CC BY
21
УДК 532. 534. 539
МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В СИСТЕМЕ «ПОРИСТАЯ СРЕДА -РАСШИРЯЮЩИЙСЯ РЕЗЕРВУАР»
© 2004 г. А.К. Кубанова
The analytical method of the solution of the linearized problem on gas outflow from immovable porous medium after the piston which is moving with constant speed is proposed.
Большое внимание к таким течениям объясняется тем, что с ними связаны многие современные проблемы энергетики, реакторостроения, химической технологии, нефтепереработки и др. В частности, теория движения газа в пористой среде нашла применение в каменноугольной промышленности - в вопросах газообильности шахт, подземной газификации, а также в геофизических исследованиях, связанных с вопросом о движении ювенильного газа из подкорового пространства и центрального ядра Земли. Мощное развитие нефтяной и газовой промышленности привлекает внимание исследователей к сложным вопросам фильтрационных движений природных газов и жидкостей в пористой среде с образованием кинематических волн - эти вопросы в настоящее время имеют первостепенное значение для рационализации разработки нефтяных и газовых месторождений.
Движением воды в пористой среде занимались многие ученые [1-8].
В данной работе рассматривается на основе модели Х.А. Рахматулина [4] задача об истечении газа из пористой среды.
Рассмотрим полупространство двухфазной среды, состоящей из пористого неподвижного жесткого скелета, заполненного газом и примыкающего к границе поверхности поршня. В момент времени t = О, поршень отодвигается со скоростью Vo от двухфазной среды.
пористая газ
среда К
2 1 —*
x = -a0t ь? п и
* = 0
Рис. 1. К постановке задачи
Область 1 заполняется истекающим из пористой среды газом и в ней течение описывается уравнениями Эйлера, которые при малой скорости поршня Г о« а0 (а0 - скорость звука в газе) и малых градиентах параметров в газе линеаризуются и имеют вид:
0дУх дР _ др[ о
Рл ------- —--------5--------Ь- Пл ------ — О, Гл — ГГ)
1 5/ дх 5/ 1 дх 1 и
Р1
Ро
(1)
Для газа в скелете (область 2) движение описывается уравнениями Х.А. Рахматулина [9], которые в линейном приближении сводятся к системе:
дУ2 г дР пг дР2 , дУ2 п г 0 -п л ( Р2 У ' (?)
Р2 - - ~/о "Г---кУ2 , + Р2 —------Ъ,Р2 - /о Р2’ Р2 - Р0 —7Г ’ ' '
(у/ иХ ОХ р0
9ц
2 а2
Здесь р\. Р] I) - истинная плотность, давление и скорость газа в этой области; у- показатель изэнтропы газа; Р0, Ро - соответствующие параметры газа при нормальных условиях; к - коэффициент взаимодействия газа со скелетом; /о - пористость скелета; /ь - приведенная плотность газа; к\ ’2 - сила трения, проявляющаяся при взаимодействии газа со скелетом, которая моделируется силой Стокса. При Яе « 1 получаем линейную зависимость силы трения от относительной скорости фаз среды. Сила Стокса соответствует обтеканию одиночной сферы безграничным потоком газа; |1] - вязкость газа; с1 -диаметр частиц скелета.
После преобразования системы (1), (2) примут вид
д2У 2 д2У1 а0 —Т"
(3)
з2У2 .2 32У2 г дУ2 К ; (4)
эг2 дх 2 0* ’ р2
дУ7 ,
Начальные и граничные условия: К2(х,/)?=0 =——1(=0= 0: I) = V,, при
3/ 1
х = У(/.
В (3) входит скорость звука в газе, которая определяется известной фор-
2 ^0
мулой а0 = ——; в (4) скорость звука в двухфазной пористой среде [10] нахо-
Ро
ДИТСЯ ПО формуле 2 г„ ^ Ч о , ^ о V1 Г (! - /о ) , /о ^ г ; а = [(1 - /0 )р10 + /0Р20 ] ■ - ---+ —
I Ур 0 2
/?2о _ истинные плотности первой фазы - газа и второй фазы - скелета; к2 -коэффициент объемного сжатия твердой фазы.
Преобразованием Лапласа приведем (4) к форме
2- 2 д2У -
Р2У2=а2—-К1РУ2, (5)
дх2
где А°о •
Р - параметр преобразования.
При этом общее решение уравнения (5) представится в виде
Р1+К\Р
х < О,
(6)
У2(Р,х) = С1(Р)-е
а решение уравнения (3) с учетом граничных условий в форме Даламбера -=/1(х_яоО+ ^о - А[~Р(х + яо0]> (7)
где р =
2.
ао ~Ур «о + ^о
, р < 1. Функция I ] определяется из решения задачи в области
Отметим особо условия на границе перехода из области 1 в 2 (х = 0).
В связи с истечением газа из пористой среды в свободный объем, течение в окрестности границы двухфазной среды не одномерно. Выберем плоские сечения, параллельные плоскости поршня в двухфазной пористой среде и в газе на достаточном удалении от поршня, где течение можно рассматривать в одномерном приближении. Если область двухмерности мала по сравнению с характерным масштабом задачи, то её можно снести на границу раздела сред. Поэтому на ней выполняются соотношения типа условий на скачке уплотнения (закон сохранения массы, импульса и энергии).
р 1°П = /оР°г2; рХ(^-У2) = /0р2-рх-Р';
1
7 ~ 1
Р1
Р2
(8)
= /0^2
дР_ дх
У\ _ Ж/о +1 У7.
Так как на границе (х = 0) — = 0, то примем Р\
7 + 1
—-----%=---------~-
/о+1 Г-1
Из второго уравнения системы (8) имеем
У\ Х/о + 1
(9)
Р 2
Р 1
/о^2
/о (/о + X)
Действительно, если течение однофазное (/о = 1), то I '| = I \ р2 = Р\ ■ Из этих граничных вьфажений после их линеаризации получим
<5 ^1 _ Х/~о + 1 0У2‘
(10)
дх /о + х 8х
Из решения (7) для области 1 и из (6) для второй области при х = 0 имеем:
VI = Аі-а0і) +¥0 - /1(-/ва0О,У2 = Сі(Р),
5 К,
дх
а¥.
К, ^°’5 5Г!1 _ /\{-а01) + РГ{-а0Р1)
Р
дх
V,
О
Применяем к последнему вьфажению преобразование Лапласа
м- і.і
а0
д¥,
1 ' Эх
/ р \ р Г р ^
^1 — -/1(0) г Рі Г ~ /і(0)
_ \-а) ао ,~аро
Исходя из граничных условий (9), получим
С1(Р) =
К0+^1
р
-«О
-р,
р
-М)
(/о + ж) (1 + Ж/о)
С учетом выражения (10) запишем
(Ж + /о)
Сг(Р)-
2 /і(0) - -^1
і7!
(11)
(12)
(Ж/о +1)1 +
К,
Представим знаменатель (12) в форме
\ 0,5
кл \ ’ 00 кл
1+р) =1+2р-^"-°А
а затем, приравняв правые части (11) и (12), получим
Аі+А2РА—\ + А^ р
-а о
Р
-«о
-Рі
р
гд
еА\ — Уо — 2/1(0), Аг — 2, Аз — О, А4 —1.
Функции, входящие в выражение I представим в виде степенных рядов:
оо оо
Л(-а00= 2(-1)1/«оМУ,/1(-«оД)=
у=0 у=0
Тогда
СО СО СО
А\ + А2 2 (-І)17 аоЬуҐ + Л3 2 (-1)'//?'/а,о6у/'/ = Л4У0 2 С пт
К '
Р,
р
+■=. ^4 Е СптК?-
і Рк
Ш = 1 г
р.
-Л4 Е СПЯ! К™
т= 1
р
-^«0
р"
Вычислим да-кратный интеграл от /' в пределах от 0 до I
\ А ■■
0(1) (у + 1)
1 ^ + 1
І
1
(у+1)(у + 2)
0(2) (у + !) у + 2л= 1
1
1
(к + 1)0 + 2)
. V + 3
(у + 1)0 + 2)0 + 3) 1
-Г
0(3)
} Л... Ь1'<* =
Л ^ ✓ Ч N ✓ ✓ N И//*
0(1) 0 (т) (у+ 1)(у + 2)...(у + т)
С учетом всего этого правая часть (13) при переходе к оригиналам дает выражение:
со со К Г1
А1+2 (-1/ аУ (А 2 + Аъру )Ьу(У =А4У 0 Е С пт -^- +
+ А 2 С™*:," 2 (-1)у
га = 1 к = о
Из этого равенства определим коэффициенты Ьп а затем скорости частиц газа в областях 1 и 2. В частности, если возьмем в этих рядах два первых члена, то получим
л^0 + Ьа (А 2 + А3 ) - 0; Ь0 А4У0Кі
А\ V л
________________ Ур^1
2ад(А2 + Р■А з) 4а0
Остальными членами знакопеременного убывающего ряда при У0« ао можем пренебречь (по критерию, применяемому к таким рядам).
Тогда скорость частиц газа в области 1 примет вид
V, = Уп 1-
(1-/?)-(! + /?)—
х > 0.
(14)
Полученное таким образом выражение для скорости течения газа в области 1 удовлетворяет граничному условию в этой области. Действительно, на поверхности поршня х = У0/ получаем равенство
Уп
а о
= 0 :
из которого следует, что скорость частиц газа V] = Уо скорости поршня. Для скорости частиц во второй области получим
2 Р + К1
... ■ ' (уо +
(/° + X) „2а уое а0
-
(ж/о + !)
Р
- Ра а РМ
(ж/о + 1) р
Ра 0
Р|*Г
Переходя к оригиналам, найдем выражение для скорости У2 при (|х| - «о1) </
К\Х
= ~1ч"е + А(х ~ а01) ~ Л [“ Р(х + аОг)]}
Шо +1)
Используя (7), последнее равенство приведем к виду
^ х<0- (15)
(.^о +1)
Формула (15) дает аналитическое выражение для скорости истечения газа во второй области.
Таким образом, найдено решение линейной задачи истечения газа из пористой двухфазной среды в пространство за поршнем. Оно свидетельствует о существенной нестационарности, обусловленной трением в пористой области из-за сопротивления течению за счет скелета.
Разработанная методика позволяет решить ряд типовых практических задач, которые могут иметь большое практическое значение. Это, например, процесс добычи воды, нефти, углеводородного сырья из природных резервуаров пород, заполненных подвижным флюидом: нефтью, газом и пластовой водой.
Литература
1. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. М., 1947.
2. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М., 1963.
3. Баренблатт Г.И. и др. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М., 1984.
4. РахматулинХ.А. //ПММ. 1956. Т. 20. №2. С. 12-13.
5. Ляхом Г.М. Волны в грунтах и пористых средах. М., 1982.
6. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М., Т. 1, 2. 1987.
7. Рахматулин Х.А., Кубанова А.К. II Вестник МГУ. Сер. 1 «Математика, механика». 1983. №4. С. 5-7.
8. Розенберг М.Д., Кундин С.А. Многофазная многокомпонентная фильтрация при добьие нефти и газа. М., 1976.
9. Рахматулин Х.А. Газовая и волновая динамика. М., 1983.
10. Кубанова А.К. //Изв. Академии промышленной экологии. 2003. № 2. С. 56-61.
Карачаево- Черкесский государственный
педагогический университет 27 февраля 2004 г.
