CC BY
90
А.И. Сайкин, А.А. Чурикова
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК РАЗОМКНУТОЙ НЕЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ СЕТИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Предлагается метод расчета характеристик неэкспоненциальной сети систем массового обслуживания, который не требует громоздких вычислений и легко распространяется на сетевые модели.
Характеристики узла сети, моделирование корректирующего потока в источнике, характеристики сети систем массового обслуживания
A.I. Saikin, A.A. Churikova
APPROXIMATE METHOD OF CALCULATING OF CHARACTERISTICS OF OPEN NONEXPONENTIAL NETWORK OF QUEUING SYSTEMS
We introduce the method of calculating of characteristics of nonexponential network of queuing systems that do not require lengthy calculations, and can easily be extended to the network models.
Characteristics of network node, modeling of correcting current in source, characteristics of network of queuing systems
Во многих приложениях широко используются в качестве математической модели сети систем массового обслуживания (СМО) с очередью и ожиданием. Если время обслуживания во всех узлах сети распределено по экспоненциальному закону, а входной поток простейший, то для сети справедлива теорема Джексона [1], которая позволяет в этом случае «развалить» такую сеть на отдельные СМО, и тогда характеристики сетевой модели легко рассчитываются известными методами. Если время обслуживания распределено по произвольному закону или входной поток не является простейшим, то теорема Джексона не применима и точных методов расчета характеристик таких сетей СМО пока не найдено. Для общих случаев с произвольно распределенным временем следования заявок во входном потоке (потоки Пальма) и произвольно распределенным временем обслуживания могут
188
применяться только приближенные методы расчета характеристик: метод псевдосостояний [2], диффузионная аппроксимация [3]. Но использование полумарковских моделей требует аппроксимации неизвестных распределений распределениями Пуассоновского типа. Хотя сама аппроксимация достаточно простая, но число псевдосостояний при такой аппроксимации возрастает настолько, что вычисления становятся очень громоздкими. По этой причине на практике такой подход используется очень редко. В связи с этим на практике для неэкспоненциальной сети все-таки применяют теорему Джексона, предполагая, что во всей сети действуют простейшие потоки заявок, что позволяет применять формулу Поллачека-Хинчина для нахождения характеристик отдельных узлов сети.
В данной работе рассматривается приближенный метод расчета характеристик сети, который отличается от прочих своей простотой и меньшей погрешностью результатов. Идея метода состоит в том, что в однородный поток заявок, поступающих в сеть из источника, вводится дополнительный поток заявок, который делает входной поток неоднородным, т.е. в этом потоке присутствуют заявки первого, заданного, типа и второго, дополнительно-введенного, типа. Интенсивность дополнительного потока заявок и время обслуживания заявок второго типа в узлах сети выбирается таким образом, что входной поток заявок обобщенного типа становится простейшим, а время обслуживания заявок обобщенного типа в каждом узле сети становится экспоненциальным с плотностью f (1)
f о) = т*ехр(-т), (1)
где: /I- интенсивность обслуживания в СМО: ц = 1/1 t - среднее время обслуживания в
СМО.
В этом случае модель становится экспоненциальной, и можно легко найти характеристики такой неоднородной сетевой модели по заявкам обобщенного типа, которые в последствии пересчитываются в характеристики сети по заявкам заданного типа, т.е. заявкам типа 1.
Рис.1. Модель некоторой разомкнутой сети СМО.
1. Расчет характеристик отдельной неэкспоненциальной СМО сети
Рассмотрим некоторую СМО с простейшим входным потоком и с неэкспоненциальным распределением времени обслуживания заявок, причем интенсивность поступления заявок 1. При этом полагаем, что распределение времени обслуживания заявок в достаточной мере описано двумя моментами: математическим ожиданием Ї, и дисперсией Д. В расчетных формулах будем использовать коэффициент вариации, который является безразмерной величиной:
V =л/аЛ ч/,т -<г/(3)
189
где Л/2] - второй начальный момент распределения времени обслуживания заявок
исходного типа, причем У1 может изменяться в пределах от 0 до 5.
Введем дополнительный тип 2 заявок, которые будут обслуживаться в этой СМО наряду с заданным типом 1. Пусть на вход СМО поступают заявки первого и второго типов с интенсивностями 1 и Л2 соответственно. Второй начальный момент Л0[2] распределения времени обслуживания заявок обобщенного типа определяется в этом случае:
Л[2] = А/[2] + ^2[2], (4)
где Л2[2] - второй начальный момент распределения времени обслуживания заявок типа 2, р1, р2 - вероятности того, что на обслуживание поступила заявка типа 1 или типа 2 соответственно:
Р1 = Л/(Л + 12), (5)
Р2 =1/(11 +1). (6)
Выразим второй момент через коэффициент вариации:
/,|2] = 1т(У2 +1). (7)
Потребуем, чтобы коэффициент вариации обобщенного распределения У0 был
равен 1:
V=,/Лртг10гАо=1. (8)
где 10 - среднее время обслуживания заявок обобщенного типа:
10 = М + Р2t2, (9)
12 - среднее время обслуживания заявок типа 2.
При этом необходимо выполнение условия
Ро = р1 +р2 < ^ (10)
где р0, р1, р2 - коэффициенты загрузки СМО заявками обобщенного типа, типа 1, типа 2
соответственно, причем, очевидно, должно выполняться
Р =1111 < 1, (11)
Р2 =^212 < 1. (12)
Из уравнения (8) с учетом (4) и (7) получаем соотношение:
210 = р1112(1 + ^12) + р2^2(1 + У2 ) , (13)
где У2 - коэффициент вариации времени обслуживания заявок типа 2,
V =4 Л21-Г;/й. (14)
Но с другой стороны, при предположении, что входной поток простейший, для определения средней длины очереди справедлива формула Поллачека-Хинчина:
I = р2(1 + У2)/(2(1 -р)), (15)
где р - коэффициент загрузки СМО,
У -коэффициент вариации времени обслуживания заявок.
Т.к. У2 из (14) является свободной переменной, то потребуем, чтобы при выборе У2 выполнялось равенство:
Р12(1 + У12)/(2(1 -Р1)) = Р1 (Р1 +р2 )7(1 -р1 -р2). (16)
С левой стороны равенства (16) стоит длина очереди, получаемая по формуле Поллачека-Хинчина для простейшего входного потока и неэкспоненциального распределения времени обслуживания заявок, а с правой стороны - длина очереди заявок типа 1, полученная при переходе от длины очереди для экспоненциального распределения с обобщенными заявками к длине очереди заявок заданного типа.
Таким образом, для определения параметров корректирующего потока нужно решить систему (10), (13), (16). Но при разных параметрах данная система не всегда имеет допустимые решения. Если У2 < 0, то в этом случае полагаем, что У2 = 0. Исходя из очевидных посылок, потребуем, чтобы 12 и 12 были минимальными, поскольку минимум 12 и 12 обеспечивает минимум погрешности метода, а значения У2 не выходили бы из интервала 0-5. Поиск минимальных значений 12 и 12 произведем с помощью ЭВМ с достаточно малым шагом: для 12 величина шага выбиралась 0.01*1 и для 12 с шагом 0.00001* !1, при этом каждый раз проверялось условие (10).
Однако и в этом случае система (10), (13), (16) может не иметь допустимого решения. В этом случае ищем те значения 12 и 12, при которых разница между левой и правой частью уравнения (16) будет минимальной.
Данный метод приводит к лучшим результатам по сравнению с экспоненциальной моделью, в которой предполагается, что входной поток простейший и время обслуживания заявок распределено по экспоненциальному закону. Теперь нам осталось рассмотреть формирование дополнительного потока в источнике заявок.
2. Формирование дополнительного потока в источнике заявок.
Рассмотрим СМО с непростейшим входным потоком и произвольно распределенным временем обслуживания заявок. В этом случае необходимо подобрать таким образом корректирующий поток заявок из источника интенсивности 12, чтобы поток заявок обобщенного типа, поступающий из источника, стал простейшим. При этом снова из очевидных предпосылок потребуем, чтобы 12 было минимальным, а коэффициент вариации распределения времени поступления заявок Ув 2 выбирается не превосходящим 5. Поскольку достаточно точных методов для нахождения коэффициента вариации результирующего потока нет, мы воспользовались программой имитационного моделирования, складывающей два потока. В проведенном нами машинном эксперименте объем выборки полагаем равным 35000. При этом коэффициент вариации обобщенного потока максимально приближался к 1,
и из множества решений выбиралось то, при котором интенсивность 12 была минимальной.
В результате, например, при интенсивности источника, равной 1, и коэффициенте вариации исходного потока, поступающего из источника, равного 0.9, интенсивность корректирующего потока по данным моделирования равнялась 0.01, а коэффициент вариации корректирующего потока равен 0.7, при этом коэффициент вариации обобщенного потока, поступающего из источника, равнялся 0.997.
Таким образом, если интенсивность корректирующего потока 12 не меньше
найденного значения Х2, то в этом случае поток обобщенных заявок из источника можно положить простейшим. И в этом случае мы можем вернуться к уже рассмотренному пункту 1.
Полученные результаты сравнивались с результатами статистического имитационного моделирования СМО, которые полагались истинными, причем при моделировании СМО число экспериментов выбиралось 1000000.
Результаты для коэффициента вариации входного потока 1.5 наглядно изображены на рис. 2, из которого видно, что результаты модели Поллачека-Хинчина и предложенного метода почти совпадают и сильно отличаются от результатов экспоненциальной модели, относительная погрешность (под относительной погрешностью понимаем отношение абсолютной погрешности к точному значению, домноженное на 100) которой возрастает при увеличении коэффициента вариации времени обслуживания заявок.
а) ГГ
м етод
. . . . . модель Поллaчекa-Xинчинa — — — экспоненциaпьнaя модель
б)
метод
модель Поллaчекa-Xинчинa ■ экспоненциaпьнaя модель
в)
метод
модель Поллaчекa-Xинчинa ■ экспоненциaпьнaя модель
100,000 -|Д|
75.000 -
50.000 -
25.000 -
o,ooo
т-----1----1----1----1
0,1 0,5 0,9 1,3 1,7 2,1
Рис. 2. Относительная погрешность длины очереди при применении различных моделей, причем ось Л! - относительная погрешность длины очереди,
V- коэффициент вариации времени обслуживания заявок; а)- для коэффициента загрузки 0.1, б) - для коэффициента загрузки 0.5, в) - для коэффициента загрузки 0.9
Анализ результатов показывает, что использование предлагаемого метода оправдано, т.к. его погрешность существенно меньше погрешности экспоненциальной модели, которая не учитывает дисперсию времени обслуживания и в большей части случаев меньше погрешности модели Поллачека-Хинчина, применяемой к неэкспоненциальной СМО. Рассмотренный метод легко распространяется на неэкспоненциальные сети, как разомкнутые, так и замкнутые.
3. Расчет характеристик разомкнутой неэкспоненциальной сети СМО
Распространение метода на сеть СМО основывается на принятой нами гипотезе, согласно которой, если можно найти параметры дополнительного потока интенсивности 12, которая превращает неэкспоненциальную однородную сеть в экспоненциальную неоднородную сеть, то всегда можно найти параметры дополнительного потока с большей интенсивностью.
Разомкнутая неэкспоненциальная сеть может иметь произвольную конфигурацию, задаваемую матрицей передач Р, размером (N +1)(N + 1) - по количеству СМО плюс источник заявок. Для каждой СМО сети должны быть указаны интенсивность обслуживания I и коэффициент вариации времени обслуживания У}.. Для источника указывается
интенсивность источника Х1и и коэффициент вариации Уи для исходящего из источника
потока заявок. Расчет характеристик включает в себя несколько этапов.
Сначала проверяется существование в разомкнутой сети СМО стационарного режима. Для этого решалась система относительно интенсивностей потоков заявок , действующих
в сети:
1 і = Е Pi ,(І = 1,..., N),
(18)
V
2=1
где p- - вероятность перехода из i -й СМО в ' -ю СМО, при этом интенсивности потоков
заявок предполагались связанными с интенсивностью источника через коэффициенты передач aj :
11 =а1и • (19)
где:
а =1 -/ 1.
Вычисляются все коэффициенты загрузок СМО сети p і заявками заданного типа:
Pi =1ilm- ,(i = 1. ., N). (20)
Если все р- оказывались меньше 1, то в сети устанавливается стационарный режим и
можно найти ее характеристики. В противном случае стационарный режим не существует. Предполагаем, что стационарный режим существует. Сначала определяются параметры корректирующего потока, генерируемого источником в соответствии с пунктом 2. Далее для каждой СМО сети решается система (10), (13), (16), из которой находятся минимальные значения t2- и 1 - для корректирующего потока, при которых коэффициент вариации
времени обслуживания обобщенных заявок становился равным l. При этом предполагается, что матрица передач для заявок корректирующего типа совпадала с матрицей передач для заявок типа l. Найденные минимальные значения 12- корректирующих потоков приводятся к источнику, получаем:
1г(і)=І2і/а ,(і -1,. ., n). (2і)
После этого выбирается максимальное по множеству і значение , включая и интенсивность корректирующего потока из источника, найденного на первом этапе. Это гарантирует нам, что в каждый узел сети поступал корректирующий поток заявок с интенсивностью, не меньшей минимального необходимого значения, найденного на втором этапе, и что значения коэффициентов вариации для каждой СМО сети и источника по заявкам обобщенного типа равно 1 при соответствующем подборе t2 - и V2 - для каждой СМО
сети. Это позволило считать разомкнутую неоднородную сеть экспоненциальной по заявкам обобщенного типа.
Выбирая Л™” , рассчитывались интенсивности корректирующего потока для каждого узла сети:
12 - =аД“0' = 1,..., N). (22)
Для найденных 12 - пересчитывались параметры корректирующих потоков для
каждой СМО сети, решая системы (10), (13), (16). Затем по известным комбинаторным методам [3] от параметров каждой СМО сети с обобщенными заявками переходили к параметрам СМО с исходными заявками:
l"i і = L: 1-1(1, +12 і ),(і = 1,..., N), (23)
где l1 і - длина очереди к СМО сети из заявок заданного типа 1,
L'- - длина очереди к СМО для экспоненциальной модели с обобщенным типом заявок. По характеристикам каждой СМО сети можно рассчитать характеристики сети в
целом.
Например, средняя длина очереди в сети:
_ N
L = El- ,(i = 1,..., N), (24)
i=1
где l і длина очереди к СМО;
среднее число заявок:
M = Е m-,(і = 1,..., N),
(25)
где т}- - среднее число заявок в СМО.
Полученные результаты для каждой СМО наглядно изображены на рис. 3.
метод
модель Поллачека-Хинчина экспоненциальная модель
метод
модель Поллачека-Хинчина экспоненциальная модель
метод
модель Поллачека-Хинчина экспоненциальная модель
Рис.3. Относительная погрешность длины очереди к каждой СМО сети при различных параметрах узлов сети, причем Д1-относительная погрешность, а СМО - номер конкретной СМО.
Таким образом, видим, что применение экспоненциальной модели не оправдано в тех случаях, когда имеется возможность учесть коэффициент вариации времени обслуживания. Рассмотренный метод для разомкнутых неэкспоненциальных сетей имеет практически ту же погрешность, что и метод Поллачека-Хинчина. Но рассмотренный метод, в отличие от метода Поллачека-Хинчина, можно распространить на замкнутые модели, а метод Поллачека-Хинчина на замкнутые модели, имеющие большое прикладное значение, распространить невозможно. При этом приведенный метод несколько точнее метода Поллачка-Хинчина, что так же видно на рис. 3.
ЛИТЕРАТУРА
2=1
б
а
в
1. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложения. М.: Мир, 1965. с. 302.
2. Венцель Е.С. Исследование операций. М.: Советское радио, 1972. с. 552.
3. Кругликов В.К., Тарасов В.Н. Анализ и расчет сетей массового обслуживания с использованием двумерной диффузионной аппроксимации // Автоматика и телемеханика. №8. М.: АН СССР, 1983. с. 74-83.
Сайкин Александр Иванович -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета
Saikin Alexander Ivanovich -
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department “Software of Computers and Automated Systems”, Saratov State Technical University
Чурикова Анна Александровна -
аспирант кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета
Churikova Anna Aleksandrovna -
Post-graduate Student of the Department “Software of Computers and Automated Systems”, Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 25.02.2011, принята к опубликованию 20.07.2011
