Оценка эффективности методов линеаризации нелинейного уравнения фильтрации идеального газа при выделении газовой смеси из выработанного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.833

Н.М. Качурин, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4872) 35-20-41, ecology@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ), О.А. Афанасьев, асп. ТулГУ, (4872) 30-34-92, leader-express@tula.net (Россия, Тула, ТулГУ),

Л.А. Белая, канд. техн. наук, доц., bliliy@yandex.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДОВ ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ПРИ ВЫДЕЛЕНИИ ГАЗОВОЙ СМЕСИ ИЗ ВЫРАБОТАННОГО ПРОСТРАНСТВА

Рассмотрены методы линеаризации Лейбензона Л.С., Чарного И.А. для нелинейного уравнения фильтрации идеального газа. Получены различные меры близости линеаризованных методов с точным решением.

Ключевые слова: нелинейное уравнение, методы линеаризации, точное решение, меры близости.

Статистические данные аварийности в угольной промышленности России и стран ближнего зарубежья наглядно показывают, что около девяноста процентов всех видов аварий происходят в горных выработках. Анализ данных по интенсивности загазирования горных выработок шахт свидетельствует о высоком уровне газовой опасности. Поэтому, все задачи, так или иначе связанные с прогнозом газовыделений в шахтах, являются актуальными.

Данная статья посвящена оценке эффективности методов линеаризации нелинейного уравнения фильтрации газа из выработанного пространства, определения мер близости между решениями точным и приближенными методами, выработка рекомендаций по типам выбранных линеаризованных решений задачи.

Основы теории движения газа в пористой среде были разработаны основателем советской школы нефтегазовой гидромеханики академиком Л.С.Лейбензоном. Он впервые получил дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа в пласте по закону Дарси. При выводе уравнения предполагалось, что коэффициенты пористости и проницаемости не изменяются с давлением, вязкость газа также не зависит от давления, газ совершенный, а фильтрация газа происходит при неизменных во времени температурах (изотермический закон).

Дифференциальное уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа (полубесконечный стержень) называется уравнением Лейбензона и имеет вид [1],[2]:

2г/т

гд2р2Л дх2

дР

а?

0)

где коэффициенты проницаемости и вязкости постоянны. Положим: к = Ю~9м2, // = 18,6-10 ~6Па-с, Р0=Ю5Па, т = ОД, г = 0,6Ла/с,

к

0 <?< 86400 с, 0<х<1000л/, а

2//т

Существуют различные способы линеаризации уравнения (1). Лей-бензон предложил заменить переменное давление Р в коэффициенте уравнения (1) на постоянное давление Рд, равное начальному давлению в выработанном пространстве. Такой способ линеаризации, когда переменный коэффициент в уравнении при различных значениях давления принимается константой, называется линеаризацией по Лейбензону. К линейному уравнению применим весь хорошо разработанный аппарат теории теплопроводности (и теории упругого режима) [3],[4].

Зададим закон изменения давления на границе выработанного пространства, который имеет вид (Ра — г/), где Ра =105Па, г - параметр изменения давления, / - время.

Линеаризация по Лейбензону Л.С.

Уравнение (1) можно записать следующим образом:

8Р2 кР

( д2р2\

цт

дх2

(2)

Лейбензон предложил заменить переменное давление Р в коэффициенте уравнения (2) на постоянное давление Ра, равное начальному дав-

кР

лению в пласте. Тогда, обозначив К2 =—— получим вместо уравнения (2)

7]т

уравнение вида уравнения теплопроводности, аналитическое решение которого хорошо известно [5]. Произведем замену Р2=(). Тогда система

примет вид:

дв _ К2 д20

с1

6(0 ,х) = Рс

ох

2 а

(3)

£(>,0) = (Ра - НУ

Решения (2) являются приближенными, так как получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения, а не точного.

Линеаризация по Чарному И.А.

Предлагаемый Чарным И.А. [6], [7] метод линеаризации заключается в следующем: уравнение состояния р = р{Р) в некотором интервале может быть аппроксимировано экспоненциальной кривой зависимостью.

Такая аппроксимация эквивалентна осреднению нелинейного коэффициента в уравнении Лейбензона по его среднелогарифмическому значению.

Таким образом, исходная задача сводится к решению следующей:

др _ ка д2р ей т/т дх2 р(0,х) = ра

р(1,0) = /Зр0ехр

Т.о., опять получили уравнение вида уравнения теплопроводности. За расчетную зависимость плотности от давления берется уравнение:

Р - Рро ехР

Р-Рр

V а )

где а = (Р1-Р0)(\п(РЛ1)У1 > Р = "(Рг + Ро)(Рг ' ') •

Точное решение

Одним из эффективных путей точного решения уравнения Лейбензона является автомодельные решения, предложенные Баренблаттом [3], [4]. Автомодельные решения служат эталоном точности приближенных методов линеаризации, и в этом их большое принципиальное значение. Имеем:

дР Ы

а-

д2Р2

дх2

Р(0,х) = Ра Р(Ь0) = (Ра-г()

(4)

И. Баренблаттом показано, что давление зависит от некоторого единого комплекса, включающего в себя обе переменные хп а дифференциальное уравнение в частных производных приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое легко интегрируется. Чтобы установить, от каких аргументов будет зависеть давление, проведем анализ размерностей.

Распределение давления в выработанном пространстве зависит, как следует из постановки задачи, от определяющих параметров

Из аргументов, от которых зависит давление, составим безразмерную комбинацию

-ну

Тогда в силу п -теоремы анализа размерностей выражение для распределения давления можно представить в виде произведения комбинации определяющих параметров на безразмерную функцию от безразмерных комбинаций. Имеем:

P(xJ) = (Pa-rt)f(e), (5)

дР df „

--Г • £---Г - J

dt ds

д2Р2 = г d2f2

дх2 ads2 Подставляя данные выражения в (2), получим:

d2f2 df * <л

—--£— + f = О

ds ds

- получили обыкновенное дифференциальное уравнение, которое решаем численно.

Таким образом, решение (4) находим, использую выражение (5) на всей области изменения параметров t и х.

Рис. h Точное решение

Рассмотрим наглядно результаты расчетов всех трех методов решения исходной задачи при значении координаты, например х = 800 м. /е [0,86400] с.

Р, Па но1

Точное р «мои Чаркый

ГхЮ5,«

Рис. 2. Графики значений давления при х = 800л#

Расчет меры близости между точным и приближенными методами

решения

Показательной характеристикой сравнения точного решения с приближенными является мера близости [8], используя процедуру дискретного вейвлет анализа. В частности, такие меры близости можно рассчитать для расчетных значений давления между точным и приближенным методом при фиксированных значениях координаты х.. В этом случае, значения давления представимы в виде дискретного временного ряда. Меры

близости определяются как MS(x9y) = cosa , где eos а =

У ам-ам

Lu Л" J, П

(J^yeS

где

а™9 а^- коэффициенты соответствующих рядов. М5е [0,1]. При использовании меры МБ, большей близости будет соответствовать большее значение меры.

Результаты расчетов мер близости приведены в табл. 1:

Значения мер близости

Таблица 1

Метод линеаризации Значения координаты х, метры

200м 400м 600м 800м 1000м

Лейбензон 0,999993559 0,999981392 0,999971608 0,999967755 0,999970242

Чарный 0,999997841 0,999996915 0,999999022 0,99999906 0,999990539

Рассмотренная мера близости МБ характеризует, насколько сильна нелинейная зависимость между рассматриваемыми временными рядами (другими словами, показывает, насколько колебания временных рядов по

отношению к их линейным трендам схожи). Данная характеристика является мерой силы и направленности связи между сравниваемыми временными рядами и, чем он ближе к единице, тем более схоже поведение этих рядов, а следовательно, и решений исходной задачи.

Расчет несовпадений между точным и приближенными методами

решения задачи

Коэффициент (индекс) Тейла [8], [9]. Е(Х,У) измеряет несовпадение временных рядов X и 7 и чем ближе он к нулю, тем ближе сравниваемые ряды. Для удобства проведения расчетов, вместо коэффициента Тейла будем использовать коэффициент близости и(X, 7) = 1 - Е(Х, 7). и е [0,1]. Чем выше он (чем ближе он к единице), тем более близки ряды.

ЩХ9Г) = 1

(10)

где X - точное решение, а 7 - одно из линеаризованных, при фиксированных значениях координаты х.

Результаты расчетов приведены в таблице:

Таблица 2

Значения коэффициентов близости

Методы ли-неаризади Значения координаты х, метры

200 м 400 м 600 м 800 м 1000 м

Лейбензон 0,987700489 0,981914865 0,980495868 0,98259778 0,986410864

Чарный 0,994474806 0,996168423 0,988639674 0,975905044 0,96277644

Таким образом, можно сделать вывод о том, что рассмотренные методы линеаризации вполне допустимы, однако их решения оказываются различными как относительно друг друга, так и по отношению к решению точным методом. На разных удалениях от границы степень близости решений линеаризованными методами к решению точным методом так же различны и варьируются по мере удаления от границ.

Анализируя результаты, полученные при проведении анализа меры близости решений, а также расчета несовпадений, между линеаризованными методами решения исходной задачи с точным решением, можно сделать вывод:

- на небольших удалениях от границы (800...900 метров) метод линеаризации, предложенный Чарным, дает намного лучший результат относительно метода, предложенный Лейбензоном, в плане того, что получаемые расчетные значения имеют схожие колебания по отношению к их линейным трендам. Применение метода линеаризации Чарного может дать

возможность более точно рассчитывать динамические характеристики, например скорость фильтрационного потока. Также на удалениях от границы приблизительно до 700 метров применение метода линеаризации Чарного может дать возможность более точно рассчитывать значения функции P( x, i) внутри выработанного пространства.

- однако, при значительно больших значениях координаты x, метод линеаризации Чарного немного теряет свои позиции, в то время как метод Лейбензона напротив, начинает все лучше приближать решение к точному.

Список литературы

1. Лейбензон Л.С. Собрание трудов. Т. II. Подземная гидрогазодинамика. М.: Изд. Академии Наук СССР, 1953. С107-110.

2. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. Москва- Ленинград: ОГИЗ-ГОСТЕХИЗДАТ, 1947. 244 с.

3. Бареблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Изд-во «Недра», 1972. 288 с.

4. Баренблатт Г.И. О приближенном решении задач одномерной нестационарной фильтрации в пористой среда // Прикладная математика и механика. 1954. Т. XVIII, № 3. С. 351-370.

5. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики Изд-во «Высшая школа» М., 1970. 710 с.

6. Чарный И. А. О методах линеаризации нелинейных уравнений теплопроводности // Известия АН СССР. ОТН. 1951. № 6. С.829-838.

7. Чарный И. А. Подземная гидромеханика. Гостехиздат, 1948.

378с.

8. Оленев Н.Н. Основы параллельного программирования в системе MPI. М.: ВЦ РАН. 2005. 80 с.

9. Тейл Г. Экономические прогнозы и принятие решений. М.: Статистика, 1971. 488 с.

N.M.Kachurin,, O.A.Afanasiev, L.A. Belaya

ESTIMATION OF EFFICIENCY OF LINEARIZATION METHODS FOR THE NONLINEAR EQUATION OF THE FILTRATION THE IDEAL GAZ IN THE TIME OF THE ALLOCATION THE GAS MIX FROM A DEVELOPED SPACE

The L.S. Leibenson and I.A. Charny methods of linearization for the nonlinear equation of filtering the ideal gas are performed. Various measures of closeness of the linearized methods with the exact solution were obtained.

Keywords: nonlinear equation, linearization techniques, the exact solution, a measure of closeness.

Получено 17.02.2012