Организация интерактивной системы вероятностного моделирования стохастических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.3+ 004.421

ОРГАНИЗАЦИЯ ИНТЕРАКТИВНОЙ СИСТЕМЫ ВЕРОЯТНОСТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

© 2003 В.Н. Тарасов, Н.Ф. Бахарева

Оренбургский государственный университет

Излагается методика расчета характеристик стохастических сетей на основе новых диффузионных моделей массового обслуживания. Рассмотрены системы массового обслуживания с бесконечной очередью, с конечной очередью и потерями, с переменными параметрами поступления и обслуживания заявок. Излагается алгоритм функционирования разработанной интерактивной системы вероятностного моделирования стохастических систем.

Для расчета характеристик систем массового обслуживания (СМО) в предположении, что времена между заявками во входном потоке и обслуживания распределены по произвольному закону, не существует точных методов. Использование же традиционных методов, основанных на пуассоновских входных потоках и экспоненциальности времени обслуживания не всегда оправдано. Существующие аппроксимационные методы, использующие два первых момента распределений входного потока и времени обслуживания имеют большую погрешность в случае отклонения коэффициентов вариаций этих распределений от единицы.

Для расчета характеристик сетевых моделей систем сеть декомпозируется на отдельные узлы (рис.1).

В этой статье излагается новый метод

декомпозиции разомкнутых сетевых моделей стохастических систем на отдельные узлы на уровне двух моментов распределений параметров потоков. С целью определения параметров выходного потока, а также основных характеристик отдельного узла вводится двумерная диффузионная аппроксимация процессов функционирования узла. Указанная методика также обобщается на сетевые модели с неоднородными потоками заявок.

Для определения среднего значения и дисперсии распределения времени между соседними заявками на входе и выходе каждого узла сети необходимо выразить среднее и дисперсию времени в выходном потоке отдельного узла через параметры входного потока и времени обслуживания. Для решения этой задачи выведены точные формулы:

твых =т/л+ ротХ ’

Вход в сеть извне

Выход из сети

Рис.1. Структура 1-й СМО сети (А - узел композиции, В - узел декомпозиции)

Ввых = В^ + р0ВХ + р0( р0)х')’ (2)

где Твых, , Dвых, Dд - соответственно сред-

ние и дисперсии времени между заявками выходного потока и времени обслуживания,

Т, В^ - среднее и дисперсия остаточного

времени (времени простоя узла), а р0 - вероятность того, что обслуженная заявка оставляет узел пустым. Для системы без потерь средние времена между заявками в выходном и входном потоках совпадают. Уравнения (2) решаются совместно со следующими уравнениями преобразования дисперсии времени между заявками:

В1

2/ Х1) В2 (3)

- для суммы двух независимых потоков с интенсивностями Я1, Л2 и дисперсиями D1, D2 (узел композиции потоков) и

1

Вр = — р

/

В +

1 - р 2

(4)

V ^ ;

-для потока с интенсивностью Х и дисперсией времени между заявками D , в котором заявки с вероятностью p уходят из потока (узел декомпозиции потоков). Из уравнений (2)-(4) следуют основные уравнения декомпозиции сети, так называемые уравнения баланса для средних и дисперсий времени между заявками на входе и выходе ьго узла сети 0=1,...,п)

Х.

г

-1 п

т . + I р ..Х . - .=1 . .

ог

(5)

В

1 3

Т

0г

вх.г

п

+ I . =1

Хг V у р Х 3 рРХ1

Х

V У

В р. ■ +

0г

1-р

р>гХ)

(6)

где Т0г и Вог - среднее и дисперсия времени

между заявками в потоке, идущем от внешнего источника на вход ьго узла, Хг -интенсивность потока на входе и выходе i - го узла, Ввхг, Ввыхг - дисперсии времени между заявками во входном и выходном потоках i - го

узла, р- вероятность передачи заявки от _]-

го узла к ьму, а п - количество узлов в сети. Для решения системы (6) совместно с (5) и (2) предложена итерационная процедура, где в качестве первого приближения в уравнении (2) используется

замена р0 = ро,ТХ=Тх, Вх= Вх. Здесь

р0 = 1 - р - вероятность простоя узла, ТХ и

Вх - среднее и дисперсия времени между

заявками во входном потоке. Это приближение в случае экспоненциальной сети не вносит погрешности, а уравнения (6) становятся линейными относительно искомых дисперсий. На последующих этапах значения дисперсий входных и выходных потоков уточняются с использованием уравнений (2) и (6), одновременно вычисляются основные характеристики отдельных узлов и всей сети в целом.

При приближенном расчете замкнутых сетевых моделей систем в выражениях (5) и (б) первые слагаемые исчезают. В этом случае в итерационной процедуре значения интенсивностей Хг подбираются так, чтобы с заданной точностью е выполнялось условие п

I N = N , где через N. обозначено сред-

г=1

нее количество заявок в ьм узле, а N - коли -чество заявок, постоянно циркулирующих в замкнутой сети.

Для определения параметров

р0 ,ТХ, В'х , входящих в формулы (I) и (2), а

также основных характеристик узла, процесс его функционирования на периоде занятости аппроксимируется двумерным диффузионным процессом (х х2). Процесс х:(1;) аппроксимирует число заявок N^1), поступивших в

1

узел к моменту времени 1, а х2(1;) - число заявок К2(1), покинувших узел к тому же времени. Текущее значение N числа заявок в узле

определяется разностью N = [х1 ]— [л^ ], где

[х]- целая часть от х (рис.2а, траектория 1).

Потребуем, чтобы компоненты двумерного процесса (х1, х2) в моменты времени первого прохождения целочисленного уровня (моменты поступления и ухода заявок) имели средние значения и дисперсии, совпадающие со средними и дисперсиями компонент дискретного процесса (^, N3). Тогда

коэффициенты сноса а. = т- и диффузии

т-> —3

в1 = и Т х процесса х. можно выразить через средние значения Тх и дисперсии Б. интервалов времени между скачками дискретного процесса N(1=1,2). В области Б, определенной условием N > 0 и приведенной на рисунке 2а, плотность распределения ю(, х1, х2) векторного диффузионного процесса удовлетворяет уравнению Колмогорова

дю 2 — = I дг х=1

ь±

2 дх2

а

1

дю

дх. г

(7)

Так как период занятости начинается с уровня х1=1, то начальным условием для (7)

будет ю(0, х1, х2) = 8 (х1 -1)5 (х2). Рассматривая функционирование узла на периоде занятости, добавим к уравнению (7) граничное

условие поглощения ю|Г1 = 0. Граница Г1,

определенная условием [N ]= 0, имеет ступенчатый характер, а попадание ординаты процесса на границу физически означает завершение периода занятости. Вследствие сложного характера границы, решение уравнения (7) будем искать в виде совокупности решений в подобластях

Бк =( < к +1, х2 < к) (к = 1,2,...) и “сшивая” их на границах х1 = к, (к = 2,3,...). Введем обозначения ¥к (у )для распределения ординаты процесса х1 в момент достижения

Рис.2. Аппроксимация СМО 0!/О/1/т с потерями, а также с переменными параметрами двумерным диффузионным процессом (х1, х2) (а) и выделенная область й'к (б) (индекс к определяет уровень по оси х1,

а I - по х2). Траектория 1 - для СМО GI / G /1/ ^ при m , траектория 2 - для СМО с потерями, траектория 3 - для СМО с переменными параметрами

уровня х2=к (границы Г ) и (рк (у2 ) для распределения ординаты процесса х2 в момент прохождения процессом (х1, х2) уровня х1=к+1 (границы области Бк). Эти распределения позволяют определить все основные характеристики функционирования отдельного узла. Указанные распределения можно представить через решение уравнения (7), т. е.

плотность распределения Юk (, х^, X2 ) Для этого в статье с использованием аппарата теории функций Грина Q (г, x , x | k, у )

k 12 2

получены рекуррентные формулы:

ю (г, x , x ) = k 1 2

= 1 Ф (У 2 (і, x , x I k, у' , (8)

0 к -12 к 12 2 Vу ’

Ф, (У ) = 1 9 (У )Q (У У' )'

к 2 0 к -1 2 ф 2 2 2

(Ф (У ) = Q (У 1 0)), (9)

12 ф 2

1

а а

, - 12,

22 (У 1 У 2 ) = —^=' ехР[— +-(У2 - У2 + 1)] х

9 2 п Ь Ь Ь Ь

‘ 1 2 12

х [

—К (2 в У) -

в 1 V 1 1

К (2 )];

в 1 V 2 2

в 1 (у2- у2+1)2

в =—+——2— 1 2Ь1 2Ь2

! (У' + У + 1)

в =--------+ —-------2------

2 2Ь 2Ь

2

1

а

а

Г

1

2

+

2Ь 2Ь

12

2

У є [0, ~); 2

^(•) - функция Макдональда;

¥ (У ) =1 Ф (У )2 (У , У' )Ф'

к 1 0 к -1 2 у 12 2

(¥ (У ) = 2 (У I 0)), (10)

11 ¥ 1

1 + у'

2 (у I у2 ): ¥ 1 2

х [

вКі(2в~г)

3

п \Ь Ь Ь

12 1

У

12 ' ехр[—(1 - у1) + —(1 + у2)] х

к (2 в 'У)];

в 1 V 4

4

22 (1 - у )2 (1 + у' )2

12 в3 =-+-

2Ь

2Ь

1

2

22 (1 + У )2 (1 + у' )2

12

в4 =-+------------

2Ь

2Ь

1

2

У є [0, ~).

2

Если ту и - среднее и дисперсия

распределения ¥(У1 )=ХУк (Ух), то иско-

к=1

мые параметры двумерного диффузионного приближения р'0,Т'Х,Вх, входящие в уравнение (2) и формулы для основных характеристик узла, можно выразить через эти величины ту , Ву и известные параметры входного потока: среднее Тх и дисперсию Вд времени между заявками. Решение этой задачи связано с использованием функции плотности времени первого достижения марковским

процессом заданного уровня g(і | У^. Окончательные формулы имеют следующий вид:

“ (11)

ТХ=Х т¥>

2

ВХ ВХт¥+ТХВ¥

(12)

для среднего и дисперсии времени простоя

2

2

2

узла и

М

рО = 1/ I кРк к=1

Рк

У1

(13)

: і Д” '

т=1

(14)

тОб

т ці

= I

т=1

Ґ

\

V

об М

= I

№ т=1

(15)

/ о

- для среднего и дисперсии времени обслуживания;

до:6 =М я0т)

Оі

М

т=1

(16)

I р^Дт/р (17)

- для вероятности того, что обслуженная заявка оставляет узел пустым. Подставив последние формулы в (1) и (2) получим окончательные формулы для определения параметров выходного потока.

В случае сетевых моделей с неоднородными потоками, в которых заявки различаются маршрутами и законами поступления и обслуживания, параметры потоков различных классов (ш=1,...,М) усредняются с целью приведения неоднородного потока к однородному. Эти параметры будут описывать, так называемую, обобщенную заявку. При этом соблюдается условие, чтобы однородный поток создавал такую же нагрузку в каждом узле сети, что и неоднородный поток. Для определения параметров потоков обобщенных заявок получены следующие формулы:

- для интенсивности поступления потока обобщенных заявок на вход 1 - го узла (1=1,...п);

Ро6 ^ г ......

Рр т=\» р р

- для значений обобщенной матрицы вероятностей передач.

Итерационная процедура расчета сети с неоднородными потоками будет такая же, что и для однородного потока с приведенными параметрами, т.е. заключается в решении уравнений (5) и (6) совместно с (2). Используя полученные характеристики для отдельного узла сети определяются характеристики сети для каждого типа заявок, аналогично сетям с однородными потоками.

Далее рассмотрим модели систем с ограниченной емкостью накопителя и с потерями (рис.2а траектория 2), а также с переменными параметрами законов поступления и обслуживания заявок (рис.2а траектория 3). Такие модели отражают процесс прохождения задач в отдельной ЭВМ и в более сложных комплексах - сетях передачи данных, имеющих буферные накопители ограниченной емкости. Последняя модель также отражает работу саморегулирующихся динамических систем.

Для определения характеристик моделей систем, содержащих узлы с потерями и ограничениями на длину очереди, сеть также декомпозируется на отдельные узлы на уровне двух моментов. При этом уравнения баланса (5) и (6) модифицируются: учитываются потоки отказов, идущие от узлов с потерями к

другим узлам. Вводится матрица = {г }

вероятностей передач заявок потоков отказов от і-го узла на вход _]-го (у=1,... ,п), а в системы (5) и (6) добавляются соответствующие слагаемые, учитывающие потоки отказов. Тогда уравнения баланса примут вид:

_1 п п

Дівх = тОі + 1 РііДі

С) ПТ

- для интенсивности и дисперсии потока от внешнего источника;

Пвх =

Оі

ч/

=! І'вьіх + 3= д]іД]отк (18)

\3

івх

Пог +

п

+ I

і=1

V /

ҐД- Р--

рвых р

3

Д

вх

Ріі

рвых

+

1 _ Р, г

д2

+

1

п

+ I

і=1

ротк

Д

гвх

Чг

іг

Протк + Д2

2'отк др

, (19)

Для определения среднего То

и

дисперсии Птотк времени между заявками в потоке отказов получены формулы:

тотк = твхтвых 1(вых _ твх' (20)

где Твх, и Твых - средние времена между

последующими заявками во входном и выходном потоках, и

Птотк = Пыотктотк / Тц

(21)

где Тц - среднее время цикла занятости, Пыотк - дисперсия числа потерянных заявок на цикле занятости. Численное определение П

выполняется аналогично

вычислению распределения (рк(У2): вычисляются условные распределения числа и квадрата числа потерянных заявок.

Основные характеристики для узла с потерями определяются с учетом того, что уравнение Колмогорова решается в области Б, определенной двухсторонними условиями N > 0 и N < т , т - максимально допустимое число заявок в узле (рис .2а траектория 2). Граничные условия для уравнения (7) физически эквивалентны условиям поглощения на границе Г1,

г = 0 и отражения на границе Г2 где

0.

В задаче анализа систем с переменными параметрами законов поступления и обслуживания, зависящими от состояния система (длины очереди к ресурсу),

вышеуказанные распределения /к (У1) и Фк (У 2) определяются отдельно для каждой из подобластей Пк(к = 1,...,т;/ = 1,2,...) .

Области 01к физически соответствует период функционирования узла, на котором

в узле находится ровно к заявок (индекс к определяет уровень по оси х1, 1 - уровень по х2). Этот период характеризуется своими интенсивностями поступления и обслуживания заявок, а также дисперсиями этих времен, зависящими от состояния системы. Такой подход означает решение уравнения Колмогорова с переменными коэффициентами сноса и диффузии, зависящими от длины очереди в узле (рис.2б).

Приведены результаты машинных экспериментов по оценке точности метода двумерного диффузионного приближения. Точность методов исследована для диапазонов изменения коэффициента загрузки от 0,1 до 0,9 и коэффициентов вариаций распределений длин интервалов между заявками во входом потоке и времени обслуживания от 0 до 5.Значения среднего числа заявок в узле сравнивались с результатами имитационного моделирования.

В качестве одного из параметров моделирования задавалось количество циклов занятости, которое в зависимости от загрузки изменялось от 1000 до 20000. Для отдельных узлов сети результаты двумерного диффузионного приближения совпадают с результатами имитационного моделирования в пределах 2-5% и в некоторых крайних случаях отклоняются до 10%. При расчете сетевых моделей добавляются ошибки декомпозиции, поэтому погрешность получалась несколько выше - до 15%.

Эмпирические распределения и гистограммы реальных потоков, полученные в результате измерений вычислительной нагрузки и потоков, циркулирующих в системе, также свидетельствуют об отличии потоков от пуассоновских, в особенности в системах с коммутацией пакетов, в которых в режиме насыщения доминируют регулярные потоки. Исследованиями установлена нестационарность характеристик информационных потоков и неприемлемость аппроксимации гистограмм и эмпирических распределений эк-

3

1

г

споненциальным распределением. На основные показатели производительности систем, таких как, время задержки сообщения, вероятность переполнения буферной памяти, время занятости канала и других существенное влияние оказывает вид распределения времени между соседними заявками во входном потоке и времени обслуживания. Эти факты отражены на рис.3.

Эксперимент также подтвердил, что моменты более высокого порядка на характеристики системы оказывают несущественное влияние. Сказанное подтверждает правомерность использования методов двумерной диффузионной аппроксимации как методов двухмоментной аппроксимации для анализа сетевых моделей сложных систем управления.

Ниже кратко описан алгоритм разработанной авторами системы моделирования.

Алгоритм функционирования интерактивной системы вероятностного моделирования стохастических систем.

а) С = 1

Рис.3. Зависимость времени задержки в у X входного трафика (время с а) - от коэффициента вариации входного потока; б)

1. Задание конфигурации (топологии) сетевой модели системы, определяемой матрицей вероятностей передач Р=(Рц}(1,]=0,1,...,п).

2.Задание параметров входного потока заявок Х0 с0 и параметров обслуживающих приборов д., сд. (1=1,.,п).

3. Указание типа сетевой модели (однородная, неоднородная).

4.Указание типов обслуживающих приборов по емкости накопителей (с неограниченной очередью, с ограниченной очередью и отказами, с ограниченной очередью и переменными параметрами поступления и обслуживания).

5. Задание массивов варьируемых параметров системы (для входного потока требований и параметров в обслуживающих устройствах).

6. Расчет внутренних характеристик сложной системы путем ее декомпозиции на отдельные подсистемы.

7. Запуск итеративной процедуры калибровки модели заданной конфигурации

б) Сх = 1

е при различных значениях интенсивности

:луживания нормированное):

от коэффициента вариации времени обслуживания

(переход к пункту 2 в случае необходимости или к пункту 8).

8. Окончание процесса моделирования.

Здесь использованы следующие обозначения: Р. - элементы стохастической ч

матрицы вероятностей передач; Х0 - интенсивность входного потока заявок (ед/ с); с0 - коэффициент вариации распределения времени во входном потоке; д. - интенсивность обслуживания (ед/с) в 1-ом узле сетевой модели; сд. - коэффициент вариации распределения времени обслуживания в 1-ом узле сетевой модели.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тарасов В.Н. Вероятностное компью-

терное моделирование сложных систем. Самара: СНЦ РАН, 2002.

2. Тарасов В.Н., Бахарева Н.Ф. Проблема совершенствования методов моделирования сложных систем//Вестник ОГУ 2002. №5.

3. Кругликов В.К., Тарасов В.Н. Анализ и расчет сетей массового обслуживания методом двумерной диффузионной аппроксимации//Известия АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1983. №8.

4. Кругликов В.К., Тарасов В.Н. Приближенный метод декомпозиции разомкнутой стохастической сети//Известия АН СССР Техническая кибернетика. 1983. №6.

THE OUTWORK OF INTERACTIVE SYSTEM FOR STOCHASTIC SYSTEMS PROBABILITY MODELING

© 2003 V.N. Tarasov, N.F. Bakhareva

Orenburg State University

In the paper the methodic is given for calculation of stochastic networks characteristics on the base of new diffusion models for the massive service. The massive service systems are looked over with the unlimited queue, limited queue and losses, with the variable parameters of input and service over the claims. The algorithm is given of the created interactive system for the probability modelling of the stochastic systems.