CC BY
75
УДК 519.237.5
И. М. Якимов, А. П. Кирпичников, Г. Р. Зайнуллина, Ю. Г. Исаева, З. Т. Яхина
ИНФОРМАЦИОННАЯ СИСТЕМА ИМИТАЦИОННОГО И АНАЛИТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Ключевые слова: информационная система, имитационная модель, аналитическая модель, система массового обслуживания, расширенный редактор системы GPSS World.
Приводится описание разработанной авторами статьи информационной системы имитационного и аналитического моделирования. Для примера приведены результаты аналитического и имитационного моделирования открытых систем массового обслуживания. Для имитационного моделирования использован расширенный редактор системы GPSS World. Сравнение результатов имитационного и аналитического методов проведено параметрическими методами. Приведена оценка степени влияния количества обслуживающих аппаратов и мест в очереди на эффективность функционирования системы массового обслуживания по среднему времени выполнения заявок.
Keywords: information system, simulation model, analytical model, queuing system, Advanced editor system GPSS World.
The description of the authors developed an information system simulation and analytical modeling. For example, the results of the analytical and simulation of open queuing systems. For the simulation used the advanced editor of GPSS World. Comparison of the results of simulation and analytical methods Parametric methods. The assessment of the degree of influence of the number of service units and locations in the queue for the performance of the queuing system at the average run-time applications.
Введение
Информационная система имитационного и аналитического моделирования систем массового обслуживания (ИСИАМ СМО) является дальнейшим развитием системы «вР88 W с расширенным редактором» [1]. Она позволяет оценивать однородность результатов
имитационного моделирования (ИМ) и аналитического моделирования (АМ) систем массового обслуживания (СМО). Аналитическая модель СМО построена по формулам, приведённым в [2, 3]. Сравнение результатов ИМ и АМ открытой СМО М/М/1 приведено в [4]. Сравнение результатов ИМ и АМ замкнутых СМО приведено в [5].
1. Основные принципы построения ИСИАМ СМО
Информационная система имитационного и аналитического моделирования систем массового обслуживания является клиент-серверной компонентой системы вР88 W с расширенным редактором [1]. Она состоит из шести следующих подсистем:
1. Ввода параметров моделирования;
2. Имитационного моделирования;
3. Аналитического моделирования;
4. Сравнения результатов ИМ и АМ;
5. Планирования экспериментов;
6. Оформления отчетов.
На главном окне ИСИАМ выбирается режим работы. Предусматривается три режима: ИМ, АМ и сравнения ИМ и АМ. В зависимости от выбранного режима на экран вызываются меню подсистем.
Подсистема ИМ имеет два меню. По первому меню по символике Кендалла [2, 3] выбирается одна из восьми имеющихся моделей: М/М/1, М/М/т, М/М/т/0, М/М/т/Е, М/М/1Ш, М/М/т/0/Ы, М/М/т//Ы, М/М/т/Е/Ы, или режим ввода модели пользователя. Второе меню предназначено для
определения перечня регистрируемых результатов моделирования.
Подсистема АМ имеет два меню, аналогичных меню ИМ.
По меню ввода параметров моделирования задаются виды стандартных законов функционирования элементов моделируемых СМО и их параметры. В режиме ИМ для определения режима функционирования элементов модели возможно использование функции пользователя. Кроме того в режиме ИМ требуется задать необходимое количество реализаций состояния модели.
Подсистема сравнения результатов ИМ и АМ имеет два меню. Первое определяет перечень результатов моделирования, по которым производится сравнение, второе определяет перечень методов, используемых для сравнения. Оба меню предусматривают возможность введения не предусмотренных ранее результатов для сравнения и новых методов для сравнения результатов.
Подсистема планирования экспериментов имеет два меню. Первое меню предназначено для выбора типа стратегического плана из следующего перечня: полный факторный эксперимент (ПФЭ), дробный факторный эксперимент (ДФЭ), ортогональный композиционный план (ОЦКП), рототабельный центральный композиционный план (РЦКП), Д-оптимальный план Коно или Кифера. Возможно задание стратегического плана пользователя. Второе меню предназначено для задания диапазонов изменения используемых параметров
моделирования (факторов).
Подсистема оформления отчётов имеет три меню. Первое меню определяет перечень выводимых результатов моделирования и их вид: табличный, или графический. Второе меню используется для определения количества строк и
столбцов таблицы. В третьем меню определяются параметры выводимых графиков.
По нажатию на кнопку «Открыть» запускается моделирование СМО.
2. Имитационное моделирование СМО
Подсистема имитационного моделирования СМО включает в себя 4 открытых СМО: M/M/1, M/M/m, M/M/m/0, M/M/m/E и 4 замкнутых СМО: M/M/1//N, M/M/m/0/N, M/M/m//N, M/M/m/E/N. Для примера в статье приведены результаты ИМ открытой системы массового обслуживания M/M/m/E. При моделировании СМО достаточно выбрать модель по символике Кендалла из имеющегося набора СМО. В этом случае будет выдана структурная модель СМО, приведённая на рис.1. Для моделирования СМО пользователя требуется нарисовать структурную модель СМО в системе «Расширенный редактор GPSS World», например, такую как на рис.1 и ввести её в ИСИАМ.
Задержка транзактов в BUF Задержка транзактов в ОА Выход
Отказ транзактам в обслуживании при отсутствии мест в BUF
Рис. 1- Структурная модель СМО М/М/т/Е в системе ОР88 W с расширенным редактором
К структурной модели, приведённой на рис.1, полученной в системе вР88 W с расширенным редактором, дополнительно вводятся виды законов распределения времени поступления заявок (транзактов) в СМО и времени обслуживания заявок. Приняты экспоненциальные законы со средним временем поступления транзактов в систему: / = 10 единиц времени и средним
пост
временем обслуживания / = 30 единиц времени.
обсл
Задано количество обслуживающих аппаратов (ОА) т=5; количество мест в очереди Е=2, количество реализаций модели 10000 [5]. После ввода исходных данных в автоматическом режиме генерируется текст программы модели на языке вР88 W и проводится ИМ. Результаты ИМ СМО приведены в таблицах 1 и 2.
3. Аналитическое моделирование
Подсистема аналитического моделирования включает в себя те же самые модели, что и система ИМ. Модель М/М/т/Е принята за базовую. Эта модель в принципиальном плане позволяет получить по ней другие модели СМО простым изменением значений параметров т и Е. Параметры моделируемых систем приняты такие же, как и при ИМ. Основные показатели эффективности функционирования СМО вычислены по формулам, приведённым в [2, 3].
1. Пропускная способность системы:
Р_*обслГ1пос Т_ 3 (1)
2. Вероятность отсутствия транзактов в системе:
Ро =
m k m+E
£ P + £+■
k = 0 k=m+1
p
= 0.047.
(2)
3. Вероятности наличия транзактов в системе:
Pk
Pk =Т7 Р0;
k ■ при k < m;
(3)
Pk
p
:P0;
m < k < m + E.
при ».-л.-». ■ - . (4)
По формуле (4) вычислена вероятность отказа, который наступает при количестве транзактов в системе т+Е= 7:
т+Е
Ротк =
P
-р0 = 0.034.
(5)
т\т
4. Среднее количество занятых ОА:
™ =Р1~ Рот )_ 2.897. (6)
5. Вероятность использования ОА (коэффициент использования одного ОА):
рисп =р 1-роткут _ 0.579. (7)
6. Вероятность ожидания:
Р°ж _(Р-1)\0^-р) ^^ 1_0Л53' (8)
7. Среднее количество транзактов в очереди:
_ (9)
^реал =—Р—{Р отк-Е Ротк) _ 0126 ^ т - р
8. Среднее количество транзактов в системе:
к=р 1-Рот >~/= 3.023. (10)
9. Вероятность обслуживания:
Робсл = 1-Рожпд-Ротк=0.812. (11)
10. Абсолютная пропускная способность:
а _ (1-Ротк Успеют _ 0.097. (12)
11. Среднее время ожидания:
" (13)
(14)
(15)
1ОЖИД
= — = 1.308 . А
12. Среднее время обслуживания:
*обсл = ~£ = 30 ■
13. Среднее время пребывания в системе:
преа _ 31-308.
Вычисленные значения вероятностей и средние значения приведены в таблице 1.
14. Дисперсия количества транзактов в очереди:
2 _(т + р)1-рЕ(Е+1)ротк -2
■-/ = 0.179 (16)
/77 - p
15. Дисперсия количества транзактов в ОА:
t2m =т - р\рожид +{т-т )рОТк] = 2220.
16. Ковариация:
Kml =P[Pi.ea -(E-l)pide ]= 0.266.
17. Дисперсия количества транзактов в системе:
= ^ +2Kml = 2-931
18. Дисперсия времени ожидания:
(17)
(18) (19)
k - m
m!m
2г о
ожио , х
О - Р)
-2
- г ожио = 18.264
- - Р Е (Е +1)
г ожи0 - , Ро,
т 2 А
19. Дисперсия времени обслуживания:
т2
О = 900■
(20)
(21)
20. Дисперсия времени пребывания в системе:
2г обсл
(т -р)
- - р Е (Е +1)
г ожио I ; Ро
т
2 А
(22)
-2 -2
- г ожио + г обсл = 918.264.
Результаты вычисления дисперсий приведены в таблице 2.
4. Сравнение результатов ИМ и АМ
В ИСИАМ введены следующие методы оценки однородности ИМ и АМ.
1. Оценка отличия результатов ИМ от результатов АМ, выраженное в процентах:
Д. = У—Ъ- -100,
Уг
(23)
где уг - оценка г-го параметра полученная при ИМ; уг - значение г-го параметра, вычисленное по аналитической модели.
2. Оценка отличия вероятностей и средних значений параметров СМО, полученных при ИМ и АМ по критерию Стьюдента. Значение критерия Стьюдента вычисляется по формуле [7]:
У1г - Уи\
<Уг
(24)
где уг - оценка г-го параметра, полученная при ИМ; уг - значение г-го параметра, вычисленное по аналитической модели.
Стандартное отклонение вероятностей вычисляется по формуле:
<уг
= >/ Рг - (1 - Рг ).
(25)
Если вычисленное значение и не превышает критическое значение критерия Стьюдента, найденного по статистическим таблицам г^¡=1.960 [8], при рекомендуемом значении доверительной вероятности в=0.95 для количества степеней свободы df=n-1=10000-1=9999, то нулевая гипотеза принимается.
3. Метод доверительного интервала. Так как оценки математических ожиданий при ИМ вычисляются суммированием случайных чисел, то на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей, можно построить доверительный интервал по нормальному закону. Для построения доверительных интервалов по результатам АМ для основных показателей функционирования СМО с доверительной вероятностью в=0.95 и с ¡р =1.96, найденного по статистическим таблицам 1.960 [8],
половина ширины доверительного интервала и его границы определяются по формулам [7]:
ег =-
-г
ркги'
Уг1еу = Уг - 5г; Угргау = Уг + 5г. (26)
4.
4П
Оценка отличия дисперсий по критерию Пирсона.
Критерий Пирсона вычисляется по формуле:
*2
X;
С-1
при <г
X2 = Р-
22 пр^^ а ■ < а ■.
(27)
Если вычисленное значение х2! не превышает критическое значение критерия х21кги=10905, найденного по статистическим таблицам [6] при значении доверительной вероятности в=0.95, для количества степеней свободы df=n-1=10000-1=9999, то результаты, полученные при ИМ и АМ считаются однородными.
5. Сравнение результатов имитационного и аналитического моделирования
В таблице 1 приведены результаты оценок основных вероятностных и средних значений параметров, полученных АМ и ИМ.
В таблице 1-м в 4-м столбце приведены результаты АМ, в столбцах 5 и 6 - левая и правая границы доверительного интервала, построенного по результатам АМ (26). В 7-м столбце приведены результаты ИМ. В 8-м столбце приведена разница между результатами ИМ и АМ в % (23). Результат считается удовлетворительным, если разница не превышает 5%.
В 9-м столбце приведена оценка попадания оцениваемых величин в доверительные интервалы. В 10-м столбце приведены вычисленные значения критерия Стьюдента (24) и в 11-м столбце - оценка результатов по критерию Стьюдента. Удовлетворительные оценки получены по 23 тестам из 24 проведённых, что составляет 96%.
В таблице 2 приведены результаты сравнения оценок дисперсий, полученных при ИМ и АМ.
В таблице 2 в 4-м столбце приведены результаты АМ, в столбце 5 - результаты ИМ. В 6-м столбце приведена разница между результатами ИМ и АМ в % (23). В 7-м столбце приведены оценки сравнения, результат принимается удовлетворительным, если разница не превышает 5%. В 8-м столбце приведены вычисленные значения критериев х2 (27) и в 9-м столбце - оценки различий результатов ИМ и АМ проверкой гипотезы о равенстве дисперсий по критерию х2. Удовлетворительные оценки получены по всем 12 проведённым тестам.
Таким образом, по 35 тестам из 36 проведённых получены удовлетворительные результаты, что составляет 97% и позволяет сделать заключение о достоверности результатов ИМ.
2
2
сг =
сист
Вестник технологического университета. 2016. Т.19, №5 Таблица 1- Результаты оценок основных вероятностных и средних значений параметров СМО М/М/т/Е
№ Код Наименование АМ Лев. гран. Прав. гран. ИМ Разница в % Оценка интер. и Оценка по Стьюденту
1 Ротк Вероятность отказа в обслуживании 0.034 0.030 0.038 0.037 8.448 + 1.596 +
2 Рисп Вероятность использования ОА 0.579 0.569 0.589 0.580 0.090 + 0.106 +
3 1 Среднее количество транзактов в очереди 0.126 0.118 0.135 0.131 4.118 + 1.228 +
4 т Среднее количество транзактов в ОА 2.897 2.867 2.926 2.899 0.090 + 0.175 +
5 к Среднее количество транзактов в системе 3.023 2.989 3.057 3.031 0.258 + 0.456 +
6 1ожид Среднее время ожидания транзактов в очереди 1.308 1.224 1.392 1.373 4.955 + 1.516 +
7 / обсл Среднее время задержки транзактов в ОА 30.000 29.412 30.588 30.270 0.899 + 0.899 +
8 tпреб Среднее время пребывания транзактов в системе 31.308 30.715 31.902 31.642 1.068 + 1.104 +
Итого по 8 тестам: + 7 - 1 + 8 - 0 + 8 - 0
Таблица 2 - Результаты оценок дисперсий СМО М/М/т/Е
№ Код Наименование АМ ИМ Разн. в % Оценка разницы £2 Оценка по критерию х2
1 Дисперсия количества транзактов в очереди 0.179 0.185 3.425 + 10334 +
2 Дисперсия количества транзактов в ОА 2.220 2.170 2.250 + 10229 +
3 2 Дисперсия количества транзактов в системе 2.931 2.908 0.772 + 10078 +
4 Дисперсия времени ожидания транзактов в очереди 18.264 18.521 1.403 + 10139 +
5 ^бсп Дисперсия времени задержки транзактов в ОА 900.000 919.458 2.162 + 10215 +
6 0"преб Дисперсия времени пребывания транзактов в системе 918.264 937.438 2.088 + 10208 +
Итого по 6 тестам: + 6 - 0 + 6 - 0
6. Анализ влияния количества ОА и ограничения на количество мест в очереди на показатели функционирования СМО
Разработанные базовые аналитические и имитационные модели СМО позволяют оценить влияние изменения количества ОА - т и допустимой длины очереди - Е на показатели эффективности функционирования СМО. В данной работе проведено моделирование трёх СМО: М/М/т/Е - с отказами по заданному ограничению на количество мест в очереди Е, М/М/т/0 - с отказами, если в системе заняты все ОА, т.е. без очереди; М/М/т - без отказов, т.е. с очередью неограниченной длины. Результаты моделирования ЗСМО: вероятности отказа в обслуживании - ротк,
с реднего времени обработки заявок - и
вероятности использования ОА - рисп в графическом виде приведены на рис.2 - рис.4. Особый интерес представляет изменение допустимой длины очереди - Е, не требующей никаких дополнительных затрат, и в то же время позволяющей существенно влиять на показатели функционирования СМО. В частности, для т=3 отметим, что при уменьшении ограничения на длину очереди Е с 5 до 2 вероятность отказов ротк увеличивается с 0 до 0.27 и если такой результат признать приемлемым, то можно уменьшить среднее время выполнения заявок с 51 единицы времени до 41 единицы времени, т.е. примерно на 20%, что является весьма существенным результатом. Коэффициент загрузки ОА в этом случае понизится с 0.96 до 0.94, т.е. всего на 2%.
рот 0,14 т
0,12 0,1 -0,08 - ■ 0,06 ■ ■ 0,04 ■ ■ 0,02 0
*0,117 *
0,09 *
S
0,05
0,09 m=4
^ 0,069
^,066 m=5 ^^ % 0,053
♦s» > 0,034
4^0025 0,021
^m ^0,013 _ _0,006
0,013
0,03 '—■♦
0,008 Е
5 J
Рис. 2 - Зависимость вероятности отказа в обслуживании заявок от количества мест в очереди - Е и количества ОА - т
Рис. 3 - Зависимость среднего времени выполнения одной заявки от количества мест в очереди - Е и количества ОА - т
р,
0,8 х
0,7- -0,662
. ----
0,546 . .0,475 0,566 —♦ - 0,487 0,579 - 0,494 ! 0,587 m=6 / 0,497 ' > 0,592 --» - 0,498 Ф 0,595 - ♦ 0,499 ——♦
E
1 2 3 4 5
Рис. 4- Зависимость вероятности использования ОА (среднего коэффициента загрузки одного ОА) от количества мест в очереди - Е и количества ОА - т
Заключение
Проведённое исследование позволило сделать следующие выводы.
1. Информационная система имитационного и аналитического моделирования систем массового обслуживания - ИСИАМ СМО позволяет проводить
оценку достоверности результатов имитационного моделирования по результатам аналитического моделирования. Освоение системы не сложно, особенно для специалистов, владеющих языком GPSS W. Её применение позволяет значительно повысить эффективность проводимых исследований за счёт снижения трудоёмкости выполняемых работ и повышения достоверности результатов моделирования. Возможности системы могут быть расширены за счёт введения новых аналитических и имитационных моделей СМО и новых подпрограмм оценки достоверности результатов в соответствующие подсистемы.
2. Разработанная базовая модель ИМ и АМ СМО M/M/m/E позволяют легко получать по ней модели СМО: M/M/1/E, M/M/m/0 и M/M/m простым изменением параметров: m и E.
3. Построенные модели позволяют провести количественную оценку вносимых изменений в СМО по количеству ОА в системе и количеству мест в очереди и выбрать лучший вариант построения структуры СМО.
4. Планируется использование ИСИАМ СМО в учебном процессе КГТУ-КАИ и КГТУ-КХТИ.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РРНФ в рамках научного проекта №1512-16001 «Развитие финансовых механизмов управления транспортной системой крупных городов и регионов России».
Литература
1. Якимов И.М., Старцева Ю.Г., Кирпичников А.П., Мокшин В.В. Моделирование сложных систем в среде имитационного моделирования GPSS W с расширенным редактором. Вестник Казан. технол. ун-та, 2014. Т. 17, №4 . С. 298-303.
2. Кирпичников А.П. Прикладная теория массового обслуживания. - Казань: Изд-во Казанс. гос. ун-та, 2008. - 112 с.
3. Кирпичников А.П. Методы прикладной теории массового обслуживания. - Казань: Изд-во Казанс. ун-та, 2011. - 200 с.
4. Якимов И.М., Кирпичников А.П., Зайнуллина Г.Р., Яхина З.Т. Оценка достоверности результатов имитационного моделирования по результатам аналитического моделирования. Вестник технол. ун-та, 2015. Т. 18, №6. С. 173-178.
5. Якимов И.М., Кирпичников А.П., Зайнуллина Г.Р., Яхина З.Т. Аналитическое и имитационное моделирование замкнутых систем массового обслуживания. Вестник технол. ун-та, 2015. Т. 18, №13. С. 176-182.
6. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем. Искусство и наука. - М.: Мир, 1978. - 418 с.
7. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных. -М.: Мир, 1980. - 615 с.
8. Оуэн Д.Б. Сборник статистических таблиц. - М.: Изд.-во. ВЦ АН СССР, 1966. - 586 с.
© И. М. Якимов - канд. техн. наук, проф. каф. автоматизированных систем обработки информации и управления КНИТУ им А.Н.Туполева; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, [email protected]; Г. Р. Зайнуллина - бакалавр каф. автоматизированных систем обработки информации и управления КНИТУ им А.Н.Туполева, [email protected]; Ю. Г. Исаева - бакалавр той же кафедры; З. Т Яхина - канд. техн. наук, доц. той же кафедры.
© I. M. Yakimov - PhD, Professor of the Department of Automated Information Processing Systems & Control, KNRTU named after A.N. Tupolev; A.P. Kirpichnikov - Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected]; G. R. Zajnullina — Bachelor of the Department of Automated Information Processing Systems & Control, KNRTU named after A.N. Tupolev, [email protected]; Yu. G. Isaeva — Bachelor of the Department of Automated Information Processing Systems & Control, KNRTU named after A.N. Tupolev; Z. T. Iakhina -- PhD, Associate Professor of the Department of Automated Information Processing Systems & Control, KNRTU named after A.N. Tupolev.
0,04
2
3
4
m=4
0,727
0,72
0,71
m=5
0,4
