Анализ фазовой автоподстройки при наличии гармонической помехи Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

электронное научно-техническое издание

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эя № ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025. ISSN 1994-0408_

Анализ фазовой автоподстройки при наличии гармонической помехи.

77-30569/297921

# 01, январь 2012 Шахтарин Б. И.

УДК 621.37

МГТУ им. Н.Э. Баумана shakhtarin@mail.ru

Постановка задачи

Воздействие гармонических помех на фазовую автоподстройку (ФАП) много лет привлекает внимание исследователей [1-12]. Первой работой в этом направлении является статья Журавлева А.Г. [1], посвященная экспериментальному исследованию воздействия гармонических помех на ФАП. Им выявлены условия захвата за сигнал и за помеху. В работе [2] предпринята попытка аналитического исследования, но лишь при нулевой начальной расстройке сигнала и управляемого генератора на основе метода гармонического баланса. С использованием этого метода в [3, 4] получен ряд динамических характеристик ФАП. В статье [5] приводится анализ ФАП при гармонической помехе на входе численным методом с использованием метода фазовой плоскости, и c учетом начальной расстройки по частоте двух колебаний. В [6] исследование проводится методом усреднения. В работах [7-9] с учетом начальной расстройки между частотами сигнала и управляемого генератора приближенным методом получен ряд динамических характеристик ФАП в зависимости от интенсивности помехи и параметров ФАП первого и второго порядков.

В книге автора [7] ФАП исследовалась методом гармонического баланса, когда предполагаемое решение дифференциального уравнения (ДУ) ФАП [7]

px = ß - F(p)[sin x + s sin(x + dt + Ав)\ (1)

принималось в виде

x(t) = X0 + X1 cos(dt + A6 + у/) = X0 + X1 cos Ф. (2)

В (1) p = djdt - оператор дифференцирования; t = Qti; ti,c - время; Q - полоса синхронизации ФАП; в = Qq/Q; Qq = <с -<o- расстройка по частоте между частотой сигнала <ас и частотой управляемого генератора coq ; Á0 = 0n -0c - расстройка по фазе помехи и сигнала; d = AQ/Q; AQ = <an -mc - соответствующая расстройка по частоте; s = An¡Ac - отношение амплитуд помехи и сигнала; F(p) - передаточная функция фильтра в кольце ФАП.

Параметры предполагаемого решения (2): постоянная составляющая х0, амплитуда первой гармоники х1 и фазовый угол у в [7] находились в процессе гармонического баланса при условии малого значения амплитуды х1 и при условии d > 1, что обусловило использование приближенных соотношений [7].

sin х « sin xq + xi cos xq cos(dt + A0 + y),

(3)

cos x « cos xq - xi sin xq cos(dt + A0 + y).

В данной статье при использовании ДУ (1) и предполагаемого решения в форме (2) используется более строгий подход, когда вместо (3) используются приближения более высокого порядка, в связи с чем повышается точность получаемых результатов: динамических характеристик и критических значений параметров ФАП и помехи. Кроме того, производится сравнение критических значений параметров ФАП, получаемых методом гармонического баланса и методом фазовой плоскости [5, 8].

1. Основные соотношения

При использовании предполагаемого решения ДУ в виде (2) в правой части ДУ (1) получим

sin X = sin(xo + Xi cos ф) = sin Xq cos(xi cos ф) + cos Xq sin(xi cos ф).

Воспользуемся известными разложениями

да

cos(z cos ф) = J0 (z) + 2 ^ (-i)k J 2k (z) cos 2£Ф,

k=1

да

sin(z cos ф) = 2 2 (- i)k J 2k+1 (z )cos(2k + 1)ф.

k=0

где Jn(z) - функция Бесселя n-го порядка.

Используем приближенные равенства, вытекающие отсюда при сохранении лишь первых слагаемых,

cos(x1 cos ф) « J0 (x1) +...; sin(x1 cosф)^ 2J1 (x1 )cosФ +...;

Тогда получим,

sin x = J0 (x1) sin X0 + 2 J1 (x1) cos Ф cos X0. (4)

Далее используем разложение второго слагаемого в квадратных скобках (1), sin(x + dt + Ав) = sin x cos(dt + Ав) + cos x sin(dt + Ав).

где sinx по (4), а

cosx = cos(x0 + x1 cosф) = J0 (x1 )cosx0 - 2J1 (x1 )sin x0 cosФ. (5)

Подставляя приближенные значения слагаемых в квадратных скобках в правой части ДУ (1), после дифференцирования процесса в левой части ДУ (1), получим приближенное соотношение, из которого в дальнейшем находятся постоянная составляющая x0, амплитуда первой гармоники x1 и фазовый угол Предварительно положим

F (s) = \F (s) exp(/P) = M exp(/P); P = arg F (s), (6)

причем |F (0) = M (0) = M0

Тогда подставляя (2) в ДУ (1) с учетом (4), (5), (6) получим соотношение

- dx1 sin Ф = в - M0 J0 (x1 )sin x0 - cos x0 2 J1 (x1 )M cos(ф + P) -- s sin x0MJ0 (x1 )cos(dt + Ав + P ) - s cos x0 J0 (x1 )M sin (dt + Ав + P) - F (p )(A + B),

A = s cos x0 2 J1 (x1 )cos Ф cos(dt + Ав) = s cos x0 2 J1 (x1) * * [cos(dt + Aв)cosу - sin(dt + Aв)sin y]cos(dt + Ав)« s¡1 (x1 )cosx0 cosy

так как при этом отброшены вторые гармоники cos[2(dt + Ав)] и sin[2(dt + Ав)] Аналогично получим

B = -s sin x0 2 J1 (x1 )cos Ф sin (dt + Ав) = -ssin x0 2 J1 (x1) * * [cos(dt + Aв)cos у/ - sin (dt + Ав^т y]sin (dt + Ав) « s¡1 (x1 )sin x0 sin у/.

В сумме находим

A + B = s¡1 (x1 )cos(x0 - у).

Таким образом,

F(p)(A + B) = MqsJi )cos(xo -y). Следовательно, баланс по постоянным составляющим приводит к соотношению

в = Mо [Jо(xj)sin хо + sJ\(xj)cos(xo - y)]. (8)

Отсюда, используя приближенные равенства

Jo (xj)« 1; Jj (xj)« xj, (9)

получим [7, ф-ла (12.20)].

Далее осуществим гармонический баланс оставшихся слагаемых в (7). Слева в (7) находим

- dxj sin(dt + Ав + y) = -dXi sin(dt + Ae)cosy - dxj cos(dt + Ae)sin y.

Приравнивая коэффициенты при sin(dt + Ав) и cos(dt + Ав) слева и справа в (7), получим соотношения, определяющие искомые значения x0, x1, у

sMJ о (xj )cos(xo + P) = [cos xoM 2 Jj (xj )sin P + dxj ]cos y + + [cos xoM 2Jj (xj )cos P]siny;

sMJ o (xi )sin(xo + P) = [cos Xo M 2Ji (xi )sin P + dXi ]siny-- [cosxqM2Ji(xi)cosP]cosy.

(10)

Отсюда при условиях (9) приходим к приближенным соотношениям [7, ф-ла (12.20)].

Решим полученную систему уравнений (10) относительно функций sin y и cosy . Предварительно запишем уравнения (10) в виде системы уравнений

an siny + ai2 cosy = Fi; (ii)

a2i siny + a22 cosy = F2.

где an = DcosP; ai2 = DsinP + dxi; a2i = DsinP + dxi = ai2; a22 =-DcosP; где D = cos xqM 2 Ji (xi); F = sMJq (xi )cos(xq + P); F2 = sMJq (xi )sin(xo + P).

Определитель системы уравнений (11) имеет вид

А = -а 2 х?-

М соб х0 дхл

2 / )

+1 + 2

М соб х0 дхл

2 / (Х1)

Бт Р

22 = -а Х1

М соб х0 дхл

2 / (х1 ) + б1п Р

2

+ соб Р

= - Х12 А (

Отсюда при условиях (9) приходим к [7, ф-ле (12.23)] с точностью до коэффициента ( - Х1 )

В результате находим

А

А '

собу =

А

2 .

где А1=

р1 а12 ¥2 а22

а11 р1 а21 ¥2

= ^1а22 - а12. а 2 = После преобразований Д1 и Д2 принимает вид

а1 = -м/ (х1 )х1

А

= ¥2 а11 - ¥1а21.

(2^

А 2 = -М/( (х1 )Х1

аб1п(х( + Р)+М — /1 (Х1 )соб Х(

IХ1)

Г 2 ^

а соб(Х( + Р)-0.5 — /1 (Х1 )М 81и2Х(

IХ1)

Таким образом, находим искомые решения системы уравнений (11)

Х[СОБу = аМА(1/( (х1 )

Г 2 ^

а соб(х( + Р)- 0.5М — /[(Х! )б1п2 Х( V Х1)

у = £МА(!/0 (х[ )

Г 2 ^

а 81И(х( + Р) + М — /[(Х!)СОБ2 Х(

V Х1)

(13)

где Д0=-Д/Х1

Отсюда при условиях (9) приходим к [7, ф-ла (12.21)].

По (13) находим выражения для квадрата амплитуды первой гармоники (Х1 ).

Х12 =52 М 2 / о2 (х[)/А (.

Отсюда при условиях (9) приходим к [7, ф-ла (12.22)]. Раскрывая в (14) значение величины Д0, получим

(14)

2

x? =

-2 Jo? (xj )

d2

cos xo

f о Л

d

V x! J

J (x)+

sin P

M

+

cos P

M

05)

или при выполненных условиях (9)

x2 =

s

.2

d2

С cos xo sin P

o +-

V

d

M

+

cos P

M

06)

Отсюда следует [4]

x2 =

2 2 8 + 28 sin P cos xo + cos xo

где д=ё!Ы.

В [4] показано, что это значение х1 при х2 << V* можно аппроксимировать величиной

2

x,2 =

8 2 + 28 sin P +!

07)

В случае системы первого порядка, когда P=o, M=1, полагая cos xo = д/ j -в получим

2

2 S

xj =

2

ё1 +1 -в1'

Таким образом, формула (17) здесь справедлива при в=0 и в том случае, если выполнено условие (9)

Кривые Х1 = / (ё, в) при £=сопБ^ приведены на рис. 1. Кривые 1,4 - получены при е=0.9; 1,5 при е=0.6; 3,6 при £=0.3. При ё>>1 получим асимптотическую формулу Х1 « а/ё (на рис. 1 штриховые линии)

Нетрудно убедиться, что формула (17) здесь справедлива при любом фильтре (при

P^0; M^1), если положить cos xo = у j - в и взять в=0.

2

2

2

2

2

S

0.8

0.7

0.6

\l n.....

i j<\ 4r\V-5

4 v\V4 V Y

>Y

3 Y";7 -

1 1 1 1 1 1 1 1 1

О 1 2 3 4 £ 6 7

9 d

Рисунок 1

При использовании в качестве фильтра низкой частоты (ФНЧ) интегрирующей цепи, имеем

M—1 =(l + d2/ccq ^ P = -arctg2) sinP = —da—2M,

—2

где ao =ОтТф, Тф - постоянная времени ФНЧ.

2 21 2 — 4 i В таком случае по (17) находим 5 = d 11 + d a§ I,

S = d 2'

Xi

При d>>1, a<<1 x1 «I —

2 — 4 — 2 1 1 + d a0 — 2a0 + — d2

Л

( 2 ^ a0

d

V У

Следовательно, при этом графики зависимости

располагаются ниже кривых системы первого порядка. Заметим, что полоса захвата ФАП при отсутствии помехи при малых а0 имеет вид вк=(4/п)а0

Для дальнейших исследований необходимо найти выражения для функции и

со&Р.

По (13) получим

. А 0 X1 M

sin( X0 + р) = , sin V — —

saMJ0 (X1) d

— J1 (x1 ) X1

А0x1 Л rM

cos(X0 + р) = ( ч cos V + 0,5 —

sdMJ 0 (X1) d

— J1 (x1 1 X1

cos X0 = B1; sin 2 X0 = A1.

Полагая cosx0=a; sinx0=b; cosP=x; sinP=y, решим систему уравнений

ax — by = Ai; bx + ay = B1.

В результате получим

cos P = x = aA1 + B}b = —А 0 X\—г cos(y- x0). (18)

sdMJ0 (x1)

А x M ( 2 ^

sin P = (ax + A1)/ sin x0 =-1—rsin(y-x0 )--— J1 (x1 )cos x0 (19)

sdMJ0 (x1) d ^ x1 J

Подставим значения cosP и sinP в формулу для Д0. В результате находим:

п2

А 0 = d2

M cos x0 2 т t \ А0 xi . / ч M 2 т t \

----J1 (x1)+ ( , sin(y-x0)-—— J1 (x1)cosx0

d x1 sdMJ 0 (x1) d x1

+

+ d2-АН-cos2 (у-x0 ) = d 2-АН-= А 0.

(sdM )2 Jq (x1) (sdM )2 J 02 (x1)

Тогда

А 0 = (MM(x1). (20)

x?

Подставляя это значение Д0 в (18) и (19), окончательно приходим к соотношениям

dx1 cos P = sMJ0 (x1 )cos(y - x0),

d^ sin P = sMJ0 (x1 )sin(y- x0 )- 2MJ1 (x1 )cos x0. (21)

Найдем значение sinx0, используя (8) и выражая ^s^-^) из (20). В результате получим

в dx1 J л (xi) л sinx0 = )--LlT^cosP (22)

M 0 J 0 (x1) MJó) (x1) Отсюда при условиях (9) приходим к [7, ф-ла (12.24)]

• в dx¡

sin x0 =---cos P (23)

M 0 2M

На рис. 2а изображены зависимости x0 = f (d), при e=0.6, a=0.8 и a-2 = 6.25, где

кривые 1,4 получены при в=0.8; 2,5 - в=0 5; 3,6 - в=0 2; Кривые 1, 2, 3 - при невырожденном фильтре, 4, 5, 6 - при вырожденном. На рис. 2б изображены зависимости

x0 = f (d), при в=0 5, a=0.8 и a-2 = 6.25 , где кривые 1,2 получены при е=0.9; 3,4 - е=0.6;

5,6 - е=0.3; Кривые 1, 3, 5 - при невырожденном фильтре, 2, 4, 6 - при вырожденном. На

рис. 3а изображены зависимости x1 = f (d), при е=0.6, a=0.8 и a-2 = 6.25 , где кривые 1,2

получены при в=0.8; 3,4 - в=0 5; 5,6 - в=0.2. На рис. 3б изображены зависимости x1 = f (d), при в=0 5, a=0.8 и a-2 = 6.25, где кривые 1,2 получены при е=0.9; 3,4 - е=0.6; 5,6 - е=0.3. На рисунках 3а,б кривые 1, 3, 5 получены при невырожденном фильтре, 2, 4, 6 - при вырожденном.

По (21) находим

. ¡ ч dxi sinP 2Ji (xi) 1 (dx1 . n „ г / ч ^ . sin (у- x0 ) = —-——r +--) ч cos x0 =-—rl—- sin P + 2J1 (x1 )cos x0 1 = G (24)

sMJ 0 (x1) sJ 0 (x1)

sJ0(x1){ M

Рисунок 2а

Рисунок 2б

Рисунок 3а

Рисунок 3б

Тогда

где ^=arcsinG

¥ = У1 = x0 + Ф при d > 0; у = ¥2 = x0 +ф- п при d < 0;

(25)

Действительно, cos(y - Xq ) = ± cos p, причем плюс при d>0, минус при d<0, так как

cosP>0 и cos p = л11 - G 2

Зависимости у = f (d) изображены на рис. 4, при е=0.6 a=0.8 и а-2 = 6.25, где

кривые 1, 3, 5 получены при невырожденном фильтре; 2, 4, 6 - при вырожденном. Кривые 1, 2 получены при р=0.8; 3, 4 - р=0.5; 5, 6 - р=0.2. Поэтому по (20) находим

(dx1, cosP)2 = s2M2 J2 (x1 )cos2 p = s1M2 Jqj (x1 )(l - G2 ) Отсюда получим

A2 =

dXi cos P MJ 0 (Xi),

„2 2^2 2 = s - s G = s -

1 ( dxi sin P

J02 (X1)

M

+ 2 J1 (x1)cos

X0

= s2 -B2.

Рисунок 4

Тогда

s2 = A2 + B2.

(26)

Тогда используя равенство (20), по (13) находим

cosy = yFi; siny =

X1

где y =

sMJ 0 (x1)'

(27)

M

2M

F1 = dcos(P + xq)+--J1(x1 )sin2xq; F2 = dsin(P + xq)+--J1(x1)cos xq;

X1 X1

Найдем приближенные значения параметров колебаний х0, х1, у

2

2

По (16) при d>>1 следует

Отсюда при J0(xi)=1 получим [7, ф-ле (12.25)]

2 2

Поскольку x1J1(x1) ~ x1 ~ 1/d , то по (21) находим приближенную формулу

sin x0 =в. (29)

M 0

При малых x1 (при больших помеховых расстройках d>>1), когда J1(x1) ~ x1/2 по

(24) получим G « — \— sin P + cos x0 |. Отсюда при d>>1 с учетом значения x1 по (27)

s \M J

находим G~sinP и $=P; w~x0+P [7, ф-ла (12.27)].

Таким образом, получены соотношения для всех трех параметров x0, x1, предполагаемого решения.

2. Критические значения параметров

Найдем критические значения первой гармоники x1=x1k и отношения помеха/сигнал e=£k, которые определяют условия срыва синхронизации:

sin x0 =±1; cos x0 = 0. (30)

2 2 2 /2

При учете второго условия по (16) находим x^ = s^M d . Отсюда следует

s2k = x¡kd VM 2. (31)

При учете первого равенства в (29) находим

2M

x1k =

Y + 1

VM 0 J

d cos P

(32)

2

Подставляя это значение x^ в (30) окончательно получим

sk =

2d

f .. \ 2d Г .. Л

M cos P

Y +1

VM 0 J

M cos P

Y

v M 0

+ sgnd . (33)

Зависимость = / (ё) при а=0.8 и а02 = 6.25 изображена на рис. 5, где кривая 1

получена при ФАП 1-го порядка и в=0; кривая 2 при невырожденном и вырожденном фильтре и в=0; 3 - ФАП 1-го порядка в=0.8; 4 - невырожденный и вырожденный фильтр и в=0.8;

Рисунок 5

По рис. 5 замечаем что при Р>0 и ё>0 помехоустойчивость ФАП выше, чем Р>0, а

ё<0.

Можно показать, что условиями захвата за сигнал при действии гармонической помехи является [5]

\Р + е\< 1; |е-Р< 1,

или

-(1 + е)<\< 1 -е; е-1 <Р< 1 + е.

С другой стороны по [9] находим

или

е < 1 -Р; е > 1 + в\,

е-1 <\< 1 -е; 1 -е<\<е-1.

Причем во втором случае границы захвата по сигналу совпадают с [8] несмотря на то что получены [5,8] и [9] на основе разных критериев.

Достаточным условием захвата за помеху является условие [5]

\ +1 е е

< 1;

Рп 1

е е

< 1,

или

-(1 + е)<\п < е -1; 1 -е<\п <е +1.

Причем левая граница во втором случае совпадает с [8].

Заключение

Таким образом, в более строгом приближении, чем в [7] получены динамические характеристики фазовой автоподстройки при наличии на ее входе гармонической помехи. Найдены зависимости параметров предполагаемого решения ДУ от параметров помехи и сигнала. Приведены соотношения для критических значений этих параметров.

Приложение

Амплитудночастотные и фазочастотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) фильтров низкой частоты (ФНЧ) ФАП.

Пропорционально интегрирующий фильтр (ПИФ)

F (d ) =

1 + irnz2 1 + i®ciT\

1 + ia Ti 1 + ia Ti

—2

1 + idaao

— 2

d =/Q 1 + ida°

a— 2 = Qt1.

АЧХ

M = F (d )

1

2 2 — 4 1 + ad ao

2 —4

1 + d a0

ФЧХ P = arg(l + idaa— 2 )— arg(l + ida— 2 ) = arctg (daao- 2 )— arctg (dao- 2 )

Вырожденный ПИФ

—2

/ д 1 + idaa0 1 . 1

F (d ) =-;— = a +--— = a — i

id a-- 2

ida— 2

da-)2

АЧХ

M = F (d )

f , Y

a2 +

da

—2

Vuw 0

a2 +

f 2 ^ a0

d

V У

ФЧХ

f

P = arg

Л

a — i-

da

—2 0 y

= arctg

1 ^

da

—2

V 0 y

Данные характеристики используются при построении рисунков в статье.

2

1

Литература

1. Журавлев А.Г. Работа системы фазовой автоподстройки частоты при гармонических помехах// Радиотехника. 1963. т. 18, №9, С. 38-46.

2. Bruno F. Tracking performance and loss of lock of a carrier loop due to the presence of a spoofed spread spectrum signal // Proceedings of the 1973 symposium on spread spectrum communications, v.1 San Diego, California, 1973, March, pp 71-75

3. Blanchard A. Interference in phase - locked loops // IEEE Trans. On aerospace and electronic systems, 1974, v. AE S-10, N 5, p. 686-697

4. Levitt B.K. Carrier tracking loop performance in the presence of a strong CW interference// IEEE Trans. on communications, 1981, v. COM -29, N6, p 911-916

5. Nakagawa M. Effects of interfering signals in phase-locked loops // Frequentz, 1978, v. 32, №5, P. 146-153.

6. Быховский М.А. Влияние помехи на процессы захвата в системе фазовой автоподстройки частоты // Радиотехника и электроника. 1987. №10 С. 21312141

7. Шахтарин Б.И. Статистическая динамика систем синхронизации. М.: Радио и связь, 1998. - 488 с.

8. Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации методом усреднения. - М.: Радио и связь, 1999.-496с.

9. Karsi M.F., Lindsey W.C. Effects of CW interference on phase-locked performance // IEEE Trans., 2000, v. COM-48, № 5, p. 886-896

10. Шахтарин Б.И., Иванов А.А., Кобылкина П.И. и др. Синхронизация в радиосвязи и радионавигации. - М.: Гелиос АРВ, 2007. - 256 с.

11. Шахтарин Б.И., Асланов Т.Г. Сравнительный анализ характеристик воздействия помех на системы синхронизации // Телекоммуникационные системы и технологии: 4-ый Межд. радиоэлек. форум. Украина, Харьков, 2011 С. 187-190.

12. Шахтарин Б.И., Асланов Т.Г. Анализ систем синхронизации численными методами // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение 2011. - №4

electronic scientific and technical periodical

SCIENCE and EDUCATION

Analysis of phase locked loop in the presence of harmonic interference

77-30569/297921

# 01, January 2012 Shahtarin B.I

Bauman Moscow State Technical University

shakhtarin@mail.ru

Dynamic characteristic of phase locked loop in the presence of harmonic interference at its entrance along with desired signal were considered; this interference was out of PLL synchronization band. Critical values of parameters of system and interference were obtained with harmonic balance method.

Publications with keywords: noise, error performance, method of harmonic balance Publications with words: noise, error performance, method of harmonic balance

Reference

1. Zhuravlev A.G., Operation of the system of phase-locked loop frequency at the harmonic interference, Radiotekhnika 18 (9) (1963) 38-46.

2. Bruno F., Tracking performance and loss of lock of a carrier loop due to the presence of a spoofed spread spectrum signal, in: Proceedings of the 1973 symposium on spread spectrum communications, V.1, San Diego, California, March, 1973, pp. 71-75.

3. Blanchard A., Interference in phase - locked loops, IEEE Trans. on aerospace and electronic systems AE S-10 (5) (1974) 686-697.

4. Levitt B.K., Carrier tracking loop performance in the presence of a strong CW interference, IEEE Trans. on communications COM -29 (6) (1981) 911-916.

5. Nakagawa M., Effects of interfering signals in phase-locked loops, Frequentz 32 (5) (1978) 146-153.

6. Bykhovskii M.A., Effect of interference on processes of capture in the system of phase automatic frequency, Radiotekhnika i elektronika 10 (1987) 2131-2141.

7. Shakhtarin B.I., Statistical dynamics of synchronization systems, Moscow, Radio i sviaz', 1998, 488 p.

8. Shakhtarin B.I., Analysis of the systems of synchronization by method of averaging, Moscow, Radio i sviaz', 1999, 496 p.

9. Karsi M.F., Lindsey W.C., Effects of CW interference on phase-locked performance, IEEE Trans. COM-48 (5) (2000) 886-896.

10. Shakhtarin B.I., Ivanov A.A., Kobylkina P.I., et al., Synchronization in the radio communication and radio navigation, Moscow, Gelios ARV, 2007, 256 p.

11. Shakhtarin B.I., Aslanov T.G., Comparative analysis of the characteristics of the impact of interference on synchronization system, in: Proc. of the 4th International radio-electronic forum on Telecommunication systems and technologies, Ukraina, Khar'kov, 201, pp. 187190.

12. Shakhtarin B.I., Aslanov T.G., Analysis of the synchronization systems by numerical methods, Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie - Bulletin of BMSTU. Ser. Instrument making 4 (2011).