CC BY
24
1 ..'"Ъ
||ы К'НГР 7ЛР П.'-
іяющґа
1 Ні'1
і^ІТифн рн Лі) и
і ж.к;*!и-(і:
н. і: к СЇО-рк:>гп.
’¿Р.еїл к V
.ІСЧЇЧРК-
і к н, т ЯУ : нипб-мзкския а сльгт-[І.
В .■ и I". -.
і, ;уаи.
'■■-Г К--+І -і-
р. ш< -
з йі |ф.ЭД
664.1.034.001.573
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ПРЕССОВАНИЯ КАПИЛЛЯРНО-ПОРИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ
Ю. В. СКАЧКО, А. Н. ПРОХОРОВ, В. А. АНИСТРАТЕНКО, Ю. А. ЗАЯЦ Киевский ордена Трудового Красного Знамени технологический институт пищевой промышленности
Процесс прессования с целью отжатия жидкой фазы в основном определяется давлением, прикладываемым к отжимаемому материалу, а также его структурно-механическими характеристиками. При отделении влаги в процессе отжатия некоторых пищевых продуктов известной иногда бывает скорость усадки, а не внешнее давление. Такой режим прессования встречается в прессах с жесткосвязанными рабочими органами — кривошипами, рычажными системами, копирами и т. д.
В этой статье сделана попытка вывести дифференциальное уравнение отжатия капил-лярно-пористого материала с учетом структур-но-механических характеристик компонентов, растворенных в жидкой фазе. Поэтому жидкая фаза рассматривается здесь, как состоящая из слагаемых — некоторого компонента, например, сахарозы (при отжатии свекловичной стружки) и остального раствора — несахаров. Такое мысленное разделение позволит определить условия выделения того или иного компонента вместе с выделяемой жидкостью для более глубокого изучения процесса, а также оптимизации и прогнозирования его, исходя из характеристик отжимаемого материала.
Рассмотрим схему отжатия некоторого капиллярно-пористого материала (свекловичная стружка, жом и др.), изображенную на рисунке. Материал помещается в цилиндр с площадью поперечного сечения / (м2) и предварительно сжимается до момента начала отжатия жидкости, который характеризуется уда-
%
N
I шмшш»
йн ЯІ шр ИИ
1 1 1 1 1 1 11 1111
лением газовой фазы из слоя отжимаемого материала. Этому начальному давлению р’ (Н/м2) соответствует некоторая высота /г (м). Выделим элементарный слой объемом У с высотой с11, при этом его положение от основания цилиндра— 1. После приложения нагрузки р>р' выделенный объем примет значение V <С.У’, т. е. «усядет» по высоте на величину ¿й.
Запишем объем выделенного элементарного элемента в моменты, когда он находится под нагрузкой р' и р. С учетом изложенных разделений жидкой фазы запишем:
V = У'С+У'А + У'В и V = ус+Ув+УА, (1) где V, V', Ус, Ус, УА, Ул, Vв, У'л — соответственно объемы выделенного элементарного элемента, скелетной части и компонентов при нагрузке р' и р (со штрихом — те же объемы при нагрузке).
Перепишем эти уравнения в виде:
У'
!и'с | !ііа
> и У = — —А-4-—£
Рв Р* Рл Р в
(2)
Будем считать, что масса скелета остается неизменной до и после приложения силы, т. е.:
Шс = тс. (3)
Плотности компонентов рА и рв остаются неизменными в процессе отжатия. Допустим (допущение I), что и плотность скелета также не изменяется, т. е. Рс = РС- В этом случае, исходя из баланса массы скелета, можно приравнять объемы скелета при нагрузках Р' и р\
V
V'
+
тА Р‘ , тВ Рс
(4)
рс
тс
;_+ 1 + .:—1_ _? . _
Ра т‘ Ра чі- Рл тс Р/1
Отношения в знаменателях дробей равенства — массовые концентрации компоте
нентов по отношению к массе скелета (кг/кг). Обозначив их через шЛ{й), перепишем формулу (4) в виде:
О тЁ)№г =
\ Ра Рв‘
= (1 + п’А + Ш^-)/ Щ - ¿5). (5)
' Ра Рв'
Из уравнения (5) можно определить относительную деформацию:
К = = (A wAl + bwBr\)A,
(6)
где
A тл = (w'A — ш^); A wB = (ш' — wB)\
Л =
Ра
1
Ря
(7)
1 + w'aI + w'BT]
const,
не зависящая от времени и высоты рассматриваемого слоя.
Перепишем (6) в виде:
dS.= ХсИ = (Аау^С + Адовгі)Лс?2. (8)
Интегрируя уравнение (8) от нуля до /г, получим усадку материала. Учитывая (7), запишем:
л л
5 = ^ \dZ-A \ (Доу^-)- Ашвг]) —
= -4 [2/г (ш^С + WBr\) —
— (j WjfodZ -f j wBx\dZ)\. g
Далее, дифференцируя по времени т это уравнение, получим:
dS
дт
(10)
dwA dwа
где —± и —1 дх дх
компрессионные функции. Можно написать, что
можно рассматривать как
дх
дрс
дрс
~дх~
dwB
дх
dwB дрс дрс дх *
(И)
где рс — удельное давление в скелете (Н/м2). Обозначим
dwA
дрс
= —а;
дрс
= -ь,
(12)
здесь а и ¿> — модифицированные, отнесенные к массовой концентрации, коэффициенты уплотнения (м2/Н).
Давление в твердой фазе запишем как
Рс = Р ~ {рА + рвУ
Тогда, продифференцировав это равенство по т, получаем:
дрс
дт
0Р_
дт
/дРА , \
V дт дт /'
дрв
дт
(13)
Перепишем формулу (10) в соответствии с (11) и (12):
v (т) = А (£а + Х]Ь) х
дРл
дт
dZ +
дРв
дт
<“)]=
= А (£а + г]6) X
X lh tx - (I J + I J Рвй1У' (14)
h h pAdZ = pAh\ \pBdZ = pBh, (15)
где
Рл и Рв—соответственно средние по высоте слоя отжатия давления компонентов Л и В.
Исходя из закона Дарси, можно записать:
(16)
где к — коэффициент фильтрации (м/с)-,
р — плотность фильтруемой жидкости (кг/мл)^
ё — 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения.
Общую усадку, в нашем случае, можно рассматривать как сумму усадок от составляющих компонентов:
dS = dSA + dSB.
(17)
Таким образом, можно записать, что общая усадка равна:
,с 1 (кл дрА kB дРв\ dS = -l\T,-Tz+T,- Tz¥т-
(18)
где kA, kB — относительные коэффициенты фильтрации. Принимаем их как не зависящие от времени и высоты (допущение III).
Дифференцируя по Z (18), получим:
d2s
dxdZ
= - L(kA 8 'фл
д2Рл
dZ2
+
Р в
д2РВ
dZ2
)• (19)
Продифференцировав по т (6) и с учетом (13) и (14), запишем:
d2S
didS
п
ся
ПС
HJ
о
го
эн«
COI
0Ц(
эне в г тиь вае ваі
где
\
для
МИ1
ДРЗ
СОІ
ва
16 з
>
(14)
(15)
высоте
онентов
¡писать:
(16)
);
1ДКОСТИ
эго па-
но рае-га вл я ю-
(17) общая
(18)
ы филь-< не за-высоты
)• (19)
учетом
+-Ч к+ (20)
Исходя из равенства левых частей уравнений (19) и (20), выводим уравнение:
др,4 I дРв __ др I ДI (^А д Р,1 I ^В ^Рв\ /О I \
Лг дх V. дг2 Рв дг2'' ' '
дх дх
где N =
— постоянная, не зави-
Ag(t,a + r\b) сящая от времени .величина.
Подставив в (14) ^ из (21) и с учетом (15) получаем:
и(х) = А [£а — цЬ] [/г + дРв
дх
■*(
к а д‘2рл
Ра дг2
+
дРл
дт
дРп
ді
-)а]
+
(22)
или
/г (£,а + г\Ь) А
д'2Р,,
дг2
кл. . д2рв) =
-ч
Р В
' ВЫВОДЫ
1. Уравнение описывает процесс отжатия с учетом следующих допущений:
I. Скелет системы отжатия не выделяется с раствором.
II. Плотность скелета остается неизменной в процессе отжатия.
III. Коэффициенты фильтрации постоянны во времени и по высоте.
2. Полученное уравнение (23) учитывает давление внутри системы отжатия на отдельные компоненты, выделяющиеся в результате усадки материала, скорость усадки, а также геометрический фактор и параметры системы отжатия.
3. Выведенное уравнение учитывает процессы компрессионного характера, консолидации и фильтрации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Иванов П. Л. Грунты и основания гидротехнических сооружений.— М.: Высшая школа, 1985.—352 с.
2. К о р н Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1987,—832 с.
3. Хелемский М. 3. Технологические качества сахарной свеклы.— М.: Пищ. пром-сть, 1967.—285 с.
Кафедра машин и аппаратов пищевых производств
Поступила 28.06.90
664.764:621.979.62
ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОЦЕССОВ ОБЕЗВОЖИВАНИЯ И УПЛОТНЕНИЯ ДИСПЕРСНОГО МАТЕРИАЛА
Ю. В. СКАЧКО, А. Н. ПРОХОРОВ, В. А. АНИСТРАТЕНКО Киевский ордена Трудового Красного Знамени технологический институт пищевой промышленности
При обезвоживании и уплотнении дисперсного материала с учетом величины удельных энергетических затрат определяется степень совершенства прессового оборудования. Для оценки эффективности обезвоживания по энергетическим затратам и определения КПД в зависимости от геометрических характеристик прессового канала и реологии обрабатываемого материала целесообразно использовать [1]:
1 = (1) где Ар — полезная работа, необходимая для «чистого» обезвоживания без учета потерь на внешнее трение;
Ас — работа от сил трения продукта о стенки канала.
Известно, что первая величина неизменна для определенного материала, его физико-хи-мических характеристик, условий прессования; другая — переменна и характеризует степень совершенства конструкции пресса.
Автор [2] ввел понятие о «чистом» прессовании, в результате которого происходит уплот-
нение материала от р0 до рк без учета изменения его влажности.
//
и
п
16 Заказ 052
