ПОСТРОЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

Построение одного класса мультипликативных алгоритмов вейвлет-фильтрации изображений

Ю.Е. Воскобойников ФГБОУ ВПО НГТУ, ФГБОУ ВПО НГАСУ (Сибстрин) Новосибирск, Россия

Аннотация. Большинство используемых алгоритмов вейвлет-фильтрации носят пороговый характер: коэффициент разложения меньший по абсолютной величине некоторой пороговой величины зануляется, в противном случае коэффициент подвергается некоторому (чаще всего нелинейному) преобразованию, которое задается используемой пороговой функцией. Определенным (и весьма существенным) недостатком пороговых алгоритмов обработки является то, что все коэффициенты некоторого уровня разложения обрабатываются с одной одинаковой пороговой величинами (т. е. постоянной величиной для всех коэффициентов разложения). Это не позволяет учитывать «энергию» каждого коэффициента разложения при его пороговой обработке. В определенной степени этот недостаток устраняется при построении алгоритмов обработке на основе подхода, который в зарубежной литературе был назван neighshrinking и который учитывает энергию коэффициентов разложения, находящихся в задаваемой близости от обрабатываемого коэффициента разложения. Однако для минимизации ошибок вейвлет-фильтрации изображений в эти алгоритмы обработки входит параметр, выбор которого в этих публикациях остается проблематичным. Поэтому в данной работе решается задача оценивания оптимальной величины этого параметра, минимизирующего среднеквадратическую ошибку фильтрации. Выполненные исследования показали эффективность предлагаемого алгоритма оценивания и возможность его использования на практике.

Ключевые слова: вейвлет-представление изображений, мультипликативные алгоритмы вейвлет-фильтрации изображений, фильтрующие множители, выбор оптимального параметра фильтрующих множителей.

ВВЕДЕНИЕ

В последние два десятилетия для фильтрации изображений часто используются алгоритмы, основанные на представлении фильтруемого изображения в базисе вейвлет-функций [1, 2]. Такие алгоритмы включает три этапа:

• вычисление прямого дискретного вейв-лет-преобразования (нахождение коэффициентов разложения по зашумленным значениям изображения);

• обработка «зашумленных» коэффициентов разложения;

• вычисление обратного дискретного вейвлет-преобразования от обработанных коэффициентов разложения (нахождение «отфильтрованных» значений изображения).

Совокупность этих трех этапов принято называть вейвлет-фильтрацией. Очевидно, что качество фильтрации зашумленного изображения определяется алгоритмами обработки, используемыми на втором этапе. Можно выделить два класса алгоритмов обработки зашумленных коэффициентов разложения: пороговые и мультипликативные.

В пороговых алгоритмах (получивших широкое распространение на практике) коэффициент разложения меньший по абсолютной величине некоторой пороговой величины зануляется, в противном случае такой коэффициент сохраняется или подвергается некоторому (в общем случае нелинейному) преобразованию (в зарубежной литературе такая обработка получила название thresholding). Пороговая величина играет роль своеобразного «управляющего» параметра, от величины которого существенно зависит ошибка фильтрации (подробнее см. [3,4]). При этом пороговая величина может задаваться одним значением для коэффициентов всех уровней разложения (уровненезависимый порог) или для каждого уровня разложения отдельной величиной (уровнезависимый порог). Забегая вперед, заметим, что на практике распространение получили «жесткая» и «мягкая» пороговые функции, имеющие известные и весьма существенные недостатки. Кроме этого оценивание оптимального значения пороговой величины (минимизирующей ошибку фильтрации) является весьма сложной задачей (обзор различных алгоритмов выбора порога см. в [3-4]).

Существенной чертой мультипликативных алгоритмов является подбор индивидуального множителя для каждого зашумленного коэффициента разложения (в зарубежной

литературе такая обработка получила название shrinkaging). Примером может служить винеровский алгоритм вейвлет-фильтрации, в котором множитель (меняющийся в интервале [0,1]) для каждого коэффициента определяется

из условия минимума среднеквадратической ошибки оценивания каждого коэффициента разложения, что гарантирует минимум среднеквадратической ошибки фильтрации всего изображения (подробнее см. [3-5]). К сожалению, вычисление таких оптимальных множителей требует задания коэффициентов разложения «точного» (не зашумленного) изображения, но такая информация отсутствует при фильтрации реальных изображений. В работах [5-7] предложены несколько квазиоптимальных алгоритмов, которые являя-ются адаптацией винеровского алгоритма фильтрации для фильтрации реальных изображений на практике, когда точное изображения не известно. Естественно, что среднеквадратическая ошибка таких

квазиоптимальных алгоритмов немного выше (на 5%-15% - зависит от уровня шума изображения), чем у винеровского алгоритма.

В ряде работ (например, см. [8, 9]) был предложен класс алгоритмов вейвлет-фильтрации, которые по обработке коэффициентов разложения занимают промежуточное место между пороговыми и винеровс-кими алгоритмами (в зарубежной литературе они получили название neighshrinking). Ниже будет показано, что при соответствующем (оптимальном) выборе параметров, эти алгоритмы фильтрации могут иметь ошибку фильтрации на 15% - 25% меньше по сравнению с пороговыми алгоритмами. Однако, выбор (или оценивание) таких оптимальных значений параметров в литературе отсутствует, что существенно уменьшает возможность применения алгоритмов этого класса на практике.

Поэтому целью данной работы является построение эффективных фильтрующих множителей (дающих меньшую ошибку фильтрации по сравнению с пороговыми алгоритмами фильтрации) и разработка алгоритма, который бы с приемлемой точностью оценивал оптимальные значения параметра этих множителей.

АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЕЙВЛЕ Т-РАЗЛОЖЕНИЙ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Кратко приведем основные понятия и определения, необходимые для изложения результатов работы (подробнее см. [3, 4, 10, 11]).

Любое изображение можно интерпретировать как функцию двух переменных

/ (х,у) . Определим базисные функции для

вейвлет-разложения такой функции. Традиции-

онно в литературе масштабируемая функция (отцовский вейвлет) обозначается как р( х) , а

х) - вейвлет (материнский вейвлет).

Используя операции масштабирования и сдвига, из этих функций формируются ортонор-мированные базисные функции р и (х)},

(х)} в пространстве функций одной переменной / (х). Тензорное произведение функций {р. п ( х )}, п ( х)} порождает

следующие базисные функции для разложения функций двух переменных:

{ррз,п,т (^у ) = рзп (х) • рзт (у )} ;

{(Р¥^,п,т (х У) = !(х) • •(У)};

{р,т (x, У) = (х) • Р!т (У)} ;

{^тп (x, у) = (х) • • (у )} . Соответствующие коэффициенты разложения принято называть следующим образом.

• аппроксимирующие коэффициенты А = {аа } получаются как коэффициенты

разложения по базису {рр „ т (х, У)} ;

• горизонтальные детализирующие коэффициенты Ну = {а^^ т} получаются как

коэффициенты разложения по базису

{Р¥зпт (x, У)} ;

• вертикальные детализирующие коэффициенты V = {^а^ т} получаются как коэффициенты разложения по базису {р,т (x, У )} ;

• диагональные детализирующие коэффициенты Ц = „ т } получаются как

коэффициенты разложения по базису {У¥з,п,т (x,У)} .

На практике изображение задается матрицей ¥ (уровень разложения у0). На первом уровне разложения (номер ]0 +1) вычисляются аппроксимирующие

коэффициенты А = {аа^+1 „ т }, детализирующие коэффициенты Н = {а^ +1 пт },

V, ={^а30+1, п,т }, Ц1 = +1, п,т },

Ц = {сМ^+1 к п} . На втором уровне разложения

(номер 3 + 2) аналогичной обработке подвергается матрица коэффициентов А А, Н, V, Ц ). Обобщая, приходим к следующей схеме разложения:

f ^ (a, h, v, d a, h, v, d, h, v, d)

—>.

Отметим закономерность изменения размеров двумерных массивов коэффициентов разложения, а именно: на каждом уровне разложения размеры массивов новых коэффициентов уменьшаются в два раза по сравнению с предыдущими массивами. При этом сумма размеров массивов коэффициентов равна размеру исходной матрицы f, что говорит о сохранении «объема» информации, содержащейся в F.

Для иллюстрации разложения изображения на Рис. 1а) представлена известная фотография LENA (размером 256 х 256), часто

используемая как тестовое изображение при обработке изображений, а на Рис. 2 показаны изображения массивов коэффициентов разложения первого уровня A , H , V , D (матрицы размера 128 х128). Видно, что матрица A представляет собой сглаженный образ исходной фотографии, а остальные массивы «дополняют» этот образ до исходной фотографии LENA.

а) б)

Рис. 1. Изображения LENA и TARGET

Рис. 2. Различные коэффициенты разложения изображения LENA

Было показано (см. например [3, 4]), что при разложении зашумленного изображения ошибки вычисления детализирующих коэффициентов на 2 порядка и более выше по сравнению с аппроксимирующими коэффициентами. Поэтому на втором этапе вейвлет-фильтрации обработке подвергаются только детализирующие

коэффициенты. Для удобства дальнейшей записи алгоритмов обработки любой из детализирующих коэффициентов будем обозначать как с1и т. где индексы п, т определяют

номер строки и столбца соответствующей матрицы коэффициентов разложения (номер уровня разложения / опускается)

Первоначально кратко остановимся на пороговых алгоритмах обработки коэффициентов разложения. Наиболее часто в качестве

• «жесткая» пороговая функция вида:

пороговых функций используются однопара-метрические пороговые функции:

0, если ю„ „ < А:

d„„, если ю„„ > А

(1)

«мягкая» пороговая функция вида:

0, если \dnm \ ^ К

sim(d,hm) • [|dn n | - Я], если \dn m | > А:

(2)

где А - величина

порога, йп т - обрабатываемый коэффициент разложения Графики функций (1), (2) приведены на Рис. 1 для А = 1 (1 - график функции (1), 2 - функция (2)).

Отметим характерные особенности этих функций:

• из-за уменьшения амплитуды коэффициента разложения на величину А в

функции Т3(йпт,А} возможно сглаживание

(размытие) контрастных элементов

обрабатываемого сигнала, особенно при больших значениях а;

• наличие в функции '/„ „,- разрывав

окрестности а может вызвать появление осцилляций (эффект Гиббса) в «особых» точках обрабатываемого сигнала.

Для преодоления этих недостатков в литературе были предложены новые как однопараметрические, так и двухпараметри-ческие функции.

Рис. 3. Графики пороговых функций (3), (4), (5)

Примером двухпараметрической функции

может служить пороговая функция tss (cl. x j

[12] (обозначаемая в зарубежной литературе как semisoft или firm) вида:

0, если \d < Л;

' n,m\ 1'

К») —4-j-"' если Л < \d„,m ^ 4,

А2 ~А

sign \d. d„m, еслиУ„\>А,

n,m' n,m\ 2

(3)

которая включает уже две пороговые величины А, А. График этой функции (при А = 1, А= 2) приведен на Рис. 3 (кривая 3). В работе [12] были исследованы статистические характеристики ошибок фильтрации для трех пороговых функций (1), (2), (3). Было показано (аналитически и в вычислительном эксперименте), что функция (1 ) имеет наименьшее смещение, функция (2) -наименьшую дисперсию, функция (3) -наименьшую СКО фильтрации. Алгоритмы оценивания оптимальных значений порогов А, А рассмотрена в работах [13-15].

В работах [16, 17] был выполнен критический анализ ошибок вейвлет-фильтра-ции с использованием этих новых пороговых функций и на основе этого анализа были

определены «оптимальные» функции с наименьшей среднеквадратической ошибкой фильтрации (при соответствующем выборе пороговых величин).

Очевидным недостатком пороговых алгоритмов обработки является то, что все коэффициенты некоторого уровня разложения обрабатываются с одной (или двумя) одинаковыми пороговыми величинами, что не позволяет учитывать «энергию» каждого коэффициента разложения при его обработке. Поэтому в ряде работ (например, см. [8, 9]) был предложен подход (названный neighshrinking), который в определенной степени устраняет этот недостаток и учитывает энергию коэффициентов разложения, находящихся в некоторой близости от обрабатываемого коэффициента разложения.

Изложим основную идею этого подхода на примере обработки коэффициентов вейвлет-разложения зашумленного одномерного сигнала, когда коэффициенты ¿/(являются

элементами вектора детализирующих коэффициентов _/ -го уровня. Вычислим величину:

которую можно интерпретировать как «суммарный спектр» трех коэффициентов разложения. Тогда обработанный (отфильтрованный) коэффициент dJ к определяется выражением

где

dj,k=wjydj,k-

0, если Sjk < X;

1 -

'x ^

v SJ* у

если Sjk > X,

(4)

(5)

x = а^21п(n) , n - количество отсчетов

фильтруемого сигнала. Анализ этих выражений показывает, что:

• каждый фильтрующий множитель ^к

имеет пороговый характер с «мягкой» пороговой функцией (сравните с пороговой функцией (2));

• для каждого коэффициента разложения dJk вычисляется свой фильтрующий множитель, и это свойство относит алгоритм (4), (5) к классу мультипликативных алгоритмов вейвлет-фильтрации;

• величина

X —ст^/2ln(N) -

универсальный

порог, часто используемый на практике.

Адаптируем этот алгоритм обработки для фильтрации изображений, введя в него новые элементы. Определим апертуру Ви т, которая

включает в себя коэффициенты разложения д

зашумленного изображения (номер уровня разложения опускается) с индексами:

п - Ь < р < п + Ь , т - Ь < q < т + Ь ,

т.е. коэффициенты Зр д принадлежат квадрату с центром в точке (п, т) и длинами сторон (2 • Ь +1), Ь - параметр апертуры. Общее число коэффициентов попавших в апертуру равно М = (2 • Ь +1)2. Далее введем величину

р^еВпт

и запишем алгоритм обработки коэффициента

с1„_т в виде:

где фильтрующий множитель w(1m определяется выражением:

0, cMuSnm <RXj;

(8)

w(1) (R) =

n.m VhV

1 -

R -XV n,m

£^uSn,m >RXj,

X = 2 • 1п(N), N - общее число элементов матрицы детализирующих коэффициентов на / - ом уровне разложения. Отличия (8) от (5):

• пороговая величина X . становится уров-

независимой, т.е. для каждого уровня своя пороговая величина;

• входит параметр р , который (как будет показано ниже) позволяет «настроить» фильтрующий множитель таким образом, чтобы минимизировать общую ошибку вейвлет-фильтрации по сравнению с другими множителями (8), в частности, при р = 1.

В работе [18] была введена нормировка величины 32т на количество коэффициентов попавших в апертуру, т.е. переход к величине 1

V2 -

( ч2 ' X dp,q

(2 L + 1) P,qeBn,m

(9)

которую можно интерпретировать как среднюю величину спектра одного коэффициента разложения. Тогда алгоритм обработки коэффициентов разложения примет вид:

а =м.'(2»(р).^ ,

п,т п,т I ' п,т ?

где фильтрующий множитель определяется выражением:

0, если Sn m <RX .;

w(2) (R) -

n,m vr/

1 -

' X j V

V n,m

если Sn m >RX j •

(10)

(11)

Рассмотрим, как ошибка фильтрации зависит от параметра R введенных фильтрующих

множителей. Обозначим через F(1)(R) результат вейвлет-фильтрации зашумленного

изображения LENA (относительный уровень шума 0.06, l — 1) с фильтрующими

множителями w(1m (R), а F(2)(Р) - результат

вейвлет-фильтрации с множителями w( 'т (R).

Относительные ошибки фильтрации определим как:

А(1)(Р) —

F W(P)- F

А(2) (R) —

F (2)(R)- F

iifii

(12)

wjk —<

где

евклидова норма матрицы

= J^^F, • На Рис. 4 представлены сле-

дующие кривые: кривая 1 - значения А(1)(Р),

кривая 2 - значения А(2) (Р). При этом

минимальная ошибка фильтрации для

множителей (Р), н(2) (Р) была одинаковой

0.035. Для сравнения заметим, что минимальная ошибка при использовании пороговой функции (1) была 0.048, а для функции (2) - 0.041.

Рис. 4. Относительные ошибки фильтрации изображения LENA

Анализ этого рисунка и величин минимальных ошибок для разных алгоритмов обработки позволяет сделать следующие выводы:

• для уменьшения ошибки вейвлет-фильтрации изображений целесообразно вместо пороговых алгоритмов использовать мультипликативные алгоритмы с фильтрующими множителями (8), (11);

• минимальное значения ошибок фильтрации достигалось при Р = 0.62 (множитель (8))

и при Р , = 0.21 (множитель (11)) и поэтому значение Р = 1 (которое предполагалось в фильтрующих множителях (5) [8]) не соответствует минимальной ошибке фильтрации (см. Рис. 4), т. е. введение параметра «настройки» р оказалось целесообразным;

• необходим алгоритм выбора параметра р , позволяющий с приемлемой точностью

оценить значение Р .

Заметим, что определить точное значение Р возможно только в вычислительном

эксперименте, когда задается «точное» изображение, которое затем искажается шумом измерения и это «зашумлённое» изображение подвергается фильтрации. Поэтому возникает задача о построении алгоритма оценивании Р , с приемлемой точностью на практике

(т.е. при фильтрации реальных изображений).

Попытаемся построить такой алгоритм на основе критерия оптимальности линейного алгоритма фильтрации.

АЛГОРИТМ ОЦЕНИВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА

Этот критерий [19] является частным случаем критерия оптимальности линейного регуляризирующего алгоритма [20, 21], успешно используемого для оценивания оптимального значения параметра

регуляризации [22, 23]. Хотя критерий имеет строгое обоснование только для линейных алгоритмов, но он позволял достаточно точно оценить оптимальные пороговые величины как в однопараметрических [24], так и в двухпараметрических [14] пороговых функциях нелинейных алгоритмах вейвлет-фильтрации.

Приведем основные расчетные соотношения для оценивания Р (подробнее см. [25]). Введем следующую статистику:

РЛР) = Л(/-ЛР))Г-/. (13)

где / - вектор составленный из столбцов

«зашумленной» матрицы /< . / - вектор

составленный из столбцов матрицы ¥(Р) -результата вейвлет-фильтрации с использованием множителей (8) или (11) с заданной величиной параметра р . В качестве оценки для

Р , примем величину Рж, для которой выполняется неравенство:

9ам<Рш (Р) , (14)

квантили х -распределения с

числом степеней свободы N уровней а , 1 - а

соответственно, а -вероятность ошибки первого рода при проверке статистической гипотезы об оптимальности значения Рж (обычно а = 0.05); N - число элементов фильтруемой матрицы Р. Заметим, что на практике вычисление Р сводится к решению нелинейного уравнения

IV (Р) = N . (15)

Однако, итерационный процесс решения этого нелинейного уравнения (вычисляется последовательность приближенных решений

Р( п)) прекращается, как только ^ (Р( п))

удовлетворяет неравенству (14). Количество итераций, необходимых для этого гораздо меньше, чем при поиске корня нелинейного уравнения с заданной точностью (например,

ее^ 10-8,10-6J). Это обуславливает возможность эффективно использовать «медленные» итерационные алгоритмы (например, метод дихотомии - деление отрезка пополам).

Замечание. Если n > 30, то границы неравенства (14) при а — 0.05 можно вычислить по формулам:

^0.025,N — N-L96V2N ,

^0.975,N — n + 1.96V2N . (16)

Это следует из того факта, что при n > 30 х2 -распределение с числом степеней свободы N хорошо аппроксимируется нормальным распределение с математическим ожиданием N и дисперсией 2N.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Перейдем к исследованию свойства оптимальности оценки Рж. Для этого был проведен обширный вычислительный эксперимент по фильтрации изображений LENA и TARGET (Рис. 1). Заметим, что LENA является стандартным изображением при тестировании алгоритмов фильтрации двумерных сигналов. Характерной чертой используемых изображений является их разные частотные характеристики: LENA представляют собой «гладкое» изображение, TARGET - «контрастное» изображение с резким изменением амплитуд. Спектр последнего изображения является широкополосным, что существенно усложняет их фильтрации из-за совпадений, высокочастотных составляющих изображения и

шума измерения. В качестве вейвлетов использовались ортогональные вейвлеты Добеши8.

Точные значения изображений искажались нормально распределенными шумами измерений с нулевым средним и дисперсией, определяемой по задаваемому относительному уровню шума 8 = 0.02,0.05,0.10, который

определялся выражением 8л — -

F-F

где

евклидова норма матрицы.

Первоначально вычислим зависимости относительных ошибок фильтрации A(1)(R), А(2)(Р) (см. (12)) от параметра R и значения статистик р(1' (R), р^2) (R), определенных для

множителей w'^(R), w(2)(R) соответственно.

На Рис. 5 показаны: кривая 1 - A(1)(R), кривая 2

- А(2)(R), кривая 3 - (R), кривая 4 - р® (R),

при этом тестовым изображением было LENA, уровень шума был равен 0.05. Квантили

^0.025,65536 , ^0.975,65536 показаны точечными

линиями, которые из-за масштаба рисунка слились в одну линию.

Рис. 5. Графики ошибок Заметим, что точка пересечения кривой р^ (R) с точечной прямой квантилей (16) (на Рис. 5 это точка А) определяет значение Рж и это значение соответствует точки минимума относительной ошибки фильтрации А(1) (R) (кривая 1). Аналогичный вывод можно сделать относительно точки пересечения р^ (R) с

линиями квантилей (на Рис. 5 точка В), которая также соответствует точке минимума кривой А(2)(Р). При фильтрации изображения TARGET

фильтрации и статистик (Р)

значения Рж также находятся в области минимума соответствующих относительных ошибок вейвлет-фильтрации. Все это позволяет сделать качественный вывод о приемлемой точности оценивания оптимального значения Р , предложенным алгоритмом.

Для более строгого исследования свойств оценки Рж введем коэффициент эффективности этой оценки, определяемый выражением:

E =

(17)

А(Р^) '

Очевидно, что чем больше E отклоняется от 1 к нулю, тем больше проигрыш по точности алгоритма фильтрации с параметром Рж по сравнению с минимально возможной ошибкой А(^). Величина Е является случайной

величиной, и для вычисления ее числовых характеристик обратимся к методу статистического моделирования. Для этого в I -м эксперименте генерировалась матрица л®

псевдослучайных нормально распределенных

2

чисел с нулевым средним и дисперсией а , определяемой по задаваемому относительному уровню шума. Затем вычислялась матрица зашумленного изображения

Р"' = /•Чту''./ = 1.2.....А\7т|. которая подвергалась вейвлет-фильтрации. По отфильтрованному изображению Р{,) вычислялось значение Е ) - I -ый элемент выборочной совокупности |Е(')1,1 = 1,2,..., . По этой выборочной совокупности вычислялись: среднее значение Е, минимальное значение Е^п , максимальное значение Е^ . Эти характеристики приведены в таблице для разных уровней шума и фильтрующего

множителя (Р). Примерно такие же

значения характеристик были получены для множителя (Р) и поэтому они не

приводятся.

Таблица

8л Изображение LENA Изображение TARGET

E^ e e max e Emm e e max

0.02 0.813 0.927 0.991 0.782 0.918 0.956

0.05 0.842 0.948 0.994 0.806 0.927 0.987

0.10 0.895 0.966 0.996 0.811 0.941 0.991

Анализируя числовые характеристики коэффициента эффективности, приведенные в таблице, можно сделать следующие выводы:

• предложенный алгоритм позволяет достаточно точно оценить оптимальное значение р ,, не привлекая при этом априорную информацию о фильтруемом изображении;

• значение e показывает, что в среднем применение оценки рж увеличивает ошибку вейвлет-фильтрации не более чем на 8 % по сравнению с оптимальным значением р ;

• мультипликативные множители w<1) (Pw ), w(2) (Pw ) имеют значительно

меньшую (на 20 - 25%) ошибку фильтрации по сравнению с пороговыми алгоритмами вейвлет-фильтрации.

Учитывая выше сказанное, можно сделать рекомендацию о целесообразности использования мультипликативных алгоритмов вейвлет-фильтрации с множителями w(1) (Pw ), w(2) (Pw ).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Смоленцев Н. К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MatLAB / Н. К. Смоленцев. М.: ДМК, 2005. 304 с.

[2] Астафьева Н.М. Вейвлет-преобразования. Основные свойства и примеры применения / Н.М. Астафьева. М.: ИКИ РАН, 1994. № 1891. 56 с.

[3] Воскобойников Ю. Е. Вейвлет-фильтрация сигналов и изображений (с примерами в MathCAD): монография / Ю. Е. Воскобойников. Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2015. 188 с.

[4] Воскобойников Ю. Е. Алгоритмы вейвлет-фильтрации (с примерами в пакете MathCAD) : Научная монография Ю. Е. Воскобойников. Изд-во Palmarium Academic Publishing. 2016. 196 с.

[5] Воскобойников Ю.Е. Квазиоптимальный алгоритм оценивания коэффициентов вейвлет-разложений при фильтрации сигналов / Ю. Е. Воскобойников, А. В. Гочаков // Автометрия. 2010. т. 46. № 1. С. 34-45.

[6] Voskoboinikov Yu. Е., Gochakov AKQuasi-optimal estimation algorithm of wavelet-decomposition coefficients at a signals filtration // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2010. v.46. N 1. P. 35-46.

[7] Воскобойников Ю.Е. Двухэтапный квазиоптимальный алгоритм вейвлет-фильтрации сигналов и изображений / Ю. Е. Воскобойников // Автоматика и программная инженерия. 2015. №1 (11). с. 81-89.

[8] Cai T. T., Silverman B. W. Incorporating information on neighbouring coefficients into wavelet estimation // Sankhya: The Indian Journal of Statistics, 2001.- Vol. 63, Series B, Pt. 2, Р. 127-148.

[9] Shengqian W., Yuanhua Z.,. Daowen Z. Adaptive shrinkage denoising using neighbourhood characteristic // Electronics Letters, 2002. Vol. 38. N. 11. P. 502-503.

[10] Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of LA2(R) / S. Mallat // Trans. AMS. 1989. Vol. 315, № 1. P. 69-87.

[11] Mallat S. А theory of multiresolution signal decomposition: the wavelet representation / S. Mallat // IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell. 1989. Vol. 11, № 9. P. 674-693.

[12] Bruce A. G. Waveshrink with firm shrinkage / A. G. Bruce, H.-Y. Gao // Statistica Sinica. 1997. Vol. 4, № 6. P. 855- 874.

[13] Воскобойников Ю. Е. Построение алгоритмов вейвлет-фильтрации с двухпараметрическими

пороговыми функциями / Ю. Е. Воскобойников, А. В. Гочаков // Автометрия. 2012. Т. 48, № 1. С. 17-29.

[14] Voskoboinikov Yu. Е. Construction of a wavelet-filtration algorithms with two-parametrical threshold functions / Yu. E. Voskoboinikov, A. V. Gochakov // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2012. Vol. 48, № 1. P. 17-27.

[15] Воскобойников Ю.Е. Вейвлет-фильтрация с двухпараметрическими пороговыми функциями: выбор функции и оценивание оптимальных параметров // Автоматика и программная инженерия. 2016, №1(15).

[16] Воскобойников Ю.Е. Выбор наилучшей однопараметрической пороговой функции в алгоритмах вейвлет-фильтрации / Ю.Е. Воскобойников, Д.А Крысов // Сборник научных трудов НГТУ . 2016. № 3(85). С. 71-82.

[17] Воскобойников Ю.Е. Выбор наилучшей двухпараметрической пороговой функции в алгоритмах вейвлет-фильтрации / Ю.Е. Воскобойников, Д.А. Крысов // Автоматика и программная инженерия. 2016, №3(17) . С. 9198.

[18] Chen G.Y. Multiwavelet Denoising using Neighbouring Coefficients / G. Y. Chen and T. D. Bui // IEEE Signal Processing Letters, vol.10, no.7, pp.211-214, 2003.

[19] Воскобойников Ю. Е. Фильтрация сигналов и изображений: Фурье и вейвлет алгоритмы: монография / Ю. Е. Воскобойников, А. В. Гочаков, А. Б. Колкер. - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2010. - 188 с.

[20] Воскобойников Ю. Е. Оценивание оптимального параметра регуляризирующего алгоритма восстановления изображений / Ю. Е. Воскобойников // Автометрия. 1995. № 3. С. 6472.

[21] Voskoboinikov Yu. E. Estimating the optimal parameter of regularizing algorithms for image restoration / Yu. E. Voskoboinikov // Optoelectronics, Instrumentations and Data Processing. 1995. № 3. Р. 64-75.

[22] Воскобойников Ю. Е. Устойчивые методы и алгоритмы параметрической идентификации: монография / Ю. Е. Воскобойников. Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2006. - 186 с.

[23] Воскобойников Ю. Е. Устойчивые алгоритмы решения обратных измерительных задач: монография / Ю. Е. Воскобойников. Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2007. 184 с.

[24] Voskoboinikov Yu. Е. Estimating optimum threshold sizes in a wavelet-filtration algorithms / Yu. E. Voskoboinikov, A. V. Gochakov // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2011. Vol. 47, № 2. P. 3-14.

[25] Воскобойников Ю.Е. Статистический подход к оцениванию оптимальных параметров в пороговых алгоритмах вейвлет-фильтрации/ Ю.Е. Воскобойников // В кн. Системы автоматического управления, мехатроники и робототехники. Коллективная монография. Новосибирск: НГТУ. 2016. С. 151-180.

Construction of a Class of Multiplicative Algorithms for Wavelet Filtering of Images

YU. E. VOSKOBOINIKOV

Abstract: The most used wavelet filtering algorithms have threshold character: expansion coefficient smaller absolute value of a threshold value becomes zero, otherwise the coefficient is subjected to some (often nonlinear) transformation, that is used the threshold function. Specific (and very significant) drawback of threshold algorithms is that all the coefficients of a certain level of decomposition are processed on one of the same threshold values (ie, constant for all the expansion coefficients). It is not possible to consider the 'energy' of each expansion coefficient when the threshold processing. To some extent this disadvantage is eliminated in the algorithms based on approach, which in literature was called neighshrinking and which takes into account the energy of the expansion coefficients located in a specified vicinity of the processed expansion coefficient.

However, to minimize errors of wavelet filtration of images, these algorithms have a parameter, the choice of which remains problematic. Therefore, in this paper solves the problem of estimating the optimal value of this parameter that minimizes the root mean square error filtering. The performed studies showed the effectiveness of the proposed estimation algorithm and the possibility of its use in practice.

Key words: wavelet image representation, the multiplicative algorithms of wavelet filtration of images, the filter multipliers, the optimal choice of the parameter of the filter multipliers.

REFERENCES

[1] Smolencev N. K. Osnovy teorii vejvletov. Vejvlety v MatLAB / N. K. Smolencev. M.: DMK, 2005. 304 s.

[2] Astafeva N.M. Vejvlet-preobrazovanija. Osnovnye svojstva i primery primenenija / N.M. Astafeva. M.: IKI RAN, 1994. № 1891. 56 s.

[3] Voskobojnikov Ju. E. Vejvlet-fil'tracija signalov i izobrazhenij (s primerami v MathCAD): monografija / Ju. E. Voskobojnikov. Novosibirsk: NGASU (Sibstrin), 2015. 188 s.

[4] Voskobojnikov Ju. E. Algoritmy vejvlet-fil'tracii (s primerami v pakete MathCAD): Nauchnaja monografija Ju. E. Voskobojnikov. Izd-vo Palmarium Academic Publishing. 2016. 196 s.

[5] Voskobojnikov Ju.E. Kvazioptimal'nyj algoritm ocenivanija kojefficientov vejvlet-razlozhenij pri fil'tracii signalov / Ju. E. Voskobojnikov, A. V. Gochakov // Avtometrija. 2010. t. 46. № 1. S. 34-45.

[6] Voskoboinikov Yu. E., Gochakov A.V. Quasioptimal estimation algorithm of wavelet-decomposition coefficients at a signals filtration // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2010. v. 46. N 1. P. 35-46.

[7] Voskobojnikov Ju.E. Dvuhjetapnyj kvazioptimal'nyj algoritm vejvlet-fil'tracii signalov i izobrazhenij / Ju. E. Voskobojnikov // Avtomatika i programmnaja inzhenerija. 2015. №1 (11). s. 81-89.

[8] Cai T. T., Silverman B. W. Incorporating information on neighbouring coefficients into wavelet estimation // Sankhya: The Indian Journal of Statistics, 2001.- Vol. 63, Series B, Pt. 2, R. 127-148.

[9] Shengqian W., Yuanhua Z.,. Daowen Z. Adaptive shrinkage denoising using neighbourhood characteristic // Electronics Letters, 2002. Vol. 38. N. 11. P. 502-503.

[10] Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of LA2(R) / S. Mallat // Trans. AMS. 1989. Vol. 315, № 1. P. 69-87.

[11] Mallat S. A theory of multiresolution signal decomposition: the wavelet representation / S. Mallat // IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell. 1989. Vol. 11, № 9. P. 674-693.

[12] Bruce A. G. Waveshrink with firm shrinkage / A. G. Bruce, H.-Y. Gao // Statistica Sinica. 1997. Vol. 4, № 6. P. 855- 874.

[13] Voskobojnikov Ju. E. Postroenie algoritmov vejvlet-fil'tracii s dvuhparametricheskimi porogovymi funkcijami / Ju. E. Voskobojnikov, A. V. Gochakov // Avtometrija. 2012. T. 48, № 1. S. 17-29.

[14] Voskoboinikov Yu. E. Construction of a wavelet-filtration algorithms with two-parametrical threshold functions / Yu. E. Voskoboinikov, A. V. Gochakov // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2012. Vol. 48, № 1. P. 17-27.

[15] Voskobojnikov Ju.E. Vejvlet-fil'tracija s dvuhparametricheskimi porogovymi funkcijami: vybor funkcii i ocenivanie optimal'nyh parametrov // Avtomatika i programmnaja inzhenerija. 2016, №1(15).

[16] Voskobojnikov Ju.E. Vybor nailuchshej odnoparametricheskoj porogovoj funkcii v algoritmah vejvlet-fil'tracii / Ju.E. Voskobojnikov, D.A Krysov // Sbornik nauchnyh trudov NGTU . 2016. № 3(85). S. 71-82.

[17] Voskobojnikov Ju.E. Vybor nailuchshej dvuhparametricheskoj porogovoj funkcii v algoritmah vejvlet-fil'tracii / Ju.E. Voskobojnikov, D.A. Krysov // Avtomatika i programmnaja inzhenerija. 2016, №3(17) . S. 91-98.

[18] Chen G.Y. Multiwavelet Denoising using Neighbouring Coefficients / G. Y. Chen and T. D. Bui // IEEE Signal Processing Letters, vol.10, no.7, pp.211-214, 2003.

[19] Voskobojnikov Ju. E. Fil'tracija signalov i izobrazhenij: Fur'e i vejvlet algoritmy: monografija / Ju. E. Voskobojnikov, A. V. Gochakov, A. B. Kolker. - Novosibirsk: NGASU (Sibstrin), 2010. - 188 s.

[20] Voskobojnikov Ju. E. Ocenivanie optimal'nogo parametra reguljarizirujushhego algoritma vosstanovlenija izobrazhenij / Ju. E. Voskobojnikov // Avtometrija. 1995. № 3. S. 64-72.

[21] Voskoboinikov Yu. E. Estimating the optimal parameter of regularizing algorithms for image restoration / Yu. E. Voskoboinikov // Optoelectronics, Instrumentations and Data Processing. 1995. № 3. R. 64-75.

[22] Voskobojnikov Ju. E. Ustojchivye metody i algoritmy parametricheskoj identifikacii: monografija / Ju. E. Voskobojnikov. Novosibirsk: NGASU (Sibstrin), 2006. - 186 s.

[23] Voskobojnikov Ju. E. Ustojchivye algoritmy reshenija obratnyh izmeritel'nyh zadach: monografija / Ju. E. Voskobojnikov. Novosibirsk: NGASU (Sibstrin), 2007. 184 s.

[24] Voskoboinikov Yu. E. Estimating optimum threshold sizes in a wavelet-filtration algorithms / Yu. E. Vos-koboinikov, A. V. Gochakov // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2011. Vol. 47, № 2. P. 3-14.

[25] Voskobojnikov Ju.E. Statisticheskij podhod k ocenivaniju optimal'nyh parametrov v porogovyh algoritmah vejvlet-fil'tracii/ Ju.E. Voskobojnikov // V kn. Sistemy avtomaticheskogo upravlenija, mehatroniki i robototehniki. Kollektivnaja monografija. Novosibirsk: NGTU. 2016. S. 151-180.

Юрий Евгеньевич

Воскобойников, выпускник кафедры автоматики НГТУ (НЭТИ), доктор физ.-мат. наук, профессор,

Заслуженный работник Высшей школы РФ, Соросовский профессор, действительный член МАИ, РАЕ, МАН ВШ, заведующий кафедрой прикладной математики Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета

(Сибстрин), профессор кафедры автоматики НГТУ.Автор более 290 публикаций, 6 монографий, посвященных решению некорректных задач интерпретации данных и обработке сигналов и изображений и большого числа учебников и учебных пособий.

E-mail: [email protected]