CC BY
10УДК 536.2
И. Ю. Савельева
ЭФФЕКТИВНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КОМПОЗИТА ПРИ НАЛИЧИИ ПРОМЕЖУТОЧНОГО СЛОЯ МЕЖДУ ШАРОВЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ И МАТРИЦЕЙ
Построена математическая модель переноса тепловой энергии в композите с включениями шаровой формы (в общем случае в виде полых шаров). Учтена возможность возникновения промежуточного слоя между включениями и матрицей. Получены оценки эффективного коэффициента теплопроводности такого композита, в том числе с применением двойственной формулировки вариационной задачи стационарной теплопроводности в неоднородном твердом теле. Проведенный параметрический анализ позволил установить области применения найденных оценок, которые могут быть использованы для прогноза эффективного коэффициента теплопроводности композитов, в частности, модифицированных наноструктурными элементами.
E-mail: Inga.Savelyeva@gmail.con
Ключевые слова: композит, эффективный коэффициент теплопроводности, промежуточный слой.
Модификация композитов наноструктурными элементами (в том числе фуллеренами), имеющими высокие механические характеристики, позволит повысить макроскопические характеристики композитов в целом как конструкционных материалов. Для конструкций, испытывающих одновременно как механические, так и тепловые воздействия, помимо информации о механических характеристиках композита важно располагать данными и о его теплофизических свойствах (в частности, о коэффициенте теплопроводности). Эффективное значение коэффициента теплопроводности композита, модифицированного наноструктурными элементами, зависит от их объемной концентрации Су, от соотношения между коэффициентами теплопроводности матрицы и применяемых при модификации элементов, а также от условий теплового контакта между этими элементами и матрицей. Эти условия могут быть связаны с возможным химическим взаимодействием включения и матрицы, приводящим к образованию между ними промежуточного слоя с коэффициентом теплопроводности, отличным от коэффициентов теплопроводности как включения, так и матрицы. В данной работе ограничимся рассмотрением композита, модифицированного элементами в виде полого шара, который можно считать приемлемым приближением к геометрической форме фулле-рена [1, 2].
Математическую модель переноса тепловой энергии в композите построим в предположении, что шаровые включения в общем случае не контактируют между собой, т.е. отделены друг от друга слоем материала матрицы. Композит считаем состоящим из множества составных шаровых частиц с наружным радиусом R2, каждая из которых включает полый шар с наружным радиусом Ri, окруженный промежуточным шаровым слоем толщиной R* — Rl, и шарового слоя толщиной R2 — R* из материала матрицы. Примем, что такая составная частица является представительным элементом структуры композита и в тепловом отношении взаимодействует с неограниченным массивом однородного материала, коэффициент теплопроводности Л которого подлежит определению как эффективная характеристика композита. Таким образом, модель композита содержит четыре фазы: включение, промежуточный слой, слой матрицы и неограниченный массив однородного материала. При этом отношение Rf/Rl будем считать объемной концентрацией CV включений в композите.
Рассмотрим тепловое взаимодействие отдельно взятой составной частицы и окружающего ее однородного материала, полагая коэффициенты теплопроводности Л1, Л* и Л2 материалов соответственно полого шара, промежуточного слоя и матрицы заданными. Тепловой контакт на каждой из сферической поверхности, разделяющей контактирующие фазы, примем идеальным.
Центр полого шара с внутренним радиусом R0 поместим в начале сферической системы координат. Примем, что на большом расстоянии r ^ R2 от начала координат задан вектор градиента температурного поля в однородном материале, направленный по оси сферической системы координат, от которой происходит отсчет угловой координаты 9, т. е. при r ^ то установившееся распределение температуры в этом материале описывает функция T^(r, 9) = Gr cos 9, где G — модуль вектора градиента. Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферических координатах имеет вид
1 д ¡ 2 dT \ 1 д ¡ , dT \ 1 д2Т
-2 r2 — д sin9дт + —^ —2 =0. (1)
r2 д^ дr / r2 sin 9 д9 V д9 / r2 sin2 9 д^2
В данном случае благодаря параллельности заданного вектора градиента температурного поля и оси отсчета угловой координаты 9 распределение температуры симметрично относительно этой оси и не зависит от угловой координаты т.е. д2Т/д^>2 = 0.
По мере приближения к составной шаровой частице температурное поле в однородном материале претерпевает возмущение, описываемое также удовлетворяющим уравнению (1) дополнительным слагаемым [3] AT(r, 9) = (B/r2)cos 9, где B — подлежащий определению
постоянный коэффициент. Таким образом, температурное поле в однородном материале, удовлетворяющее заданному условию при r ^ то и уравнению (1), описывает функция
T(r, 0) = Тте(г, 0) + AT(r, 0) = (Gr + B/r2) cos 0. (2)
Аналогичные зависимости описывают распределения температуры в шаровом включении
Ti(r,0) = (Air + Bi/r2) cos 0, (3)
в промежуточном слое
T,(r,0) = (A,r + B,/r2)cos 0 (4)
и в слое материала матрицы
T2(r, 0) = (A2r + B2/r2) cos 0. (5)
В равенства (2)—(5) входят 7 неизвестных коэффициентов B, A1, B1, A,, B,, A2 и B2, которые необходимо найти из граничных условий на сферических поверхностях с радиусами Д0, R1, R, и Д2. При r = R0 из условия отсутствия теплообмена в полости шарового включения с учетом равенства (3) получим
dTi/dr|r=R = (Ai - 2Bi/R3)cos 0 = 0,
или
Ai = 2Bi/R3. (6)
При r = Ri из условий непрерывности плотности теплового потока и распределения температуры следует
Ai dTi/dr|r=R = Л, dT,/dr|r=R и Ti(Ri, 0) = T,(Ri, 0).
Отсюда с использованием равенств (3) и (4) находим
Ai-2Bi/R3 = (A,/Ai)(A,-2B,/R3) и Ai+Bi/R3 = A, + B,/R3. (7)
Из аналогичных условий при r = R, с учетом формул (4) и (5) следует
A,-2B,/R3 = (A2/A,)(A2-2B2/R3) и A,+B,/R3 = A2+B2/R?. (8)
Наконец, из подобных условий при r = Д2 и соотношений (2) и (6) получим
A2 - 2B2/R3 = (A/A2)(G - 2B/R3) и A2 + B2/R3 = G + B/R3. (9)
Последовательным исключением неизвестных из равенств (6)... (9) находим
B = G A(1 + RR3d) - 1 + 2R3d (10)
R 2A(1 + RR3d) + 1 - 2R3d
где Л = Л/Л2, R* = R*/R2,
d =3 1 + bCv/R3 b = 1 - Л/Л» + (1 + 2Л/A,)RR03/2
2 + Л* + 2b (1 - /R0 ' 2 + Л/Л* + (1 - A/A,)R?0 '
Cv = R0/R0, Л* = Лу/Л2, Л = Л1/Л2 и R0 = R0/R1. В случае включения в виде сплошного шара R0 = 0 и b = b0 = (1 — Л/Л*)/(2 + Л/Л*).
Замена составной шаровой частицы равновеликим шаром радиусом R2 с искомым коэффициентом теплопроводности Л приведет к исчезновению возмущения температурного поля в окружающем ее однородном материале с тем же значением Л. Тогда в равенстве (2) следует положить AT(r, 9) = 0, что равносильно условию B = 0, которое с учетом формулы (10) позволяет записать
Л =(1 - 2RR^d)/(1 + R0d). (11)
Эта формула сохраняет смысл при условии Cv < Cy = (R1/R^)0, поскольку при Cv = Cy в составной частице уже отсутствует шаровой слой матрицы. В частном случае отсутствия промежуточного слоя R° = Cv и равенство (11) при Л* = Л и R0 = 0 переходит в известную формулу Максвелла [3]
Л = 2 + Л - 2(1 - A)Cv = 2 + Л+ (1 - A)Cv ,
полученную на основе более простой двухфазной модели, состоящей из включения в виде сплошного шара и окружающего его материала матрицы.
Для оценки возможной погрешности формулы (11) используем двойственную вариационную формулировку задачи стационарной теплопроводности [4, 5], позволяющую получить двусторонние оценки эффективного коэффициента теплопроводности рассматриваемого композита. Область V, содержащую представительный элемент в виде половины составной частицы радиусом R2, выберем в виде прямого цилиндра с достаточно большой площадью S0 параллельных оснований, одно из которых соответствует в сферических координатах значению 9 = п/2, а точки второго имеют координаты r cos 9 = H, т.е. высота цилиндра равна H, причем H ^ R2. Боковую поверхность цилиндра примем идеально теплоизолированной, температуру основания при 9 = п/2 положим равной нулю, а на втором основании зададим температуру GH. Однородный материал в части области вне составной частицы имеет коэффициент теплопроводности Л. Таким образом, в неоднородной цилиндрической области объемом V0 = HS0, ограниченной поверхностью S, распределение температуры T(M) и коэффициент теплопроводности Л(М) являются функциями координат
точки М € V, причем функция А(М) кусочно постоянная и принимает значения А1 при г < Дь А* при Д1 < г < Д*, А2 при Д* < г < Д2 и А при г > Д2.
Примем в качестве допустимого для минимизируемого функционала [5]
3[Т] = ^ А(М)(УТ(М))2 ¿V(М), (12)
где V — дифференциальный оператор Гамильтона, линейное по высоте цилиндра распределение температуры с постоянной составляющей градиента С. В этом случае из формулы (12) получим
31 [Т] = С (АН 50 - ^А + А2+
+ А* + аЛ . (13)
3
Для максимизируемого функционала [5]
I М- - 2- (М)-
V
- У Т(Р)я(Р) • п(Р) (Р), Р € 5, (14)
я
где п — единичный вектор внешней нормали к поверхности 5, в качестве допустимого распределения вектора плотности теплового потока q примем постоянное значение д — -АС единственной составляющей этого вектора, перпендикулярной основаниям цилиндра. Тогда формула (14) примет вид
_ (АС)2 (Н5о - 2пД3/3 + 2 Д3 - Д3 +
II [д] — ^-А-+ 3А2 +
3 3 3 3
+ + ++АС2Н5о. (15)
ЗА* ЗА1 у
Принятые допустимые распределения температуры и плотности теплового потока для неоднородной области отличаются от действительных и поэтому значения 31 [Т] и /1 [д] не будут совпадать, причем 31[Т] > /1[д]. В промежутке между этими значениями должно быть расположено и значение 30 — (А/2)С2Н50 минимизируемого функционала (12) для однородной области с коэффициентом теплопроводности А. Тогда при (Д1/Д2)3 — Сл с учетом формулы (13) из условия
J1[T] > J0 получим
Л < 1 - RR3 + ЗД3 - Cv) + XCy (1 - Щ) = Л+, а при использовании формулы (15) из условия Ii [q] < J0 найдем
Л
1
= А_.
1 - Щ + (Щз - Су)/Л, + Су(1 - Л03)/Л
Для примера расчета примем = 2Л3 и Л, = (А1 + Л2)/2, т.е. Щ = 2 Су и Л, = (1 + Л)/2. В этом случае Су € [0, Су,], где Су = 0,5. На рис. 1 для случая Л0 = 0 при различных значениях Л приведены графики зависимостей от Су верхней А+ (штрихпунктирные линии) и нижней А- (штриховые линии) оценок отношения А = Л/Л2. Сплошными линиями представлены графики зависимостей А, построенные по формуле (11). Результаты аналогичных расчетов при Л3 = 1, 25 Су и Л, = (1 + Л)/2 в промежутке Су € [0, С,], где теперь С, = 0,8, приведены на рис. 2. Отметим, что во всех случаях А = А+ = А- = 1 при Л = 1 .
Из сопоставления графиков на рисунках следует, что при малом отличии значения Л от единицы формула (11) достаточно хорошо описывает зависимость эффективного коэффициента теплопроводности от объемной концентрации шаровых включений во всем промежутке изменения Су. По мере отклонения Л от единицы несмотря на сближение оценок при Су = С, разность А+ — А- для промежуточных значений Су становится значительной. Причиной этого является, видимо, использование достаточно простых допустимых распределений
Рис. 1
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Су Рис.2
температуры и плотности теплового потока при вычислении функционалов. Можно ожидать, что построение более близких к действительным распределений позволит уменьшить разность А+ — А- и тем самым точнее оценить возможную погрешность формулы (11).
Работа выполнена по гранту НШ-255.2012.8 программы государственной поддержки ведущих научных школ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. К а ц Е. А. Фуллерены, углеродные нанотрубки и нанокластеры. Родословная форм и идей. - М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 296 с.
2. Поздняков В. А. Физическое материаловедение наноструктурных материалов. - М.: МГИУ, 2007. - 424 с.
3. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел: Пер. с англ. - М.: Наука, 1964.-488 с.
4. З а р у б и н В. С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 328 с.
5. З а р у б и н В. С., Ку выркин Г. Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. -512 с.
Статья поступила в редакцию 05.09.2012
