Метод характеристик для задачи об истечении газа из пористой среды за движущийся поршень Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532. 534. 539

МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ ЗАДАЧИ ОБ ИСТЕЧЕНИИ ГАЗА ИЗ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ ЗА ДВИЖУЩИЙСЯ ПОРШЕНЬ

О 2004 г. А.К. Кубанова

Numeral Method of the Solution of nonlinear problem on the non-stationary gas Outflow from

the porous Medium offer moving piston is proposed.

Колоссальный размах работ по истечению газов и жидкостей из пористых сред и необъятное количество накопленного материала является лучшим свидетельством актуальности данной темы.

Разработанная методика и подход к решению исследований позволяют, в принципе, решать целый спектр типовых задач, которые имеют большое практическое значение. Многие технологические процессы связаны с добычей нефти, газа, воды, которые необходимо извлечь из природных резервуаров, заполненных подвижным флюидом: нефтью, газом и пластовой водой. Вместе с тем эта проблема очень интересна и в научном отношении. Несмотря на большое количество теоретических и экспериментальных работ в этой области сегодняшний день требует новых данных и новых подходов.

1. Для нефтегазового пласта на основе модели Х.А. Рахматулина [1] рассматривается нелинейная задача об истечении газа из пористой среды в пространство за движущийся поршень. Рассмотрим полупространство двухфазной среды, состоящей из пористого неподвижного скелета, заполненного газом и примыкающего к границе поверхности поршня. Будем считать, что в поперечном сечении трубы скорость и физические параметры газа постоянны, что, вообще говоря, выполняется не точно вследствие пограничного слоя у стенки трубы. Но из-за малости толщины пограничного слоя его влиянием можно пренебречь.

Введем перемещение сечения газа U = U (х, f) и обозначим через Vo скорость поршня.

В момент времени t = О от поверхности такой среды удаляется поршень со скоростью Vo, меньшей скорости звука в газе. За ним область 1 заполняется истекающим из пористой среды газом. В области I течение газа описывается уравнениями Лагранжа

которые приведем к виду

d2U aj д2Ц

гРо

dt2 (1 +их)г+1 дх2 ’

Введем обозначение:

а2(их)=- Я°2

(1+ихУ+1'

Здесь ао - скорость звука в невозмущенном газе. Скорость звука в возмущенном газе с = =-----а° , т.е. с ф а(11х).

\р° (1 + их)^2

Итак, уравнение движения газа в области 1 имеет вид

у- = Я 2 (17 х ) ■ (1)

Э? дх

_ ди

Граничное условие на поршне-------(0,/) = У0 ;

3/

11х (О, I) - заранее неизвестная функция, которая определяется на каждом расчетном шаге.

Для газа в скелете (область 2) движение описывается уравнениями Х.А. Рахматулина [2], которые сводятся к системе

д2и 1 дР 7 ди „ тт , , „ „ , р

—---------- —к^~’Р = Р оО- + и х)-1 ,Р = Р0(—У, (2\

д12 ро ох Зг ро

Р = /о Р°,Р = /оРо-

Здесь р°, р - истинная и приведенная плотности; Р - давление газа; [, - пористость скелета среды; Ро,Ро,Ро ~ соответствующие параметры при начальных (нормальных) условиях; к- коэффициент взаимодействия газа со скелетом.

и ; ди

Член к----- выражает взаимодействие газа с частицами скелета, которое

3/

моделируется силой Стокса и связывается с относительной скоростью газа, когда характерное число Рейнольдса обтекания частицы скелета невелико (Яе < 1); если Яе > 50, тогда сила взаимодействия будет пропорциональна квадрату относительной скорости [3]. В нашей работе исследуется первый случай.

Из (2) получим

д2и ао д211 _кЗЦ_ (3)

д12 (\ + их)г + 1 дх2 81

„ ди тт ди тт

Обозначим-------= (Уг;----= и*.

дх 3/

Начальные условия:

их= иг = 0 на х = -ао/, где а о - скорость звука в двухфазной среде [4], определяемая по формуле:

-2

а о =

(1_/о)Ро + /0Р20

Г1

(1~/о) | /о

к~,

-1

Р20 - ^2 - истинная начальная

^0 Л2 .

плотность и коэффициент объемного сжатия твердой фазы (скелета). Волновая конфигурация представлена на рис. 1.

Рис. 1. Волновая конфигурация в координатах Лагранжа для нелинейной задачи о движении поршня

Уравнения (1), (3) - нелинейные гиперболического типа. Решаем их численно методом характеристик.

Два характеристических направления имеют один и тот же вид для облас-

„ СІХ /ТТ ч

теи 1 и 2: — = ±а(их). сН

Для области 1 сіііі = ±а(ІІх)сіих: для области 2 (Шх =±а(ІІх)сіих --Ш1Ж.

Заметим, что начало координат является особой точкой. Приближаясь к

нему вдоль оси Ох, имеем

иг= и, = о.

вдоль оси Оґ -

1-

УоСг-Р 2а о

2

1-у

-1.

Эти соотношения свидетельствуют о том, что в окрестности начала координат в области пористой среды возникают центрированные волны Римана, граница которых определяется по формуле:

у0(г-1)

2 йл

у + 1

х = —-•

7 ~ 1

Поскольку передний фронт возмущения в двухфазной пористой среде распространяется со скоростью звука в ней, то начальные условия их= ( = О переносятся на характеристику х = -а0/, что позволяет начать расчет с точек, лежащих на ней.

Вначале определим характеристики (волны Римана), исходящие из начала координат.

Задаем шаг АЬ в виде \/. = (а0 - «, р) / Л\ где Л' - число «шагов». Затем определим соответствующие этим «шагам» значения 11х, I ', вблизи начала координат:

После определения этих параметров решаем смешанную задачу Коши.

2. Значения параметров на слоях (да = 1, 2, 3 ...) в точках п = 0 известны (начальные значения на х = -а0/). Задаем шаг А/ на оси времени и проводим прямую, параллельную оси Ох до пересечения с х = . Получаем узел

(1,0), из которого проводим положительную характеристику с угловым коэффициентом, взятым в узле (1,0) до пересечения с лучом АЬ из начала координат 0. Определяем узел (1, 1) и т.д. (1,14).

Последовательность расчетов представлена на рис. 1 приведенными ниже формулами

2

п = 1, 2, N.

Чп = [а(их1, л-1)'Ч, л-1 - *1, л-1 ]х 1а(Цх<т) + а(их1 п_х)],

Х\п ~ а(РХоп )[х1, л-1 — а(.их1, л — 1) * ^1, Л — 1] X Хоп ) х\, л-1)] 5

сп = 1,2,3 ...).

афхт) + афххп_ху иЧп = [«^*ои М + а(их1, л-1 )В] • ЫиХоп ) + а(их 1; )]_1,

•/0^+1 - у0 = , «+2 )(иХ1, л+1 - иХ1; й+2 ).

Смещение частицы в лагранжевых координатах определяем по формулам:

Из приведенных соотношений определяем параметры их, х, I узла (тп),

затем плотность и давление в этом узле по формулам:

Расчетная схема представлена на рис. 1; через 1(1) обозначена граница раздела областей 1 и 2.

В связи с истечением газа из пористой среды в свободный объем, течение, строго говоря, в окрестности границы 1(1) не одномерно. Выберем плоские сечения, параллельные плоскости поршня, где течение можно рассматривать в одномерном приближении. Если область двумерности мала по сравнению с характерным масштабом задачи, то эту зону можно снести на границу раздела сред. Поэтому на ней выполняются соотношения типа условий на скачке уплотнения (закон сохранения массы, импульса, энергии), дополняющиеся интегралом Римана вдоль центрированной волны, условием на поршне и уравнением состояния газа в области 2.

Запишем эти соотношения:

N

N

А°V1 = Р°2/оУ2, А°Vі (V! - У2) = /0Р2 -Р1+Р\

Р2=Ро

Р’=(\-М(Р2-Рі).

Из системы (4) получаем кубическое уравнение относительно У^, решив которое можно установить связь параметров газа на границе 1{[).

3. По разработанной алгоритмической схеме произведен численный расчет на ЭВМ параметров истечения газа в среде кварц - воздух.

Необходимым условием его устойчивости, как и для разностных схем уравнений газовой динамики, является условие Куранта на шаг интегрирова-яДГ

ния по времени М--------< а < 1, а - местная скорость звука; Лг, \/ - размеры

Лг

ячейки.

Шаг по углу в окрестности начала координат в области пористости, где возникают центрированные волны, выбирался на основе численного эксперимента.

В частности, для воздуха и кварца при нормальных условиях можно принять, что истинная массовая плотность соответственно равна 1,225; 2,597 х 103 кг/м3; скорость звука 330; 4500 м/с; показатель изэнтропы воздуха у = 1,4; коэффициент объемного сжатия кварца к2 = 5,82 х до10 н/м2; диаметр

частиц скелета с! = 10 4 м; к = (1 - /0); Ц1 = 1.81

2с1

10 \/ 0.3.

(О

0,5

Ухлшх ¡слои

Л \ ааі 1

ОД

Рис. 2

г.о

Найдены параметры истечения воздуха в пористой двухфазной среде кварц - воздух. На рис. 3, 4 приведены распределения Р. р, 1'х. ! отнесенные к их максимальным значениям, полученные вдоль характеристик на плоскости х, і.

На основании этих и других расчетов следует, что истечение газа из пористой среды существенно нестационарно и затруднено возникающим в процессе истечения трением.

ь

(так

Существенно новые результаты сводятся к следующему: в той части среды, которая является пористой, в окрестности начала координат возникают центрированные волны Римана; истечение газа из двухфазной пористой среды является значительно нестационарным и затруднено из-за сопротивления течению за счет скелета.

Программно-алгоритмическая разработка задачи приложима к решению типовых задач, в частности, к решению задачи об истечении нефти из пласта.

Литература

1. Рахматутт ХА. //ПММ. 1956. Т. 20. №2. С. 12-13.

2. Рахматутт ХА. Газовая и волновая динамика. М., 1983.

3. Нигмату.тт Р.П. Динамика многофазных сред. М., Т. 1.1987.

4. Рахматутт ХА., Кубанова А.К. II Веста. МГУ. Сер. 1 «Математика, механика». 1983. №4. С. 5-7.

Карачаево- Черкесский государственный

педагогический университет 2 7 февраля 2004 г.