CC BY
31
УДК 669.187
ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗОВ И ПРОГНОЗ ДИНАМИКИ ГАЗОВЫДЕЛЕНИЯ ИЗ ВЫРАБОТАННОГО ПРОСТРАНСТВА
Н.М. Качурин, С.А. Воробьев, О.А. Афанасьев, Д.Н. Шкуратский
Рассмотрены различные методы линеаризации для нелинейного уравнения фильтрации идеального газа. Получены оценки близости линеаризованных методов с полученным точным решением.
Ключевые слова: нелинейное уравнение, методы линеаризации, точное решение, фильтрация газа.
Статистические данные аварийности в угольной промышленности России и стран ближнего зарубежья наглядно показывают, что около девяноста процентов всех видов аварий происходят в горных выработках. Анализ данных по интенсивности загазирования горных выработок шахт свидетельствует о высоком уровне газовой опасности. Поэтому, все задачи, так или иначе связанные с прогнозом газовыделений в шахтах, являются актуальными.
Основы теории движения газа в пористой среде были разработаны основателем советской школы нефтегазовой гидромеханики академиком Л.С. Лейбензоном. Он впервые получил дифференциальные уравнения не-установившейся фильтрации совершенного газа в пласте по закону Дарси. При выводе уравнения предполагалось, что коэффициенты пористости и проницаемости не изменяются с давлением, вязкость газа также не зависит от давления, газ совершенный, а фильтрация газа происходит при неизменных во времени температурах (изотермический закон).
Дифференциальное уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа (полубесконечный стержень) называется уравнением Л.С. Лейбензона и имеет вид [1], [2]:
2цт
г эул
дх 2
р(0, х)= ра (2) Р (?,0) = (Ра - Г0
где коэффициенты проницаемости и вязкости постоянны.
Для проведения вычислительного эксперимента, положим:
к = 10-9м2, /т = 18,6 -10-6Па ■ с, р0 = 105Па, т = 0.1, г = 0.06Па / с,
0 £ ? £ 86400 с, 0 £ х £ 1000 м.
Существуют различные способы линеаризации уравнения (1). Один из них, это замена давление р в коэффициенте уравнения (1) на постоянное давление ра , равное начальному давлению в выработанном пространстве. Такой способ линеаризации, когда переменный коэффициент в уравнении при различных значениях давления принимается константой, называется линеаризацией по Лей6ензону. К линейному уравнению применим весь хорошо разработанный аппарат теории теплопроводности (и теории упругого режима) [3], [4].
В этом случае, решения для (1) для условий (2) являются приближенными, так как получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения, а не точного.
Предлагаемый Чарным И. А. [6], [7] метод линеаризации заключается в следующим: уравнение состояния р = р(р) в некотором интервале может быть аппроксимировано экспоненциальной кривой зависимостью.
Такая аппроксимация эквивалентна осреднению нелинейного коэффициента в уравнении Лейбензона по его среднелогарифмическому значению.
Таким образом, опять получили уравнение вида уравнения теплопроводности. За расчетную зависимость плотности от давления берется следущая:
Р = Ж ехР
Р - Р0 а
(3)
где а =(р - р0 )(1п(Р р0 1)) 1; Р =1 (Р + р0 )(р1 - р0) 1 1п(рр0 1).
При этом решение уравнения (1) для условий (2) имеет вид:
р( X, і) =
2 . раег/
X
2у[гк
+
1 - ег/
ґ \\ґ X
2^/P^
2 4 2. „Л
2 г X гх ( п - П)
(ра - гі)2 +--------------Т + --------1
V
12 К
2
К
+
хг
л
урК
ехр
2 Л
X
4Кі
V У
Ґ
К (2а - х2)- (Ра - п)
.0.5
(4)
Для расчета скорости фильтрационного потока газа на границе выработанного пространства, получили выражение для первой производной на границе:
Эр
Эх
гі (ра + 2гі)
=8® •
х=0 2урШ х (ра - гг)
График первой производной имеет вид (рис.1):
г
И(1)
Рис. 1. Графики первой производной функции рХ) при х=0
Одним из эффективных путей точного решения уравнения Лейбен-зона является автомодельные решения. Автомодельные решения служат эталоном точности приближенных методов линеаризации, и в этом их большое принципиальное значение. Обозначим
к
а
2тт
(6)
Давление зависит от некоторого единого комплекса, включающего в себя обе переменные и г, а дифференциальное уравнение в частных производных приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое легко интегрируется. Чтобы установить, от каких аргументов будет зависеть давление, проведем анализ размерностей.
Распределение давления в выработанном пространстве зависит, как следует из постановки задачи, от определяющих параметров:
[х] = Ь, И = Г, [а] = [р]-1Ь2Т~1, [г] = [р]Т.
Из аргументов, от которых зависит давление, составим безразмерную комбинацию
Г 1
а (Ра - гг)'
Тогда в силу ^-теоремы анализа размерностей выражение для распределения давления можно представить в виде произведения комбинации определяющих параметров на безразмерную функцию от безразмерных комбинаций. Имеем:
Р(х,‘) = (Ра - Г)/(е), Эр е Э/ г
~4~ = Г-£-^—-Г• / ,
Эг Эе ^
Э2р2 _ г d2/2 Эх2 а de2
(7)
(8)
Подставляя данные выражения в (2), получим:
і2/2 е/
е-
+/ = О,
/,
1е2 ~ 1е
= Ра / (Ра - Г • Іі ) , /(0) = 1
(10)
(11)
- получили обыкновенное дифференциальное уравнение, которое решаем численно. График решения (10) для условий (11) представлен на рис. 2.
Таким образом, решение (1) находим, использую выражение (7) на всей области изменения параметров і и х.
Рис. 2. График функции /при 1=86400 с
График точного решения уравнения (1), представлен на рис. 3.
Рассмотрим наглядно результаты расчетов отклонений вторым методом линеаризации решения исходной задачи (1), (2) от точного на рис. 4 и табл. 1.
Оценка несовпадений между точным и приближенными методами решения задачи характеризовалась коэффициентом Тейла [8 - 9]. Е (X ,У) измеряет несовпадение временных рядов X и У, чем ближе он к нулю, тем ближе сравниваемые ряды. Для удобства проведения расчетов, вместо коэффициента Тейла будем использовать коэффициент близости и(X,У) = 1 — Е(X,У).ие [0,1]. Чем ближе коэффициент близости к единице, тем меньше разница между исследуемыми рядами.
и (X ,У) = 1 -
X (X, - г, )2
X2 - Х.Г,1
(12)
,
где X - точное решение; У - одно из линеаризованных, при фиксированных значениях координаты Х^.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что рассмотренные методы линеаризации вполне допустимы, однако их решения оказываются
,
различными как относительно друг друга, так и по отношению к решению точным методом. На разных удалениях от границе степень близости решений линеаризованными методами к решению точным методом так же различны и варьируются по мере удаления от границе.
Рис. 3. График точного решения
Рис. 4. График отклонений линеаризованного решения от точного при глубине выработанного пространства 1 -10 м, 2-20 м, 3-30 м, 4-40м, 5-50м, 6-60м, 7-70м, 8- 80м, 9-90м, 10-100м
Таблица 1
Расчет отклонений между точным и приближенными методами решения, %
Время, с Г лубина вы работанного пространства, м
10 20 30 40 50 60 70 80
73600 0,22 0,45 0,63 0,76 0,86 0,92 0,96 0,96
74400 0,22 0,45 0,63 0,77 0,87 0,93 0,97 0,97
75200 0,22 0,45 0,64 0,77 0,87 0,94 0,97 0,98
76000 0,22 0,46 0,64 0,78 0,88 0,95 0,99 0,99
76800 0,22 0,46 0,65 0,79 0,89 0,96 0,99 1
77600 0,22 0,46 0,65 0,79 0,9 0,97 1,01 1,02
78400 0,23 0,47 0,66 0,8 0,9 0,97 1,01 1,03
79200 0,23 0,47 0,66 0,8 0,91 0,98 1,02 1,04
80000 0,23 0,47 0,66 0,81 0,92 0,99 1,03 1,04
80800 0,23 0,48 0,67 0,82 0,93 0,995 1,04 1,06
81600 0,23 0,48 0,67 0,82 0,93 1,01 1,05 1,07
82400 0,23 0,48 0,68 0,83 0,94 1,02 1,06 1,08
83200 0,23 0,48 0,68 0,83 0,95 1,02 1,07 1,09
84000 0,24 0,49 0,69 0,84 0,95 1,03 1,08 1,1
84800 0,24 0,49 0,69 0,85 0,96 1,04 1,09 1,11
85600 0,24 0,49 0,69 0,85 0,97 1,05 1,1 1,12
86400 0,24 0,5 0,7 0,86 0,97 1,06 1,1 1,13
Результаты расчетов приведены в табл. 2:
Таблица 2
Значения коэффициентов близости
Методы линеаризаци Значения координаты х, метры
20м 40м 60м 80м 100м
Метод №1 0,9571 0,94398706 0,93811457 0,93638202 0,93803423
Метод №2 0,95773252 0,94481588 0,93908867 0,93742501 0,93908814
Анализируя результаты, полученные при проведении анализа близости решений, а также расчета несовпадений, между линеаризованными методами решения исходной задачи с точным решением, можно сделать вывод о том, что на небольших удалениях от границы (800-900 метров) метод линеаризации, предложенный Чарным, дает намного более лучший результат относительно метода, предложенный Л.С. Лейбензоном, в плане того, что получаемые расчетные значения имеют схожие колебания по отношению к их линейным трендам. Применение метода линеаризации Чар-
ного может дать возможность более точно рассчитывать динамические характеристики, например скорость фильтрационного потока. Также на удалениях от границы приблизительно до 700 метров применение метода линеаризации И.А. Чарного может дать возможность более точно рассчитывать значения функции p(x,t) внутри выработанного пространства при этом отклонение линеаризованного решения от точного не превышает 2 % на рассматриваемом временном интервале.
Список литературы
1. Лейбензон Л.С. Собрание трудов. Т. II. Подземная гидрогазодинамика. М.: Изд. Академии Наук СССР, 1953. С. 107-110.
2. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. Москва - Ленинград: ОГИЗ-ГОСТЕХИЗДАТ, 1947. 244 с.
3. Бареблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Изд-во «Недра», 1972. 288 с.
4. Баренблатт Г.И. О приближенном решении задач одномерной нестационарной фильтрации в пористой среда // Прикладная математика и механика. 1954. Т. XVIII, № 3. С. 351-370.
5. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики М.: Из-во «Высшая школа», 1970. 710 с.
6. Чарный И.А. О методах линеаризации нелинейных уравнений теплопроводности // Известия АН СССР. ОТН. 1951. № 6. С.829-838.
7. Чарный И.А. Подземная гидромеханика. Гостехиздат, 1948. 378с.
8. Оленев Н.Н. Основы параллельного программирования в системе MPI. М.: ВЦ РАН. 2005. 80 c.
9. Тейл Г. Экономические прогнозы и принятие решений. М.: Статистика, 1971. 488 с.
Качурин Николай Михайлович, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, ecology@tsu. tula. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Воробьев Сергей Александрович, канд. техн. наук, ген. директор, vorobjov@rudmet.ru , Россия, Москва, Издательский дом «Руда и металлы»,
Афанасьев Олег Александрович, соискатель, leader-express@,tula.net, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Шкуратский Дмитрий Николаевич, ген. директор, director@gallurgy. ru, Россия, Пермь, ОАО «Галлургия»
LIMITS OF THE APPLICABILITY FOR LINEARIZED FILTRATION EQUATIONS OF GASES AND FORECASTING OUTGASSING DYNAMIC FROM OPEN AREA
N.M. Kachurin, S.A. Vorobiev, O.A. Afanasiev, D.N. Shkuratskiy
Different methods of linearizing nonlinear filtration equation of ideal gas were considered. Evaluations of linearizing methods adequacy with getting exact solution were gotten.
Key words: nonlinear equation, linearizing methods, exact solution, filtration
of gas.
Nikolay Mikhaylovich Kachurin, doctor of technical sciences, professor, Headof a chair, ecology@tsu. tula.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Sergey Alexandrovich Vorobiev, candidate of technical sciences, general director, vorobjov@rudmet. ru Russia, Moscow, the Publishing House “Ore and Metals”,
Oleg Alexandrovich Afanasiev, postgraduate, leader-express@,tula. net, Russia, Tula, Tula State University,
Dmitriy Nikolaevich Shkuratskiy, general director, director@gallurgy. ru, Russia, Perm, Company “Gallurgiy”
УДК 622.254.5
ТЕХНОЛОГИИ МЕХАНИЗИРОВАННОГО СТРОИТЕЛЬСТВА ГЛАВНЫХ ВЕРТИКАЛЬНЫХ СТВОЛОВ НА ПРИМЕРЕ СОВРЕМЕННЫХ СТВОЛОПРОХОДЧЕСКИХ АГРЕГАТОВ
А.Д. Фомичев
Дано краткое определение шахтного ствола и его назначения; описаны основные схемы проходки вертикальных стволов; выполнен краткий обзор двух современных стволопроходческих комплексов; кратко изложены основные инновации и пути совершенствования стволопроходческих комплексов.
Ключевые слова: шахтный ствол, схема сооружения стволов; комбайновый способ проходки стволов, актуальные пути развития комбайновой проходки стволов.
Шахтный ствол — вертикальная (реже наклонная) капитальная горная выработка, имеющая непосредственный выход на земную поверхность и предназначенная для обслуживания подземных горных работ. Через шахтные стволы осуществляется спуск и подъем полезного ископаемого, породы, материалов, оборудования, людей и проветривание шахты.
В зависимости от основного назначения шахтные стволы разделяют на главные и вспомогательные. Главный ствол служит для подъёма на по-
