Оценка дисперсии производных коэффициента аэродинамического момента крена по углам атаки и скольжения тела вращения с малыми случайными искажениями поверхности при сверхзвуковом обтекании Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

Челябинский физико-математический журнал. 2019. Т. 4, вып. 3. С. 345-354.

УДК 533.601.1, 629.7 Б01: 10.24411/2500-0101-2019-14307

ОЦЕНКА ДИСПЕРСИИ ПРОИЗВОДНЫХ КОЭФФИЦИЕНТА АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО МОМЕНТА КРЕНА ПО УГЛАМ АТАКИ И СКОЛЬЖЕНИЯ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ С МАЛЫМИ СЛУЧАЙНЫМИ ИСКАЖЕНИЯМИ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ СВЕРХЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ

Ю. А. Мокин1'2'3, С. Т. Калашников12, Р. К. Швалева1'2

1 Южно-Уральский федеральный научный центр минералогии и геоэкологии УрО РАН, г. Миасс, Челябинская обл., Россия 2АО«Государственный ракетный центр имени академика В. П. Макеева», г. Миасс, Челябинская обл., Россия

3 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия src@makeyev.ru

Рассматривается один из проблемных вопросов определения аэродинамических характеристик скоростных спускаемых летательных аппаратов (СЛА), имеющих форму тела вращения с малыми случайными вариациями поверхности композитного теплозащитного покрытия — вопрос оценки масштаба дисперсии П{ш'а}, П{тХ} производных коэффициента аэродинамического возмущающего момента крена шх по углам атаки и скольжения в зависимости от определяющих параметров. На основе использования разложения вариации поверхности в ряд Фурье и метода дифференциальной гипотезы локальности (для расчёта вариаций давления) получено аналитическое интегральное решение поставленной задачи для тела вращения с заданной автокорреляционной функцией случайных вариаций его поверхности. Проведён качественный анализ полученного решения. Представлен график, иллюстрирующий зависимость практически предельных значений величин , ш-Х на уровне 3а{т'а} от степени корреляционной зависимости для модельной автокорреляционной функции случайных искажений поверхности острого ~ 10° конуса.

Ключевые слова: сверхзвуковое обтекание, тело вращения, острый конус, композитный теплозащитный материал, слабая случайная вариация поверхности, малый угол атаки, аэродинамический момент крена.

В числе проблемных вопросов, относящихся к определению аэродинамических характеристик тел вращения с малыми случайными пространственными искажениями внешней поверхности композитных теплозащитных материалов при сверхзвуковом и гиперзвуковом обтекании под малым углом атаки, рассмотренных в работе [1], отмечен, как один из наиболее сложных, вопрос оценки величин возмущающего аэродинамического момента крена.

Проблемный характер указанного вопроса усугубляется в условиях неопределённости, отсутствия полной априорной информации о возможном качественном

виде искажений поверхности, обусловленных многочисленностью влияющих факторов, в том числе случайного характера. Практическая значимость получения рациональных оценок величин возмущающего аэродинамического момента крена, а также величин и других возмущающих аэродинамических сил и моментов для

В настоящей работе рассмотрена задача оценки дисперсии D{m°¡,}, D{mX} производных коэффициента возмущающего аэродинамического момента крена тела вращения с малыми случайными искажениями поверхности, характеризуемыми заданной автокорреляционной функцией. Модельный характер иллюстративного примера обусловлен не только выбором простейшей геометрии СЛА — в форме острого конуса, но и априорным выбором качественного вида конкретно использованной стационарной автокорреляционной функции, отражающего лишь общую тенденцию к ослаблению корреляционной зависимости с увеличением расстояния между рассматриваемыми точками поверхности.

Представим уравнение поверхности тела вращения, затупленного или типа острого конуса (рис. 1), с малыми искажениями поверхности в цилиндрической системе координат (x, r, ф), ось OX направлена от носка к торцу, в виде

r(x, ф) = y(x) + е ■ 8r(x, ф), 0 < x < L, 0 < ф < 2п, (1)

где y(x) — уравнение образующей исходного тела, ór(x,if) — слабая случайная вариация поверхности, L — длина тела, е — параметр малости. Обозначим через RM и SM = nRM радиус и площадь миделевого сечения тела; p = y'(x) = tan 6s; 6s — угол наклона образующей тела к оси OX.

Предполагается, что случайная функция (СФ) двух переменных 5r(x, ф) удовлетворяет следующим условиям:

а) ór(x, ф) < Rm;

б) д[5r(x, ф)}/ôx = 5p ^ 1, ô[5r(x, ф)]/дф = 5q ^ 1;

в) M{5r(x,ф)} = 0 (математическое ожидание);

г) предполагается известной автокорреляционная функция вариаций поверхности

Ksr(xi,x2, ф1,ф2) = M{ór(xi, фг) ■ Sr(x2, ф2)};

д) предполагается инвариантность любой статистической характеристики St вариаций поверхности относительно операций их поворота на произвольный угол Аф и зеркального отражения: St{ór(x,ф ± Аф)} = St{ór(x,ф)}; St{5r(x,-ф ± Аф)} = St{5r(x, ф)}.

Условия (а) и (б) определяют слабость вариаций 5r(x, ф), предполагающую малость не только самих вариаций, но и их частных производных. Условие (в) исключает из рассмотрения заранее определённые, «не совсем случайные» вариации поверхности. Условие (д) постулирует статистическое «равноправие» всех меридиональных

задач динамики СЛА отражена в [2-4].

Рис. 1. Схема острого конуса

сечений (р = const) и отсутствие априорного различия в окружных направлениях, по часовой стрелке и против часовой стрелки, относительно оси OX.

Условие (д) имеет следствия. Во-первых, математическое ожидание производных m', mf в этом случае из соображений симметрии равно нулю, M {m'a} = M{mf} = 0, и их дисперсии равны D{m'} = D{mf}. Таким образом, из основных статистических характеристик случайных величин (СВ) m', mf подлежит дальнейшей оценке только дисперсия D{m'}. Во-вторых, в этом случае автокорреляционная функция (г) стационарна по окружной координате р, т. е. является функцией трёх аргументов, одним из которых является чётная функция разности Ш = — Pb

Ksr(xi,X2, pi, Р2) = K&r(xi,X2,Ш). (2)

Заметим, что в этом случае K^r(x1,x2, 0) = D{ôr(x, р)} = D0(x) определяет дисперсию вариаций поверхности в сечении x = const.

Будем рассматривать обтекание тела вращения с малыми искажениями поверхности (1) потоком идеального газа с заданным числом Маха Mœ под малыми углами атаки а и скольжения в. В случае острого конуса с углом полураствора в предполагается реализация случая присоединённого скачка уплотнения, гарантированно имеющего место при в < 50o. Для расчёта коэффициента возмущающего момента крена mx используем методологию работы [5], основанной на методе дифференциальной гипотезы локальности (ДГЛ) [6], особенности применения которого для острого конуса описаны в [7].

Расчёт коэффициента давления Ф на поверхности тела (1) в рамках метода [6] при малых углах атаки производится на основе зависимости типа формулы Тейлора

Ф(х, р) « Ф(х) + Ф4(х)ДЬ + 1фй(х)Д^2, (3)

где t = tan(aM) — тангенс местного угла атаки, ДЬ = t(x,p) — p(x), Ф(х), Ф4(х), Ф«(х) — коэффициенты-функции (3), вычисляемые при заданных условиях обтекания для исходного контура тела с использованием «точных» методов и программ.

Зависимость коэффициента давления Ф на поверхности острого конуса исходной формы для заданных условий обтекания от угла в предполагается известной и заданной в виде дважды дифференцируемой функции Ф = Ф(р). Расчёт коэффициента давления на искажённой поверхности конуса (1) при малых углах атаки проводится в рамках метода касательных конусов с использованием её в форме Ф = Ф(Ь). Последнее позволяет использовать для расчёта коэффициента давления на поверхности острого конуса (1) приближённую зависимость в формате метода [6]

Ф(х, р) « Ф(р) + Ф4(р)ДЬ + 2фй(р)Дь2,

где Ф4 = Фр; Фц = Фрр. При гиперзвуковых скоростях в качестве основы для расчёта коэффициента давления Ф(р) на поверхности острого конуса может быть использована зависимость [8]

Ф(в)

2(k + 1)(k + 7) (k + 3)2

sin2 в, (4)

где к — показатель адиабаты, называемая усовершенствованной формулой Ньютона для конуса. При сверхзвуковом обтекании известна приближённая аппроксимация [8]

Ф(0, Мте) = (0.0016 + 0.002М-2)01.7,

где в — угол конуса в градусах; — число Маха набегающего потока. Для острого конуса с фиксированным углом в для заданных условий обтекания производные Ф4, Фй не зависят от продольной координаты x, т.е. являются постоянными величинами.

Стандартным технологическим приёмом при вычислении изменения коэффициентов аэродинамических сил и моментов тел вращения с малыми искажениями поверхности является представление вариации поверхности тригонометрическим рядом Фурье

!ао (^x) ^^ I

--+ ^^[an(x) cos nx + bn(x) sin nx} \ . (5)

n= 1 )

Коэффициент аэродинамического момента крена тела вращения с образующей y(x) и искажением поверхности (5) при малых углах атаки и скольжения в линейном приближении может быть представлен выражением [5]

mx(a, в) = тх0(ап = 0) + mа • а + mX • в, (6)

где [3]

та ^

~ (sT^) [^(x)y^x) (1 + y'2(x)) bi(x) dx, (7)

Sm • L

ST~L^ So ^x)y[x) (1 + yl2(x)) ai(x) dx,

Т. е. производные та, mв зависят только от членов суммы (5) с номером n = 1.

X ") X

Левая часть (5) есть СФ двух аргументов, аналогично и коэффициенты-функции ап(х), Ьп(х) в правой части (5) являются СФ. Коэффициент а0(х) в (5) определяет «отклонение размера» — осесимметричную составляющую искажения поверхности тела, не влияющую на главную часть момента крена (6), далее предполагается, что

а0(х) = 0. (8)

Представим автокорреляционную функцию (2) с учётом её чётности по ш и условия (8) рядом Фурье вида

<х

KSr(x,u,w) = ^^ Xn(x,u)cos пш, x,u е [0,L]. (9)

n=1

Можно показать [9], что при условиях (в), (г), (д) для коэффициентов-функций в (5) справедливы следующие соотношения:

Ы{an(x)} = Ы{bn(x)} = 0, x е [0,L], п =1, 2,...; Ы{an(x) • bk(u)} = 0, x,u е [0,L], n,k = 1, 2,...;

„тг / ч / m „„-r, / ч , / m 10, если n = k;

Ы {a,n(x) • ak (u)} = Ы {hn(x) • bk (u)} ={' N

\Xn(x,u), если n = k.

(10)

Таким образом, указанные коэффициенты — корреляционно независимые СФ с автокорреляционными функциями \п(х,п) из разложения (9). Математическое ожидание квадрата правой части (7) определяет искомую дисперсию П{тО,}. После

в ~

mx ~

ряда выкладок с учётом (10) на основе рекомендаций [10] получено следующее интегральное соотношение:

Р2 rL rL

D{max] = -RTTJß I I $t(x)$t(u)y(x)y(u)[l + y/2(x)] [l + y/2(u)]X1(x,u) dudx. (11)

'0 j0

Двойной интеграл (11) определяет общее аналитическое решение поставленной задачи. Для частного случая обтекания острого конуса (1) соотношение (11) запишется в виде

e2p2[1+ р2]2Ф2 ГL ГL Dm"} =-—тт:--xuA1(x,u) dudx. (12)

RM ■ L2 Jo Jo

Для цилиндрических и цилиндроконических деталей величины ai(x), bi(x) определяют смещения центров нормальных круговых сечений относительно продольной оси по длине детали [11]. Механическая интерпретация смысла производных ш^, mX, их косвенная связь с производной ca и способ получения их экстремальных оценок в детерминированной постановке описаны и приведены в [3].

Используем (12) для оценки D{ma} острого конуса с углом 9 = 10o со случайными смещениями центров круговых сечений поверхности (n = 1) с постоянной по длине конуса дисперсией D{5r(x,p)} = D0(x) = a^ = const. Предполагается, что корреляционная зависимость искажений поверхности в различных сечениях стационарна также и по продольной координате и убывает с увеличением расстояния между ними по экспоненциальному закону

(x-u)2

A1(x,u) = a0e (^L)2 , x,u e [0,L]. (13)

Зависимость (13) содержит два параметра. Линейный параметр a0 выберем постоянным из условия 3a0 = 0.01RM, при этом практически предельная величина искажений поверхности составляет 1% радиуса миделевого сечения. Второй безразмерный параметр 0 < т < ж определяет скорость уменьшения корреляционной зависимости вариаций поверхности с увеличением расстояния между сечениями по длине конуса. Из (12) с учётом (13) получаем аналитическое решение рассматриваемой задачи, содержащее двойной интеграл, зависящий от параметра:

e2p2[1 + p2 ]2Ф2

«L

D{ma} = L ' т0J W xue (-d2 dudx. (14)

RM • L2 Jo Jo

Значения производной Ф4 у острого конуса с углом в = 10o при числе Маха = 10 согласно (3), (4) равно Ф^ = 0.77. Результаты вычислений по формуле (14) представим с использованием средних квадратических отклонений в форме 3а{т'Ц} = 3y/D|ma}, характеризующей практически предельный диапазон изменения СВ т^ при определённом выше практически предельном диапазоне вариаций поверхности, в зависимости от параметра т (рис. 2).

Приведённый график количественно характеризует качественно ожидаемый результат: чем слабее корреляционная зависимость случайных вариаций поверхности по длине конуса (т ^ +0), тем меньшие по модулю СВ т^ могут быть реализованы. С другой стороны, с усилением корреляционной зависимости (т ^ то) величина 3а{т^} быстро приближается к предельному асимптотическому значению

lim 3a{max} = ^^, (15)

т ^те L

L

(x-u)2

Рис.2. График 3а{ш'а}(т) практически предельного уровня производной коэффициента возмущающего момента крена для острого конуса в = 10° при = 10 для случайных вариаций поверхности с практически предельным уровнем смещений центров сечений ~ 1%(Дм) в зависимости от параметра автокорреляции т

где с^ — производная коэффициента нормальной силы исходного тела по углу атаки. Для рассматриваемого случая обтекания острого 10° конуса с = 10: С^ = 2.251. При т > 2 искажение поверхности конуса фактически реализуется в виде его малого смещения как жёсткого тела в случайном радиальном направлении, что и отражено в соотношении (15) и на рис. 3, где результаты расчёта приведены в нормированном виде.

Рис. 3. График для острого конуса в = 10° при = 10, для случайных

вариаций поверхности с практически предельным уровнем смещений центров сечений ~ 1% (Дм) в зависимости от параметра автокорреляции т

Выводы

1. Представлено в аналитической интегральной форме общее решение задачи определения дисперсии производных Б {та}, Б{т1^} коэффициента аэродинамического момента крена по углам атаки и скольжения тел вращения с ма-

лыми случайными искажениями поверхности при сверхзвуковом обтекании.

2. Получены численные оценки дисперсии производных D{ma}, D{me} для острого 10o конуса при числе Маха M^ = 10 для модельной автокорреляционной функции случайных вариаций его поверхности.

3. Проведён качественный анализ зависимости дисперсии, средних квадратичных отклонений, производных D{mO.}, D{mX} от степени корреляционной зависимости случайных вариаций поверхности тела.

Список литературы

1. Degtyar, V. G. On problem of analyzing aerodynamic properties of blunted rotary bodies with small random sur-face distortions under supersonic and hypersonic flows / V. G. Degtyar, S. T. Kalaschnikov, Yu. A. Mokin // AIP Conference Proceedings. — 2017. — Vol. 1893. — P. 020004-1-020004-6.

2. Ярошевский, В. А. Движение неуправляемого тела в атмосфере / В. А. Ярошевский. — М. : Машиностроение, 1978. — 168 с.

3. Мокин, Ю. А. Влияние малых углов атаки и скольжения на момент крена при гиперзвуковом обтекании тел вращения / Ю. А. Мокин // Теплофизика и аэромеханика. — 2009. — Т. 16, № 1. — С. 37-42.

4. Дегтярь, В. Г. Влияние структуры углерод-углеродных композиционных материалов на обгарные формы и аэродинамические характеристики гиперзвуковых летательных аппаратов / В. Г. Дегтярь, Г.Ф.Костин, В.Н.Савельев, В. А. Тюменцев,

B.И.Хлыбов // Конструкции из композиционных материалов. — 2014. — № 4. —

C. 15-26.

5. Мокин, Ю. А. О моделировании коэффициента аэродинамического момента крена затупленных тел вращения с малой вариацией поверхности при сверхзвуковом их обтекании / Ю. А. Мокин // Космонавтика и ракетостроение. — 2012. — Вып. 1 (66). — С. 38-44.

6. Мокин, Ю. А. О возможностях решения задач гиперзвуковой аэродинамики на основе дифференциальной формы представления обобщённой гипотезы локальности и ее композиции с точными численными методами / Ю. А. Мокин // Космонавтика и ракетостроение. — 2008. — Вып. 2 (51). — С. 136-145.

7. Мокин, Ю. А. Об изменении положения центра давления острого конуса с малыми вариациями поверхности при гиперзвуковом обтекании / Ю. А. Мокин, С.Т.Калашников, Р. К. Швалева // Труды МАИ. — 2017. — URL: http://trudymai.ru/pulished.php?ID=85668.

8. Краснов, Н. Ф. Аэродинамика ракет / Н.Ф.Краснов, В. Н. Кошевой, А.Н.Данилов, В. Ф. Захарченко. — М. : Высш. шк., 1968. — 772 с.

9. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. — М. : Наука, 1964. — 464 с.

10. Абузгауз, Г. Г. Справочник по вероятностным расчётам / Г. Г. Абузгауз, А. П. Тронь, Ю. Н. Копенкин, И.А.Коровина. — М. : Воениздат, 1970. — 536 с.

11. Бородачев, Н. А. Точность производства в машиностроении и приборостроении / Н. А. Бородачев, Р.М.Абдрашитов, И. М.Веселова [и др.]. — М. : Машиностроение, 1973. — 567 с.

Поступила в 'редакцию 28.08.2019

После переработки 12.09.2019

Сведения об авторах

Мокин Юрий Александрович, доктор физико-математических наук, доцент; старший научный сотрудник, Южно-Уральский федеральный научный центр минералогии и геоэкологии УрО РАН, г. Миасс, Челябинская обл., Россия; главный научный сотрудник, АО «Государственный ракетный центр имени академика В. П. Макеева», г. Миасс, Челябинская обл., Россия; профессор, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: src@makeyev.ru.

Калашников Сергей Тимофеевич, кандидат технических наук; начальник отдела фундаментальных проблем аэрокосмических технологий, Южно-Уральский федеральный научный центр минералогии и геоэкологии УрО РАН, г. Миасс, Челябинская обл., Россия; главный ученый секретарь, АО «Государственный ракетный центр имени академика В. П. Макеева», г. Миасс, Челябинская обл., Россия; e-mail: src@makeyev.ru. Ш^валева Роза Камиловна, младший научный сотрудник, Южно-Уральский федеральный научный центр минералогии и геоэкологии УрО РАН, г. Миасс, Челябинская обл., Россия; инженер I категории, АО «Государственный ракетный центр имени академика В. П. Макеева», г. Миасс, Челябинская обл., Россия; e-mail: src@makeyev.ru.

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2019. Vol. 4, iss. 3. P. 345-354.

DOI: 10.24411/2500-0101-2019-14307

ESTIMATE OF DERIVATIVES VARIANCE OF AN AERODYNAMIC ROLLING MOMENT COEFFICIENT WITH RESPECT TO ATTACK AND YAW ANGLES OF A ROTARY BODY WITH SMALL IRREGULAR SURFACE DISTORTIONS AT SUPERSONIC FLOW

Yu.A. Mokin1'23, S.T. Kalashnikov12, R.K. Shvaleva12

1 South Ural Federal Research Centre of Mineralogy and Geoecology of the Ural Branch of RAS, Miass, Chelyabinsk Region, Russia

2Academician V.P. Makeyev State Rocket Centre, Miass, Chelyabinsk Region, Russia

3 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia

src@makeyev.ru

The paper is devoted to one of acute issues of determination of aerodynamic coefficients of high-speed re-entry vehicles (RVs) of the rotary-body shape with small irregular surface distortions of a composite thermal protection coating, i. e. an issue of assessment of a scale of variance D{m°a}, D{mX} of derivatives of disturbing aerodynamic rolling moment coefficient mx with respect to attack and yaw angles versus governing parameters. An analytical integral solution of a set modeled problem for a rotary body with a given autocorrelated function of irregular distortions of its surface is obtained on the basis of Fourier expansion of the surface distortion and a method of differential locality hypothesis used to evaluate pressure variations. The obtained solution is qualitatively analyzed. A curve of practically ultimate values of m^, mX at 3a{mOa} versus a degree of correlation dependence for the modeled autocorrelated function of irregular surface distortions of a sharp ~ 10o-cone is provided.

Keywords: supersonic flow, rotary body, sharp cone, composite thermal protection material, small random surface distortion, small attack angle, aerodynamic rolling moment coefficient.

References

1. DegtiarV.G., Kalaschnikov S.T., Mokin Yu.A. On problem of analyzing aerodynamic properties of blunted rotary bodies with small random surface distortions under supersonic and hypersonic flows. AIP Conference Proceedings, vol. 1893l, pp. 020004-1-020004-6.

2. Yaroshevsky V.A. Dvizhenie neupravlyayemogo tela v atmosfere [Motion of an unguided body in atmosphere]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1978. 168 p. (In Russ.).

3. Mokin Yu^. Vliyanie malykh uglov ataki i skol'zheniya na moment krena pri giperzvukovom obtekanii tel vrashcheniya [Influence of small attack and yaw angles on rolling moment at hypersonic flow of rotary bodies]. Teplofizika i aeromekhanika [Thermophysics and aeromechanics], 2009, vol. 16, no. 1, pp. 37-42. (In Russ.).

4. DegtiarV.G., KostinG.F., SavelievV.N., TyumentsevV.A., KhlybovV.I. Vliyaniye struktury uglerod-uglerodnykh kompozitsionnykh materialov na obgarnye formy i aerodinamicheskiye kharakteristiki giperzvukovykh letatel'nykh apparatov [Influence of structures of C-C composites on ablated shapes and aerodynamic characteristics of hypersonic aircraft]. Konstruktsii iz kompozitsionnykh materialov [Structures from composite materials], 2014, no. 4, pp. 15-26. (In Russ.).

5. Mokin Yu^. O modelirovanii koeffitsienta aerodinamicheckogo momenta krena zatuplennykh tel vrashcheniya s maloy variatsiey poverkhnosti pri sverkhzvukovom ikh obtekanii [On modeling the aerodynamic rolling moment coefficient of blunt-nosed

354

M. A. MOKHH, C. T. KaaamHHKOB, P. K. fflBa.neBa

rotary bodies with small surface variations at their hypersonic flow]. Kosmonavtika i raketostroenie [Cosmonautics and rocket engineering], 2012, no. 1, pp. 38-44. (In Russ.).

6. MokinYu^. O vozmozhnostyakh resheniya zadach giperzvukovoy aerodinamiki na osnove differintsial'noy formy predstavleniya obobshchyonnoy gipotezy lokal'nosti i eyo kompozitsii s tochnymi chislennymi metodami [About possibility to solve the hypersonic aerodynamics problems resting on differential form for presenting generalized locality hypothesis and its composition applying precise numerical methods]. Kosmonavtika i raketostroenie [Cosmonautics and rocket engineering], 2008, no. 2, pp. 136-145. (In Russ.).

7. Kalashnikov S.T., MokinYu.A., ShvalevaR.K. Ob izmenenii polozheniya tsentra davleniya ostrogo konusa s malymi variatsiyami poverkhnosti pri giperzvukovom obtekanii [On shifting of the pressure center of a sharp cone with small surface distortions under hypersonic flow]. Trudy MAI [Trudy of Moscow Aviation Istitute], 2017, no. 96, http://trudymai.ru/pulished.php?ID=85668. (In Russ.).

8. KrasnovN.F., Koshevoy V.N., DanilovА.N., Zakharchenko V.F. Aerodinamika raket [Rocket Aerodynamics]. Moscow, Vysshaya Shkola Publ., 1968. 772 p. (In Russ.).

9. VentselYe.S. Teoriya veroyatnostey [Theory of probabilities]. Moscow, Nauka Publ., 1964. 464 p. (In Russ.).

10. Abuzgayz G.G., TronA.P, Kopenkin Yu.N., KorovinaI.А. Spravochnik po veroyatnostnym raschyotam [Reference book on probability calculation]. Moscow, Voenizdat Publ., 1970. 536 p. (In Russ.).

11. BorodachevN.A., Abdrashitov R.M., VeselovaI.M. [et al.] Tochnost' proizvodstva v mashinostroyenii i priborostroyenii [Production accuracy in machine and instrumentation engineering]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1973. 567 p. (In Russ.).

Accepted article received 28.08.2019 Corrections received 12.09.2019