CC BY
113
УДК 519.237.5
И. М. Якимов, А. П. Кирпичников, Г. Р. Зайнуллина, З. Т. Яхина
ОЦЕНКА ДОСТОВЕРНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ АНАЛИТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Ключевые слова: имитационная модель, аналитическая модель, параметры, система массового обслуживания, система М/М/1, система ОРББ Ш с расширенным редактором, транзакт, генератор транзактов, очередь, обслуживающий аппарат, математическое ожидание, среднее значение, дисперсия, вероятность, критерий Стьюдента, критерий х2.
Приводятся результаты аналитического и имитационного моделирования системы массового обслуживания М/М/1. Для имитационного моделирования использована система ОРББ Ш с расширенным редактором. Сравнение вероятностей, средних значений и дисперсий проведено параметрическими методами. Проведена оценка четырёх генераторов случайных чисел системы ОР88 Ш с расширенным редактором. Выданы рекомендации по результатам проведённого исследования.
Keywords: simulation model, analytical model, parameters, the system of mass-Servicing, the system M/M/1, system GPSS W with advanced editor, TRANSACT, generator TRANSACT, turn, service unit, expected value, mean, dispersion, probability, the Cree-
Student criterion, the criterion x2.
The results of the analytical and simulation queuing system M / M /1. For the simulation system is used GPSS W with advanced editor. Comparison of probabilities, means and variances conducted parametric methods. Evaluated four random number generators GPSS W system with advanced editor. Issued recommendations based on the results of the study.
Введение
В последнее время в практике имитационного моделирования (ИМ) систем массового обслуживания (СМО) начинают всё шире применяться системы с графическим вводом структур моделируемых систем: GPSS W с расширенным редактором [1], Arena [2], AnyLogic [3], и другие. ИМ имеет неоспоримые преимущества по сравнению с аналитическим моделированием (АМ) по возможностям использования любых законов функционрования элементов СМО и сложных логических условий. В тоже время ИМ - это численный метод и поэтому представляется весьма целесообразным оценивать, если это возможно, достоверность результатов ИМ сравнением их с результатами АМ. По аналитическим методам моделирования издано большое количество литературы, назовём одну из книг [4], в качестве несомненного достоинства которой отметим наличие формул для вычисления дисперсий количественных и временных параметров СМО.
Основные параметрические методы оценки результатов ИМ по результатам АМ
Рассмотрим основные параметрические методы оценки результатов ИМ по результатам АМ.
1. Самый простой метод параметрической оценки результатов ИМ - оценка их различия от результатов АМ, выраженное в процентах:
А,- =
У ij Уi У,
•100,
(1)
где у у - оценка /'-го параметра, определённая по результатам ИМ для у-го генератора случайных чисел;
у г - значение /-го параметра, вычисленное по результатам АМ.
2. Проверка гипотезы о равенстве средних параметров СМО, полученных ИМ и АМ для /-го параметра для у-го генератора случайных чисел. Нулевая гипотеза Н0: = т1г, альтерна-
тивная гипотеза Ha : m— ф m1i.
Проверка производитя по критерию Стьюдента, вычисляемого по формуле [8]:
t,
= 4n
mi,j " mi,
(2)
Если вычисленное значение ^ не превышает критическое значение критерия Стьюдента, найденного по статистическим таблицам 1^=1.960 [6], при рекомендуемом значении доверительной вероятности в=0.95 для количества степеней свободы df=n-1=10000-1=9999, например, при количестве реализаций п=10000, то нулевая гипотеза принимается.
3. Ещё один метод параметрической оценки результатов - метод доверительного интервала. Так как оценки математических ожиданий при ИМ вычисляются суммированием случайных чисел, то на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей, утверждающей что сумма достаточно большого количества случайных чисел, выработанных при достаточно общих условиях, подчиняется нормальному закону независимо от того, какому закону подчиняются распределения самих этих чисел [6], то можно построить доверительный интервал на основании нормального закона.
Для построения доверительных интервалов по результатам АМ для основных показателей функционирования СМО с доверительной вероятностью в=0.95 и с =1.96, найденного по статистическим таблицам 1ркги=1.960 [6], половина ширины
*
доверительного интервала и его границы определяются по формулам [6]:
si = ■
4П
V уг^ = У, -е,; y,prav = У, +е,.
(3)
4. Проверка гипотезы о равестве вероятности, что транзакт застанет СМО незанятой - рг0, полученных имитационным и аналитическим моделированием.
Нулевая гипотеза Н0: р*0 = р0, альтернативная гипотеза На : р*0 ф р0.
Проверка производитя по формуле:
t1 =Гп-
Р;о - Ро
(4)
V Ро(1 - Ро)
Формула (4) получена по формуле (2), подстановкой стандартного отклонения вероятности
с0 =4Ро •(1 - Ро). (5)
Если вычисленное значение ^ не превышает критическое значение критерия Стьюдента ^кги=1.960, найденного по статистическим таблицам [6], при рекомендуемом значении доверительной вероятности в=0.95, для количества степеней свободы df=n-1=10000-1=9999, например, при количестве реализаций п=10000 , то нулевая гипотеза принимается.
5. Проверка гипотезы о равестве дисперсий основных параметров СМО, полученных имитационным и аналитическим моделированием для ,-го параметра для /-го генератора случайных чисел [8].
Нулевая гипотеза Н0:о-*2 = ст2, альтерна-
та *2 2
тивная гипотеза На : аг]- ф с, .
Проверка производитя по формуле:
с
*2
= (п -1)^2. 1бе С >С
с
= (п -1) С хбе с <с2. (6)
с
Если вычисленное значение хХ/, не превышает критическое значение критерия х2кгц=10905, найденного по статистическим таблицам [7] при значении доверительной вероятности в=0.95, для количества степеней свободы df=n-1=10000-1=9999 то гипотеза принимается.
Аналитическое моделирование СМО типа М/М/1
Вычислим основные параметры СМО типа М/М/1 со средним временем поступления транзак-тов: 1 = 10 единиц времени и со средним временем обслуживания 1^1 = 6 единиц времени по формулам, полученным по аналитической модели
[4].
Интенсивность поступления транзактов в систему:
* =1/1ро5г =1/10 = О-1-
Интенсивность обслуживания транзактов
в ОА:
м = 1/1 оЫ = 1/6 = 0.167.
Приведённая плотность поступления тран-зактов в систему:
р = 1оЪз1 / 1ро1 = 6/10 = 0.6.
Вероятность отсутствия транзактов в систе-
ме:
р0 =1-р=1-0.6=0.4. Среднее количество транзактов в ОА:
т = р = 0.6. Среднее количество транзактов в очереди:
1
р2 = 0.62
1 - Р 1 - 06
0.9.
Среднее количество транзактов в системе:
0.6
1 -Р 1 - 0.6
к = -Р
-1.5.
Проверка:
к = т +1 = 0.6 + 0.9 = 1.5. Результаты проверки подтверждают корректность проведённых вычислений.
Дисперсия и стандартное отклонение количества транзактов в ОА:
ст2т = р-р2 = 0.6 - 0.62 = 0.24.
т = V0.24 = 0.4899 . Дисперсия и стандартное отклонение количества транзактов в очереди:
с2 = Р2(1 + Р-Р2) = 0.62 • (1 + 0.6 - 0.62) = 2 790 1 (1 -р)2 (1 - 0.6)2 ' '
С = у[С = V2.790 = 1.670 .
Дисперсия и стандартное отклонение количества транзактов в системе:
р
0.6
=3.750.
к (1 -р)2 (1 - 0.6)2
ск =С = 43.750 = 1.936. Ковариация:
Кш =р2 = 0.62 = 0.36. Проверка:
=&т +С + 2соу(т,1) = 0.240 + 2.370 + 2 • 0.36 = 3.750.
Результаты проверки подтверждают корректность ранее проведённых вычислений.
Среднее время обслуживания транзактв
в ОА:
1 1
1оЪз1
= 6.
ц 0.1667
Среднее время ожидания транзакта в очере-
ди:
togid - Р
0.6
К1~Р) 0.1667 (1—0.6)
- 9.
Среднее время пребывания транзакта в системе:
tsist
1
0.6
М(1 — Р) 0.1667 • (1 — 0.6)
= 15.
Проверка:
hist - 'tobsl + Jogid - 6 + 9 -15. Результаты проверки подтверждают корректность ранее проведённых вычислений.
Дисперсия и стандартное отклонение времени обслуживания в ОА:
^ - 1
obsl ~ 2
г
- 36.
^ 1.667
Дисперсия и стандартное отклонение времени ожидания транзакта в очереди:
а2 , = р(2 -Р) = 06 2(1 -06) = 189. /и2(1 -р)2 1.667 2 • (1 - 0.6)
ogid
- V189 - 13 .748
.2
ogid
Дисперсия и стандартное отклонение времени пребывания транзакта в системе:
Р
0.6
SISt И2(1 — Р)2 1.6672 • (1 — 0.6)
- 225.
= =^ = 15.
Проверка:
«2 иЫ = «2оЬы1 +o^2ogid = 36 +189 = 225.
Результаты проверки подтверждают корректность проведённых вычислений.
Результаты аналитического моделирования приведены в таблице 1.
Имитационное моделирование СМО М/М/1
Имитационное моделирование СМО М/М/1 проведём для четырёх первых генераторов у = 1,4. Количество сравниваемых средних значений, включая вероятность отсутствия в моделируемой системе транзактов, / = 1,7. Количество сравниваемых дисперсий / = 1з.
Вычислим требуемое количество реализаций имитационной модели для наиболее существенного показателя - времени пребывания транзактов в системе по неравенству Чебышева по формуле [5]:
152
((1 — Р) • tsist)2 • (1 — р) ((1 — 0.95) • 15)2 • (1 — 0.95)
■ - 8000,
где
tsist -15 - среднее время пребывания тран-
зактов в системе, полученное по результатам АМ;
= 15 - стандартное отклонение времени
пребывания транзактов в системе, полученное по результатам АМ;
в = 0.95 - рекомендуемое значение доверительной вероятности [6].
Для упрощения расчётов примем количество реализаций ИМ п=10000.
Для имитационного моделирования СМО М/М/1 в системе вР88 W с расширенным редактором требуется нарисовать структурную схему, приведённую на рис.1. Приведём демонстрацию описанных методов сравнения на примере простейшей СМО.
Инициализация таблиц
Генерация
транзак-
Очередь
Устройство
Регистрация времени в табл.
Удаление транзактов
Рис. 1 - Структурная схема СМО М/М/1 в системе GPSS W c расширенным редактором
К структурной схеме, приведённой на рис.1, в расширенном редакторе с помощью совокупности меню добавляются необходимые данные по функционированию СМО, затем в автоматическом режиме генерируется текст программы в системе GPSS W c расширенным редактором и проводится ИМ. Результаты ИМ для четырёх генераторов случайных чисел приведены в таблицах 1 и 2.
Сравнение результатов имитационного и аналитического моделирования
В таблице 1. представлены результаты оценок вероятности, что в системе нет транзактов, и основных средних значений параметров, полученных при ИМ для четырёх генераторов случайных чисел.
В таблице 1 выделены три раздела.
1. В первом разделе приведены различия результатов ИМ от результатов АМ в %, вычисленные по (1). Отметим, что различия всех результатов не превышают 10%, что является положительным моментом. Ужесточим требования и будем считать удовлетворительными только различия, не превышающие 5%. В этом случае удовлетворительными следует признать 21 тест, что составляет 71%, и неудовлетворительными - 8 случаев, что составляет 29%.
2. Во втором разделе прведены оценки различия результатов ИМ и АМ проверкой гипотезы о равенстве средних по критерию Стьюдета, вычисляемого по (2) и (4). Удовлетворительные оценки получены по 16 тестам, что составляет 57%, и неудовлетворительные по 12 тестам, что составляет 43%.
3. В третьем разделе прведены результаты попадания результатов ИМ в доверительные интервалы, построенные по результатам АМ. Удовлетворительные оценки получены по 16 тестам, что составляет 57%, и неудовлетворительные по 12 тестам, что составляет 43%.
2
и
Вестник технологического университета. 2015. Т.18, №6 Таблица 1 - Результаты оценок вероятности и основных средних значений параметров
№ Код Наименова-ние АМ ИМ. Ш Разн. в % ИМ. Ш2 Разн. в % ИМ. ИЧ3 Разн. в % ИМ. Ш4 Разн. в %
Оценка разницы вероятности и средних значений, полученных АМ и ИМ в процентах.
1 Р0 Вероятность отсутствия транзактов в СМО 0.4 0.397 0.75 0.389 2.75 0.409 -2.25 0.406 -1.50
2 т Среднее количество транзактов в ОА 0.6 0.603 -0.43 0.611 0.183 0.595 -0.83 0.592 -1.33
3 1 Среднее количество транзактов в очереди 0.9 0.862 4.27 0.976 8.444 0.874 -2.90 0.814 -9.56
4 к Среднее количество транзактов в системе 1.5 1.464 2.39 1.587 5.800 1.469 -2.07 1.406 -6.27
5 ЬоЪ.ч1 Среднее время обслуживания транзактов в ОА 6 6.091 -1.51 6.077 1.283 6.019 0.317 6.046 0.767
6 Среднее время ожидания транзактов в очереди 9 8.709 3.235 9.707 7.967 8.840 -1.78 8.308 -7.69
7 Ь sist Среднее время пребывния транзактов в системе 15 14.80 1.335 15.78 5.227 14.86 0.940 14.36 -4.30
Итого по 7 тестам: +7 -0 +3 -4 +7 -0 +4 -3
Оценка равенства вероятности и средних значений, полученных АМ и ИМ по критерию Стьюдента при ¡3=0.95, 1Лт=1.960
№ Код Наименование АМ ш Рез. Ш2 Рез. ИЧ3 Рез. Ш4 Рез.
1 Р0 Вероятность отсутствия транзактов в СМО 0.4 0.612 + 2.245 - 1.836 + 1.224 +
2 т Среднее количество транзактов в ОА 0.6 0.525 + 2.220 - 0.973 + 1.596 +
3 1 Среднее количество транзактов в очереди 0.9 2.301 - 4.532 - 1.546 + 5.164 -
4 к Среднее количество транзактов в системе 1.5 1.852 + 4.472 - 1.580 + 4.858 -
5 ЬоЪ.ч1 Среднее время обслуживания транзактов в ОА 6 1.517 + 1.288 + 0.317 + 0.767 +
6 Ь ogid Среднее время ожидания транзактов в очереди 9 2.116 - 5.140 - 1.164 + 5.033 -
7 Ь sist Среднее время пребывния транзактов в системе 15 1.333 + 5.226 + 0.933 + 4.267 -
Итого по 7 тестам: +5 -2 +1 -6 +7 -0 +3 -4
Оценка вероятности и средних значений, полученных АМ и ИМ попаданием в доверительный интервал с в=0.95
№ Код Наименование Довер. инт. £ ИМ. Ш Рез. ИМ. Ш2 Рез. ИМ. ИЧ3 Рез. ИМ. Ш4 Рез.
1 Р<. Вероятность отсутствия транзактов в СМО 0.4 0.397 + 0.389 - 0.409 + 0.406 +
2 т Среднее количество транзактов в ОА 0.0096 0.603 + 0.611 - 0.595 + 0.592 +
3 1 Среднее количество транзактов в очереди 0.0327 0.862 - 0.976 - 0.874 + 0.814 -
4 к Среднее количество транзактов в системе 0.0379 1.464 + 0.384 - 1.469 + 1.406 -
5 ЬоЪ.ч1 Среднее время обслуживания транзактов в ОА 0.1176 6.091 + 6.077 + 6.019 + 6.046 +
6 Ь ogid Среднее время ожидания транзактов в очереди 0.2695 8.709 - 9.707 - 8.840 + 8.308 -
7 Ь sist Среднее время пребывния транзактов в системе 0.2940 14.80 + 15.78 - 14.86 + 14.36 -
Итого по 7 тестам: +5 -2 +1 -6 +7 -0 +3 -4
Итого по 21 тесту: +17 -4 +5 -16 +21 -0 +10 -11
В таблице 2 приведены результаты оценок стандартных отклонений и дисперсий, полученных при ИМ для четырёх генераторов случайных чисел.
В таблице 2 выделены два раздела.
1. В первом разделе приведены различия стандартных отклонений параметров СМО, полученных при ИМ, от результатов АМ в %, вычисленные по (1). Отметим, что различия всех результатов не превышают 10%, что является положительным
моментом. Ужесточим требования и будем считать удовлетворительными только различия, не превышающие 5%. В этом случае удовлетворительными следует признать 7 случаев, что составляет 58%, и неудовлетворительными - 5 случаев, что составляет 42%. Результаты сравнения стандартных отклонений уступают результатам сравнения средних значений, что вполне объяснимо большей изменчивостью стандартных отклонений.
Вестник технологического университета. 2015. Т.18, №6 Таблица 2 - Результаты оценок стандартных отклонений и дисперсий
№ Код Наименование АМ ИМ. КЫ1 Разн. в % ИМ. КЫ2 Разн. в % ИМ. КЫ3 Разн. в % ИМ. КЫ4 Разн. в %
Оценка различия дисперсий, полученных по результатам ИМ и АМ в %
1 аоЪз1 Стандартное отклонение времени обслуживания транзактов в ОА 6 6.082 -1.36 6.003 -0.05 5.995 0.083 6.012 -0.20
2 ^ogid Стандартное отклонение времени ожидания транзактов в очереди 13.75 12.94 5.876 14.64 6.517 14.13 2.749 12.48 -9.25
3 Стандартное отклонение времени пребывания транзактов в системе 15 14.25 4.970 15.89 6.547 15.37 2.440 13.71 -8.62
Итого по 3 тестам: +2 -1 +1 -2 +3 -0 +1 -2
2 Оценка равенства дисперсий, полученных по результатам ИМ и АМ по критерию X
№ Код Наименование хЫг X2 КЫ1 Рез. X2 КЫ2 Рез. X2 КЫ3 Рез. X2 КЫ4 Рез.
1 °оЪ$1 Стандартное отклонение времени обслуживания транзактов в ОА 10905 10136 + 10032 + 10007 + 10019 +
2 ^ogid Стандартное отклонение времени ожидания транзактов в очереди 10905 10625 + 10646 + 10275 + 11017
3 Стандартное отклонение времени пребывания транзактов в системе 10905 10525 + 10592 + 10246 + 10940
Итого по 3 тестам: +3 -0 +3 -0 +3 -0 +1 -2
Итого по 6 тестам: +5 -1 +4 -2 +6 -0 +2 -4
Итого по 27 тестам таблиц 1 и 2: +22 -5 +9 -18 +27 -0 +12 -15
2. Во втором разделе приведены оценки различия результатов ИМ и АМ проверкой гипотезы
0 равенстве дисперсий по критерию %2, вычисляемого по (6). Удовлетворительные оценки получены по 10 тестам, что составляет 83%, и неудовлетворительные - по 2 тестам, что составляет 17%.
Для двух наиболее существенных показателей функционирования моделируемой СМО: сред-
1
1.02 1.00 0.98 0.96 0.94 0.92 0.90. 0.88 0.86 0.84. 0.82.
к
ч
1 ~ ~ - \
1 \ ч
0 9+г > \
1 ч -<
■ - — 1 '•••• \ \ *ч --ч -><
V \ ■ч --- — ~~ ~
/
•.._
N
ИЧ3
кга
ИЧ1
кш
2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000 п Рис. 2 - График зависимости среднего количества
транзактов в очереди ций п
1
от количества реализа-
него количества транзактов в очереди 1 и среднего времени пребывания транзакта в системе t¡i¡^ по результат аналитического моделирования по [3] построены доверительные интервалы и графики их зависимостей от количества реализаций (промоделро-ванных транзактов), приведённые на рис.2 и рис.3.
Рис. 3 - График зависимости среднего времени
пребывания транзакта в системе tsist от количества реализаций п
По результатам, приведённым на рис.2 и рис.3, отметим:
1. Наилучшие результаты показал генератор случайных чисел ЯШ, показавший удовлетворительные результаты по 18 тестам из 22, что составляет 82%. ЯШ показал удовлетворительные результаты по 15 тестам, по 12 тестам и по 7 тестам.
2. При увеличении количества реализаций результаты моделирования для ЯШ, КЫ2, ЯШ, как правило, улучшаются.
Заключение
Проведённое исследование позволило сделать следующте выводы.
1. Введение в систему вР88 W расширенного редактора выводит её на современный уровень развития специализированных средств ИМ. Расширенный редактор позволяет создавать графические модели СМО и отказаться, в конечном счёте, от программирования имитационных моделей к их «рисованию».
2. Результаты, проведённого ИМ СМО М/М/1, при использовании четырёх гнераторов равномерно распределённых случайных чисел на 10000 реализаций на 27 тестах показали имеющуюся существенную разницу между ними. Первое место занимает генератор ЯШ, успешно прошедший все 27 тестов, на втором месте генератор КЫ1, успешно прошедший 22 теста, на третьем месте генератор
успешно прошедший 11 тестов и на четвёртом месте успешно прошедший 9 тестов. Можно рекомендовать для преимцщественного использования в ИМ генераторов ЯШ и ЯШ.
3. Тестирование результатов ИМ СМО М/М/1 показало имеющееся различие в тестах первого и второго разделов таблиц 1 и 2. Результаты 2 и 3 разделов таблицы 1 полностью совпадают. Можно рекомендовать для использования по два различных
раздела таблиц 1 и 2, по таблице 1 можно исключить один из разделов: второй, или третий.
4. Анализ зависимости результатов имитационного моделирования от количества реализаций позволил рекомендовать не использовать при ИМ в системе вР88 W генератор случайных чисел для количества реализаций меньше 22000. При его ипользовании при большем количестве реализаций требуется проведение дополнительного исследования.
Литература
1. Якимов И.М., Старцева Ю.Г., Кирпичников А.П., Мокшин В.В. Моделирование сложных систем в среде имитационного моделирования ОРББ W с расширенным редактором. Вестник Казан. технол. ун-та, 2014. Т. 17, №4 . С. 298-303.
2. Якимов И.М., Кирпичников А.П., Мокшин В.В. Моделирование сложных систем в имитационной среде ЛКУЪООЮ. Вестник Казан. технол. ун-та, 2014. Т. 17, №13 . С. 352-357.
3. Якимов И.М., Кирпичников А.П., Мокшин В.В., Кос-тюхина Г.В., Шигаева Т.А. Комплексный подход к моделированию сложных систем в системе ВР^ап-Лгепа. Вестник Казан. технол. ун-та, 2014. Т. 17, №6 . С. 287292.
4. Кирпичников А.П. Методы прикладной теории массового обслуживания. - Казань: Изд-во Казанс. Гос. ун-та, 2011. - 200 с.
5. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем. Искусство и наука. - М.: Мир, 1978. - 418 с.
6. Оуэн Д.Б. Сборник статистических таблиц. - М.: Изд.-во. ВЦ АН СССР, 1966. - 586 с.
7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. -Высшая школа, 1998. - 570 с.
8. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента втехнике и науке. Методы обработки данных. - М.: Мир, 1980. - 615 с.
© И. М. Якимов - канд. техн. наук, профессор кафедры автоматизированных систем обработки информации и управления КНИГУ им А.Н.Туполева; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИГУ, [email protected]; Г. Р. Зайнуллина - бакалавр кафедры автоматизированных систем обработки информации и управления КНИГУ им А.Н.Туполева, [email protected]; З. Т. Яхина - канд.техн.наук, доцент кафедры автоматизированных систем обработки информации и управления КНИТУ-КАИ им А.Н.Туполева.
© I. М. Yakimov - PhD, Professor of the Department of Automated Information Processing Systems & Control, KNRTU named after A.N. Tupolev; А. P. Kirpichnikov - Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, [email protected]; G. R. Zajnullina — Bachelor of the Department of Automated Information Processing Systems & Control, KNRTU named after A.N. Tupolev, [email protected]; Z. T. Iakhina -- PhD, Associate Professor of the Department of Automated Information Processing Systems & Control, KNRTU named after A.N. Tupolev.
