CC BY
7УДК 541.124
В. С. Зарубин, Г. Н. Кувыркин, И. Ю. Савельева
ЭФФЕКТИВНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КОМПОЗИТА ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ ИЗМЕНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОГО СЛОЯ МЕЖДУ ШАРОВЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ И МАТРИЦЕЙ
Построена математическая модель переноса тепловой энергии в композите с включениями шаровой формы (в общем случае в виде полых шаров). Между включением и матрицей предполагается наличие промежуточного слоя, в котором коэффициент теплопроводности изменяется непрерывно между его значениями для включения и матрицы. Получены оценки эффективного коэффициента теплопроводности такого композита, в том числе с применением двойственной формулировки вариационной задачи стационарной теплопроводности в неоднородном твердом теле. Проведенный параметрический анализ позволил установить области применения найденных оценок, которые могут быть использованы для прогноза эффективного коэффициента теплопроводности композитов, в частности, модифицированных наноструктурными элементами
E-mail: zarubin@bmstu.ru, gnk1914@mail.ru, inga_fn2@mail.ru
Ключевые слова: композит, эффективный коэффициент теплопроводности, включение, матрица, промежуточный слой
Реализация возможности модификации композитов наноструктурными элементами (в том числе фуллеренами), имеющими высокие механические характеристики, позволит улучшить макроскопические характеристики композитов в целом как конструкционных материалов. Для теплонапряженных конструкций, испытывающих одновременно как механические, так и тепловые воздействия, помимо информации о механических характеристиках композита необходимо располагать данными и о его теплофизических свойствах (в частности, о коэффициенте теплопроводности). Эффективное значение коэффициента теплопроводности композита, модифицированного наноструктурными элементами, зависит от их объемной концентрации CV, от соотношения между коэффициентами теплопроводности матрицы и применяемых при модификации элементов, а также от условий теплового контакта между этими элементами и матрицей. Эти условия могут быть связаны с возможным химическим взаимодействием включения и матрицы, приводящим к образованию между ними промежуточного слоя, коэффициент теплопроводности которого будет отличаться от коэффициентов теплопроводности как включения, так и матрицы.
В данной работе ограничимся рассмотрением композита, модифицированного элементами в виде полого шара, который можно считать допустимым приближением к геометрической форме фуллерена [1]. Известно [2], что фуллерены при определенных условиях могут взаимодействовать с материалом полимерной матрицы. В этом случае атомы углерода устанавливают химические связи с атомами и молекулами, входящими в состав матрицы, что приводит к образованию промежуточного слоя между фуллереном и матрицей. Такой слой может возникнуть и при модификации композита включениями иной природы.
Математическую модель переноса тепловой энергии в композите построим в предположении, что шаровые включения в общем случае не контактируют между собой, т.е. отделены друг от друга слоем материала матрицы. Композит считаем состоящим из множества составных шаровых частиц с наружным радиусом R2, каждая из которых включает полый шар с наружным радиусом Ri, окруженный промежуточным шаровым слоем толщиной R* — R1, и шарового слоя толщиной R2 — R* из материала матрицы. Примем, что такая составная частица является представительным элементом структуры композита и в тепловом отношении взаимодействует с неограниченным массивом однородного материала, коэффициент теплопроводности А которого подлежит определению как эффективная характеристика композита. Таким образом, модель композита содержит четыре фазы: включение, промежуточный слой, слой матрицы и неограниченный массив однородного материала. При этом отношение Rf/Rl будем считать объемной концентрацией Су включений в композите.
Рассмотрим тепловое взаимодействие отдельно взятой составной частицы и окружающего ее однородного материала, полагая коэффициенты теплопроводности А1 и А2 материалов соответственно полого шара и матрицы заданными, а коэффициент теплопроводности промежуточного слоя непрерывно изменяющимся между значениями А1 и А2. Тепловой контакт на каждой из сферической поверхности, разделяющей контактирующие фазы, примем идеальным.
Центр полого шара с внутренним радиусом R0 поместим в начале сферической системы координат. Примем, что на большом расстоянии r ^ R2 от начала координат задан вектор градиента температурного поля в однородном материале, направленный по оси сферической системы координат, от которой происходит отсчет угловой координаты 9, т.е. при r ^ то установившееся распределение температуры в этом материале описывает функция T^ (r, 9) = Gr cos 9, где G — модуль вектора градиента. Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа,
которое в сферических координатах имеет вид
1 д (r2 dT Ч + 1 д (sin gdL Ч + 1 d!T_o m
r2 ör\ dr / r2 sin 9 d9 V д9 J r2 sin2 9 d^>2
В данном случае благодаря параллельности заданного вектора градиента температурного поля и оси отсчета угловой координаты 9 распределение температуры симметрично относительно этой оси и не зависит от угловой координаты т.е. д2T/д^>2 = 0.
По мере приближения к составной шаровой частице температурное поле в однородном материале претерпевает возмущение, описываемое также удовлетворяющим уравнению (1) дополнительным слагаемым [3] AT(r, 9) = (B/r2) cos 9, где B — подлежащий определению постоянный коэффициент, зависящий от параметров этой частицы и искомого коэффициента теплопроводности Л. Замена составной шаровой частицы равновеликим шаром радиусом R2, имеющим коэффициент теплопроводности Л, приведет к исчезновению возмущения температурного поля в окружающем ее однородном материале с тем же значением Л, что равносильно условию B = 0, позволяющему установить связь искомого коэффициента теплопроводности с заданными параметрами этой частицы.
Для получения зависимости коэффициента B от параметров составной частицы необходимо решить задачу теплового взаимодействия этой частицы и окружающего ее однородного материала. Температурное поле в однородном материале, удовлетворяющее заданному условию при r ^ то и уравнению (1), описывает функция
T(r, 9) = Tx(r, 9) + AT(r, 9) = (Gr + B/r2) cos 9. (2)
Аналогичные зависимости описывают распределения температуры в шаровом включении
Ti(r,9) = (Air + Bi/r2) cos 9, (3)
и в слое материала матрицы
T2(r, 9) = (A2r + B2/r2) cos 9. (4)
В промежуточном слое с зависящим от радиальной координаты r коэффициентом теплопроводности Л*(г) распределение температуры T*(r, 9) должно удовлетворять дифференциальному уравнению
д (\ 2 dT* Ч + Л* д ( . &ГЩ \
-ö~AKr +sn9ö9\sin9-39) =°. (5)
Положим T*(r, 9) = f (r) cos 9 и после подстановки в уравнение (5) получим однородное обыкновенное дифференциальное уравнение
(ОДУ)
f" + (2/r + Л'r^*)f' - (2/r2)f = 0 (6)
второго порядка относительно неизвестной функции f (r) (штрих означает производную по r).
Непрерывное изменение коэффициента теплопроводности промежуточного слоя представим зависимостью A*(r) = A* exp(ar), удовлетворяющую условиям Ai = A* exp(aRi) и A2 = A* exp(aR*), из которых следует aR1 = — (lnA)/(R* — 1) и A* = A1 exp(aR1), где A = A1/A2 и R* = R*/Rb Тогда ОДУ (6) можно представить в виде (f' + (a + 2/r)f)' = 0 и после интегрирования получить ОДУ f' + (a + + 2/r)f = A* = const первого порядка, решением которого будет [4]
f (r) = ^B*+A*y eF(r) dr^)e-F(r), F(r) = J(a+2/r) dr = ar+2ln r,
где B* = const. Если учесть, что
;F(r) dx = I r2ear dr =1 -- ^ + 4 )ear
a2 a3
то в итоге распределение температуры в промежуточном слое примет вид
T*(r,0) = (A*/a)(1 — 2/(ar) + 2/(ar)2) cos в + (B*/r2)e-ar cos в. (7)
В равенства (2)... (4) и (7) входят 7 неизвестных коэффициентов B, A1, B1, A2, B2, A* и B*, которые необходимо найти из граничных условий на сферических поверхностях с радиусами R0, R1, R* и R2. При r = R0 из условия отсутствия теплообмена в полости шарового включения с учетом равенства (3) получим
dT1
dr
или
= (A" - 2B1/R3)cos в = 0,
r=Ro
Ai = 2Bi/R3. (8)
При г = Д1 из условий непрерывности плотности теплового потока и распределения температуры следует
Т1\г=К1 = и ЗД ,0)= ЗД,0).
Отсюда с использованием равенств (3) и (7) находим
. 2B" /2 4 \ 2 + a
Ai - л3" = АЧ02- 0V- в*"дгe
Bi .Л 2 2 \
Ai + -3 = A 1 - - + ^ +
(9)
R3 X a a2/ R3 '
где a = aR" и e = exp(-a). Из аналогичных условий при r = R с
учетом формул (4) и (7) следует
/ 2 4 \ 2 + а / 2 2 \ , В2
A -т--3 A 1--+ — +—— = A+ —, (10)
R " Ч а а2 R 2 R3
ч а2 а3 / R; \ а а * *
где а* = аР* и е* = exp(-а*). Наконец, из подобных условий при r = Р2 и соотношений (2) и (4) получим
A - 2B2/R3 = a(G - 2B/R3) и A + = G + B/R3, (11)
где л = Л/Л2.
Последовательным исключением из равенств (8)... (11) неизвестных коэффициентов можно получить выражение для коэффициента B, которое является весьма громоздким. Из условия B = 0 следует
л = А = g*(PiA - Р2(а*-1)) + R3(2PiA(3 + а*) + P^Cy
Л2 а*(PiЛ - Р2(а*-1)) - i?3(2PiА(3 + а*) + P2P3)Cy/2, ( )
где P1 = 4а - а2 - 6 + (Р0/Р1)3а(а - 1), P2 = 6 + 2а + а(Р0/Р1)3 и P3 = а2 - 4а* + 6. Формула (12) сохраняет смысл при условии Cy < Cy = (R1/R*)3, поскольку при Cy = Cy в составной частице уже отсутствует шаровой слой матрицы. В частном случае отсутствия промежуточного слоя (R3 = 1) равенство (12) при R0 = 0 путем предельного перехода при а ^ то можно привести к известной формуле Максвелла [3]
л = 2 + Л - 2(1 - A)Cy = 2 + Л + (1 - A)Cy ,
полученной на основе более простой двухфазной модели, состоящей из включения в виде сплошного шара и окружающего его материала матрицы.
Для оценки возможной погрешности формулы (12) используем двойственную вариационную формулировку задачи стационарной теплопроводности [5, 6], позволяющую получить двусторонние оценки эффективного коэффициента теплопроводности рассматриваемого композита. Область V, содержащую представительный элемент в виде половины составной частицы радиусом Р2, выберем в виде прямого цилиндра с достаточно большой площадью S0 параллельных оснований, одно из которых соответствует в сферических координатах значению в = п/2, а точки второй имеют координаты r cos в = H, т.е. высота цилиндра равна H, причем H ^ Р2. Боковую поверхность цилиндра примем идеально теплоизолированной, температуру основания при в = п/2 положим равной нулю, а на втором основании зададим температуру GH. Однородный материал в части области вне составной частицы имеет коэффициент теплопроводности Л. Таким образом, в неоднородной цилиндрической области объемом V0 = HS0,
ограниченной поверхностью £, распределение температуры Т(М) и коэффициент теплопроводности Л(М) являются функциями координат точки М € V, причем непрерывная функция Л(М) принимает значения А1 при г ^ Л, Л2 при Д* ^ г ^ Л2 и Л при г ^ Л2, а при г € (Л1, Д*) определена зависимостью А*(г) = А1 ехр(а(г — Л1)).
Примем в качестве допустимого для минимизируемого функционала [5]
3[Т] = ^ Л(М)(УТ(М))2 ¿V(М), (13)
где V — дифференциальный оператор Гамильтона, линейное по высоте цилиндра распределение температуры с постоянной составляющей градиента С. В этом случае из формулы (13) получим
31 [Т] = С (ан£о — ^А + 2пЛ3-Л Л2 +
r п/2
Г Г R3 — Л3
+ 2п / A*(r)r2 dr / sin + 2п 1 - 0 Ai ). (14)
r 0
Для максимизируемого функционала [5]
I М- -1 /« dV (M)-
2J Л(М)
-f T(P)q(P) • n(P) dS(P), P e S, (15)
S
где n — единичный вектор внешней нормали к поверхности S, в качестве допустимого распределения вектора плотности теплового потока q примем постоянное значение q = — AG единственной составляющей этого вектора, перпендикулярной основаниям цилиндра. Тогда формула (15) примет вид
_ (AG)2 (HS0 — 2пД|/3 + 9 R2 — R2 +
Jl [q] = —— {-A-+2п 3A2 +
rt тт/2
/г2 dr Г R2 — R2\
г^Г sin+ 2nRl Л RM + AG2HSo. (16)
A* (r) J 3Ai )
Ri 0
Принятые допустимые распределения температуры и плотности теплового потока для неоднородной области отличаются от действительных и поэтому значения J1 [T] и J1 [q] не будут совпадать, причем J1[T] > I1[q]. В промежутке между этими значениями должно быть
расположено и значение / = (Л/2)С2Н£0 минимизируемого функционала (12) для однородной области с коэффициентом теплопроводности Л. Тогда при (Я /Я2)3 = Су с учетом формулы (14) из условия / [Т] ^ / получим
Л < 1 - R3Су + Л(1 - R?/R?)Су+
3CV '
+
RRЛ + 2 Л + 21-Л
а
= Л
а
а
+
а при использовании формулы (16) из условия Д [q] ^ J0 найдем
Л ^ i - R 3 Су + Су 1
у
R?/R? + 3СУ Ла
Л
22
1 + - + -
а
а
3СУ f R2 + ^ + А
а
а
а
Л
Для примера расчета примем Я = 2Я3, т.е. Су = 0,5 и Я * « 1,260. На рис. 1 для случая Я0 = 0 при различных значениях Л приведены графики зависимостей от Су Е [0, Су] верхней А+ (штрихпунк-тирные линии) и нижней Л- (штриховые линии) оценок отношения А = Л/Л2. Сплошными линиями представлены графики зависимостей А, построенные по формуле (12). Результаты аналогичных расчетов при Су = 0,9 (Я* ~ 1,036) приведены на рис.2. Отметим, что во всех случаях А = А+ = А- = 1 при Л = 1.
Из сопоставления графиков на этих рисунках следует, что при малом отличии значения Л от единицы формула (12) достаточно хорошо описывает зависимость эффективного коэффициента теплопроводности от объемной концентрации шаровых включений во всем проме-
Рис. 1
1
2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2
0 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Су Рис.2
жутке изменения Су. По мере отклонения Л от единицы несмотря на сближение оценок при Су = Су разность А+ — А_ для промежуточных значений Су становится значительной. Причиной этого является, видимо, использование достаточно простых допустимых распределений температуры и плотности теплового потока при вычислении функционалов. Отметим, что с уменьшением относительной толщины Я * — 1 промежуточного слоя разность А+ — А- также уменьшается.
Работа выполнена по гранту НШ-255.2012.8 программы государственной поддержки ведущих научных школ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. К а ц Е. А. Фуллерены, углеродные нанотрубки и нанокластеры. Родословная форм и идей. - М.: Изд-во ЛКИ, 2008. - 296 с.
2. Поздняков В. А. Физическое материаловедение нано структурных материалов. - М.: МГИУ, 2007. - 424 с.
3. К а р с л о у Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел: Пер. с англ. - М.: Наука, 1964. - 488 с.
4. З а й ц е в В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Факториал, 1997. - 304 с.
5. ЗарубинВ.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. - М.: Энергоатомиздат, 1983.-328 с.
6. З а р у б и н В. С., Кувыркин Г. Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. -512 с.
Статья поступила в редакцию 27.07.2012
**
---
iNi
\ \
\ Г;;- с
... ....
\
.... ...
—. —.
