Оценивание параметров аппроксимирующей функции с постоянными пропорциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информатика, вычислительная техника и управление. Моделирование. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

ш

- на основе данных прогноза определять требуемое число ГОР СЖ для привлечения в соответствующий район выезда;

- обеспечивать готовность ГОР СЖ к критическим ситуациям при устранении происшествия и располагать соответствующими ресурсами сил и средств;

- осуществлять привлечение дополнительных сил и средств с учетом одновременной занятости ГОР СЖ и минимальным временем их прибытия на место происшествия.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Методы решения некорректных задач и их применение : тр. всесоюз. школы молодого ученого / МГУ им. М.В. Ломоносова; под ред. А Н. Тихонова. М. : Изд-во МГУ, 1974. 181 с.

2. Теребнев В. В. Справочник руководителя тушения пожара. Тактические возможности пожарных подразделений. М. : Пожкнига, 2004. 256 с.

УДК 004.94

Носков Сергей Иванович,

д. т. н., профессор, директор НОЦ МТП ИрГУПС

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ С ПОСТОЯННЫМИ ПРОПОРЦИЯМИ

S.I. Noskov

PARAMETERS ESTIMATION OF THE FITTING FUNCTIONS WITH CONSTANT PROPORTIONS

Аннотация. В статье задача оценивания неизвестных параметров функции с постоянными пропорциями сводится к задаче частично булево-го линейного программирования.

Ключевые слова: функция с постоянными пропорциями, кусочно-линейная регрессия, метод наименьших модулей, булевы переменные.

Abstract. In the article, the problem of estimating unknown parameters of the function with constant proportion is reduced to the problem of partial Boolean linear programming.

Keywords: function with constant proportions, piecewise-linear regression, method of least modules, Boolean variables.

Общеизвестно, что методы математического моделирования весьма эффективны при решении широкого круга проблем, возникающих в самых различных областях знаний. Математические конструкции, содержащиеся в соответствующих моделях, часто в силу специфики исследуемых проблем имеют существенно нелинейные формы. Одной из таких форм, особенно популярной в экономико-математических моделях, является функция с постоянными пропорциями, называемая также кусочно-линейной регрессией:

yk = min}«!xkl,«2xk2,...,атхш }+sk, k = 1, n,

(1)

где х, У - входные и выходная переменные, значения которых известны, аг, г = 1, т - подлежащие оцениванию параметры, гк - ошибки аппроксимации, п - длина выборки, k - номер наблюдения. В дальнейшем без потери общности будем предполагать неотрицательность переменных модели (1).

Замечательным свойством аппроксимирующей функции (1) является то, что значение выходного фактора у , в экономико-математических моделях обычно трактуемого как выпуск продукции, определяется значением лимитирующего входного фактора (ресурсного показателя). При этом любое наращивание других факторов не приводит к возрастанию выпуска.

В работе [1] предложен простой приближенный метод идентификации параметров аг,

г = 1, т, состоящий в простом переборе узлов равномерной га-мерной 5 -сетки множества В:

B = \a е Rm | a е

• yt Уь min—L ,max—

к х к х xki xki

для всех i = 1, m}.

Общее число таких узлов будет равно 1т , где I - число узлов по одной координате. Вектор оценок параметров, соответствующий узлу, на котором значение выбранной функции потерь ока-

жется минимальным, и будет решением задачи идентификации.

Достоинством данного метода является то, что с его помощью можно найти приближенное значение любой оценки параметров регрессии (1) из класса так называемых Ь„ -оценок, которым,

в зависимости от значений V, соответствуют, в частности, методы наименьших квадратов и модулей, антиробастные методы и т. д. Разумеется, чем больше число I, тем ближе к оптимальной окажется полученная оценка, однако и время счета увеличится.

Поставим теперь задачу точной идентификации параметров аг, г = 1, т уравнения (1) с использованием метода наименьших модулей, приводящего к задаче

J(а) = ^ тт •

к=1

Ук = 2к + 8 к , к = 1П •

причем для каждого к по крайней мере одно из них должно обращаться в строгое равенство.

Для достижения этого требования введем

тп булевых переменных аы, к = 1, п, г = 1, т и сформируем ограничения:

а,хк, - гк ^(1 М, к = 1,п, г = 1,т, (7)

к=1' к =1 п'

(8)

(2)

Впервые такая задача была сформулирована в работе [2]. Там же была изложена идея ее решения.

Введем в рассмотрение так называемые расчетные значения выходной переменной 2к :

2к = т^Л!, а 2 Хк2,--,а тХкт Ь к = 1 П (3)

после чего регрессия (1) представима в виде

(4)

Следуя стандартному приему «раскрытия» модулей в (2) (см., например, [1]), введем в рассмотрение переменные щ и Ук по правилу:

где М - заранее выбранное большое положительное число.

Наложим на переменные задачи естественные ограничения:

а г > 0, ак1 = 0,1, 1 =1, т щк, Ук, гк > 0, к = ^ п • (9)

Из задания переменных щ и Ук следуют следующие равенства

I8к| = ик + Ук, икУк = 0 >

что позволяет представить функционал (2) в виде

п

J(а) = ^(мк + Ук тт • (10)

к=1

Таким образом, задача (2) поиска значений неизвестных параметров а г, г = 1, т функции с постоянными пропорциями (кусочно-линейной регрессии) (1) с помощью метода наименьших модулей свелась к задаче частично булевого линейного программирования (5)-(10) с тп + 3п + т переменными (из которых тп - булевы) и 2п(т +1) ограничениями.

I Ук - 2к, Ук > 2к, ик = 1

[0 а 1 61 оеа111 пёо^аа.

I 2к - Ук, 2к > Ук, V =1

[0 а 1 61 оеа111 пёо^аа.

Легко видеть, что имеют место тождества

2к + ик - Ук = Ук, к = 1 п •

(5)

Из (3) следует справедливость нестрогих неравенств

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Носков С. И. Технология моделирования объектов с нестабильным функционированием и неопределенностью в данных. Иркутск : Обл-информпечать, 1996. 320 с.

2^ Носков С. И., Лоншаков Р. В. Идентификация параметров кусочно-линейной регрессии // Информационные технологии и проблемы математического моделирования сложных систем. 2008. № 6. С. 63-64^

2к ^агхк,-

к = 1, п, г = 1, т,

(6)

г=1