CC BY
48
Бецков В.А., Лончаков Ю.В., Осташкевич В.А.
Москва, ВЦ РАН им. А.А. Дородницына.
ОЦЕНКА БЕЗОПАСНОСТИ ПОЛЕТОВ ПО ОГРАНИЧЕННЫМ ИСХОДНЫМ ДАННЫМ
Дается алгоритм и пример оценивания показателей безопасности полетов ВС по ограниченным данным.
Известно, что одним из основных показателей безопасности полетов являются средний налет воздушных судов на одно летное происшествие.
Покажем, как применить новейшую теорию перевыборок [1] для определения показателей безопасности полетов при ограниченной статистике о летных происшествиях [2, 3].
Рассмотрим общую схему сбора и обработки данных применительно к анализу безопасности полетов и надежности бортовой авиационной техники.
Пусть [О, W(O), Po (•) ] будет базисным вероятностным пространством, где О - множество элементарных событий
W(O) - измеримое множество всех событий и Ро(ф) - истинное вероятностное распределение на [О, W(O)]. Сбор данных можно понимать как последовательность экспериментов Si, S2,. . Результат i-го эксперимента представляется как точка x± € X±, где Х± - множество всех значений х±.
Вероятность того, что X± € B, задается как Po,i(B) — Po(X±(w)€ B), где Po,±(9) принадлежит не-
которому семейству распределений, а 9о - истинное значение параметра безопасности полетов (надежности).
Пусть Q — Sn(xi, Х2, ... , xn) будет состоятельной точечной оценкой 00 , т.е. 0 $o, n ^оо.
Нас интересует закон распределения отклонений 0п — Go: = L[(Gn — Go) ] .
Если интересующий нас параметр To — T(Go), то закон распределения отклонений Т — To есть
L (60), n L [ ( T n Tn) ] ,
где T n — Tn (x, X2, ... , Xn) - точечная оценка To — T(Go) .
Пусть эксперименты Si, £2,■■■ , £n выполняются в произвольном порядке, допустим, в таком: S; ,£ ,...,£ . Пусть первоначальные данные есть (x, x ,..., x ), где {ii, ... ,in} - перестановки из {i,
I ‘2 ‘n ‘1 ‘2 ‘n
... , n}. Следовательно, Si, S2,... , Sn - случайная выборка из более общего объема возможных экспериментов. Эти данные можно размножить путем выборки с заменой из Si, £2,. , Sn, т.е. осуществить генерацию копий статистических данных путем случайной перевыборки с заменой из первоначальных статистических данных Xi, X2, ... , xn. Таким образом, мы получим больше знаний о распределении отклонений To — Т (0o) . Сформулируем методику (компьютерный алгоритм) получения искусственного распределения L*n,K, которое будет асимптотически стремится к L(^)» *
Вот этот алгоритм.
Находят состоятельную оценку
T n — T(Xi, X2, ... , Xn)— T (Xn).
Получают К случайных выборок с перевыборкой из первоначальных данных Xn такого же объема n:
К* = (x*1, У,-
X*2 = (x* 2, У,..
х*к=(x*к, x*K
(Xi, X2
Xn)
где X*q (1 < q < n) - перевыборочная копия первоначальных данных.
Если To — T(Go) - интересующий нас параметр и его дят для каждой перевыборочной копии
Т*1 — t К1), Т? — г (х;2),
состоятельная оценка
T (Xn) , то нахо-
Т;к — г К ).
Определяют отклонения оцениваемых величин T*m
т.е.
*1
n
*2
n
Т •
Т n;
Т •
Т n;
(i < m < q)
(см. предыдущий пункт)
от
к
Т n
Т •
Т n;
После чего, вычисляют перевыборочную версию для условного закона отклонений от T n , задаваемых через ( ,...,x ):
L*n,K — L[( T;k )\( x*, xh,..., xiti )],
асимптотически приближающегося к L(^)n *
Покажем применение приведенного алгоритма к оценке показателей безопасности полетов, которые всегда определяются по ограниченной исходной статистике (несколько десятков летных происшествий за несколько лет).
Сначала нужно получить точечную оценку параметра То, т.е. величины T п = Тп(хг, X2, ... , хп), где n - количество летных происшествий, Xi, х^, ... , хп - соответствующие наработки всего парка ВС до летного происшествия, То - математическое ожидание (истинное значение) наработки парка ВС на летное происшествие.
М-пк пк
I т +IT-
Имеем точечную оценку T *о величины То в виде: T *о = —-------- , (1)
пк
где М - общее число эксплуатируемых ВС, пк - число ВС с летными происшествиями (катастрофами).
Пронумеруем все М значений, отнесенных к фиксированному моменту (к которому уже произошло пк летных происшествий) и по ним будем (с помощью компьютера) осуществлять выборки с возвращением - перевыборки. При этом получим Q перевыборок одного и того же объема nk (Q - сколь угодно велико, так как перевыборки осуществляет компьютер). Для каждой перевыборки по формуле (1)
получаем значенияT *01, T *02, ... , T *oq.
Далее по реализациям T0* - T *01, T0* - T *02, ... , T0* - T *oq строим закон распределения, получая рас-
пределение асимптотически приближающееся (при Q -> во) к неизвестному распределению с реализациями
То - T *о± , i = 1, 2, ... , при i -> о,
где i - число реализаций отклонений выборочного среднего (не перевыборочного), т.е. оценки для T *о для истинного значения То. Но у нас всегда i = 1 (имеем одну выборку с фиксированным числом летных происшествий). Поэтому очень важно было получить асимптотическое распределение с использованием перевыборок. По такому распределению можно судить не только о точности оценки
гр* „
T0 , но и определять, попала ли некоторая «чужеродная» величина - нормативный показатель наработки ВС на летное происшествие в заданный доверительный интервал в полученном асимптотическом распределении.
Покажем применение изложенного выше алгоритма к оценке показателей безопасности полетов по данным, имеющимся в архиве департамента воздушного транспорта России. В таблице 1 отражена статистика летных происшествий за период с 1994 по 1997 гг. На момент начала наблюдений летный парк составляли M = 7500 воздушных судов. В качестве нормы суточного налета принимаем tc = 10
часов, соответственно норма налета одного ВС за месяц составляет tm = 30*tc = 300 часов. За период наблюдения произошло пк = 19 летных происшествий.
Таблица 1.
№ i 2 3 4 5 6 7
Дата летного Апрель Сентябрь Октябрь Январь Март Август Октябрь
происшествия 1994 1994 1994 1995 1995 1995 1995
№ 8 9 10 11 12 13 14
Дата летного Декабрь Февраль Апрель Октябрь Ноябрь Декабрь Март
происшествия 1995 1996 1996 1996 1996 1996 1997
№ 15 16 17 18 19
Дата летного Апрель Июнь Август Октябрь Декабрь
происшествия 1997 1997 1997 1997 1997
Располагая указанными выше исходными данными, находим точечную оценку, используя формулу:
T *
T 0
М~Пк Пк
I T +ITJ
____м
Пк
м ~пк
Выражение I T представляет собой суммарный налет исправных ВС за период наблюдений (4 го-
i =1
да) и численно равно
М-пк
I T =(7500-19) *300*12*4=1.077264*108 часов.
i =1
Выражение It, представляет собой суммарный налет отказавших ВС за период наблюдения и, на j =1
основе данных таблицы 1 вычисляется следующим образом:
IT = (3+8+9+12+14+19+21+23+25+27+33+34+35+
j=1
38+39+41+43+45+47) * 300 = 1.548 * 105
где 3, 8, 9, ... - налет соответственно
месяцах. Вычисляем значение точечной оценки
1.077264 *108 + 1.548 *10г
часов,
1-го, 2-го, 3-го То:
т
т п
19
0.56779578 * 107
воздушного судна (см. таблицу 2) в
Получив значение T 0, приступаем к генерации перевыборочных копий исходных статистических данных (представленных в таблице 1).
Рассмотрим методику генерации и обработки перевыборок на примере перевыборочной копии Х*кп
(1 < k < K).
2
Пусть в процессе случайного выбора с возвращением в k-тую перевыборочную копию попали сле-
дующие данные: Таблица 2.
№ элемента в таблице 1 1 1 1 1 1 2 3 5 6 6 6 7 8
Налет ВС (месяцы) 3 3 3 3 3 8 9 14 19 19 19 21 23
№ элемента в таблице 1 11 11 11 14 15 17
Налет ВС (месяцы) 33 33 33 38 39 43
Вычисляем суммарный налет отказавших ВС на основе перевыборочной копии исходных данных ХУ
УTj = (3+3+3+3+3+8+9+14+19+19+19+21+23+
j=
+33+33+33+38+39+43) • 300 = 1.098 • 105 часов.
Точечная оценка T *0 для одной (К-ой) перевыборочной копии исходных данных Х*к
равна:
T *0 =
1.077264 -108 +1.098 -105 19
0.56755894 • 107
Тогда отклонение Т0* от T *0 составляет:
Т - T *0 = (0.56755894 - 0.56779578) • 107 = 0.23684 • 104 часов.
Генерация и обработка перевыборочных копий исходных статистических данных производится K = 1000 раз. В итоге получаем распределение тысяч отклонений T0* от T *0, то есть функция F(t) .
С доверительной вероятностью 0.9 значение T0 попадает в интервал [ T0* -F-1(0.05), T0* -F
1 (0.95) ] , что в численном виде соответствует [0.56777263- 107, 0.56781892 • 107] ( см. рис. 1).
При проверке соответствия данного показателя безопасности полетов - нормативной наработке на одно летное происшествие следует убедиться в том, попало ли это нормативное значение в указанный доверительный интервал или нет.
В случае его попадания в этот интервал принимается решение о соответствии реального показателя безопасности полетов нормативному, с соответствующей (приемлемой) доверительной вероятностью.
ЛИТЕРАТУРА
1. Belyaev Yu.K. Bootstrap, Resampling and Mallow Metric//Institute of Mathematical Statistic. Umea, Sweden. Lecture Notes. N 1. 1995.
2. Барзилович Е.Ю., Нартов В.Н. Актуальные вопросы повышения эффективности летной эксплуатации воздушных судов. М.: МГУ, 2005.
3. Бецков А.В. Модели оценок и снижений рисков на воздушном транспорте//Издание второе, исправленное и дополненное. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2004. 248 С.
3
