CC BY
51
УДК 532. 534. 539
А.К. Кубанова
ОБ ОДНОЙ ФОРМЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗА В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
Получено аналитическое решение для задачи истечения газа через пористую среду. В качестве модельной задачи использовалось уравнение течения газа в Эйлеровых координатах. Используя линеаризацию, задача сведена к решению волнового уравнения в двухфазной среде.
Современный научно-технический прогресс во всем мире непосредственным образом связан с глобальным использованием природных ресурсов, поэтому проблемы, поставленные и исследованные в настоящей работе, позволяют, в принципе, решать целый спектр практических задач этого направления. В частности, при изучении режима оползневого и лавинного процессов и их пространственно-временного прогноза; при исследовании природных резервуаров, заполненных природным флюидом: нефтью, газом, водой - с целью оптимизации процесса извлечения-добычи углеводородного сырья; при нанесении упрочняющих покрытий на поверхности деталей и при изучении многих других технологических процессов, которые вызывают большой исследовательский интерес.
Во многих случаях изменения параметров среды в некоторой области весьма малы по сравнению с величинами этих параметров. Тогда можно линеаризировать исходные уравнения относительно параметров в какой-либо точке [1] и получить решение этих уравнений в достаточно простом виде. В работе рассматривается такое решение задачи о нестационарном истечении газа из неподвижной пористой среды за поршнем, который движется с постоянной скоростью У0.
Рассмотрим двухфазную среду газ-твердые частицы (см. рисунок). Твердые частицы не движутся, образуя скелет. Пористость обозначим через /0). Давления всех фаз будем считать совпадающими и равными давлению двухфазной среды Р.
пористая газ 1 1
среда 2 х = 0 щ ►
% V,
х = _а0ґ И х
Схема двухфазной среды В области 1 (см. рисунок) для газа в эйлеровых переменных имеем уравнения
_о ЭУ, = _Эр Эр0 + _о ЭУ]_ = Иі Э( Эх’ Э( Иі Эх
0, Р = Ро
К
уР 0 у
V
(1)
где р1 , Р1, У1 - истинная плотность, давление и скорость газа в этой области; Ро, р0 - соответствующие параметры при нормальных условиях. Путем линеаризации этих уравнений получим волновое уравнение
' д \
(2)
дГ2 и дх2 ’
а о - скорость звука в воздухе.
Его решение имеет вид
V = Л( х - aоt) + У2( х + aоt). (3)
Из условия х = Уоt получим, что У1 = У0 (когда частицы находятся на поршне, который
движется с постоянной скоростью У0) решение (3) запишется таким образом:
У = Л(х - ао ^ + Уо - У1[-Ь (х + ао t)], (4)
где Ь = . Ь < 1.
ао + Уо
Функция У] определяется из решения задачи в области 2 (где параметрам газа припишем индекс 2). В области 2 имеем
av2 _ ,dP tlr Pl dt f" Ъх 2
^+r 2 db--0,
Ъг Ъх
2 ’
'rov
vp o0y
(5)
где к - коэффициент взаимодействия, р2 = f0 р2 - плотность газа; У2 - скорость газа во второй области.
После линеаризации этой системы получим
Ъ
Ъ1
Начальные условия - нулевые:
2=a i Ъ!Х1
0 Ъх1
pi
Л,/ ч ЪУ2,
V1(х, t)t=o - |f=o
= 0.
Применив преобразования Лапласа к уравнению (6), найдем
У2 •-• P JУ2(х, t)e ~Pt • dt,
(6)
(7)
(8)
после чего получим
P2Vi - ald1y- - KiPVi:
dx
(9)
где а0 - скорость звука в двухфазной среде [2]; Р - параметр преобразования.
Общее решение уравнения (9) имеет вид
/ 2 ^
_ хТ ]
V2 (Р, х) = С1(Р)е ^ ао 0 , х < 0. (10)
На границе перехода из области 2 в область 1 (х = 0) необходимо ввести в рассмотрение
поверхность разрыва параметров течения, по обе стороны от которой выполняются уравнения
непрерывного движения. Запишем соотношения на разрыве:
РХ = / РХ;
РУх (V - V;) = /Р - Р - Р'; (11)
pV
V2 - V2 У 1 У 2
2
+ -
1
P P
•ч — J i
vpi° P°y
- / PV - i?Vi.
Реакция Р' выразится в следующем виде:
Р' = (1 - /0)(Р2 -Р1).
Примем на границе (х = 0) Р1 = Р2. Тогда из соотношения (11) определим связь параметров течения газа, т.е. граничные условия
У1
__/+! - 7+1
Vi /0 + С 7-1'
(1l)
Из второго уравнения системы имеем
P 20 - У1
xf) +1
P10 /0У1 /0(/0 + с)
Действительно, если имеем однофазное течение (/0 — 1), то
V - Vi, P10 - P10.
Из этих граничных выражений после их линеаризации получим
sVl - /+1 •9V1
Ъх /0 + с Ъх '
(13)
0
Из решения (4) волнового уравнения для области 1 и из (10) для второй области при х = 0 находим
V = / (-а(/) + V - / (-Ра^), V = С1 (Р);
Эx
= . Сі( P)
Р
а<Уо
1+К
Р
\0,5
Э^1 = /і(_а0і) + Р /(_aо Р і)
Эx У0
эазование Лапласа, имеем
1
Применив к последнему выражению также преоб
дУ1 •=. ^ -
дх * I а0
Исходя из граничных условий (12) и соотношения (13), получим
(/0 + С)
■ ' Р " - Р Г Р ]
К1 _ а V _ /1(0) + — а0 К1 [_а0Р 0 _ /1(0)
У
0
СД Р) =
С учетом выражения (13) получим
Р
-К
Р
-Р а0
(1 + X /0)
(14)
(х+/0)
сдр)=-
2/1(0) К1
Р
0
К1
Р
■ра0
(х/0 + 1)
1+К
Р
\0,5
(15)
Выражение в знаменателе представим в виде ряда и, п
кп
эиравнивая (14) и (15), получим
А1 + А2 К1
Р
_а
+ А3 К1
ґ Р Л _ ра0
= А4 I Спп X -р
V + К
у о^1 1
Р
_ап
_ К
ґ Р л _р а0
(16)
где А1 = У0 - 2/1(0) , А2 = 2, А3 = ° А4-----1.
В последнем равенстве переходим к оригиналам, которые выразим в виде степенных рядов:
/1(^0 = Х (-1)" а0ГК^, /1(-а0РО = Х(-1)" рпа%Ъ^ . (17)
п=0 V=0
После этого получим
к
4 + А2 I(_1)пап0Ъуіп + А3 I(_1)ПРПа0УЪуіп = А4У0 I Спп^\-іп +
п=0
К
V=0
ґ Р Л
+А4 ¿СппКП
_а0
Я
_ А4 ІСппКП
п=1
' р л
_Р а0
п!
(18)
Вычислим п - кратный интеграл от і в пределах от 0 до і :
1 і
1 V +1
1 іп+хйі = -
Г іп сіі =-----іп+1 ; Г
0(1) (п + 1) 0(2) (п + 1)
' 1 Г+2* 1
1
V+2
(V + 1)(п + 2)
іп+3 ; Г Ж... Гіпсіі = -
1
-і1'
0(3) (п + 1)(п + 2) (п + 1)(п + 2)(п + 3) 0(1) 0(т) (п + 1)(п + 2)...(п + т)
С учетом полученного правая часть (18) при переходе к оригиналам дает выражение
¥ ¥ Кт
А + I (-1)" а0(4 + А3Рп )Ъ ^ = А4У0 X СИт-т- +
т!
- аппі
п =1
п=1
.V + п /1 оП'
+ А4 I СппКп I (_1)п ап Ъп«пп,п+п (1 _ Рп). (19)
п=1 V =0
Из этого равенства определим коэффициенты Ъу, а затем скорости частиц в областях 1 и 2. В частности, если возьмем в этих рядах два первых члена, то получим
AV V2 К
А^о + Ъ0( А + А3) = 0, Ъ = _-^ = _-^, _ а(М А2 + Р • А3) = Ауо,
А2 + А3
ААУ0К1
2
2а0 (А2 + р • А3) 4а0
Тогда скорость частиц газа выразится так:
Ъ.> 0.
V, = V,, .¡1 - К
(і - ь )-(1+ь )—
►, х > 0.
На поверхности поршня х = V0t получаем равенство
(1 - р )í - (1+р )^- і
= 0.
из которого следует, что скорость частиц газа V равна скорости поршня У0, т.е. VI = У0. Для скорости частиц во второй области получим
2 Р+К
х-------
2 а
V + К у 0^ 11
ґ Р Л
-а0
- К
ґ Р Л
-Р а0
(/0 + Ж)
(X /0 + 1)
(20)
а
0
Р|х| / ^ \ Р|х| Ґ ъ \ Р|х|
Р Р
Ке а0 + К е а0 - К е а
0 а - Р а0 0
/г \ К\х
_ (10 + X) е 2ао (Х /о + 1)
Переходя к оригиналам, найдем выражение для скорости V2 при |х| • а-1 < *:
КX
V2 = /X) е 2а0 {Vо + /1(X - ао*) - /А- Ь (X + а.
(ХТ0 +1)
Выражение в фигурных скобках дает V1, тогда последнее равенство запишется в виде
V2 = (/0 + Х) V1e 2а0 при х < 0. (21)
(ХТ0 +1)
Формула (21) дает аналитическое выражение для скорости истечения газа во второй области.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. РахматулинХ.А. Газовая и волновая динамика. М.: МГУ, 1983. 280 с.
2. Кубанова А. К. О распространении одномерной плоской волны в двухфазной среде // Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред. Ереван: ЕГУ, 1987.
Поступила 10.05.2003 г.
