Оценка периодичности профилактического обслуживания технических систем на основе модели полумарковского процесса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.3+519.24

Е.Ю. Копытов, А.А. Любченко

Оценка периодичности профилактического обслуживания технических систем на основе модели полумарковского процесса

Разработана математическая модель определения рациональной периодичности профилактического обслуживания технических систем на основе полумарковских случайных процессов, учитывающая ошибки диагностирования первого и второго рода и ошибки обслуживающего персонала. Предложена методика оценки рациональной периодичности обслуживания технических систем на основе функционалов готовности и технического использования.

Ключевые слова: моделирование, математическая модель, надежность, комплексные показатели надежности, техническое обслуживание.

Поддержание исправного и работоспособного состояния технических средств на этапе их эксплуатации осуществляется путем технического обслуживания (ТО) и ремонта. Своевременный ремонт и ТО технических средств предотвращают отказы и повышают надежность и эффективность их использования. Наоборот, преждевременное или с опозданием ТО и ремонт уменьшают надежностные характеристики технических средств [1]. В силу этого определение рациональной периодичности ТО и ремонта отдельных узлов и подсистем технических средств по отдельным параметрам является одной из основных составляющих обеспечения надежности при эксплуатации.

Разработка математической модели. В основе моделирования лежит теория цепей Маркова. В исследовании надежности изделий, содержащих электронные компоненты, теория полумарковских процессов получила весьма широкое применение, поскольку появляется возможность введения произвольной функции распределения времени наработки на отказ и времени восстановления [2, 3].

Граф состояний рассматриваемой системы, в которой присутствуют ошибки диагностирования первого и второго рода, представлен на рис. 1.

Ошибка диагностирования первого рода (а) -это вероятность признать исправный объект неисправным, а ошибка диагностирования второго рода (в) - это вероятность признать неисправный объект исправным. На графе обозначены состояния, в которых может находиться система: 50 -работоспособное; 51 - защитное; 52 - опасного отказа; 53 - разрегулированное; 54 - скрытого отказа; 55 - ложного отказа; 5ТО - технического обслуживания исправной системы; 51ТО - восстановления системы, находящейся в защитном состоянии; 53ТО - восстановления разрегулированной системы; 54ТО - восстановления при скрытом отказе.

Начальным состоянием системы является исправное и работоспособное состояние 50. Через случайное время т в системе может произойти опасный отказ, который с вероятностью (1-Р1)-^02(т) будет обнаружен, и система перейдет в состояние 52. Если отказ не будет обнаружен встроенной аппаратурой диагностики, то система с вероятностью Р1 02 (т) перейдет в состояние

скрытого отказа 54. В этом состоянии система будет находиться до момента времени т = Т, равного периоду ТО, после чего с вероятностью, равной единице, перейдет в состояние ТО при скрытом отказе 54ТО. Если за время восстановления системы отказ будет обнаружен, тогда система с вероятностью (1-Р2) будет переведена в работоспособное состояние. В случае необнаружения скрытого

Рис. 1. Граф состояний системы

отказа система с вероятностью Р2 вернется в состояние 54 и будет там находиться до следующего технического обслуживания.

Спустя случайное время т в системе может произойти защитный отказ, тогда она с вероятностью [1 - /02 (т)] '[1 - ^0з(т)]- ^01(т) перейдет в состояние 51. В этом состоянии система может обеспечивать функционирование в течение времени оповещения об отказе (?о) и доставки обслуживающего персонала к отказавшему объекту (?д). Из защитного состояния 51 система с вероятностью (1 -а1) - [1 — ^12(т)]-[1 —/1э(т)] перейдет в состояние восстановления при защитном отказе 51ТО в случае отсутствия ложных и опасных отказов. За время нахождения в состоянии 51 в системе может произойти опасный отказ, и она с вероятностью, равной (1 — Р1) -/12 (т), перейдет в состояние 52, а в случае необнаружения опасного отказа - в состояние 54 с вероятностью Р1 -/12 (т).

На интервале времени 0 <т<Т в системе может произойти разрегулировка - выход одного или нескольких параметров за пределы допустимых значений, при этом ухудшается качество выполняемых системой функций. Система при этом из исправного состояния перейдет с вероятностью [1 — /о2 (т)] -[1 — /01(т)]- /оз(т) в состояние 53. Если за это время не произошел опасный отказ, то система в момент времени т = Т перейдет в состояние ТО при разрегулировке 53 То с вероятностью (1 — а1) - [1 — /32 (т)]'[1 — /31 (т)]. В случае возникновения опасного отказа система перейдет в состояние 52 с вероятностью, равной (1 — Р1)-/32 (т), а если отказ не будет обнаружен - перейдет в состояние 54 с вероятностью Р1 -/32 (т).

Если за время, равное периоду технического обслуживания Т, в системе не произошло отказов и разрегулировок, то она с вероятностью, равной (1 — а1) - [1 — /01(т)]-[1 — /02(т)]-[1 — /0э(т)], перейдет в состояние ТО исправной системы 5ТО. За время ТО действия обслуживающего персонала могут вызвать в системе отказ, и она с вероятностью (1 — Р2) -/то(^го) перейдет в состояние опасного отказа 52, а если отказ не будет зарегистрирован, то с вероятностью Р2 -/то(?То) система перейдет в состояние скрытого отказа 54. Кроме того, система может перейти в состояние ложного отказа 55 с вероятностью, равной а2 -[1 — /то(^То)] . Если за время выполнения работ по восстановлению в систему не было внесено отказа, то она с вероятностью (1 — а2) -[1 —/то(^го)] возвращается в исправное состояние 50 и начинается ее эксплуатация по новому циклу.

Учет ошибок обслуживающего персонала с помощью функции /то(т) позволяет повысить соответствие исследуемой системы реальному процессу технического обслуживания. Выделение в системе состояний ложного и скрытого отказов обусловлено наличием ошибок диагностирования первого и второго рода встроенной аппаратуры диагностики (АД) при работе системы и внешней АД - при техническом обслуживании.

Определение времени нахождения системы в различных состояниях. На основании описания графа состояний и методики, изложенной в [2, 4], составляется матрица переходных вероятностей Р, здесь не приводится из-за большой ее размерности. Далее определяются значения истинного га, (Т) и наблюдаемого V/ (Т) времени нахождения в 5)-х состояниях. Истинное время

нахождения в состоянии 5, определяется из выражения [4]:

Т

га(Т) = ЕРу \ту^у (ту X (1)

■ 0

где Ру - вероятность перехода из рассматриваемого состояния; тгу - время пребывания системы в этом состоянии; (тгу) - функция распределения для одного шага процесса.

Для определения истинного времени нахождения системы в состоянии 50 записываются выражения для тех состояний системы, в которые она может перейти из работоспособного состояния 50, затем определяются функции распределения для одного шага процесса (вероятности переходов в каждое из состояний) [4]. После всех преобразований получаем:

Т Т Т

га0(Т) = \тй[1 — /02 (т)] ' [ — ^03 (т)] /01(т) + (1 — Р1) -1 тй/02 (т) +Р1-1 тй/02 (т) +

0 0 0 Т Т

+\тй [1 — /02 (т)]-[1 — /01 (т)] /03(т) + а1 -1 тй [1 — /02 (т)] • [1 — /)3 (т)] • [1 ■— /)1 (т)] +

0 0

+(1 — а1)- [1 — /02(Т)]-[1 — /03(Т)]- [1 — /01(Т)]Т. (2)

Т

Выражение | т^й/у (ту) является интегралом Стилтьеса. Взять этот интеграл можно путем ин-

0

тегрирования по частям [5]. После преобразований получаем:

®0(Т) = [1 — /02(Т )]Т - (1 — /)1(Т) - /03(Т) +1^)))-|[1 — /02 (т)] [1 — /03(т)]/01(т)й т+{/)2(т)й т +

Т Т

+| ([1 — /02 (т)] • [ — /01(т)] /03 (т))й т + а1-1 ([1 — /02 СО]1 — /03 (т)] • ['- /01 (т)])й т. (3)

0 0

Аналогичным образом определяем значение истинного времени нахождения системы в состоянии защитного отказа 51:

®1(Т) = (?о + ?д) — | /12(т) — | [1 — /12(т)]/13(т)йт— а1 | [1 — /12(т)]-[1 — /13(т)]йт.. (4)

0 0 0

Определим истинное время нахождения системы в состоянии разрегулировки Б3:

Т Т Т

щ(Т) = Т — | /32 (т)й т+{ [1 — /32 (т)] • /31 (т)й т — а1 - {[1 — /32 (т)] • [1 —— /31 (т)] т. (5)

0 0 0

Время нахождения системы в состоянии ложного отказа 54 будет определяться составляющими

времени восстановления в соответствии с технологическим процессом обслуживания. За это время будет устранен ложный отказ.

га5(Т) = ^в.л, (6)

где ?вл. - время устранения ложного отказа.

Наблюдаемое время обусловлено наличием ошибок диагностирования и определяется аналогично га, (Т) для всех состояний, в которых находится система, по следующей формуле [4]:

Vi(Т) = ЕРу |туй/у (ту). (7)

■ 0

Наблюдаемое время нахождения системы в состоянии 50:

V0(T) = [1 — /02(Т )]Т - (1 — /01(Т) - /03(Т) + //2(Т)Л) -

1—/02 (Т)

Т Т Т

— | [1 - /02 (т)] - [1 - /03 (т)] - /01 (т)йт +| /02(т)йт +1 ([1 - /02 (т)] - [1 - /01 (т)] - /03 (т))йт +

0 0 0

Т Т

+а1-1 ([1 — /02 (т)]- [1 — /03 (т)] -[1 — /01 (т)])йт + Р1-1/02 (т)йт. (8)

0 0

Наблюдаемое время нахождения в состоянии 51:

Vl(T) = (?о + ?д) — | /12(т) — | [1—/12(т)]-/13(т)йт—а1 | [1—/12(т)]-[1—/13(т)]йт+Р1 - | /12(т)йт. (9)

0 0 0 0

Наблюдаемое время нахождения системы в состоянии опасного отказа 52 определяется составляющими времени восстановления ?в:

V2(T) = ?в. (10)

Определим наблюдаемое время нахождения в состоянии разрегулировки 53:

T T T T

V 3(T) = Т- jF32 (z)dx+J[1-F32(x)]^зі(т)^х-аі - J[1 -F32 (т)^[^-^3і(т)]T + ß1 • JF32 (z)dT. (11)

0 0 0 0

Наблюдаемое время нахождения системы в состояниях скрытого и ложного отказа равны соответственно:

V4(T) = Т ; (12)

V5(T) = ?в.л. (13)

В состоянии скрытого отказа S4 наблюдаемое время равно периоду эксплуатации системы - Т, так как встроенная система диагностики не способна выявить отказы подобного типа.

Определим наблюдаемое время нахождения системы в состоянии ST0:

*Г0 гТО

VTO(T) = (1-а2)- J [1-FT0(z)ddT + ß2 - J FT0(z)-dT. (14)

0 0

Аналогично определяем наблюдаемое время для состояний S1T0 и S3T0:

V1To(T) = (1 -а2)-в J д[1 -Fto(T)]dT+ß2-в J дFto(т)• dz. (15)

0 0 Наблюдаемое время для состояния S3T0:

tТО ÎT0

V3TO(T) = (1 -а2)- J [1-FT0(z)]dT + ß2 - J FT0(z)-dТ (16)

0 0

Наблюдаемое время для состояния S4T0:

V 4TO(T ) = t T0. (17)

Tаким образом, были определены истинное и наблюдаемое времена нахождения системы в различных состояниях. Рассмотрим применение полученных функций для расчета показателей надежности - функционалов готовности и технического использования.

Функционал готовности определяется через отношение времени нахождения системы в состояниях, приносящих доход, к общему наблюдаемому времени нахождения системы во всех состояниях, кроме T0 исправной системы и T0 при скрытом отказе.

Кг (T ) п0 (T ) - ю 0 (T ) + n1(T ) - ю 1(T ) + n3(T ) - ю 3(T ) + n5(T ) - ю 5 (T ) (18)

£[п,- (T )-V, (T )]

i=1

где п, (T)- финальные вероятности цепей Маркова (они характеризуют долю времени, в течение которого устройство находится в S-м состоянии), количественное значение п, (T) определяется из решения системы уравнений [4]:

(п = п-Р,

П

Функционал технического использования можно определить как отношение суммарного истинного времени нахождения системы в состояниях, приносящих доход, к общему наблюдаемому времени эксплуатации системы, состоящему из интервалов работы, восстановления и технического обслуживания:

К (T) n0(T)-®0(T) + n1(T)-®1(T) + n3(T)-®3(T) + n5(T)-®5(T )

Кт.и.(T ) = N , (20)

£[п,- (T )-v, (T )]

i=1

где N - общее количество состояний, в которых может находиться система в процессе эксплуатации.

Результат моделирования. Пример моделирования зависимостей Кг(а, ß, Т) и Кт.и.(а, ß, Т) для разработанной модели выполнен с помощью ЭВМ в среде MathCAD 14.0 и представлен на рис. 2.

Периодичность профилактического обслуживания необходимо выбирать, руководствуясь определенными критериями. Необходимо обеспечить наибольшее значение функционала готовности, с одной стороны, и, с другой стороны, максимально возможный период T0 для экономии средств на

п, = 1. (19)

его проведение. При малом периоде ТО значение функционала готовности близко к единице и позволяет обеспечить высокий уровень готовности системы, но слишком частое проведение проверок ведет к неоправданному увеличению затрат.

Т, ч

Рис. 2. Результат моделирования зависимостей Кг(а, в, Т) и Кти(а, в, Т)

Для удовлетворения указанных выше требований периодичность ТО можно определить исходя из следующего условия [2]:

Топт < Трац < Тдоп. (21)

Значение Топт выбирается в точке экстремума функционала Кт.и(а, в, Т). Чтобы указать ограничение периодичности ТО сверху, необходимо знать допустимое значение Кгдоп(а, в, Т). Оно может быть определено экспертным методом путем сравнения установившегося значения периодичности ТО для систем-аналогов или с помощью математического моделирования.

Заключение. Разработана математическая модель процесса ТО технических систем на основе полумарковских случайных процессов, устанавливающая зависимость функционалов Кг(а,в,Т) и Кт.и(а, в, Т) от основных влияющих факторов: свойств аппаратуры, технического обслуживания, квалификации обслуживающего персонала, ошибок диагностирования первого и второго рода, временных параметров проверки аппаратуры и устранения отказов. Модель позволяет рассчитывать время пребывания изделий в состояниях: исправном, защитном, разрегулированном, опасном, технического обслуживания, восстановления, скрытого и ложного отказов. Полученные показатели позволили определить рациональную периодичность ТО технических систем. Применение реализованной модели возможно на этапах разработки и проектирования технических систем для обеспечения высоких показателей надежности и эффективности их эксплуатации.

Литература

1. Острейковский В. А. Теория надежности: учеб. для вузов / В. А. Острейковский. - М.: Высш. шк., 2003. - 463 с.

2. Держо Г.Г. Организация технического обслуживания электронных устройств на железнодорожном транспорте: учеб. пособие / Омский ин-т инж. ж.-д. трансп. - Омск, 1993. - 47 с.

3. Тихонов В.И. Марковские процессы / В.И. Тихонов, М.А. Миронов. - М.: Сов. радио, 1977. -488 с.

4. Герцбах И.Б. Модели профилактики. - М.: Сов. радио, 1959. - 216 с.

5. Корн Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1974. - 832 с.

Копытов Евгений Юрьевич

Аспирант каф. «Радиотехнические и управляющие системы» ОмГУПСа Тел.: 8-962-039-90-62 Эл. почта: jenya87@list.ru

Любченко Александр Александрович

Аспирант каф. «Радиотехнические и управляющие системы» ОмГУПСа

Тел.: 8-960-998-97-04

Эл. почта: lyubchenko@mail.ru

Kopytov E.U., Lyubchenko A.A.

Estimation of intervals in maintenance support of technical systems based on the model of semi-Markov process

Mathematical model of maintenance support based on the model of Semi-Markov process was developed. The model takes into account a and p diagnosis errors and errors of maintenance staff. A methodology of estimation of reasonable intervals in maintenance support technical systems is suggested and it is based on the functionality of availability and of technical application.

Keywords: simulation, mathematical model, reliability, composite reliability measures, maintenance support.