ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 1 (2010)
Труды VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы
УДК 511.36
ОЦЕНКА МЕР ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЛОГАРИФМА "ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ" 1
М. Г. Башмакова (г. Брянск)
Аннотация
В работе получены новые оценки меры иррациональности и меры квадратичной иррациональности числа л/Ъ 1п .
Введение. Исследование арифметических свойств значенй логарифмической функции есть классическая задача теории диофантовых приближений. Для любого иррационального числа а можно рассматривать количественную характеристику, определяющую, насколько это число отличается от рациональных, Эта характеристика называется мерой иррациональности числа — ^(а) и определяется как точная верхняя грань множества чисел є, таких что неравенство
Р
а----
Я
имеет бесконечно много решений в рациональных числах
Строя совместные приближения для \да2 + р\\ ъ \да + р2\ при д,р\,р2 £ мы можем аналогично определить меру квадратичной иррациональности ^2(а) числа а, которая фактически описывает приближение а корнями квадратного уравнения с рациональными коэффициентами,
С середины 80-х годов прошлого века одним из способов получения таких приближений стало построение на основе интегральных конструкций линейных форм с "хорошими" оценками знаменателей коэффициентов, В 2000-м г, в работе М, Хата [1] был приведён способ построения таких линейных форм и оценок их совместных приближений с помощью двойного комплексного интеграла, Аналогичная интегральная конструкция была использована в 2009 г.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований, грант N 09-01-00743.
Р. Марковеккио [2] для получения оценок меры иррациональности и меры квадратичной иррациональности чисел вида, In Q), где х = £ N, и позволила
улучшить некоторые известные результаты, В частности, была получена новая оценка: ^(1п2) < 3.5745..., усиливавшая результат Е, А. Рухадзе 1987 г., ^(1п2) < 3.893..
Небольшая модификация интеграла Р. Марковеккио, симметризующая под-ыптегральпую функцию относительно замены ./• на позволила применить его также и для некоторых иррациональных х. В данной работе приводятся новые оценки, полученные с помощью этого метода, а также другой, более простой способ построения этих оценок, использующий интеграл Ю. В. Нестеренко.
1. Интегральная конструкция Р. Марковеккио
Рассмотрим интеграл:
irc> —ic© и | _ - ,
т(х) = [ Г ________________________________sH-x^^dsdt___________
^ * J У (1 g'jh+k—m+l^g k-\-l^j- ^k-\-m—h-\-1 7 ' *
s=0 t=0
где x £ R, 0 < x < 1; h,k,m £ Z+ и удовлетворяют условиям:
h + k — m > 0,m + k — h > 0,m + h — k > 0,k + m — h - нечётно. Определим
некоторые свойства данного интеграла. Обозначим dn = HOK{1, 2, ...n}.
Утверждение 1. Имеет место равенство:
т(1)=т<,) (2)
Данное равенство можно получить сделав в интеграле замену переменных s = I,i=I. “ “
а т
Лемма 1. Справедливо следующее представление:
Т(х) = Р(х)^ In2 Q - Q(x) In ^ + R(x) + m (p(x) In Q - Q(x)^j , (3) где P(x), Q(x), R(x) £ Q(x), причём
Z[x]
P(x), dMQ(x), dMdNR(x) £ _ x^k+m+h+l (4)
при
M = max{k, m, h, k + h — m, h + m — k, m + k — h},
I i \
N = max{ [“] , max'jfc, m,h,k + h — m,h + m — k,m + к — h}} ’
где max' означает второй член в последовательности, упорядоченной по убыванию.
Эта лемма была доказана и использовалась в работе Р, Марковеккио [2] (Утв. 2.1).
Поскольку функция 1п х трансцендентна, а 1п х и 1п2(х) -линейно независимы над 0(ж), то сравнивая равенства (3) и (2), можем видеть, что Р(х) = Р , Я(х) = Я (^). Это свойство позволяет уточнить вил функций.
Лемма 2. Пусть Я(х) Е 10>(х), Я(х) = Я (^). Тогда Я(х) = Я [х + ^), где я(г) е 0>(г).
Доказательство данной леммы достаточно просто, поэтому опустим его. Теперь мы можем заключить, что
Р(х) = Р ^х Н—^ , (^(х) = ^х----^ <5 Н—^ , Д(ж) = Д ^х Н—^ (6)
гдеР^ш^ад е <ад.
Из представления (3) получаем линейные формы
/т№)) = Р(х) 1п 1 - <?(*); 1т(Т(х)) 1п 1 - Де(ГМ) = - ДМ,
п х п х 2 х
(7)
исследование которых позволяет оценить меры иррациональности и квадратичной иррациональности значений логарифмической функции, а свойство (6) функций Р(х), ^(х), Я(х) даёт возможность использовать как параметр х и некоторые алгебраические числа. Так, рассматривая в интеграле х = а = 3~^ получим следующие результаты.
Теорема 1. Справедлива оценка меры, иррациональности:
ц < 3.713...
Теорема 2. Справедлива оценка меры квадратичной иррациональности:
< 33.0094..
Первая из приведённых оценок улучшает предыдущие, полученные М.Хата [3] . . . .
/1 < 4.4937... и Е. С. Сальниковой [4] /1 (>/51с^ < 4.456....
Мера квадратичной иррациональности этого числа ранее не оценивалась. Остановимся подробнее именно на способе получения второго результата.
Выберем в (1) параметры к = 71, к = 61, т = 81 и п е N. Рассмотрим интеграл
—ІЖ 71 +1
^ [ [ 871п181пХ~^~ (1з(й
Тп{х) =
7 7 (1 - 5)51га+1(5 - і)91^1^ - ж)71п+Г
«=0 4=0
Обозначим
^71*81
= (1 - з)51(з - г)91(г - X)71 = а = 3~у^ имеем - = ( -
2 х \
Тогда
Приж = о; = ^ имеем ± = (^)2,ж+^ = 3, (ж-£) = -у/5, 1-х =
Тп(а) = рп^ 1п2 1 +2^ - дпл/51п 1 + гп + т ^рп 1п 1 - л/5д„
где рп, Яп, Гп е О-
Для получения оценок воспользуемся леммой М, Хата [1](см. лемма 2,3),
Лемма 3. Пусть 7-вещественное иррациональное число, рп, дп, гп е Ъ, дп = 0 для любо го п е N Обозначим £п = дп72 — рп, 5п = дп72 — гп. Пусть
Ит — 1п\дп\ = <т, тах ( Итвир — 1п |ега|,Ит8ир — 1п |£га| ] < — г,
п^ж П \ п^оо П п^оо П У
прм а, т > 0. Предположим, далее, что существует бесконечно м,ного натуральных чисел п, таких что —-не является рациональным, числом.
Тогда /х2(т) < 1 + 7-
Применим лемму 3 к линейным формам (7), С учётом неравенства
Рп{х) 1п2 - - Шп(х)
X
< ( 1гД + 2 ) \Тп(х)\,
для построения оценки необходимо исследовать асимптотику Рп(х) и Тп(х) при п ^ то. Согласно выводам Р, Марковеккио, использовавшего для этой цели метод перевала в С2 [5]:
Ит — 1пРп(х) = 111/(51,^1) + ^ т—-\пх,
п^ж п 2
и
1 , , Ч| , , Ч| к + т — Н
Итэир -1п\1п{х)\ < т 1/(^2,^2)| Н-------------тх,
п^ж п 2
где ^-вещественныЙ, а 52-любой ИЗ двух комплексных корней уравнения
Нкв3 — (т — Н)((т — к)х + Н + 2к)в2 + (т — Н)(т — к + (Н + 2к)х)в — Нкх = 0,
а соответствующее значение £ выражается как £ =
В нашем случае уравнение примет вил:
433153 — 2006.39352 + 937.19445 — 1654.2947 = 0, тогда
51 = 0.79519, *1 = 0.52620.., 1п / (вь^) = 269.5589..,
52 = -0.165966 + 0.672903І, Ь2 = -0.28095 - 0.44534І, 1п |/(в2, і2)| = -87.82804.. Применяя процедуру сокращения простых, описанную у Р. Марковеккио, получим также:
Р (ж)
Ап
Здесь М, N -из равенств (5), I),, = ^2г-, Ага-произведение всех простых чисел р > у/Мп, таких что € П.
Множество П при данных значениях параметров состоит из 69 интервалов, укажем только некоторые из них:
11
8І’5ЇІи
24 81’ 91
31
—, — и... и 61 ’ 17
60 90 61’91
Обозначим М0 = Ит \ВГ
где ф(г) =
Со = — 1п|/(в2,*2)| - = 121.994
Сі = 1п/(8і,іі) + ^-1пж = 235.392..
с3 = N + М0 = 111.16727..
Тогда
' 1 + >/5
М-^ф{г) - М —{ф (і) - ф (І) + ф (^) - ф (|[) + п
л/51:
п ■
< 1 +
СЛ + Сз с0 - с3
33.0094.
что и требовалось.
Все вычисления и выбор параметров к, т, к, разумеется, проводились с помощью компьютерной программы.
Для получения оценки приведённой в теореме 1 необходимо взять к = 5, т = 6, к = 4 и провести аналогичные расчёты. Заметим, что эти параметры полностью совпадают с параметрами Р. Марковеккио, использованными им для получения оценки ^(1п2).
Интегральная конструкция Р. Марковеккио, использующая метод перевала в С2, довольно сложна. Результаты, полученные Р. Марковеккио, спустя небольшое время были подтверждены Ю. В. Нестеренко [6] более простым способом, не использующим групповой метод, при помощи однократного комплексного интеграла. Покажем как оценки, заявленные в теоремах 1,2, можно получить применив интеграл Ю. В. Нестеренко.
2. Интегральная конструкция Ю. В. Нестеренко
Расмотрим интеграл:
,{х) = їй
п
вт(пя)
(-ж) Яdя
3
где /-прямая вида Яе^ = а, 0 < а < 1, проходимая снизу вверх, х Е Е+,х = 0,х =1.
Лемма 4. Имеет место следующее представление:
. Мп2ж 7гг1пж 1{х) = г 1
(8)
1 — х 1 — х Обозначим /(ж)М =
Применим к обеим частям равенства (8) последовательное дифференциро-х
т
x
E4
x
Е2 I ±\П2Х 1 —X
7Гг In х 1—х
[El]
[E3]
Р(ж)|1п2 х — Q(x) In Ж + R(ж) + 7ri(P(x) In ж — Q(x))
(9)
Подобное равенство было доказано у Р, Марковеккио [2], использовавшего в своей работе этот способ.
Обозначим теперь
| [ЕэЦ [Е5
Y(x) = xE4 [xE21(x)[El]]
(10)
Тогда, с учётом (9), получаем для Y(x) выражение аналогичное (3),
Выберем параметры вида Ei = (k + m — h)n = 51n, E2 = hn = 71n,
E3 = (h + m — k)n = 91n, E4 = mn = 81n, E5 = (m + k — h)n = 71n,
n G Z+ и проведём преобразования (Ю). По еле замены я на я — 20n — 1 и
„ / \ _ 9п + !
умн0жения на симметри3ующии множитель (—х) 2 ; приходим к равенству;
Y(ж) = Р(ж) - In2 ж — Q(ж) In ж + Д(ж) + тгг(Р(х) In ж — Q(x)),
(Н)
где
п
втпя
X (—x)-
91п + 1
dq,
A(x)
(x + 20n + 1)...(x + 71n) (x + 1)...(x + 91n) (x + 10n + 1)...(x + 81n)
(51п)! (91п)! (71п)!
При этом У (^) = Т(ж), так что для построения оценок снова используются линейные формы (7), но способ исследования асимптотик здесь будет значительно проще. Приведём результаты, полученные по методу Ю, В, Нестеренко, Обозначим /3 = 3+2л/^.
Утверждение 2. Имеет место равенство
91
515171719191(С — 20)20(С- Ю)10) + 2 П/^
235.3928.
где £ = 269.0173.. — вещественный корень уравнения = /3.
Утверждение 3. При n ^ то справедлива асимптотическая формула
г -*-1 \<п а\\^ 1 о 1 АП/1 1 \V0 + 7inm + 91\91\V0 + Sir ,91
1,т8ир-1п|У03)| < -121.994... = I»51И71п91М,„ + + 10|и» + Т 1“Л
где По = —52.8119 + 18.9364*- комплексный корень многочлена 1.618034x3 + 606.18226x2 + 51068.959x + 1370124.53 = 0 с условием Im(n0) > 0.
Доказательство обоих утверждений повторяет аналогичные выводы работы [6]. Учтя сокращение простых, получим:
( /=Л 1 + л/5 Л 235.3928 + 111.1672 ,
а2 V5 п-----------— < 1 +-----------------= 33.0094...
2 )- 121.994- 111.1672
Отметим, что сокращения простых были в данном случае сделаны с помощью метода Р. Марковеккио.
В заключении автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю В. X. Салихову за помощь и Ю. В. Нестеренко за предоставленную возможность воспользоваться результатами его работы до её опубликования.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] М. Hata, C2-saddle method and Beukers' integral. // Trans. Amer, Math. Soc. 2000. V.352 no. 1-2, P. 183-202.
[2] R, Mareoveeehio, The Rhin-Viola method for ln2. // Acta Aritm, 2009. V. 139.2 P.147-184.
[3] M. Hata. Irrationality measures of the values of hvpergeometric functions. // Acta Arithm. 1992. V. LX.4 , P. 335-349.
[4] E. С. Сальникова. О мерах иррациональности некоторых значений функции Гаусса. // Чебышевекий сборник. 2007. Т.8:2 С. 88-96.
[5] М. В. Федорюк. Метод перевала. // М. Наука. 1977.
ln 2
Брянский Государственный технический университет.
Получено 15.05.2010