Оценка эквивалентного коэффициента теплопроводности при переносе излучения в шаровой полости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.2

Оценка эквивалентного коэффициента теплопроводности при переносе излучения в шаровой полости

© В.С. Зарубин

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

При наличии пор в твердых телах возникает необходимость учитывать перенос тепловой энергии в порах излучением при определении эффективного коэффициента теплопроводности таких тел. В работе построена математическая модель, описывающая теплообмен излучением в шаровой полости, форму которой можно рассматривать как среднюю статистическую по отношению к формам замкнутых пор в твердых телах. Построенная модель позволяет определить эквивалентный коэффициент теплопроводности условной сплошной среды, заполняющей пору, что дает возможность рассматривать материал с пористой структурой как сплошное неоднородное твердое тело. Выполнен анализ адекватности этой модели и получены оценки возможной погрешности при вычислении эквивалентного коэффициента теплопроводности. Проведено сравнение расчетной зависимости для этого коэффициента с аналогичными по структуре формулами, полученными на основе различных подходов к учету переноса тепловой энергии в порах путем излучения.

Ключевые слова: шаровая полость, математическая модель переноса излучения, эквивалентный коэффициент теплопроводности.

Введение. При определении эффективного коэффициента теплопроводности твердых тел с пористой структурой возникает необходимость учитывать перенос в порах тепловой энергии излучением. Пористая структура в конструкционных поликристаллических материалах может возникнуть на стадии их затвердевания из расплава (в частности при разливке металла на машинах непрерывного литья заготовок), при термомеханической обработке или в процессе деформирования. Технологические процессы получения композиционного материала и режимы его деформирования также допускают возможность образования пор. Пористую структуру имеют многие строительные и теплоизоляционные материалы.

Существуют различные подходы к построению математических моделей процесса переноса тепловой энергии излучением через замкнутые поры в твердых телах. При этом пору обычно условно заменяют включением, материал которого имеет некоторый эквивалентный коэффициент теплопроводности 1д, определяемый с использованием той или иной математической модели. В известных работах [1-4], посвященных определению величины 1д, рассмотрены замкнутые поры

различных форм, среди которых в качестве средней статистической можно принять форму шаровой полости. Среду в шаровой полости будем считать диатермичной, т. е. не поглощающей и не рассеивающей излучение. Свойства сферической поверхности этой полости примем соответствующими свойствам диффузно-серой поверхности [5,6] с коэффициентом излучения е.

Перенос теплоты теплопроводностью. Пусть шаровая полость радиусом го находится в неограниченной области, заполненной однородным материалом с коэффициентом теплопроводности 1т. В центре полости поместим начало сферической системы координат г, 0, q, а на большом расстоянии г от центра полости зададим вектор градиента температурного поля в этом материале, имеющий модуль G, направленный вдоль оси, от которой отсчитывается угловая координата 0. Тогда при г ^ ж установившееся осесимметричное (не зависящее от угловой координаты q) распределение температуры Т в этом материале описывает функция Т^ (г, 0) = Т0 + Gr cos 0, где Т0 — температура в плоскости при 0 = я/2. Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферических координатах с учетом осевой симметрии имеет вид

1 д ( 2 дТ \ 1 д ( дТ \ — —г2— + „ . , — sin 0 —

г2 дг\Г дг/ + г2 sin 0 50 VS' д0 / 0 ()

По мере приближения к шаровой полости температурное поле в однородном материале претерпевает возмущение, описываемое удовлетворяющим уравнению (1) дополнительным слагаемым [7] AT (г, 0) = (В/г2) cos 0, где В — постоянный коэффициент. Таким образом, температурное поле в этом материале, удовлетворяющее заданному условию при г ^ ж и уравнению (1), описывает функция

, D ч

Tm(r, 0) = Т^(г, 0) + AT (г, 0) = То + [Gr + - J cos 0. (2)

При условной замене шаровой полости шаровым включением с искомым коэффициентом теплопроводности осесимметричное установившееся температурное поле в таком включении в силу ограниченности значения температуры в его центре будет иметь вектор градиента с постоянным модулем Gr, также направленный вдоль оси при 0 = 0. При этом распределение температуры во включении, удовлетворяющее уравнению (1), описывается функцией

TR(r, 0) = То + Grг cos 0. (3)

В соотношения (2) и (3) входят два неизвестных коэффициента В и Gr, которые следует найти из условий непрерывности при г = г0 распределения температуры и плотности теплового потока

dTR

дТт

Тт(го, 0) = Tr(Ri, 0) и

Or

= ^R -7Г~ r=ro Or

r=r о

Отсюда с использованием равенств (2) и (3) находим

G +—3 = Gr и G--^ = i— Gr ,

ГО iy>° А

0 10 Хт

или Gr = 3G/(2 + 1Д) и B/ri = G(1 - Хд)/(2 + Хд), где Хд = Хд/Хт. Таким образом, с учетом равенства (3) получаем распределение температуры на сферической поверхности радиусом г0 в виде

Tr(t0, е) = То + GrТо cos е = То + ^^. (4)

2 + 1r

При этом через включение проходит тепловой поток

ж/2

Q = 2жг02Х^ ^

о

31 G

sin е de = жг0 1rGr = жг0 ——. (5)

г=го 2 + 1r

Перенос теплоты излучением. Теперь вернемся к шаровой полости с диатермической средой и найдем тепловой поток, который за-счет теплообмена излучением проходит через эту полость при распределении температуры на ее сферической поверхности, определяемой соотношением (4). Для этого используем понятия плотности потоков падающего д и собственного ед° излучений, где в соответствии с законом Стефана — Больцмана [5,8,9]

4° = ОоТ4к, (6)

а0 = 5,67■ 10-8 Вт/(м2 ■ К4). Падающее на непрозрачную поверхность излучение частично поглощается (Адп) и частично отражается (Ядп), где для поверхности со свойствами серого тела А = е — коэффициент поглощения и Я =1 — А = 1 — е — коэффициент отражения.

Собственное излучение в сумме с отраженным излучением составляет эффективное излучение с плотностью потока

д* = ед° + Ядп. (7)

Количество энергии, теряемое вследствие излучения единицей площади поверхности твердого тела в единицу времени, называют плотностью потока результативного излучения: д = д* — дп, или д = ед° — Адп. Исключая из этих двух равенств дп, получаем

ед° — Ад*

д=

где для непрозрачной поверхности со свойствами серого тела коэффициент отражения излучения Я =1 — А =1 — е.

Рассмотрим на поверхности Б полости две произвольные точки М и N .С элементарной площадки dS(N) в окрестности точки N Е Б

на единичную площадку в окрестности точки М е S попадает поток излучения

dqu(M) = q*(N) dyNM. (8)

Здесь d^NM — элементарный угловой коэффициент [10], равный в соответствии с законом Ламберта [5,9] для распределения диффузного излучения по направлениям, определяемым углом ф^ между конкретным направлением и нормалью к площадке dS (N),

cos фм • cos фм тл d3NM =-У2-dS (N), (9)

где фм — угол между нормалью в точке М и отрезком MN длиной

Imn .

Равенство (7) справедливо для единичных площадок как в окрестности точки N е S, так и в окрестности точки М е S. Тогда в соответствии с формулами (7), (8) и (9) получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода в виде [11]

^ cos ф^ • cos фм Я2

q*(M) - R(M) q*(N) Т* ^ cosvм ^(N) = г(М)?G(M). (^ J

S

Для сферической поверхности S0 радиусом r0 получаем

Imn

cos фм = cos фм = —-.

2го

Поэтому вместо уравнения (10) запишем

q*(M) - / Q*(N) dS(N) = e(M)q°(M). (11)

0 So

Отсюда с учетом равенств (7) и (8) следует

qu(M) = ^ / Q*(n) dS(N) = 4 = const, (12)

0 So

т. е. плотность потока падающего излучения в шаровой полости одинакова для всех точек ее поверхности и равна средней плотности q*v потока эффективного излучения.

Умножая уравнение (11) на dS(М)/(4яг^) и затем интегрируя по сферической поверхности S0, при условии R = 1 — е = const с учетом соотношения (12) получаем

я

= ¿2 / Q°(M) dS(М) = 1/ 9°(0)sin 0 dQ,

0 So 0

или, используя формулы (4) и (6), находим

£ = Sc(To4 + 2T02G|r02 + ^). (13)

5

Поскольку q = eq° — Aqm при условиях А = е и qП = q*, с учетом формул (4) и (13) запишем

Z(0) = ej = (1 + 9R cos e)4 — (i + 2^ + 9-f) , (14)

где gu = grto/Tq ^ 1. Из этого равенства следует, что при

e (1 + 2^ + g4R/5)1/4 i > 0

cos e* =---> о,

9r 9r

т.е. при e* < я/2 величина Z(e) изменяет знак. На рис.1 в полулогарифмических координатах представлена зависимость угла e* от параметра qr. При физически допустимом шкалой абсолютных температур значении gR = 1 имеем cos e* w 0,33748 и e* w 1,22656. Отметим, что при qr = 0,001 угол e* w 1,5703, т.е. отличается от значения я/2 w 1,5708 всего на 0,0005 (около 0,03 %).

1.6-

1,5-

1,4-

1,3-

1,2-

V

\

0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 ёц Рис. 1. Зависимость угла 0* от параметра дв

Таким образом, в общем случае в полуинтервале (0*; я/2] изменения угла 0 на сферической поверхности рассматриваемой шаровой полости возникает несоответствие между подводимым к этой поверхности за счет теплопроводности и отводимым излучением тепловыми потоками, т. е. происходит локальное нарушение закона сохранения энергии. На рис. 2 для различных значений параметра gR приведена зависимость отношения = £(0)/£(0) от угла 0 (в градусах). Там же тонкой сплошной кривой для сравнения представлен график полуволны косинусоиды, определяющей в безразмерном виде распределение плотности подводимого к полости при 0° € [0; 90°) и отводимого от

нее при 8° е (90°; 180°] за счет теплопроводности теплового потока. Ясно, что при qr ^ 0,02 зависимости практически совпадают с косинусоидой, а при qr = 0,05 некоторое отличие этой зависимости от косинусоиды заметно лишь при 8° е [120°; 180°].

1.0

0,6

0,2

?,cos(7t 6^180)

-0,6

-1.0

NV*

Д\ ),5 \\

0^2 щ

0,1

0,05

о,

0,01

0 60 120 9

Рис. 2. Зависимость отношения = Е0)/£(О) от угла 0

С учетом формулы (5) доля тепловой энергии, подводимая путем теплопроводности через участок сферической поверхности при 0 € (0*; я/2), от всей подводимой к полости энергии составит величину

h

2ят|1д

Q

я/2

дЪ

R

дг

sin 8 d8

cos2 8*

r=r 0

Зависимость величины ^ от параметра gR представлена на рис. 3 в логарифмических координатах, причем значению gR = 1 соответствует значение ^ ~ 0,1139, по которому можно определить предельно возможную интегральную погрешность оценки значения при используемой математической модели.

Эквивалентный коэффициент теплопроводности. В реальных ситуациях при сравнительно малых размерах пор в применяемых на практике материалах gR < 0,1 и поэтому интегральная погрешность, оцениваемая значением будет достаточно малой. Приравнивая тепловой поток Q, подводимый к полости путем теплопроводности и определяемый формулой (5), потоку излучения, теряемому с полусфе-

Л

i- -

/

/

/

0,01 0,02 0,05 ОД 0,2 0,5 gf¡ Рис. 3. Зависимость величины h от параметра ди

рической поверхности при 8 е [0; я/2], с учетом соотношения (14) получаем

я/2

Pr20lRGR = 2яг02 j Х(8) sin 8d8 = 2яг02ваoT03Gfír0(2 + g2R), o

или, учитывая равенство Gr = 3G/(2 + Хд),

9

(2 + ХД)2(ХД - b) = 4р<& , (15)

где р = 4eOoT03r0/1m.

Из равенства (15) следует, что Хд > р при р > 0 и gR > 0. Равенство (15) является полным кубическим уравнением относительно искомого значения Хд. Однако при < 1 единственный действительный положительный корень этого уравнения лишь незначительно превышает значение р. На рис. 4 в логарифмических координатах представлены зависимости ДХд = Ir — р от р при различных значениях параметра qr. Наибольшим значениям ДХд соответствуют значения р* w 2, а именно: р* w 2,06800 при gR = 0,5, р* w 2,01119 при gR = 0,2, р* w 2,00281 при gR = 0,1, р* w 2,000703 при gR = 0,05, р* w 2,0001125 при gR = 0,02 и р* w 2,00002812 при gR = 0,01. Характерно, что при этом для наибольших значений справедливо равенство ДХд = р* — 2. Следовательно, даже наибольшие отклонения значения Хд от значения р быстро уменьшаются с уменьшением параметра gR. Для гипотетического значения gR =1 имеем р* = 2,25 и соответственно ДХд = 0,25.

Рис. 4. Зависимости величины АХд от параметра р при различных значениях дд

Таким образом, с достаточно высокой точностью применительно к реальным ситуациям (ди < 0,1) можно положить Хд = р, или

1Д = еОоТЗго. (16)

Формула с такой структурой хорошо известна, но ее вывод в большинстве работ опирается на математическую модель теплообмена излучением между двумя параллельными неограниченными пластинами [1-4], зазор между которыми является лишь довольно грубым приближением к форме замкнутых пор в применяемых в технике материалах. При этом в качестве характерного размера поры обычно используют ее размер в направлении наименьшей протяженности. Для шаровой полости таким размером будет ее диаметр, тогда как в формулу (16) входит радиус г о полости. Кроме того, на месте коэффициента излучения е в рекомендованных расчетных формулах [1,4] стоит приведенный (или эффективный) коэффициент излучения епр = 1/(1/в1 +1 /е2 — 1), где £1 и е2 — коэффициенты излучения поверхностей, между которыми происходит теплообмен излучением. В случае е1 = е2 = £ место е в расчетной формуле, аналогичной соотношению (16), занимает коэффициент епр = е/(2 — е) [2] или равный ему коэффициент епр = е2/(1 — (1 — е)2) [3].

Для полости в виде куба с длиной ребра К получена формула [1]

= 2е1,2о0Т3К, где е1,2 — некоторый приведенный коэффициент излучения в кубической полости, причем верхняя и нижняя грани куба имеют температуры Т1 и Т2 соответственно, а а средняя температура боковых граней Т = (Т1 + Т2)/2 и линейно изменяется по их высоте. При сравнении этой формулы с соотношением (16) следует отметить, что величину 2К можно рассматривать как эквивалент величины 4го.

Однако коэффициент 81,2 не определен и его значение в случае одинакового для всех граней кубической полости коэффициента излучения 8 предложено приближенно принять равным е2.

В работе [1] приведена формула = 4а0 йеГТ3, где й — характерный размер поры, а коэффициент Г учитывает ее форму. Для шаровой полости Г = 2/3, что при с1 = 2г0 приводит к равенству

= (16/3)еа0Т3г0, т.е. числовой коэффициент в этой формуле на треть больше числового коэффициента в соотношении (16). Там же представлена формула для эффективного коэффициента теплопроводности пористого материала, в которой влияние переноса тепловой энергии в порах излучением учтено эмпирически введенным корректирующим множителем, полностью совпадающим с правой частью равенства (16).

Таким образом, отличие соотношения (16) от аналогичных по структуре формул состоит в том, что она получена путем строгого сопоставления математических моделей, описывающих процессы переноса тепловой энергии в шаровой полости путем излучения и теплопроводности. Это обстоятельство дает возможность достоверной количественной оценки эквивалентного коэффициента теплопроводности в рамках допущений, использованных при построении и анализе указанных моделей.

Заключение. На основе строгого сопоставления математических моделей переноса тепловой энергии в шаровой полости, с одной стороны, излучением через диатермичную среду, а с другой — теплопроводностью через условную сплошную среду с искомым коэффициентом теплопроводности получена расчетная зависимость для вычисления значения . Проведен анализ возможной погрешности, возникающей при замене механизма переноса тепловой энергии излучением на механизм теплопроводности. Выявлены отличия этой расчетной зависимости от аналогичных по структуре формул, предложенных на основе различных подходов к учету переноса тепловой энергии в порах путем излучения.

Форму шаровой полости можно рассматривать как среднюю статистическую по отношению к формам замкнутых пор в материале, возникающих при его изготовлении, термообработке или деформировании. Полученная расчетная зависимость для эквивалентного коэффициента теплопроводности позволяет при оценке эффективного коэффициента теплопроводности материала с пористой структурой использовать известные математические модели, построенные применительно к сплошному (непористому) твердому телу [1-4,7,12,13].

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (проект НШ-255.2012.8).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Чудновский А.Ф. Теплофизические характеристики дисперсных материалов. Москва, Физматгиз, 1962, 456 с.

[2] Кингери УД. Введение в керамику. Москва, Стройиздат, 1967, 500 с.

[3] Миснар А. Теплопроводность твердых тел, жидкостей, газов и их композиций. Москва, Мир, 1968, 464 с.

[4] Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Ленинград, Энергия, 1974, 264 с.

[5] Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением. Москва, Мир, 1975, 936 с.

[6] Крейт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи. Москва, Мир, 1983, 512 с.

[7] Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. Москва, Наука, 1964, 488 с.

[8] Спэрроу Э.М., Сесс Р.Д. Теплообмен излучением. Ленинград, Энергия, 1971, 295 с.

[9] Теория тепломассообмена. Леонтьев А.И., ред. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997, 684 с.

[10] Русин С.П., Пелецкий В.Э. Тепловое излучение полостей. Москва, Энергоатом-издат, 1987, 153 с.

[11] Зарубин В.С. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов. Москва, Машиностроение, 1966, 216 с.

[12] Оделевский В.И. Расчет обобщенной проводимости гетерогенных систем. Журнал технической физики, 1951, Т. 21, вып. 6, с. 667-685.

[13] Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Эффективный коэффициент теплопроводности композита с шаровыми включениями. Тепловые процессы в технике, 2012, № 10, с. 470-474.

Статья поступила в редакцию 20.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Зарубин В.С. Оценка эквивалентного коэффициента теплопроводности при переносе излучения в шаровой полости. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 8. URL: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/hidden/887.html

Зарубин Владимир Степанович — д-р техн. наук, проф. кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: zarubin@bmstu.ru