ОЦЕНИВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПОРОГОВЫХ ФУНКЦИЙ АЛГОРИТМОВ ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРАЦИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

Оценивание оптимальных параметров многопараметрических пороговых функций алгоритмов вейвлет-фильтрации

Ю.Е. Воскобойников

Аннотация: В работе рассматривается оптимизация алгоритмов вейвлет-фильтрации с двух- и трехпараметрическими пороговыми функциями. Оптимизация алгоритмов вейвлет-фильтрации выполняяется в двух направлениях: а) оптимизация за счет выбора наилучшей пороговой функции; б) оптимизация путем оценивания оптимальных параметров пороговой функции.

Ключевые слова: оценивание, оптимизация, вейвлет-фильтрация, многопараметрические функции.

ВВЕДЕНИЕ

В последние десятилетия для фильтрации сигналов и изображений широко используется их разложение в базисе вейвлет-функций. В этом случае фильтрация включает три этапа:

• вычисление прямого дискретного вейвлет-преобразования (нахождение коэффициентов разложения по зашумленным значениям дискретного сигнала);

• обработка «зашумленных» коэффициентов разложения;

• вычисление обратного дискретного вейвлет-преобразования (нахождение «сглаженных» значений дискретной функции).

Совокупность этих трех этапов будем называть вейвлет-фильтрацией, и она относится к алгоритмам фильтрации в частотной области - обработке подвергаются коэффициенты разложения зашумленного сигнала по некоторой системе базисных функций. Примерами таких алгоритмов являются также алгоритмы Фурье-фильтрации.

Очевидно, что качество фильтрации зашумленного сигнала определяется

алгоритмами обработки второго этапа. Большинство используемых алгоритмов носят пороговый характер: коэффициент разложения меньший по абсолютной величине некоторой пороговой величины зануляется, в противном случае коэффициент сохраняется или подвергается некоторому (в общем случае

нелинейному) Распространение на «жесткая» и «мягкая» зависящие только от

преобразованию. практике получили пороговые функции, одного параметра -

величина порога. При этом выбор пороговой величины существенно влияет на ошибку фильтрации и эта величина, по сути, является управляющим параметром алгоритмов вейвлет - фильтрации [1-3].

Однопараметрические пороговые функции имеют известные недостатки (обсуждаемые ниже). В значительной степени эти недостатки преодолеваются при использовании

двухпараметрических или трехпараметрических пороговых функций, зависящих уже от двух или трех параметров. Наличие нескольких параметров ставит с особой остротой вопрос о вычислении оптимальных значений этих параметров, минимизирующих ошибку фильтрации. Однако отсутствие в литературе аргументированных и приемлемых (по точности фильтрации) алгоритмов выбора этих параметров объясняет их слабое использование на практике.

Данная работа посвящена оптимизации алгоритмов вейвлет-фильтрации с

многопараметрическими пороговыми

функциями в двух аспектах:

• оптимизации за счет выбора наилучшей пороговой функции;

• оптимизации путем оценивания оптимальных параметров пороговой функции.

Заметим, что в рамках второго аспекта полученные результаты являются обобщением результатов работы [11].

1. ПОРОГОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ВЕЙВЛЕТ -ФИЛЬТРАЦИИ

Приведем основные понятия и определения, необходимые для изложения результатов работы.

Многомасштабное (multiresolution)

представление функции / (/) в базисе вейвлет-функции имеет вид [4,5]:

л+3

/о) = Еау0+зф,к^) + Е Е)

к у=у +1 к

Функции {фу к(0} называют масштабирующими (или отцовскими), а функции {Уу к)} - вейвлет - функциями (или материнскими). Коэффициенты разложения а у к называют аппроксимирующими, йу к -

детализирующими и они определяются выражениями:

а]Л = | / (фу,к (1 №, к

йук = | f (< У у,к (' , (2) к

где К - интервал определения функции f (/). Переменная у характеризует уровень разложения и ее часто называют коэффициентом масштаба, а переменная к -временной сдвиг той или иной базисной функции. Системы функций {фук (0},

Щу,к (¿)} составляют ортогональный базис

пространств У у,Жу, —¥ < у <¥, и

определяются соотношениями [6,7]:

фук (0 = 2—у/2ф(2—и — к),

Уук ^) = 2—у/2у(2—Ь — к), где функции {ф — к)}, {щ^ — к)} -ортогональный базис «нулевых» пространств У), Ж). При этом пространство Ж у

ортогонально пространству У у и

У у—1 = У у © Ж у. Чем меньше номер у, тем

более «мелкие» структуры исходной функции f(t) могут быть представлены в базисах

{фу,к (0}, {\¥у,к (0} и тем ближе

реконструированный сигнал ) к исходному.

Алгоритм вейвлет - преобразования двумерной функции аналогичен одномерному случаю. Любое изображение можно интерпретировать как функцию двух

переменных f (х, у). Тензорное произведение функций {ф,к ^)}, {уу

к ^)} . порождает следующие базисные функции:

{<№и»т (X,У ) = Ф].« (Х)' фт (У )} ;

{Уу,п,т (x,У ) = ф,« (X) • Щут (у)};

уф,«,т (X,У ) = Уу,п (х)• Фт (У )} ;

{Уу,т,п (X,У ) = Уу,п (х)• Уут (У )} .

Соответствующие коэффициенты разложения изображения принято называть следующим образом:

• аппроксимирующие коэффициенты Ау = {аау. пт} получаются как коэффициенты

разложения по базису { фф пт (х, У)} ;

• горизонтальные детализирующие коэффициенты Ну = {айу пт} получаются как коэффициенты разложения по базису

{Уу,п,т (x, У)};

• вертикальные детализирующие коэффициенты У у = {йаупт} получаются как коэффициенты разложения по базису {уф,п,т ( X У )};

• диагональные детализирующие коэффициенты Б у ={ййупт} получаются как коэффициенты разложения по базису

{Щу,п,т ( X, У )} .

Теоретической основой пороговых алгоритмов вейвлет-фильтрации является следующая предпосылка: уровень

коэффициентов разложения случайных ошибок исходных сравнительно мал по сравнению с коэффициентами разложения точного сигнала, что позволяет распознать две ситуации: «шумовой» коэффициент (в основном обусловлен шумом измерения) и «информативный» коэффициент (в основном определяется значениями точного сигнала). Таким образом, для успешной фильтрации необходимо обратить в ноль шумовые коэффициенты, сохранив при этом информативные коэффициенты разложения. Эта идея реализуется пороговыми алгоритмами обработки «зашумленных» коэффициентов разложения.

На практике широко используются две пороговые функции:

• «жесткая» пороговая функция вида:

й, если \с1 > X,

г (¿и):

(3)

0, если \с1\<А:

• «мягкая» пороговая функция вида:

где

И

г, если г > 0; 0, если 2 < 0,

Л - величина порога, (1 - обрабатываемый коэффициент разложения. Графики функций приведены на рис. 1 (1 - график функции (3), 2 -функция (4)).

• из-за уменьшения амплитуды коэффициента разложения на величину Л в

ж тА*>х)

функции V ' возможно сглаживание (размытие) контрастных элементов обрабатываемого сигнала, особенно при больших значениях Л;

Рис. 1. Графики пороговых функций (3), (4), (5)

Отметим характерные особенности этих функций:

• наличие в функции " \ > разрыва в окрестности Л может вызвать появление осцилляций (эффект Гиббса) в особых точках обрабатываемого сигнала.

Для преодоления этих недостатков функций (3), (4) в литературе (например, [6]) были предложены двухпараметрические функции, среди которых наиболее часто упоминается пороговая функция (обозначаемая в зарубежной литературе как semisoft или firm) вида:

(5)

которая включает уже две пороговые величины Л , Л . График этой функции приведен на рис. 1 (кривая 3). В работе [6] были исследованы статистические характеристики ошибок фильтрации для трех пороговых функций (3), (4), (5). Было показано (аналитически и в вычислительном эксперименте), что функция (3) имеет наименьшее смещение, функция (4) -

наименьшую дисперсию, функция (5) -наименьшую СКО фильтрации. Поэтому использование функции (5) является более предпочтительным по сравнению с

однопараметрическими функциями (3), (4).

В работе [7] построена трехпараметрическая пороговая функция (обозначаемая как custom) имеющая вид:

где Л <Л, 0 <а< 1. На рис. 2 показаны графики функции (6) при Л = 1, Л = 2 и разных значениях параметра а: кривая 1 параметр а = 0 ; кривая 2 - а = 0.2 ; кривая 3 -

(6)

а= 0.5; кривая 4 - а = 0.7; кривая 5 - а = 1.0. Видно, что при а= 0.0 и Л®Л функция (6) совпадает с функцией (4).

Рис. 2. Графики пороговой функции (6)

Очевидно, что параметры функций (5), (6) играют роль управляющих параметров, существенно влияющих на ошибку фильтрации. Поэтому вычисление значений этих

параметров, исходя из минимума СКО фильтрации, является актуальной задачей.

Заметим, что для однопараметрических пороговых функций (3), (4) предложено несколько алгоритмов выбора пороговой величины Л . В работе [2] сделано сравнение некоторых из этих алгоритмов. Показано, что алгоритм, построенный на основе критерия оптимальности (используемого для выбора параметра регуляризации [8-10]) позволяет достаточно точно оценить оптимальное значение порога Лор1, при котором СКО

фильтрации минимальна. В работе [11] на основе критерия оптимальности построен алгоритм оценивания оптимальных значений Л1 , Л2 функции (5). Однако для пороговых функций, включающих большее число параметров, вопрос об оценивании оптимальных значений остается открытым.

2. ОЦЕНИВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПОРОГОВЫХ ВЕЛИЧИН НА ОСНОВЕ КРИТЕРИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ

Первоначально рассмотрим фильтрацию одномерно дискретного сигнала. Предположим, что:

• вместо точных значений fi дискретной функции сигнала даны (известны) зашумленные значения _ _ ■

где шум измерения | имеет нулевое

среднее М [| ] = 0, дисперсию о2 и значения Ti, Т/ не коррелированны при i ф / ;

• базисные функции [ф/к (0}, [У/к (*)}

являются ортонормированными, что соответствует ортогональным вейвлетам (вейвлеты Добеши, Симлета, Кайфлета [12]);

• вычисление коэффициентов разложения

I

по зашумленным значениям осуществляется алгоритмом Малла [4,5] и результатом является набор следующих коэффициентов

• относительный вычисления

коэффициентов \ah+J-A существенно (на порядок и более) меньше уровней ошибок детализирующих коэффициентов [3] и поэтому пороговой обработке подвергаются только детализирующие коэффициенты уровней

70 +1 j0 + 2,-J0 + Jfil, где Jfil £ J .

Обозначим через 9 вектор, составленный из параметров пороговой функции. Тогда для одномерного дискретного сигнала СКО фильтрации определим функционалом

А(9) = M[||I-f ||2"

где M [ ] - оператор математического ожидания по плотности распределения шума, f, f9 - векторы, проекции которых равны значениям «точного» и «сглаженного» (с использованием соответствующей пороговой функции) сигналов соответственно. Набор 9opt,

минимизирующий СКО (6) назовем вектором оптимальных параметров и для оценки этого

уровень ошибки аппроксимирующих

вектора обратимся к критерию оптимальности. Критерий оптимальности был предложен в работе [8] и широко используется для выбора параметра регуляризации линейных регуляризирующих алгоритмов решения некорректных задач (например, [9,10]). Алгоритмы, построенные на основе этого критерия, позволяют оценить оптимальный (с хорошей точностью) параметр регуляризации, не используя при этом количественную информацию об искомом решении задачи. Для оценивания оптимального параметра сглаживания линейных алгоритмов Фурье-фильтрации этот критерий использовался в работе [3].

Определим вектор невязки е'в с

еа = /,-}аЛ = \,...,Н лт

проекциями ' * ' ' , где ТУ -

число значений обрабатываемой функции.

Введем статистику:

1 - 1 N

РшШ) = —(ее3) =

Г" ' ■-■ . (7)

Пороговые алгоритмы вейвлет-фильтрации являются нелинейными алгоритмами, но также как и в линейных алгоритмах [3], в качестве

оценки для вг

opt '

которого статистика неравенству:

примем вектор в№, для Рж удовлетворяет

2 ^РЖ (q)£Jm,1-

У/2 :

(8)

где 4

■ У!2

4,1-

_7!2 квантили Ст - распределения

с т степенями свободы уровней у/2, 1 — у/2 соответственно, у - вероятность ошибки первого рода при проверке статистической гипотезы об оптимальности параметра сглаживания (обычно у= 0.05), т = N - число значений фильтруемого сигнала (проекции

$). Если число степеней свободы

вектора

т > 30 (в задачах фильтрации это всегда наблюдается), то %2т - распределение хорошо аппроксимируется нормальным распределением с математическим ожиданием т и дисперсией 2т . Тогда, приняв вероятность ошибки первого рода у= 0.05 , получаем формулы для вычисления квантилей, входящих в неравенство (8)

А

т,0.025

= т - 1.96л/2т ;

Зи,0.975 = т + 1.96л/2т. (9) Для вычисления вектора 0Ж рассмотрим задачу минимизации функционала

^ (в) = \рш (в) — т\2 (10)

при заданных ограничениях на проекции вектора в. Для решения этой задачи можно использовать известные процедуры

минимизации. В качестве вЖ принимается

такой элемент {в(п)} минимизирующей

последовательности, для которого выполняется неравенство (8).

Можно показать, что при использовании

ортогональных вейвлетов статистика РЖ (в)

вычисляется через коэффициенты вейвлет-

разложения:

В алгоритмах вейвлет-фильтрации изображений обработке подвергаются

следующие коэффициенты: горизонтальные детализирующие п т, вертикальные

детализирующие коэффициенты п т,

диагональные детализирующие коэффициенты ййупт. Тогда

а 1 Л"»

1

а I

(12)

Предложенные формулы позволяют вычислять значения РЖ (в) (при реализации процедуры

минимизации функционала (10)) в пространстве коэффициентов вейвлет-разложения, а затем (при найденном векторе вЖ и вычисленных оценках коэффициентов разложения) только один раз выполнить обратное вейвлет-преобразование и получить сглаженные значения сигнала или изображения. Это существенно сокращает число вычислительных

операций для нахождения вектора вЖ , особенно при фильтрации изображений.

Рассмотрим формирование вектора в для конкретных пороговых функций. Для

„ ь

функции (5) вектор

в =

С

величины Ц определим в виде:

11 (Ь)=ь72ц<)

пороговые

Л (b,C) = b• ^21п(N/), (14)

где N у - количество обрабатываемых коэффициентов / - уровня, множитель С > 1 следует из неравенства Л2 > Л для функции

(10). Заметим, что сомножитель у12~\п(М~)

делает пороги уровнезависимыми и обеспечивает асимптотическую оптимальность

пороговых величин по порядку при N/ ® ¥.

Для функции (6) вектор в ■

и пороговые

величины Л,Л определим в виде (13), (14) при этом 0 < а<1 .

Вычисление оценок /, С№, а для

оптимальных значений /Зо^ , Сор1 ,аор1 осуществляется на основе минимизации функционала (10) при ограничениях:

0 </ <¥, С > 1,0 <а < 1. (15)

Отметим некоторые свойства р№ (в) для

сформированных векторов в:

• все слагаемые, входящие в (11), (12) не

Л2

отрицательны (могут изменяться от 0 до №) и поэтому р№ (в)> 0 ;

• при /З® 0 и С <¥, 0 <а < 1 справедлив предел р№ (в)® 0;

• при /®¥ и С<¥,0<а < 1 справедлив предел

'ГШ

Pw

с

а

1 J®"*"'7 ~ 1 И -II

(16)

Последнее равенство имеет место для ортогональных вейвлетов при соответствующей нормировке базисных функций. Два последних свойства обуславливают следующее

Утверждение.

неравенство

Если

выполняется

Pw

С

Kaj

1 N ~2

= > ^тЛ-г/2 '

СТ i-1

(17) для

то существуют конечные значения в№ которых выполняется неравенство (8).

Невыполнение условия (17) означает, что зашумленные значения сигнала или изображения определяются только шумом измерения. В этом случае // =¥ и

и = -

сглаженные значения сигнала или изображения равны 0.

Заметим, что для вейвлет - фильтрации изображений число степеней свободы m (см.

(9)) определяется как m = Nx • N , где

Nx, N- размеры фильтруемого изображения.

Существенной чертой приведенного алгоритма вычисления в№ является

использование дисперсии шума О2. На практике, как правило, эта величина неизвестна, и в этом случае можно использовать оценку medianQ dlJc Q

0.6745 ' (18)

где оператор me^'anQ I) вычисляет медиану абсолютных величин детализирующих коэффициентов уровня разложения j0 +1 (объем выборки равен N/2). Эта оценка широко используется в робастных алгоритмах регрессионного анализа. Применительно к алгоритмам вейвлет - фильтрации эта оценка исследовалась в работе [14], где была показана приемлемая точность оценки (18). Так для

заданной дисперсии О2 = 0.9110-1 значения оценки (18), вычисленные по 30 реализациям длиной (N/2=1024) находились в интервале [0.88 10-1,0.97 10-1].

3. ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПОРОГОВЫХ АЛГОРИТМОВ ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРАЦИИ

Приведем некоторые результаты

вычислительного эксперимента по

исследованию эффективности предлагаемого подхода оптимизации многопараметрических пороговых функций.

В качестве тестовых изображений были взяты два изображения LENA (пример гладкого изображения) и TARGET (пример контрастного изображения) размером 256 х 256 пикселей, приведенных на рисунках 3-а, 3-б. Выбор второго изображения обусловлен присутствием в его спектре высокочастотных составляющих, что существенно затрудняет фильтрацию шума.

Моделируемый двумерный аддитивный шум измерения h^ ^ подчиняется нормальному

распределению, имеет нулевое среднее,

2

одинаковую дисперсию О для всех h^ i2 и

соседние отсчеты шума не коррелированны друг с другом, т. е. шум измерения являлся белым.

Рис. 3. Тестовые изображения

Дисперсия шума а задавалась по

относительному уровню шума {р-р}

где • - обозначает евклидову норму матрицы, то есть

1

(

\

V '1 '2

2

У

256 х 256

Матрицы * размером

составлены из значений точного и

зашумленного изображений соответственно. В эксперименте задавались три уровня шума 0.02, 0.05, 0.10. При выборе пороговых величин

дисперсия а2 считалась неизвестной (эта ситуация часто имеет место на практике), и она оценивалась с использованием выражения (18). В качестве критерия точности фильтрации изображения была принята относительная ошибка, определяемая выражением

5р (в) =

^е— Р

где

И

результат

фильтрации зашумленного изображения.

Первоначально рассмотрим зависимость 5р(в) от различных параметров пороговых функций (5), (6). На рис. 4 а), б) приведены изолинии функционала 5Р (¡, С), значения которого были вычислены при уровне шума 5п = 0.10 для функций (5), (6) (параметр

а = 0.10). По оси абсцисс отложен параметр Ь , по оси ординат - С . Видно, что у пороговой функции (5) ошибка фильтрации сильно зависит от ¡5 , и значительно слабее от параметра С . Для пороговой функции (6) наблюдается

зависимость ошибки фильтрации как от ¡ , так и от С, что предъявляет более строгие требования к точности оценивания Сор1 и

поэтому эта пороговая функция является менее предпочтительной по сравнению с функцией (5).

Перейдем к исследованию эффективности оценивания оптимальных параметров пороговых функций предложенным алгоритмом на основе минимизации функционала (10). Заметим, что величина относительной ошибки

фильтрации 5р (в) =

Р

является

Л

случайной величиной (в силу статистической природы шума измерения). Поэтому для определения неслучайных характеристик точности был проведен следующий вычислительный эксперимент.

Коэффициент эффективности оценки вЖ

для ворЛ определим выражением:

5

Е =-. (20)

5 (в) ( )

Очевидно, что чем больше Е отклоняется от 1 к нулю, тем больше проигрыш по точности алгоритма фильтрации с параметрами вЖ по сравнению с минимально возможной (для данного зашумленного изображения ^) ошибкой 5т1П (алгоритм фильтрации с параметрами вор1).

Для вычисления оценок числовых характеристик и построения гистограммы случайной величины Е генерировались (как описано выше) зашумленные изображения

Рис. 4. Графики изолиний относительных ошибок вейвлет-фильтрации

Для каждого изображения

40

определялись: ¿Щ'П, ) (вщз ) (пороговая

функция (5)), З(р) (в№с ) (пороговая функция (6) при а = 0.9) и коэффициенты

эффективности

Е,

(1)

)

з ' в)

Е (1) =.

Я(1) шт

З) в)'

Для каждой выборочной

совокупности {Е^}, {ЕСр} вычислялись соответствующие числовые характеристики: среднее Е, минимальное Е ■ , максимальное

Emax значения

и строилась гистограмма относительных частот (т. е. вычислялись

п,. - количество

отношения ( = Hj /50, где значений коэффициента эффективности,

попавших в ] - ый интервал гистограммы). В таблице приведены числовые характеристики коэффициента эффективности для разных уровней шума и разных изображений. Выделенные темным фоном ячейки таблицы соответствуют относительной ошибки фильтрации с использование пороговой функции (6); не выделенные ячейки - пороговой функции (5).

Таблица

Изображение LENA Изображение TARGET

E min E E max E min E Emax

0.02 0.785 0.945 1 0.831 0.948 1

0.746 0.879 1 0.812 0.925 0.976

0.05 0.813 0.961 1 0.873 0.965 1

0.797 0.929 1 0.857 0.932 0.989

0.10 0.831 0.976 1 0.946 0.991 1

0.781 0.942 1 0.928 0.969 1

Анализ средних значений Е показывает, что предложенный подход к выбору параметров пороговых функций позволяет достаточно точно оценить оптимальные значения как для функции (5) так и для функции (6). Так отклонение среднего значения коэффициента

эффективности от 1 для функции (5) не превосходит 6 %. Для функции (6) такое отклонение выше (на уровне 9-12 %). Дополнительно заметим, что для некоторых уровней шума максимальное значение Ешах функции (6) отклоняется от 1. Все это подтверждает ранее высказанный тезис о

предпочтительности пороговой функции (5). На это также указывают гистограммы,

приведенные на рис. 5 а) (случайная величина

ESS) и рис. 5 б) (случайная величина EC),

построенные для изображения TARGET и уровне шума 0.1. Видно, что для пороговой функции (6) значения коэффициента эффективности в большей степени отклоняются от 1, что говорит о меньшей точности оценивания оптимальных параметров этой функции.

Рис. 5. Гистограммы коэффициента эффективности

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты численных исследований показали, что предложенный подход к выбору пороговых величин позволяет с приемлемой точностью оценить оптимальные пороги как для пороговой функции (5), так и для функции (6). Однако, использование функции (5) в пороговых алгоритмах вейвлет-фильтрации является более предпочтительным.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Fodor, I. K., Kamath C. Denoising through Wavelet Shrinkage: An Empirical Study//SPIE Journal on Electronic Imagingю 2003. vol. 12, N. 1, pp. 151-160.

[2] Воскобойников Ю.Е., Гочаков А.В. Оценивания оптимальных пороговых величин в алгоритмах вейвлет-фильтрации изображений. Автометрия. 2011. т. 47. № 2. С. 3-12.

[3] Воскобойников Ю.Е., Гочаков А.В., Колкер А.Б. Фильтрации сигналов и изображений: Фурье и вейвлет алгоритмы (с примерами в Mathcad^ Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2010. - 188 с.

[4] Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of LA2(R) // Trans. AMS. 989. v. 315. N1. P. 69-87.

[5] Mallat S. А theory of multiresolution signal decomposition: the wavelet representation. IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell. 1989. v. 11. N 9. P. 674-693.

[6] Gao H-Y, Bruce A.G. Waveshrink with firm shrinkage.Statistica Sinica. 1997. V. 7. P. 855874.

[7] Yoon, B.J.; Vaidyanathan, P.P. Wavelet-Based Denoising by Customized Thresholding. Proceedings of the IEEE International

Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Montreal, QC, Canada, 17-21 May 2004; pp. 925-928.

[8] Воскобойников Ю. Е. Оценивание оптимального параметра регуляри-зирующего алгоритма восстановления изображений. Автометрия. 1995. № 3. С. 6472.

[9] Воскобойников Ю. Е. Устойчивые методы и алгоритмы параметрической идентификации. Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2006. -186 с.

[10] Воскобойников Ю.Е. Устойчивые алгоритмы решения обратных измерительных задач. Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), НГАСУ. 2007. - 184 с.

[11] Воскобойников Ю.Е., Гочаков А.В. Построение алгоритмов вейвлет-фильтрации с двухпараметрическими пороговыми функциями // Автометрия. 2012. т. 48. № 1. P. 17 -29.

Воскобойников Юрий Евгеньевич, доктор физ.-мат. наук, рофессор, Заслуженный работник Высшей школы РФ, Соросовский профессор, действительный член МАИ, РАЕ, МАН ВШ, заведующий кафедрой прикладной математики Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин), профессор кафедры автоматики НГТУ. Автор более 280 публикаций, 5 монографий, посвященных решению некорректных задач интерпретации данных и обработке сигналов и изображений и большого числа учебных пособий. [email protected]