией, существенно уменьшает погрешность фиксирования моментов появления экстремума в анализируемом сигнале. При этом погрешность фиксирования моментов появления экстремума не превышает 0.5% для любого периода сигнала и^) при отношении сигнал / шум, равном 10.
Литература
1. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 855 с.
2. Харкевич А. А. Борьба с помехами. М.: Наука, 1965. 276 с.
3. Якушенков Ю.Г., Луканцев В.Н., Колосов М.П. Методы борьбы с помехами в оптико-электронных приборах. М.: Радио и связь. 1981. 86 с.
4. Волгин Л. И. Методы построения измерительных устройств с малой аддитивной погрешностью. // Измерение, контроль, автоматизация. 1977. №3(11). С. 11-20.
5. Митрофанов А.С., Фефилов Г.Д. Анализ спектра сигналов и определение полосы пропускания дифракционного измерительного преобразователя. // Изв. вузов СССР. Приборостроение. 1989. Т. XXXII. № 11. С. 69-73.
6. Гутников В.С. Фильтрация измерительных сигналов. Л.: Энергоиздат. 1990. 192 с.
7. Адаптивные фильтры. Пер. с англ./ Под редакцией К.Ф.Н. Коуэна и П.М. Гранта. -М.: Мир, 1988. 392с., ил.
8. Иванов Б.Р. Исследование и разработка структур определителей экстремума для информационно-измерительных систем. Автореферат канд. дисс. Киев, 1974.
9. Суходоев И.В. Шумы электрических цепей. М.: Связь, 1975. 351 с.
10. Фефилов Г. Д. Дифракционный способ измерения линейного размера изделия и устройство для его осуществления. // А.с. №1357701. Опубл. БИ. 1987. №45.
