CC BY
119
УДК: 519.2
А.И. Сайкин, А.А. Чурикова
ОЦЕНКА ХАРАКТЕРИСТИК СТОХАСТИЧЕСКИХ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ ДВУХМОМЕНТНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВРЕМЕНИ
Предлагается приближенный метод расчета характеристик замкнутых и разомкнутых неэкспоненциальных сетей систем массового обслуживания, основанный на применении формулы Поллачека-Хинчина для одиночных узлов сети, распространяемый на всю сеть, который обладает достаточно малой погрешностью и достаточно прост в применении.
Характеристики неэкспоненциальных сетей систем массового обслуживания A.I. Saikin, A.A. Churikova
AN APPROXIMATE METHOD FOR CALCULATING CHARACTERISTICS OF STOCHASTIC NETWORK MODELS OF COMPUTING SYSTEMS WITH ELEMENTS OF MODELING
We propose an approximate method for calculating the characteristics of closed and open nonexponential network queuing systems based on the use of Pollaczek-Khinchin formula which has a relatively small error rate, and is relatively easy to use.
Characteristics of nonexponential networks of queuing systems
В различных приложениях, но особенно широко при анализе вычислительных систем, используются в качестве математической модели сети систем массового обслуживания (СМО) с очередью и ожиданием [1, 2]. Точные методы расчета характеристик существуют только для экспоненциальных сетей, в которых время поступления и обслуживания заявок распределены по экспоненциальному закону:
f (t) = ^*exp(-^t), (1)
где: /Л - интенсивность обслуживания в СМО:
Л = 1/1,
t - среднее время обслуживания в СМО.
Однако для сетей, в которых время обслуживания распределено по произвольному закону или же входной поток не является простейшим, точных методов расчета характеристик сети пока не найдено. Для общих случаев с произвольно распределенным временем следования заявок во входном потоке и произвольно распределенным временем обслуживания GI/GI/1 по классификации Кендала применяются приближенные методы расчета характеристик: метод псевдосостояний [3], диффузионная аппроксимация [4] или статистическое имитационное моделирование. Но эти методы требуют или громоздких вычислений, или же дают результаты с большой погрешностью, что особенно проявляется для сетей большой размерности.
В данной работе рассматривается приближенный метод расчета характеристик сети СМО, который отличается от прочих в первую очередь своей простотой и достаточной точностью.
Идея метода состоит в применении модели Поллачека-Хинчина при расчете характеристик искомой сети, которая выведена для разомкнутой сети СМО с простейшими входными потоками и произвольно распределенным временем обслуживания заявок:
L = р2(1 + V 2)/(1 - р) / 2, (2)
где L - длина очереди, р - коэффициент загрузки СМО, V - коэффициент вариации времени обслуживания.
1. Применение метода к разомкнутой сети СМО
Идея метода для разомкнутой сети СМО состоит в том, что в однородный поток заявок, поступающих в сеть из источника, вводится дополнительный поток заявок, который делает входной поток неоднородным. Пусть в потоке присутствуют заявки первого, заданного, типа и второго, дополнительно введенного. Потребуем, чтобы дополнительно введенный тип заявок обладал такими параметрами распределения времени, которые превращают входной поток заявок в простейший. В качестве параметров распределения математическое ожидание и коэффициент вариации. Аналитически решить задачу подбора достаточно сложно, но с помощью статистического имитационного моделирования это можно сделать практически всегда [5]. Допустим, что входной поток обобщённых заявок во всех узлах сети стал простейшим. После чего можно рассчитать характеристики узлов сети с помощью формулы Поллачека-Хинчина. Таким образом, приближенный метод основывается на двухмоментной аппроксимации распределения времени обслуживания и времени поступления заявок и указанных допущениях.
Рис. 1. Примеры разомкнутых сетей СМО
1.1. Формирование дополнительного потока в источнике заявок
Рассмотрим СМО с не простейшим входным потоком и произвольно распределенным временем обслуживания заявок. С помощью имитационного моделирования подберем корректирующий поток заявок из источника интенсивности Л2 таким образом, чтобы поток заявок обобщенного типа,
поступающий из источника, стал простейшим. При этом требуем, чтобы Л2 было минимальным, а коэффициент вариации распределения времени следования заявок V 2 выбирается не превосходящим 5, что
соответствует большинству практических случаев.
Для нахождения коэффициента вариации результирующего потока обобщённых заявок использовалось статистическое моделирование. В проведенном машинном эксперименте объем выборки был равен 30000. При этом коэффициент вариации обобщенного потока
у,. , (3)
где Эои - дисперсия обобщенного потока, 1ои - среднее время обслуживания обобщенных заявок в
источнике достигал значения единицы.
При моделировании из множества вариантов выбирался случай с наименьшей интенсивностью обобщенного потока при заданных ограничениях на значение коэффициента вариации.
1.2. Расчет характеристик разомкнутой неэкспоненциальной сети СМО
Разомкнутая неэкспоненциальная сеть может иметь произвольную конфигурацию, задаваемую матрицей передач Р , размером (N +1)(N +1) - по количеству СМО плюс источник заявок. Для
каждой СМО сети должны быть указаны интенсивность обслуживания ц■ и коэффициент вариации
времени обслуживания V. . Для источника указывается интенсивность источника Л1и и коэффициент
вариации Vи для исходящего из источника потока заявок. Расчет характеристик включает в себя несколько этапов.
Сначала осуществляется проверка существования в разомкнутой сети СМО стационарного режима. Для этого из системы (4) находим Л1. (. = 1,..., N):
Л. = Е рЛ ,(. = 1,..., N),
(4)
г=1
где р ^ - вероятность перехода из СМО I в СМО ..
Коэффициенты загрузок СМО сети р . заявками заданного типа, как известно, равны
р. =Л./м. ,(. = 1..., N). (5)
Если все р. меньше 1, то в сети существует стационарный режим, характеристики которого могут быть рассчитаны. В этом случае определяются параметры корректирующего потока, генериру-
б
а
емого источником в соответствии с пунктом 1.1. Далее для каждой СМО сети, исходя из сделанных ранее допущений, находим среднюю длину очереди по известной формуле Поллачека-Хинчина:
Ь0, =р2, (1 + V.) /(1 -р0, )/2, (, = 1,..., N), (6)
где р0, = Л. //И], Л0.,(, = 1,..., N) - интенсивности поступления заявок обобщенного типа,
М,, (, = 1,..., N) - интенсивности обслуживания заявок заданного типа.
Затем от очереди обобщенных заявок переходим к очереди заявок заданного типа по очевидным соотношениям:
А, = £, Л ,/Л,,(, = 1.....N), (7)
где 11, - длина очереди к СМО сети из заявок заданного типа 1, Ь0, - длина очереди к СМО,
найденная по формулам (6).
По характеристикам каждой СМО сети можно рассчитать характеристики сети в целом. Например, средняя длина очереди в сети
_ N -
£ = Е ^1,,(, = 1,..., N), (8)
!=1
где 11, - длина очереди к СМО.
Среднее число заявок
__ N
м = Е т,,(, = 1,..., N), (9)
!=1
где т1, - среднее число заявок в СМО ,.
Среднее время ожидания в очереди
=\, / Л,,(, = 1,..., N) (10)
Среднее время пребывания в СМО ,
и, = Щ, +1/м,.(, = 1,..., N) (11)
Были проведены исследования предлагаемого метода расчета характеристик. Рассматривались разомкнутые неэкспоненциальные сети СМО конфигурации, представленной на рис. 1а, б. Коэффициент загрузок узлов заявками обобщенного типа подбирался менее 1. Коэффициент вариации времени обслуживания заявок корректирующего типа в источнике искался в пределах от 0 до 5. В свою очередь коэффициент вариации времени обслуживания заявок корректирующего потока при определении параметров потока заявок заданного типа в узлах [5] не использовался, что делает этот метод более простым.
Средняя длина очереди оценивались с помощью статистического имитационного моделирования сети СМО, которое принималось за эталонное значение. Кроме того, для сравнения брались результаты для экспоненциальной модели, при расчете параметров которой двухмоментная аппроксимация заменялась одномоментной. Так же для сравнения брались результаты для модели с простейшими входными потоками и неэкспоненциальными потоками обслуживания заявок, для которых применима формула Поллачека-Хинчина (2).
Полученные результаты для разомкнутых сетей, представленных на рис. 1а, б, наглядно изображены на рис. 2а, б соответственно.
Таким образом, полученные результаты показывают, что погрешности предлагаемого метода слабо зависят от конфигурации рассчитываемых сетей СМО.
Так же рассматривались сети СМО, в которых коэффициенты загрузок предполагались одинаковыми, а коэффициенты вариации времени обслуживания заявок в узлах предполагались различными. Результаты представлены на рис. 3 а, б.
Таким образом, для разомкнутой сети СМО из полученных результатов следует, что предлагаемый метод наиболее эффективен в случае, когда коэффициент времени обслуживания заявок во всех узлах сети не превышает 1. Однако в остальных случаях предлагаемый метод даёт погрешности не хуже, чем прочие методы.
Кроме того, данный метод легко распространяется и на замкнутые сети СМО.
-------предлагаемый метод
------модель Поллачека-Хинчина
-------экспоненциальная модель
-------предлагаемый метод
------модель Поллачека-Хинчина
-------экспоненциальная модель
а
б
Рис. 2. Относительная погрешность общей длины очереди сети при различных коэффициентах вариации времени обслуживания заявок в узлах сети, причем Л! - относительная погрешность в процентах,
V- коэффициент вариации времени обслуживания заявок во всех узлах сети; а - для модели представленной на рис. 1 а; б - для модели, представленной на рис 2 б
метод
модель Поллачека-Хинчина ’ — экспоненциальная модель
б
метод
> модель Поллачека-Хинчина экспоненциальная модель
а
Рис. 3. Относительная погрешность длины очереди в узле при применении различных моделей, причем ось Л! - относительная погрешность длины очереди в процентах, ось СМО- номер узла в сети; а - для коэффициента вариации времени обслуживания заявок в источнике, во 2-м, 3-м, 4-м узлах сети, равного 0,5, и для коэффициента вариации времени обслуживания заявок в 1-м и 5-м узлах, равного 1,5, б - для коэффициента вариации времени обслуживания заявок в источнике, во 2-м, 3-м, 4-м узле сети, равном 1,5, и для коэффициента вариации времени обслуживания заявок в 1-м и 5-м узлах, равного 0,5
2. Применение метода к замкнутой сети СМО
Идея предлагаемого метода для замкнутой сети СМО состоит в том, что сначала рассчитывается одним из известных способов замкнутая, однородная, т.е. обслуживающая заявки только одного типа, экспоненциальная сеть СМО с заданными параметрами [1], определяется реальная интенсивность поступления заявок в каждый узел экспоненциальной сети. Т.к. заданная сеть неэкспоненциальная, то для определения результатов необходимо продолжить процесс вычисления, применяя предлагаемый метод. К каждому узлу при найденных интенсивностях поступления и заданных интенсивностях обслуживания заявок применяется формула Поллачека-Хинчина (2).
Предполагается, что существует такой экспоненциальный узел, длина очереди к которому совпадала бы с найденной по формуле Поллачека-Хинчина длиной, откуда находится коэффициент загрузки найденного экспоненциального узла и новые интенсивности обслуживания заявок. При
найденных интенсивностях поступления и обслуживания заявок рассчитывается экспоненциальная сеть, а длины очереди к узлам данной сети принимаются за искомые.
2.1. Расчет характеристик замкнутой неэкспоненциальной сети СМО
Замкнутая неэкспоненциальная сеть может иметь произвольную конфигурацию, задаваемую матрицей передач Р , размером N X N - по количеству СМО. Для каждой СМО сети должны быть указаны интенсивность обслуживания заявок в сети ми, и коэффициент вариации времени обслуживания заявок V, , который определяется как отношение:
V=1/°7"~,,(,=*>• (12)
где О, - дисперсия времени обслуживания заявок в СМО _].
Сначала, предполагая, что условная интенсивность поступления заявок в 1-ю СМО равна 1, из системы (13) находят условные интенсивности поступления заявок в каждый узел сети:
N
Л, = Е рЛ ,(, = 1--N), (13)
(=1
где р(, - вероятность перехода из (-й СМО в , -ю СМО.
Далее при применении метода считаем, что потоки между узлами сети простейшие.
Используя параметрический метод, рассчитываем экспоненциальную сеть при заданных ми,
и найденных Лу, . Находим безусловные интенсивности поступления в СМО сети Л,. Далее для каждого отдельного узла с заданными интенсивностями обслуживания заявок ми, и коэффициентами вариации времени обслуживания заявок V, , а также найденными интенсивностями поступления заявок Л , по формуле Поллачека-Хинчина находим длину очереди:
Ь0, = р02, (1 + V/) /(1 - р0,) /2, (, = 1,...,N), (14)
где р0, = Л, / Ми,.
После этого считаем, что существует такой экспоненциальный узел, у которого длина очереди, найденная по формуле:
1е] =р;2 /(1 -р,),(] = 1,..., N), (15)
совпадает с результатом, полученным по формуле (14). При данном равенстве величин из (15) находим значение величин р,, откуда из формулы
м, =Л, /р,,(, = 1,..., N), (16)
получаем новые интенсивности обслуживания заявок.
С полученными параметрами, снова рассчитывая экспоненциальную сеть, характеристики которой принимаем за искомые.
Были проведены исследования предлагаемого метода. Рассматривались модели замкнутых сетей СМО с произвольно распределенным временем обслуживания заявок, представленные на рис. 1 при исключенном источнике заявок. Число заявок выбиралось не меньше 10, так как иначе очереди к узлам сети были минимальны, и анализировать полученные результаты не имело смысла.
Средняя длина очереди оценивалась с помощью статистического имитационного моделирования, принимаемого за эталонное. Так же для сравнения рассматривались результаты экспоненциальной сети, при расчете параметров которой использовалась одномоментная аппроксимация и предполагались простейшими потоки поступления и обслуживания заявок.
Полученные результаты аналогичны результатам, полученным для разомкнутых сетей. Пример. В качества примера рассмотрим модель замкнутой сети, заданную матрицей передач
Р =
0 0.3 0.4 0.3 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 1
0 0 0 0 1
1 0 0 0 1
Интенсивность обслуживания заявок в узлах сети возьмем равными /Ии1 = /Ии5 = 2 и №и2 = Яз = №и4 = 0-5, коэффициент вариации времени обслуживания заявок V. = 2, ( ] = 1,N). Число заявок, циркулирующих в сети, рассмотрим равным 15. Для определенности положим Лу1 = 1. Тогда из системы (13) получаем, что Лу2 = Лу4 = 0.3 , Лу3 = 0.4, Лу5 = 1.
Используя параметрический метод, рассчитываем экспоненциальную сеть при заданных ци. и найденных Луі . Находим безусловные интенсивности поступления в СМО сети Лі :
Л = 1.21; Л2 = 0.36; Л = 0.48; Л4 = 0.36; Л5 = 1.21
Далее по формуле (14) находим длину очереди к каждому узлу:
Ь01 = 2.286695 ; Ь02 = 4.727629 ; Г03 = 65.385476 ; Ь04 = 4.727629 ; Г05 = 2.286695
После этого считаем, что существует такой экспоненциальный узел, длина очереди к которому, найденная по формуле (15), совпадает с результатом, полученным по формуле (14). Решая квадратное уравнение относительно р ■, получаем:
р1 = 0.752; р2 = 0.848; р3 = 0.985; р4 = 0.848; р5 = 0.752.
По формуле (16) находим интенсивности обслуживания заявок и вновь применяя параметрический метод при расчете экспоненциальной сети с полученными интенсивностями поступления и обслуживания заявок, находим длину очереди к узлам сети:
/" = 1.276437; 12 = 2.05907; /3 = 4.143145 ; 14 = 2.05907; 15 = 1.276437 .
Полученные результаты в сравнении с экспоненциальной моделью представлены на рис. 4.
метод
— экспоненциальная модель
Л!
Рис. 4. Относительная погрешность длины очереди в узле, причем ось Л! - относительная погрешность длины очереди в процентах, СМО - номер узла в сети
Таким образом, для замкнутой сети СМО предлагаемый метод прост в реализации и не требует сложных вычислений по сравнению с диффузионной аппроксимацией, и в особенности с методом псевдосостояний, который наиболее трудоемок.
Точность данного метода лучше, чем при замене неэкспоненциальной модели экспоненциальной, т.е. двухмоментная аппроксимация улучшает результаты.
Предлагаемый метод, в отличие от метода Поллачека-Хинчина, который не учитывает количество заявок, циркулирующих в сети, не искажает свойства линейности замкнутой сети СМО.
По этой причине метод может быть распространен на сети произвольной конфигурации с произвольным количеством узлов [6].
ЛИТЕРАТУРА
1. Кофман А. Массовое обслуживание. Теория и приложения / А. Кофман, Р. Крюон. М.: Мир, 1965. С. 302.
2. Основы теории вычислительных систем / под ред. С.А. Майорова. М.: Высш. шк., 1978.
С. 408.
3. Венцель Е.С. Исследование операций / Е.С. Венцель. М.: Сов. радио, 1972. С. 552.
4. Кругликов В.К. Анализ и расчет сетей массового обслуживания с использованием двумерной диффузионной аппроксимации / В.К. Кругликов, В.Н. Тарасов // Автоматика и телемеханика. № 8. М.: АН СССР, 1983. С. 74-83.
5. Сайкин А.И. Приближенный метода расчета характеристик разомкнутой неэкспоненциальной сети систем массового обслуживания / А.И. Сайкин, А. А. Чурикова // Вестник СГТУ. 2011. №3 (57). Вып. 1. С. 188-195.
6. Чурикова А.А. Вычисление нормирующего множителя для замкнутой экспоненциальной сети большой размерности. С.: ХХЬЬЬ Международная научная конференция. Математические методы в технике и технологиях ММТТ-23. Т. 9. Сек. 10. 2010. С. 196-198
Сайкин Александр Иванович -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Чурикова Анна Александровна -
соискатель кафедры
«Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Статья
Alexandr I.Saikin -
Ph. D., Associate Professor Department of Software for Computers and Automated Systems Gagarin Saratov State Technical University
Anna A. Churikova -
Postgraduate
Department of Software for Computers
and Automated Systems
Gagarin Saratov State Technical University
/типа в редакцию 23.03.12, принята к опубликованию 20.02.13
