Оценка параметров фрактальных случайных процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАДИОФИЗИКА

УДК 681.513.54

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ФРАКТАЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

© 2011 г. А.И. Саичев 1, В.А. Филимонов 2, М.В. Тараканова 1

'Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского ^Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики

таг!епок86@таП. т

Поступвла 1 ррдакцвю 03.03.2011

Рассматриваются два метода построения оценок коэффициента диффузии фрактального случайного процесса: метод Гармана и Класса и Роджерса и Сатчелла. Изучаются статистические характеристики предложенных оценок, такие как среднее значение и дисперсия, а также функция распределения оценок.

КлючР1ък сло1а: статистическая радиофизика, фрактальные случайные процессы, коэффициент диффузии.

Введение

Понятие фрактала - структуры, состоящей из частей, в некотором смысле подобных целому, - вошло в научную картину мира сравнительно недавно, лишь в последней четверти ХХ века. В настоящее время фрактальные модели используются для описания различных явлений в природе и в области естественных наук, начиная от эволюции галактик и развития клетки до возникновения гор и образования облаков. Изначально теория фракталов возникла для описания сложных нерегулярных множеств, однако значительное развитие она получила в рамках теории случайных процессов, где фрактальные свойства были обнаружены у процессов различной природы, таких как, например, трафик телекоммуникационных сетей, индексы финансовых рынков, динамика сердцебиений, приращения скорости турбулентных потоков и многие другие.

Данная статья посвящена определению важной характеристики фрактального случайного процесса, а именно его коэффициента диффузии, характеризующей скорость роста дисперсии процесса. Поскольку общая постановка задачи достаточно сложна, изучение начнем с частного случая фрактального случайного процесса, а именно винеровского процесса с равномерным сносом, являющегося математической моделью броуновского движения. Данный процесс характеризуется отсутствием корреляции между приращениями и гауссовой плотностью вероятности.

В общем случае исследуемый процесс может быть представлен в следующем виде:

х ц) = ^ + Ш ^), (1)

где с - постоянная скорость сноса процесса, О -коэффициент диффузии, W(t) - винеровский процесс, заданный своими начальным и средним значениями, а также автокорреляционной функцией:

W(0)=0, т))=0, ^(иЩ(Н))=шт(Ш2). Основными параметрами процесса (1) служат коэффициент сноса с и коэффициент диффузии О. На рис. 1 представлена типичная реализация винеровского случайного процесса.

В то время как оценка с коэффициента сноса с на интервале t е [0, Т] методом наибольшего правдоподобия хорошо известна:

с = ХТ),

Т

для коэффициента диффузии процесса (1) в настоящее время не существует общей теории

оценок О. Основное развитие задача построения оценок коэффициента диффузии получила в рамках математической теории финансов, где волатильность (квадратный корень из коэффициента диффузии) играет фундаментальную роль при построении моделей поведения котировок различных финансовых показателей. Впервые вопрос о построении эффективных оценок волатильности возник в работах М. Паркинсона [1] и М. Гармана и М. Класса [2], а позднее - в работах Л. Роджерса и С. Сатчелла [3]. Указанные оценки были ос-

Рис. 1. Реализация процесса (1), для с=1, D=1

нованы на измерении трех характерных значений процесса на интервале t е [0, T], а именно его минимального и максимального значений, а также значения на границе интервала. Более поздние работы, посвященные вопросу оценки волатильности, опирались на более сложные модели поведения цены, нежели классическое геометрическое броуновское движение.

В исходных работах [2] и [3] статистические характеристики классических оценок Роджерса и Сатчелла и Гармана и Класса, такие как смещение и эффективность, были изучены только для случая отсутствия сноса. Оценки же для произвольной скорости сноса не проводились из-за отсутствия общего выражения совместной плотности вероятности входящих в оценки отсчетов процесса (1). В настоящей статье проводится аналитический вывод указанной совместной плотности вероятности, которая позволила изучить среднее и дисперсию данных оценок.

Совместная плотность вероятности экстремумов винеровского процесса с равномерным сносом

В качестве измерений процесса (1) рассмотрим максимальное, минимальное и конечное значения процесса на интервале t е [0, T]: x1 = H = max X (T), x2 = L = min X (T)

x3 = X (T).

f (x, t) + c f (x, t)_ D д2 f (x, t)

3t 3x

с начальным условием

f (х;0)= 8( х). (4)

Дополним уравнение естественными граничными условиями:

f (х1;/) = 0, f (х2;/) = 0, х2 < 0 < х1, (5) отвечающими условию Х1<х(0<х2 на значения процесса для любого t е [0, Т]. Здесь 8(х) обозначает дельта-функцию Дирака. Переходя в (3) к безразмерным переменным

Т

О

4т’

= 1,2,3;

t

т = —;

T

Y = cJ-------- ;

приведем уравнение к виду:

Jf(x,x) + y df (x,T) = 1 d2f (x,x) .

8т dx 2 8x2

(6)

Строгий вывод решения диффузионного уравнения (6) с начальными (4) и граничными (5) условиями достаточно громоздкий и вычислительно сложный. В настоящей работе мы ограничимся описанием вывода совместной плотно-

сти

вероятности

H

Q( x1, x3;r)

и конечного

X

максимального

значений реа-

(2)

Для нахождения совместной плотности вероятности полученных из некоторой реализации процесса (1) измерений хь х2, х3 воспользуемся уравнением Фоккера-Планка [4]:

(3)

4от "3 4т

лизации процесса на интервале т е [0,1]. В этом случае граничное условие поглощения (5) для соответствующего диффузионного уравнения (6) примет вид:

f (Х1; t) = 0, х > 0. (7)

Получим решение данного уравнения с помощью метода отражений, для чего заменим граничное условие (5) модифицированным начальным условием:

f (х1; t) = 5(х) + А5(х - 2 х1), (8)

где константа А выбирается таким образом, чтобы решение данной задачи удовлетворяло условию (7). Решение задачи (6)-(8) имеет вид: f (х, х, т;у) = ^х - ут, т) + А^х - 2х1- ут, т),

Рис. 2. Диаграммы оценки коэффициента диффузии по минимальному, максимальному и последнему отсчетам процесса для у0=0.25, оценки Гармана и Класса и оценки Роджерса и Сатчелла

где

л/2лт

ехр

2т

(9)

Непосредственная подстановка полученного решения в (7) позволяет определить значение

константы А = — е2х‘т. Окончательно решение примет вид:

f (х, х1, т;у) = И(х — ут, т) — ехр(2х1т) х х И(х — 2х1 — ут,т), а совместная плотность вероятности Q(х1, х3; у):

У (х, х,,т;у) _

(10)

2( Хі, х,;у) = -

дх

х=х ,т=1

(11)

2(2х1 - Х3 ) ехр| (Х3 - т)

л/2л

ехр

2

- + 2х1 (х3 - х1)

где х2 = - ,___

2 4Ш

Дифференцируя полученную плотность вероятности по х1 и х2, получим искомую совместную плотность вероятности Q(x1, х2, х3, у):

2(х з> хі =х 2,т; т) =

д /(х,х1,х2т; у)

д х1 д х 2

х = х, ,т=

л/2п

ехр

(х 3 - У )

>2 Л

х ^т[тО(т(х1 — х2), х3) +

т=—да

+ (1 — т)о(т(х1 — х2) + х2, х3)], где введена функция:

О(а, Ь) = [(Ь — 2а)2 — 1]ехр(2а(Ь — а)). (14)

Методы оценки Г армана и Класса и Роджерса и Сатчелла

Оценка коэффициента диффузии, предложенная Роджерсом и Сатчеллом, имеет вид следующей квадратичной формы

О = Н (Н — Х) + L(L — Х)

ОRS = Т ’

а оценка Г армана и Класса:

- _к1(Н — Ь)2 — к2 (С(Н + Ь) — 2НЬ) к3 Х2

Применяя метод отражений и аналогичные выкладки к исходной задаче (3), (4), (5), получим решение последней:

да

У(х, xl, х2т;у) = £ [ехр(2у(х2 — х1 )т)х

га^—да

х к(х — yt + 2(х1 — х2 )т,т)— (12)

— ехр(2у(х2 — х1 )т + х2) х х к(х — yt — 2(х1 — х2 )т, т)],

Ь

где к1 =0.511, к2=0.019 и к3=0.383. Обе рассматриваемые оценки являются квадратичными, а значит, принадлежат классу однородных оценок. В общем виде однородная оценка коэффициента диффузии для заданной скорости сноса у0 может быть записана в виде:

О(х1,х2,Х3,У0) = R2и(6,ф,У0) , (15)

где введена сферическая система координат:

и х2 < х < х1; х1 > 0, х2 < 0.

R =

Vх!

__2 ___2 ____2

'• + х2 + х3 ,ф = агСап

(

0 = агСап

1 (13)

Очевидно, что диапазон значений переменных Я, 0, ф зависит от диапазона значений х1, х2, х3. В случае когда в качестве отсчетов выступают величины Н, L, X, величины Я, 0, ф

1

т

т

2

К х1

3

4

х

2

Рис. 3. Зависимость среднего оценок Гармана и Класса (пунктирная линия) и Роджерса и Сатчелла (штриховая линия) от у

Рис. 4. Зависимость дисперсии оценок Гармана и Класса (штриховая линия) и Роджерса и Сатчелла (пунктирная линия) от у

будут принимать значения из следующего диапазона:

п

0 < R < да,---------------< ф < 0,

2

(16)

arctan(sin ф) < 0 < arctan(cos ф). Функции u(0, ф, уо), называемые диаграммой оценки, для оценок Гармана и Класса, Роджерса и Сатчелла имеют следующий вид:

uGK (0,ф;уо ) = cos20 - 1-зт20(созф + sinф) ,(17)

і kn,

S (0,ф;у0 ) = k1cos20(cosф - sinф)21 cos2 0sin2ф - Іsin20(cosф і sinф)

- (1В)

- k3 sin 0.

Графики, иллюстрирующие данные диаграммы, приведены на рис. 2. Жирными линиями показаны допустимые границы изменения для переменных 0 и ф.

Зная выражение для совместной плотности вероятности 2(х3, х1, х2;у) наибольшего, наименьшего и последнего отсчетов на заданном временном интервале, возможно построить графики таких важных характеристик оценок, как среднее и дисперсия. Среднее оценки определяет такую важную характеристику, как несмещенность, а минимум дисперсии - насколько оценка эффективна [5].

Численные расчеты интегралов, входящих в выражения для среднего и дисперсии оценок, показали, что для произвольных значений у среднее значение оценки коэффициента диффузии по методу Роджерса и Сатчелла равно дисперсии исходного процесса на временном интервале [0, 1]:

Е[ В^ ] = В,

это означает несмещенность оценки для всех скоростей сноса. Дисперсия данной оценки, однако, сравнительно высока VarDRS = 0.331. Оценка же коэффициента диффузии по методу Г армана и Класса является несмещенной только для нулевого сноса:

Е[Оск ] Ф О при у ф °.

Данный недостаток оценки, а именно ее смещенность, компенсируется значительно большей эффективностью (меньшей дисперсией) оценки Г армана и Класса при малых значениях скорости сноса; так, для нулевой скорости сноса дисперсия оценки составляет Var~ = 0.27, что

°вк

почти на 20% превосходит соответствующее значение оценки Роджерса и Сатчелла. Однако оценка Роджерса и Сатчелла обладает более низкой скоростью роста дисперсии оценки с ростом у. Так, при достаточно большой скорости сноса (у > 0.9) данная оценка является более эффективной, чем оценка Гармана и Класса.

Графики, иллюстрирующие зависимость среднего и дисперсии оценок, представлены на рис. 3 и 4.

В заключение отметим, что полученные строгие выражения совместной плотности вероятности (13) позволяют рассчитать не только среднее и дисперсию, но также все статистические характеристики классических оценок Гармана и Класса и Роджерса и Сатчелла. В частности, получим функцию распределения указанных оценок, через которую выражаются все остальные характеристики, такие как мода, медиана и квантили доверительных интервалов. Для этого зафиксируем у и рассмотрим следующее выражение для плотности вероятности

У(4 ;у) оценки О2 коэффициента диффузии О: У(4;у) = [ЕЪ(ё — Я2и(0, )|у)].

и

Рис. 5. Функции распределения оценок Гармана и Класса (штриховая линия) и Роджерса и Сатчелла (пунктирная линия), построенные по минимальному, максимальному и последнему отсчету процесса на заданном интервале

Используя свойства дельта-функции, перепишем данное выражение:

f (d ;y) = E

і

-Jdu (0,ф)

R-

d

((9,ф)

или в явном виде:

22

f (d ;y) = — J dФ J

d0

cos 0

x Q

'(0,ф)

sin0,

d

'(0,ф)

и(0,ф)

Л

sin0,

sin 0; у

где пределы интегрирования отвечают неравенству (5). Рисунок 5 иллюстрирует плотность вероятности оценок для нулевой скорости сноса.

Заключение

В настоящей работе заложены основы теории однородных оценок коэффициента диффузии произвольных случайных процессов. Предложенная теория проиллюстрирована на задаче построения оценки коэффициента диффузии винеровского случайного процесса с равномерным сносом методами Гармана и Класса, Роджерса и Сатчелла.

Важным результатом работы стал вывод совместной плотности вероятности максимального, минимального и отсчета на границе временного интервала винеровского процесса с равномерным сносом. Полученная плотность вероятности позволила изучить статистические свойства оценок Гармана и Класса и Роджерса и Сатчелла, такие как среднее и дисперсия оценок, а также вывести общее выражение для плотности вероятности указанных оценок.

Список литературы

1. Parkinson M. The Extreme Value Method for Estimating the Variance of the Rate of Return/Journal of Business. 1980. V. 53. P. 61-65.

2. Garman M., Klass M.J. On the Estimation of Security Price Volatilities from Historical Data // Journal of Business. 1980. V. 53. P. 67-78.

3. Rogers L.C.G., Satchell S.E. Estimating Variance from High, Low and Closing Prices // The Annals of Applied Probability. 1980. V. 4. P. 504-512.

4. Risken H. The Fokker-Planck Equation: Methods of Solution and Applications. Springer, 1996. 340 p.

5. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. 624 c.

5

Y

u

d

d

ESTIMANTION OF PARAMETRS OF FRACTAL RANDOM PROCESSES

A.I. Saichev, V.A Filimonov, M. V. Tarakanova

Garman-Klass and Rogers-Satchell methods to estimate the diffusion coefficient of a fractal random process are considered. Standard statistical characteristics are studied of the estimates proposed, such as mean, variance, as well as the estimation distribution function.

Keywords: statistical radiophysics, fractal random processes, diffusion coefficient.