CC BY
37
УДК 621.3.019:621.9.06
Н. И. Пасько, д-р техн. наук, проф.,
П. П. Шилов, асп.,
(4872) 35-18-87 (Россия, Тула, ТулГУ)
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ФУНКЦИИ НАДЕЖНОСТИ ОБЪЕКТА ПРИ ПЛАНОВО-ПРЕДУПРЕДИТЕЛЬНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ
Предлагается метод оценки параметров функции надежности объекта при планово-предупредительном восстановлении, когда объект не всегда дорабатывает до отказа. В основу положен метод максимального правдоподобия. В качестве примера рассматривается оценка параметров распределения Веибулла.
Ключевые слова: функция надежности, планово-предупредительное восстановление, оценка параметров, максимальное правдоподобие, распределение Веибулла.
Ситуация, когда оценку надежности объекта приходится проводить в условиях, когда время испытаний или время наблюдения за объектом ограничено, встречается на практике часто. Например, такая ситуация возникает при оценке надежности режущего инструмента в процессе эксплуатации станка при планово-предупредительной замене инструмента [1]. Особенность здесь в том, что объект не всегда дорабатывает до отказа (предельного состояния). Это усложняет задачу оценки надежности. Здесь выведем необходимые формулы, для оценки параметров функции надежности объекта основываясь на методе максимального правдоподобия [2,3].
Будем считать, что случайная величина Т (наработка на отказ объекта) характеризуется плотностью распределения /(г) = /аь (г), где а, Ь -
параметры распределения, которые следует оценить из опыта.
Рассмотрим в начале случай, когда объект всегда дорабатывает до отказа. И выборка опытных значений наработок на отказ объекта 71,72,..., 7,..., сгруппирована по М интервалам с границами
^,tl,...,tj,...,М, где к = 0, tj = г'_1 +Аг, р*,р2,...,Р*,...,рМ - статистические вероятности попадания наработки в соответствующий интервал., то есть
* N.
р*=т,
где N' - число наработок попавших в '-й интервал. Теоретические вероятности попадания в '-й интервал
Р' = I /а,Ь (г№. (1)
0'-1 299
Функция правдоподобия для сгруппированных данных [2,3]
М ЛГ
Ца,Ь) =П рУ . (2)
7=1
Логарифм функции правдоподобия
М
1п Ь(а, Ь) = ^ N7 1п р7 . (3)
7=1
Наилучшие оценки параметров а, Ь находятся из условия максимума функции правдоподобия (2) или ее логарифма (3), то есть в результате решения следующей системы уравнений:
д 1п Ь( а, Ь) 0
да (4)
д 1п Ь(а, Ь) 0
дЬ
После дифференцирования система (4) примет вид
М др}
^ 7,-^-
7 да
X = 0,
7=1
М др}
- '¡.Л±
7 дЬ
(5)
X = 0.
7=1
Эта система после подстановки явного значения плотности /а ь (?)
решается относительно параметров а,Ь численно.
Если число интервалов М увеличивать, то наступит момент, когда в каждый интервал попадет не более одного значения из выборки, то есть N7 будет принимать значения 0 или 1. В этом случае функция правдоподобия (2) примет вид:
N АТ N
Ь(а,Ь) = П ^ * П/а,Ь(Т)Дг = (Д()Ы П/а,Ь(Т) • (6)
у'е/ ,=1 ,=1
Здесь учтено, что при малом значении интервала At, если Т, попадает в у-ый интервал, то N7 = 1 и = ру « /аь (Т,)Д?. Если интервал пуст,
то N7 = 0 и множитель Ь7 = р0 = 1.
Первый множитель в правой части (6) не зависит от параметров а,Ь, поэтому для нахождения максимума Ь(а, Ь) достаточно рассматривать только множитель
N
Ь'(а, Ь) = П /а,Ь (Т ), (7)
,=1
а это известное выражение для функции правдоподобия, если выборка не группируется [2,3].
Рассмотрим теперь случай, когда оценивать параметры а, Ь приходится по выборке, когда реализации случайной величины Т усечены наработкой ?р. Такая ситуация возникает при планово-предупредительном восстановлении объекта или когда испытания на надежность ограничено наработкой ?р. В этом случае вместо выборки Т1,Т2,...,Т,...,TN будем иметь
выборку Т',Т2^..Т',...^, где
Т, при Т, < гр,
Т' = \ р (8)
\*р при Т > гр.
Плотность распределения Т' выражается через плотность /а ь (?) следующим образом:
/а,Ь(г) пРи г < гр,
/а,Ь (?)
где
(9)
Рр -Ъ(г - гр) при г > гр,
ГО
Рр =! /аЬ (г)Ж - (10)
гп
вероятность профилактического прерывания работы объекта; 8() - дельтафункция Дирака [3]. Плотность /а ь (г) в точке г = гр имеет атом весом
Рр [5].
Функция правдоподобия в этом случае выражается так:
Ча, Ь) =П /а,Ь (Т ) ■ Ррр , (11)
&0
где 10 - множество индексов тех реализаций из выборки, которые закончились отказом не достигнув планового значения гр, а Nр - число реализаций, закончившихся профилактическим прерыванием по достижению гр.
Для вывода формулы (11) воспользуемся тем же приемом, как и при выводе формулы (7), то есть рассмотрим в начале случай с группированными данными, но для выборки Т{,Т2,...,T¡,...,T'N по М интервалам, и при
*
гм = гр + 0.5Аг. Как и прежде р7, р7 - статистическая и теоретическая ве-
*
роятности попадания в у-й интервал. В этом случае рм = Np / N, а
рМ ~ Рр.
Функция правдоподобия для сгруппированных данных в этом случае запишется так:
При этом
М _1 N ,■ N
Да, Ь) = П V • Р І=1
м
I NJ + Np = N0 + Np = N. І=1
Здесь Ы0, Nр - число реализаций в выборке закончившихся отказом и
профилактическим прерыванием соответственно.
Если М взять достаточно большим, чтобы каждая реализации Т}
при отказе попала в отдельный интервал, то
На,Ь) * П 1Га,Ь(Т)-Л']• РР!р = (^)Е ■ П 1а,Ь(Т)■ PpNp .
Шо
Так как первый множитель в правой части не зависит от параметров
а, Ь, то для оценки этих параметров можно воспользоваться функцией правдоподобия в форме (11) и определить эти параметры в результате решения системы уравнений аналогичной (4).
Если Т распределено по закону Вейбулла, то есть
/а,Ь (') = Ь (- )Ь_1ехр[-( - )Ь ], а Р(') = ехр[-(- )Ь ], (12)
а а а а
то функция правдоподобия (11) примет вид
Ь Т Т '
На,Ь) = П (-(Т-)Ь_1 • ехр[-(Т)Ь]}■ ехр[—Np(■£-)Ь]. (13)
а а а ^ а
1^1 о
Система уравнений для определения а,Ь, аналогичная (4), после
необходимых преобразований принимает вид:
N
X (ТУ 1п Т і /=1 1
Ь К.^ь N0
Е іп т;,
Е (Т,')Ь 0 (14)
/=1
а = [ Е- Е (ТУ ]!/Ь.
No ,=1
Параметр Ь определяется из первого уравнения методом итераций
[6], а параметр а определяется из второго уравнения по Ь.
г;-
Если плановая наработка tp не остается постоянной, а уточняется
по мере накопления данных о надежности объекта, то
T при T < tpi,
p , (15)
tpi при Tj > t^pi
где tpi - плановая наработка в i-й реализации. Плотность распределения наработки до восстановления в i-й реализации
fa,b(t ) пРи t < tpi,
Ppi -S(t - tpi) при t > tpi,
где Ppi = J fab (t)dt - вероятность профилактического прерывания в i-й
t pi
реализации.
Функция правдоподобия в этом случае примет вид
L(a Ь) = П fa,b (Ti) ■ П Ppi . (16)
i^Io Ш0
Параметры а, Ь определяются в результате решения системы уравнений, аналогичной (4).
В случае распределения Вейбулла функция правдоподобия после соответствующих преобразований приобретает вид
Ь T' а 1 N t' а
L(a,Ь) = П [-(-)Ь_1]• exp[-E(t^)b . (17)
Ш0 а а i=1 а
Параметры а, Ь определяются из той же системы (14), особенность
только в том, что T определяется по формуле (15), то есть при i £ I0
T' = t ■ i pi
Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим пример, в котором выборка T{,T2,...,T-,...,TN получена статистическим моделированием распределения Вейбулла при заданных значениях параметров а, Ь и переменным значением плановой наработки tpi. Так как точные значения
параметров а, Ь известны, то можно проверить точность оценок а, Ь по отмеченной выборке.
Ниже приводится такая выборка из 50 значений наработки, полученная при а=67,47 и Ь=2,69, что соответствует средней наработке на отказ T = 60 и коэффициенту вариации наработки на отказ Kt = 0,4 :
(40.0, п),(40.0, п),(40.0, п),(40.0, п),(40.8, o),(44.0, п),(37.1, о),
(44.0, п),(32.2, о),(26.1, о),(48.0, п),(17.3, о),(48.0, п),(48.0, п),
(52.0, п),(39.2, о),(52.0, п),(32.7, о),(52.0, п),(36.4, о),(56.0, п),
(56.0, п),(56.0, п),(38.1, о),(48.5, о),(36.2, о),(19.4, о),(42.7, о),
(60.0, п),(40.3, о),(15.3, о),(49.4, о),(64.0, п),(39.7, о),(68.0, п),
(60.4, о),(11.0, о),(66.1, о),(68.0, п),(57.6, о),(50.0, о),(49.8, о),
(72.0, п),(57.5, o),(76.0, п),(58.3, o),(74.2, o),(76.0, п),(74.5, o),
(79.8, o)
В скобках первым указана наработка объекта Ti, а вторым - символ ‘o’, если наработка закончилась отказом объекта, или символ ‘п’, если наработка объекта закончилась профилактическим прерыванием. Плановая наработка tpi в первых четырех случаях была равна 40, а затем увеличивалась на 4 после каждых пяти последующих испытаний. Такое изменение плановой наработки было сделано для иллюстрации работы предложенного алгоритма оценки параметров a, b.
В результате решения системы уравнений (14) получены оценки: а' = 65,66, b' = 2,61 при точных значениях 67,47 и 2,69 соответственно. Число отказов в выборке No = 28. Следует иметь в виду, что параметры а, b оцениваются по рассмотренной методике только при No > 0, то есть в выборке должна быть хотя бы одна реализация с отказом.
Список литературы
1. Пасько Н. П., Шилов П. Об оперативной оценке надежности инструмента на станках с ЧПУ // Изв. ТулГУ Сер. Технические науки. 2009. Вып. 4. Ч. 1. С. 22-26
2. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. M.: Мир, 1978.
560 с.
3. Кендалл М. Д., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973. 900 с.
4. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М.: Гостехиздат, 1956.608 с.
5. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. Т. 2. 752 с.
6. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966.664 с.
N. Pasko, P. Shilov
ABOUT THE OPERATIVE ESTIMATION OF RELIABILITY OF THE TOOL ON MACHINE TOOLS WITH NUMERICAL PROGRAMMED CONTROL
Methods of an operative estimation of parameters of function of reliability of the cutting tool on machine tools with numerical programmed control are considered at scheduled preventive replacement of the tool with use of computing possibilities of system numerical programmed control. The necessary statistics for an estimation is defined. Use of the considered methods is supposed at scheduled preventive replacement of tools in an adaptive mode.
Key words: reliability function, scheduled preventive restoration, estimation of parameters, maximum credibility, Vejbull distribution.
Получено 05.04.10
