CC BY
11
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
графа О' затравка может совпадать с графом 0'к) и правила, по которому будет строиться фрактальный граф (т. е. ЗВЗ и способ построения новых ребер), по аналогии с построением, изложенном в [1].
Формализуем данный способ поэтапного построение предфрактального графа с помощью следующего алгоритма.
Алгоритм 2
Шаг 1. Задаем начальный граф Ок.
Шаг 2. Задаем граф-затравку Е к
Шаг 3. Задаем О_ ^ Ок - рекуррентное правило построения предфрактального графа.
Шаг 4. Проводим построение
О0 ^О[ О'к_1 ^О'к, т. е. строим несколь-
ко итераций предфрактального графа.
Заключение
Геометрические фракталы, при всей своей простоте построения и наглядности, все же остаются структурами ветвящимися и в какой-то степени хаотичными. Упорядочивание таких фракталов, определение их свойств, алгоритмизация универсальных способов их построения - задача непростая. Как было показано в данной работе, фрактальные множества можно изучать как беско-
нечные фрактальные графы, что безусловно открывает новые возможности в изучении фракталов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кочкаров А. А. Предфрактальные графы в проектировании и анализе сложных структур : препр. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2003 № 10. 23 с.
2. Кузьмин О. В. О некоторых алгоритмах построения фрактальных графов / О. В. Кузьмин,
A. О. Малакичев // Комбинаторные и вероятностные проблемы дискретной математики : сб. науч. тр. Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2010. Вып. 4 Дискретный анализ и информатика. С. 64-70.
3. Божокин С. В. Фракталы и мультифракталы / С.
B. Божокин, Д. А. Паршин. Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 128 с.
4. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / Р. М. Кроно-вер. М. : Постмаркет, 2000. 352 с.
5. Харари Ф. Теория графов. М. : Мир, 1973. 301 с.
УДК 62 - 336 Долотов Алексей Митрофанович,
д. т. н., профессор, зав. кафедрой «Прикладная механика» ФГБОУ ВПО «ИрГУПС»,
тел. 89086572297, e-mail: amdolotov@mail.ru Белоголов Юрий Игоревич,
аспирант, ФГБОУ ВПО «ИрГУПС», тел. 89149152303, e-mail: yurka-bratsc@mail.ru
ОЦЕНКА ОТКЛОНЕНИЙ ФОРМЫ СЕДЛА УПЛОТНЕНИЯ ПОНИЖЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ
A.M. Dolotov, Yu.I. Belogolov
LOW STRINGENCY SEAL SEAT FORM DEVIATION
EVALUATION
Аннотация. В статье предложена критериальная оценка отклонений формы тонкостенного оболочечного седла уплотнительного соединения в виде энергии, которую необходимо затратить на придание торцу седла круговой формы.
Ключевые слова: уплотнительное соединение пониженной жесткости, оболочечное седло клапана, отклонения формы.
Abstract. The paper proposes the criterial score for form deviations of a thin shell seal seat in the form of energy that must be expended on giving the end face of the seat circular shape.
Keywords: sealing compound reduced stiffness of the shell seat, form deviations.
Рассматривается уплотнительное соединение, выполненное в виде конического клапана и седла, выполненного в виде тонкостенной оболочки [3]. Имеется ряд конструктивных (особенности крепления упругого седла в корпусе, коробление корпуса), технологических (вибрации, возникающие в процессе изготовления седла, внутренние напряжения, возникающие в результате термообработки), эксплуатационных (термо-нагружение уплотнения) и других факторов, обусловливающих коробление седла. Вследствие этого форма торца реального седла имеет отклонения от идеальной окружности. Поэтому контакт затвора с седлом первоначально происходит в одной
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
А® (ф) = ^ (ак cos ^^ + bk sin кф).
(1)
Рис. 1. Круглограмма торца седла
В разложении (1) свободный член не учитывается, так как представляет собой среднее значение функции со(<р) . Член ряда, соответствующий
значению к = 1, указывает на изгибную деформацию оболочки без искажения формы ее поперечного сечения. Это имеет место при несовпадении осевых линий затвора и седла, т. е. при эксцентриситете. Обычно эксцентриситет убирается за счет конструктивных мероприятий. Поэтому учитывать его также не следует.
ш
точке. При дальнейшем нагружении число точек контактирования увеличивается, а контакт затвора и седла будет изменяться от точечного до линейного. За время этого процесса жесткость седла будет переменной. Причем она будет изменяться от минимального значения при точечном контакте до максимального при круговом линейном контакте. В дальнейшем полагаем, что отклонения формы клапана по сравнению с отклонениями формы седла можно пренебречь.
Введем понятие энергии, необходимой для выбора отклонений формы в уплотнении, обозначая ее Еф. Физический смысл Еф заключается в том, что это энергия, которую необходимо затратить для того, чтобы контакт между затвором и седлом перешел от точечного к линейному.
Рассмотрим методику определения Еф. Полагаем, что отклонения формы затвора от окружности в месте контакта малы по сравнению с отклонениями формы седла.
Круглограмма торца седла (рис. 1) может быть получена, например, с помощью кругломера. Функция отклонений формы может быть разложена в ряд Фурье
На рис. 2 представлена спектрограмма отклонений формы торца седла, круглограмма которого показана на рис.1.
Решение поставленной задачи может быть получено с помощью полубезмоментной теории расчета цилиндрической оболочки В.З. Власова. Расчет будем вести по методике, изложенной в [2].
Рис. 2. Спектрограмма отклонений формы торца седла
Относя оболочку к системам координат (вдоль образующей) и 52 (вдоль направляющей), переходим к безразмерным координатам:
S S2 « =—; ф=—. r r
(2)
Вводится вспомогательная функция ф, определяемая выражением:
п п
Ф = (а)costy + ^фФ1 (a)sinф (3) к=2 к=2 разрешающее уравнение которой имеет вид:
д4Ф D
■ + -
где W (* ) =
да4 r 2Eh д4(*) д2(*)
WW ф = о,
(4)
др др '
Каждая из функций Фк(а) определяется
из дифференциального уравнения, которое получается подстановкой (3) в (4):
da
+ 4 РФ = 0
(5)
k 4 (k 2 -1)2 h 48(1 -p
где ^ =^(1 "2^2
В уравнении (5) опущен верхний индекс, так как величины с верхним индексом «5» связаны между собой такими же зависимостями, как и величины с индексом «с». Дальнейший расчет ведем без указания индекса.
Решение (5) ищется в виде
к =2
2
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
(6)
Фк = 4>кКо (Рк«) + А1кК (Рк«) +
+4кК2 (Рк«) + АзкКз (Рк«) > где а = K0 (Р0а)../ К3 (Рпа) - функции А.Н. Крылова [1].
Граничные условия для определения постоянных интегрирования принимаем в виде
Ьк- = 0;
ЕН d Ф
« = 0 Т1к = 2,2 г аа
wk = ак 008 кф + Ьк 8т кф;
1
1
а = — и, = —
г аа
^ — Фк = о.
= 0;
Следует отметить, что граничные условия на деформируемом торце можно было задать и иными, например положив равной нулю касательную нагрузку 5". Однако в [2] указано, что для случая быстро меняющихся в одном направлении деформаций тангенциальные перемещения и и V несущественны по сравнению с нормальным перемещением w.
Подставляя граничные условия в (6), находим постоянные интегрирования:
а,г
Аок = к2
А = акГ
Аиг =
Ко \Рк-\ К \Рк-\ + 4Кз2\Рк
А =_акГ
А3к = ,2
к к,[рдк2и1-]_корлкк-
А2к = 0;
Ко2 \рк1-\ + 4К, \Рк-\ Кз \рк-
(7)
к К,\рк-1 К21рк-]_Ко 1рк-]КзI рк-
Использовав введенные в [1] функции влияния ф, фi, (7) можно представить в виде
А =_аг.
аок к2'
Ак=ОГ^ 'Рк-\;
А2к = о;
а г
(8)
азк = _тгф6\ Рк- \.
Таким образом, выражение вспомогательной функции принимает вид
для
ф = г £
тшЛ
а 008 кф + Ь2 8т кф к2 х
-Ко (Ра) + К, {Рка)у 16 \Рк - ] _ Кз (Рк«)ф1б [Рк -
Внутренние силовые
определяются из следующих выражений:
(9)
факторы
Т =
ЕН а 2Ф Eh■n а 008 кф + Ь 8т кф
1 ..2 л„,2
г аа г
=- £
к2
Рк2 X
4К 2 (Рка)_ 4К з (Рка)^16|Рк-|_
_ к, Раф \Рк-
Т = _к4 (к2 _ 1)ЦФ = _ Ц£ (ак 008 кф + Ь2 8ткф) к2 (к2 _ 1) >
г г к=2
-Ко (Рка) + К1 рка)¥ы [р, _ Кз Ркаф ^ -Л) Л) п
М2 = _к2 (к2 _ 1)ЦФ = —-£(а 008кф + Ь2 8ткф)(к2 _ 1)>
г г к=2
-Ко (Р,а) + К1 {Рка)¥ы {Рк -1 _ Кз (Р,а)ф1б ГРк -
(10)
02 =_k3(k2 _ 1)цФ = ц£(а008kф + Ь2 8тkф)k(к2 _ 1)>
г г к=2
-Ко (Рка)+ К, (Рка)¥16 Р- ]_ Кз (Рка)ф1б [р,-
1 Ehd3Ф Eh.^,ак 008 кф + Ьк 8т кф
к г а«
=_ - £
г к=2
кз
Р [4К К
_4к2 р«Щб \Рк-г] _Ко (Рка)ф,б [Рк1-
В [29] приводится выражение для определения потенциальной энергии деформации оболочки в виде
1 2ж I
1 1п ( 1 г -1
и = { 1Ш-Т + Т )2 + 2 (1 + ^)($2 _ ТТ
+ м> )2+2 0 + ^)(_ мм,)]} гахаф.
(11)
Для принятых обозначений внутренних силовых факторов формула (11) принимает вид
I
г 2я
и = г '¡{-¿к[(7; + Т2)2 + 2(1 + ')($2_ТТ
(12)
+
ЕН
ЪМ] ^ г2ёаёф.
Интегрируя (12), получаем:
к =2
к=2
>
г
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
ш
и — X
С + ДяТ| А-
I
I
^к + 4^61 А- \-
-Екр161 А - ^ | А - \+ Ск^,261 рк- \ + 16^к х J2k +
16 4к +16 р^А —
J Зк +16 А^6\ А—\ +
+4Ек^16 \ рк 1-\ X Р16 Г^к Л + СкР26 \ Р I\ J4к +
ЕкР16 \ Рк -\ - 2Ск^16 Р I\ - 8^кР16 к -
5к +
-4Ек + Щр [рк1-[рк1-4Е^ [а —\ + 2СкР16 (рк-г
Лк +
J7k +
-8АкР16 | Д - \ + 4Еку16 {рк -\ - 32В^ -
Лк +
8АкР16 [А I к Р I \ - 4Ек^26 к I \ + ЕкР2 к ^ \ -
-2СкР16 \ Рк11^16 [А-
+
-32 Ак^16\Рк-\-
-4ЕкР16 |Рк-
J1 г
(13)
где
А, =
(«к2 + %); Ек =
ИжБрк (к2 -1)
ЖЕЬРЗ
ЖР2 (к2 - 1)2 \ ^ , ,2Ч
(«2 + %);
РкЕНт1
ж(1 + ЕНР1[ , Р =—-гт-(«2 + Ьк );
к6
=77
КЛ 2Рк- \ + зк\ 2Рк- \ + Р + 8ш\ 2Рк-
= 16
зк\2Рк1- | + 4Кз \ 2Рк- | + 2Рк-г) I г) г
Jзk = 32
-К, \ 2Рк - | + зк ( 2Рк - | - 2Рк — + 81П ( 2Рк -г) I г) г I г
J — -1
/4k 64
зк \ 2Рк — |- 2Кз ( 2Рк — | + 2Рк — г) I г) г
К21 Р
Кз|2Рк
2Рк
32Рк
J7k =
8Рк
1 - Ко2|Рк2 -
К22\Рк —
2Рк
J9k —
9к 32
- 8Ш \ 2Рк— К1I 2Рк1-
К |Рк —
; J10k = "
2Рк
еф — и-
(14)
Учитывая потери на трение, окончательно напишем
& (а + фф (ёа '
Отметим, что Е представляет собой энергию, необходимую для того, чтобы торец оболочки, который описывается (1), сделать круговым.
Поскольку выражение (13) получено на базе полубезмоментной теории, достоверные результа-
* г
ты можно получить только для к < л — .
V к
Теперь формулу для определения максимальной динамической нагрузки, возникающей при соударении, можно записать в окончательном виде
Е — Е +
тах
Е2 + 2(Ек -Еф)х
I ' . (15)
\ х + + ф)]
Значение ударной динамической нагрузки, полученное из выражения (15), ниже соответствующей динамической нагрузки, полученной для линейной модели жесткости седла, причем эта разница растет при снижении Ек, к чему следует стремиться при проектировании клапана.
В чистом виде полученное выражение и (13) может служить критерием для отбраковывания покороблений седел.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Иосилевич Г. Б. Расчет на прочность деталей машин : Справочник. М. : Машиностроение, 1993. 640 с.
2. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика. М. : Машиностроение, 1977. 488 с.
3. Долотов А. М., Огар П. М., Чегодаев Д. Е. Основы теории и проектирования уплотнений пневмогидроарматуры летательных аппаратов : Учеб. пособие. М. : Изд-во МАИ, 2000. 296 с.
1
л—2
+
+
+
+
+
+
г
