CC BY
49
электронное научно-техническое издание
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эя № ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025. ISSN 1994-0408_
Оценка действия гармонической помехи на фазовую автоподстройку
77-30569/353914
# 04, апрель 2012 Шахтарин Б. И.
УДК 621.396
МГТУ им. Н.Э. Баумана shakhtarin@mail.ru
Введение
Воздействие помех на системы синхронизации в устройствах радионавигации (ГЛОНАСС, GPS и др.), радиосвязи и радиолокации рассматривалось в ряде работ [1-3 и др.]. Среди помех особое внимание уделяется активным помехам, к которым, в частности относятся гармонические прицельные и перестраиваемые помехи. Особое внимание в последние годы уделяется воздействию гармонических помех на системы фазовой автоподстройки (ФАП) [4-7].
В работах [5-7] методом гармонического баланса найден ряд динамических характеристик ФАП при условии что частота гармонической помехи лежит за пределами полосы синхронизации ФАП, причем в [5] это сделано при условии малой амплитуды биений.
В [6, 7] рассмотрен более общий случай, однако в [6] основное соотношение представлено без его вывода, в связи с чем трудно судить о точности и достоверности полученного результата.
В данной статье приводится подробный вывод основного соотношения метода гармонического баланса из которого видна степень приближения полученного результата и следовательно, возможность оценки его точности.
1. Основные соотношения метода гармонического баланса
Можно показать, что при воздействии на ФАП наряду с сигналом и гармонической помехи дифференциальное уравнение ФАП имеет вид [5]
рх = в - ^(р)[зт х + (х + & + Л#)], (1)
где, р = - оператор дифференцирования; г = - время; О -
полоса синхронизации ФАП; х = х(г) - сигнал рассогласования; в = 0 0/ О; О о = сс - ®о - расстройка по частоте сигнала юс и частотой управляемого генератора (УГ) ю0; б = Лп/Лс - отношение амплитуд помехи Ап и сигнала Ас (ОПС); & = ЛО/О; ЛО = соп - сос - разность частот помехи и сигнала.
Предполагаемое решение дифференциального уравнения (1) в методе гармонического баланса при учете лишь одной гармоники принимается в виде [5, 6]
X1
(t) = x0 + x cos(dt + Ав + ф) = x0 + X cos Ф. (2)
Параметры предполагаемого решения (2) - постоянная составляющая x0, амплитуда первой гармоники X1 и фазовый угол у - находятся в процессе гармонического баланса, подстановкой (2) в левую и правую части дифференциального уравнения (1).
В книге [5] автора данной публикации эти параметры находились при условии малого значения амплитуды x1 и при условии d>>1, что обусловило использование приближенных соотношений [5] (нулевое приближение):
sin X = sin Xo + Xi cos Xo cos Ф, cos X = cos Xo - Xi sin Xo cos Ф,
Затем в статье автора [7] получены уточняющие соотношения на основе первого приближения.
В данной статье при использовании дифференциального уравнения (1) и предполагаемого решения в форме (2) используется более строгий подход (второе приближение), когда вместо (3) и [7] используются приближения более высокого порядка, в связи с чем повышается точность полученных результатов: динамических характеристик и критических значений параметров ФАП и помехи.
В данном случае в отличии от [7] используется отрезки рядов
бш(^1 соб ф) = 2 Jl соб Ф, СОб(-1 СОБ ф) = J0 - 2 J2 соб 2Ф,
где J о = J о (-1); Jl = Jl (-1); J 2 = J2 (-1) - функции Бесселя соответствующих порядков, причем, здесь в отличие от [7], добавляется в разложении (4) вторая гармоника соб2Ф.
В результате вместо (3) и [7] и используются соотношения
бш - = бш -о о - 2j2 соб 2ф] + соб -о [2Jl соб ф], соб - = соб -о о - 2 j2 соб2Ф] - бш -о [2 Jl соб ф].
(5)
Подставляя предполагаемое решение (2) в исходное дифференциальное уравнение (1), получим
- dx1 sin Ф = в - F(p){sin x + ssin(x + dt + A#)}= = в - F(p){sin[x0 + x1 cosФ]+ ssin x cos^ - y/)+ scosx sin = в - F(p){sinx0 cos(x1 cosф)+ cosx0 sin(x1 cosф) + + ssin(x0 + x1 cos ф)(cos Ф cos^ + sin Ф sin^) + + scos(x0 + x1 cos Ф)(sin Ф cos^ - cosФ sin^)} = в - F(p){sinx0 cos(x1 cosф)+ cosx0 sin(x1 cosф) + + s[sin x0 cos(x1 cos Ф)+ cos x0 sin (x1 cos ф)][cos Ф cos^ + sin Ф sin^] + + s[cosx0 cos(x1 cosф)- sinx0 sin(x1 cosФ)][sinФcos^ - cosФsin^]}.
Воспользуемся соотношением (4). В результате получим (первая стадия упрощения)
- dx— sin Ф = в - F(p){sin x0 (J0 - 2J2 cos
2Ф) + cos x02 J1 cos Ф + + s[sin x0 (J0 - 2J2 cos 2Ф) + cos x02 J1 cos ф][cos Ф cos^ + sin Ф sin^] + + s[cos x0 (J0 - 2J2 cos 2Ф) - sin x0 2 J1 cos ф]^т Ф cos^ - cos Ф sin^]}.
На второй стадии упрощения пренебрегаем второй гармоникой во втором слагаемом в фигурных скобках, при перемножении воспользуемся приближенными равенствами (отбросим третьи гармоники)
cos2ФcosФ « —cosФ, cos2ФsinФ « sinФ, 2 2
а также отбросим вторые гармоники, возникающие в произведениях,
2 sin Ф cos Ф = sin 2Ф, cos2 Ф = — (1 + ^2Ф)« —.
В результате в правой части приведенного соотношения останутся лишь первые гармоники вида sin0 и cos0:
- sin O = p - F (p){J 0 sin X0 + cos %02 J1 cos O + + sJ 0 sin X0 (cos O cos^ + sin O sin^)-- sJ 2 sin X0 cosacos O + sJ 2 sin X0 sin^sin O + SJ1 cos X0 cos^ +
+ sJ 0 cos X0 (sin O cos^ - cos O sin^) + + sJ 2 cos X0 cos^sin O + sJ 2 cos X0 sinocos O + SJ1 sin X0 sin^}.
Выделим в правой части данного соотношения постоянную составляющую
в-M0[J0sinХ0 + sJ 1 cos(^0 -^)]= 0, (6)
где M 0 = \F (0).
В результате остающиеся переменные характеризуются соотношениями
- dx1 sin Ф = F (p )(A cos Ф- B sin ф), (7)
где A = -2Jjcosx0 -s[ J0 - J2)sin(x0 -щ), B = s(Jq + J2 )cos(x0 -щ). Запишем передаточную функцию фильтра в комплексной форме
F(p) = MeiP, где M = |F(p); P = argF(p). (8)
В результате из (7) с учетом (8) находим
dx
--^sin Ф = A cos^ + P)-B sin (ф + P ) =
A(cosфcosP - sinфsinP)- B(sinфcosP + cosфsinP): = (a cosP - B sin P)cos ф - (a sin P + B cosP)sin ф.
После гармонического баланса по smФ и cosФ получим два уравнения относительно величин cosP и
А ^ Р - В sin Р = 0;
В ^ Р + А Sin Р = —1
М
(9)
Определитель А системы уравнений (9)
А
А - В В А
А2 + В2.
В результате решения системы уравнений (9) находим искомые величины cosP и sinP в виде
cos Р = АуА, sin Р = Ауа '
(10)
где А1
~ - А М
В—1 = —1еО0 + J2)cos(x0 - ш); М М 40 2/ У 0 '
А'
А 0
В 77 М
dx" dx
А =--1 0 - О2 - Х0) - 2О- cosХ0
ММ
Очевидно, что
а2 А2
sin2 Р + cos2 Р = -4 + -4 = 1.
А2 А2
Отсюда имеем
А2 + А2
V M ,
(a2 + B2 )=
V M ,
А = А2.
Таким образом, эквивалентная запись определителя имеет вид
А =
V M ,
Поэтому окончательно получим
cos P =
А^ Ы:
А
sin P = — А
xidB = MB,
(xxd) M xd
M2 xd . M . -A =-A.
(xd)2 M xxd
Или в другой форме:
Xjd cos P = sM (J0 + J 2 )cos(^- x0), (11)
XjdsinP = M[s(J0 - J2)sin(щ-x0)-2J1cosx0], (12)
где J о = J о (xi); Ji = Ji (xi); J 2 = J 2 (xi).
Полученные соотношения (6), (11), (12) совпадают с соответствующими уравнениями (7), (8), (9), приведенные без вывода в [6] и по приведенному процессу их вывода теперь можно судить о степени приближенности найденных соотношений.
При J 2 = J 2 (xi )= 0 по (11), (12) находится частный случай, полученный автором в [7].
2. Соотношение для параметров х0, Х\, у предполагаемого решения
дифференциального уравнения
По (11) и (12) может быть найдена система уравнений относительно величины соэщ и эт^, имеющая вид
cos x0 cos у + sin x0 sin у = с1, - sin x0 cosy + cos x0 sin у = с2,
xid x1d 2cos x0
где ci =-т^-г cos P; c2 =-^-г sin P + —,-^ J.
1 sM(J0 + J2 ) 2 sM(J0 - J2 ) s(j0 - J2 ) 1
Определитель системы уравнений (13) равен единице, поэтому
(13)
cosy = A^ siny = A 2, (14)
где
x d J
A1 = —H-2\[J0cos(p + x0)- J2cos(p-x0)]- ÍT \ \-sin2x0 = Y1F1;
sM (J02 - J2) s(J0 - J2 )
A2 =-rf-[J0 sin(x0 + P)- J2 sin(x0 - P)]+ J\ 4cos2 x0 = Y1F2.
sM (J02 - J2 ) s(J0 - J2 )
здесь y
xid
sm (j 02 - j 2)'
^ 2 Л
Fi = d [J 0 cos(P + x0) - J 2 cos(P - x0 )]- 0.5l — Ji M(J0 + J2) sin 2 X0;
V xi J
f 2 ^
F2 = d[j0 sin(P + X0) + J2 sin(P - X0)] + — Ji M(j0 + J2 )cos2 X0.
V xi J
При малых значениях амплитуды х1 ^(х^-О, поэтому в этом случае из (14) находим [7]
А1 =
х-
А-
еМО 0 х-
й cos(P + Х0)- 0.5
V х1 У
М sin 2 х.
0
еМО,
0
й sin(xo + Р) +
V х1
МCOS х0
У 20 ^20.
(15)
(16)
Далее из (12) находим
е(О0 - 02 )
(ш - х0 ) = —,—1-г dХ-sinР + 201 cosх0
М
О.
Тогда
ш =
х0 + ф при й < 0, в > 0; х0 - ф + п при й < 0, в > 0,
(17)
где ф = а^т О.
Графики зависимости у=/(й) изображены на рис. 1 при е=0,5; а=0,8; а- = 6,25 где кривые 1, 3, 5 получены при невырожденном фильтре; 2, 4, 6 -при вырожденном фильтре. Кривые 1, 2 получены при в=0,9; 3, 4 - при в=0,7; 5, 6 - при в=0,5.
Рисунок 1 Зависимость фазового угла у в предполагаемом решении от нормированной разности частот <
Соотношение для постоянной составляющей х0 находится по (6) с учетом (11) и имеет вид
sin х0
в
Ыа
3
х^ cos Р 1Ы (3 0 + 3 2) _
3
(18)
Графики зависимости х0=/(<) изображены на рис. 2 при £=0,5; а=0,8;
а0 = 6,25 где кривые 1, 3, 5 получены при невырожденном фильтре; 2, 4, 6 -при вырожденном фильтре. Кривые 1, 2 получены при в=0,9; 3, 4 - при в=0,7; 5, 6 - при в=0,5.
Рисунок 2 Зависимость постоянной составляющей х0 предполагаемого решения от нормированной разности частот Ч
Остается найти зависимость амплитуды х1 первой гармоники предполагаемого решения от параметров ФАП и отстройки Ч. По (14) находим неявную зависимость
X2 (19)
Х " Ч2 (Р,2 + Р?) . (19)
При больших отстройках ё находим
2 т 2 2
X2 =-^^-«-т^-2. (20)
1 Ч2 + [2Т1 (х2)/х2 ] ооб2 х0 Ч2 +1 - р2
Графики зависимости х1=//(Ч) изображены на рис. 3 при £=0,5; а=0,8; а- = 6,25 где кривые 1, 3, 5 получены при невырожденном фильтре; 2, 4, 6 -
при вырожденном фильтре. Кривые 1, 2 получены при в=0,9; 3, 4 - при в=0,7; 5, 6 - при в=0,5.
Рисунок 3 Зависимость амплитуды х1 первой гармоники предполагаемого решения от нормированной разности частот ё.
Заключение
Таким образом, получены основные соотношения (6), (11), (12) методе гармонического баланса, и в процессе их вывода отмечены стадии упрощения, по которым можно судить о степени точности полученных соотношений. В частном случае J2 = J2 (х1) = 0 уравнения совпадают с соотношениями, полученными автором ранее в [7].
Найдены значения выходных параметров предполагаемого решения (2) ДУ (1) ФАП: х0, х1, щ (Рис 1-3).
Литература
1. Перунов Ю.М., Фомичев К.И., Юдин Л.М. Радиоэлектронное подавление информационных каналов систем управления оружием.
- М.: Радиотехника, 2003. - 416с.
2. Защита радиолокационных систем от помех. Состояние и тенденции развития / под ред. А.Н. Канашенкова и В.И. Меркулова. - М.: Радиотехника, 2003. - 416с.
3. Борисов В.Н., Зинчук В.М. Помехозащищенность систем радиосвязи. Вероятностно-временной подход. Изд. 2е, исправленное. - М.: Радио Софт, 2008. - 260с.
4. Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации методом усреднения.
- М.: Радио и связь. 1999. - 496с.
5. Шахтарин Б.И. Статистическая динамика систем синхронизации. -М.: Радио и связь, 1998. - 488с.
6. Karsi MF., Lindsey W.C. Effects of CW interference on phase-locked performance // IEEE Trans. 2000.v COM - 48, N5, p 886-896.
7. Шахтарин Б.И. Анализ фазовой автоподстройки при наличии гармонической помехи.// Электронное научно-техническое издание «Наука и образование» 2012, №1, янв, с.1-12.
electronic scientific and technical periodical
SCIENCE and EDUCATION
_EL № KS 77 -3()56'J..VaU421100025. ISSN 1994-jMOg_
Estimation of influence of harmonic interference on phase locked loop.
77-30569/353914
# 04, April 2012 Shahtarin B.I
Bauman Moscow State Technical University
shakhtarin@mail.ru
The harmonic interference affecting the phase locked loop can cause a number of unwanted effects, reducing stability of the phase locked loop and distorting the information contained in the incoming signal. Several dynamic characteristics of phase locked loop were obtained by the method of harmonic balance, under the stipulation that the frequency of harmonic interference lies outside the phase locked loop synchronization band.
Publications with keywords: harmonic interference, stochastic differential equation, probability density function
Publications with words: harmonic interference, stochastic differential equation, probability density function
References
1. Perunov Iu.M., Fomichev K.I., Iudin L.M. Radioelektronnoe podavlenie informatsionnykh kanalov sistem upravleniia oruzhiem [Radio electronic suppression of data channels weapon control systems]. Moscow, Radiotekhnika, 2003. 416 p.
2. Kanashenkov A.N., Merkulov V.I. Zashchita radiolokatsionnykh sistem otpomekh. Sostoianie i tendentsii razvitiia [Protection of radar systems from interference. Status and trends of development]. Moscow, Radiotekhnika, 2003. 416 p.
3. Borisov V.N., Zinchuk V.M. Pomekhozashchishchennost' sistem radiosviazi. Veroiatnostno-vremennoipodkhod [Noise immunity of radio communication systems. Probabilistic-and-time approach]. Moscow, Radio Soft, 2008. 260 p.
4. Shakhtarin B.I. Analiz sistem sinkhronizatsii metodom usredneniia [Analysis of synchronization systems by the averaging method]. Moscow, Radio i sviaz', 1999. 496 p.
5. Shakhtarin B.I. Statisticheskaia dinamika sistem sinkhronizatsii [Statistical dynamics of synchronization systems]. Moscow, Radio i sviaz', 1998. 488 p.
6. Karsi MF., Lindsey W.C. Effects of CW interference on phase-locked performance. IEEE Trans. Commun., 2000, vol. 48, no. 5, pp. 886-896.
7. Shakhtarin B.I. Analiz fazovoi avtopodstroiki pri nalichii garmonicheskoi pomekhi [Analysis of the phase locked loop in the presence of harmonic interference]. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2012, no. 1, available at: http://technomag.edu.ru/doc/297921.html.
