ИССЛЕДОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ТОЧНОСТИ ПОРОГОВЫХ АЛГОРИТМОВ ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРАЦИИ ШУМОВ РАЗЛИЧНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

Исследование потенциальной точности пороговых алгоритмов вейвлет-фильтрации шумов различной статистической природы

Ю.Е.Воскобойтков1'2, Д.А. Крисов1 1ФГБОУ ВПО НГТУ, 2ФГБОУ ВПО НГАСУ (Сибстрин) Новосибирск, Россия

Аннотация. Большинство используемых алгоритмов вейвлет-фильтрации носят пороговый характер: коэффициент разложения меньший по абсолютной величине некоторой пороговой величины зануляется, в противном случае коэффициент подвергается некоторому (чаще всего нелинейному) преобразованию, которое задается используемой пороговой функцией. В настоящее время используются как однопараметрические, так и двухпараметрические пороговые функции. Очевидно, что ошибка фильтрации зависит как от вида пороговой функции и ее параметров, так и статистической природы фильтруемого шума. Однако в научных публикациях отсутствуют исследования влияние последнего фактора на точность алгоритмов вейвлет-фильтрации. В работе выполнены оригинальные исследования влияния на ошибку фильтрации шумов измерения, имеющих четыре разные плотности распределения. Вводится коэффициент оптимальности, позволяющий объективно сравнивать влияние разных распределений на точность фильтрации при использовании различных пороговых функций. На основе анализа этого коэффициента даются практические рекомендации по применению наилучших (при том или ином распределении шума) пороговых функций.

Ключевые слова: вейвлет-представление сигналов, пороговые алгоритмы вейвлет-фильтрации, пороговые функции, шум измерения, вейвлет-фильтрация шумов различной статистической природы, коэффициент оптимальности пороговых функций, наилучшая пороговая функция

ВВЕДЕНИЕ

Фильтрация в базисе вейвлет-функций (также, как и Фурье-фильтрация) включает три этапа:

• вычисление прямого дискретного вейвлет-преобразования (нахождение коэффи-

циентов разложения по зашумленным значениям дискретного сигнала);

• обработка «зашумленных» коэффициентов разложения;

• вычисление обратного дискретного вейвлет-преобразования (нахождение «сглаженных» значений дискретной функции).

Совокупность этих трех этапов принято называть вейвлет-фильтрацией. Очевидно, что качество фильтрации зашумленного сигнала определяется алгоритмами обработки, используемыми на втором этапе. Большинство применяемых на практике алгоритмов носят пороговый характер: коэффициент разложения меньший по абсолютной величине некоторой пороговой величины зануляется, в противном случае коэффициент сохраняется или подвергается некоторому (в общем случае нелинейному) преобразованию. Распространение на практике получили как однопараметри-ческие пороговые функции, зависящие от одного «управляющего» параметра (например, часто используемые «жесткая» и «мягкая» функции), так и двухпараметрические пороговые функции, в определенной степени свободные от недостатков, присущих однопараметрическим функциям [1].

В работах [2,3] было показано, что вид пороговой функции влияет на величину ошибки фильтрации и там же были определены наилучшие пороговые (как однопарамет-рические [2], так и двухпараметрические [3]) функции, имеющие наименьшую средне-квадратическую (СКО) фильтрации. Эти исследования выполнялись при предположении, что шум измерения имеет нормальное распределение. Это предположение является традиционным практически для всех публикаций (как отечественных, так и зарубежных), посвященных пороговым алгоритмам вейвлет-фильтра-ции. Возникает вопрос: как вид распределения шума измерения будет влиять на ошибку фильтрации, и какая пороговая функция будет наиболее подходящей для той или иной плотности распределения? К сожалению, нам

неизвестны публикации, материалы которых позволили дать ответ на эти вопросы.

Поэтому данная работа посвящена комплексным исследованиям влияния четырех плотностей распределений (нормальное, равномерное, пуассоновское, импульсное) на ошибку фильтрации одномерных дискретных сигналов при различных уровнях шума измерений. Вводится коэффициент оптимальности, позволяющий объективно сравнивать ошибки фильтрации при использовании разных пороговые функции. На основе анализа этого коэффициента выбирается наилучшая (оптимальная) пороговая функций для каждого вида плотности распределения шума измерения.

1. ПОРОГОВЫЕ ФУНКЦИИ АЛГОРИТМОВ ВЕЙВЛЕТ -ФИЛЬТРАЦИИ

Кратко приведем основные понятия и определения, необходимые для изложения результатов работы (подробнее см. [4,5]). Многомасштабное (шиШгеБоШоп) представление функции /(/) в базисе вейвлет-функции

имеет вид [6,7]:

ко + ^

до = Xау0 +JjJ,к(0 + Е Е(0'

к ]=ко +1 к

которое можно интерпретировать как восстановление функции / (/) по ее

коэффициентам разложения на J -м уровне (ко - начальный уровень разложения). Функции {^],к(1)} называют масштабирующими (или отцовскими), а функции {У] к (0}- вейвлет -функциями (или материнскими). Коэффициенты разложения а у к называют аппроксимирующими, й] к - детализирующими и они определяются выражениями:

ак,к = | У(1 ^/Л(1 )й1' Я

й],к = I У(1 У],к (1 й , (2)

Я

где Я - интервал определения функции /(/). Переменная у характеризует уровень разложения и ее часто называют коэффициентом масштаба, а переменная к - временной сдвиг той или иной базисной функции. Системы функций {ф]кк, (1)}, {У],к (1)} составляют

ортогональный базис пространств вейвлет -функций (подробнее см. [4,5,8]). Заметим, что чем меньше номер ], тем более «мелкие» структуры исходной функции У (1 ) могут быть представлены в базисах {^у,к (1)}, {У],к (1)} и

тем ближе реконструированный сигнал f(t) к исходному.

Теоретической основой пороговых алгоритмов вейвлет-фильтрации является следующая предпосылка: уровень коэффициентов разложения случайных ошибок исходных сравнительно мал по сравнению с коэффициентами разложения точного сигнала, что позволяет распознать две ситуации: «шумовой» коэффициент разложения (в основном обусловлен шумом измерения) и «информативный» коэффициент (в основном определяется значениями точного сигнала). Таким образом, для успешной фильтрации необходимо обратить в ноль шумовые коэффициенты, сохранив при этом информативные коэффициенты разложения. Эта идея реализуется пороговыми алгоритмами обработки «зашумленных» коэффициентов разложения.

Для исследования влияния вида плотности распределения на ошибку фильтрации обратимся к публикациям [2,3]. В этих публикациях исследовалась потенциальная точность алгоритмов вейвлет-фильтрации как с однопара-метрическим [2], так и двухпараметрическими [3] пороговыми функциями при обработке (1) разных сигналов и изображений, искаженных нормально распределенным шумом измерения с различным относительным уровнем. Потенции-альная точность алгоритма вейвлет-фильтрации определялась величиной относительной ошибки фильтрации при оптимальном значении пороговых величин используемой пороговой функции. Такие оптимальные значения могут быть определены в вычислительном эксперименте, когда известны точные значения обрабатываемого сигнала или изображения. Для экономии места не будем приводить все исследуемые в этих работах пороговые функции, ограничившись только описанием «наилучших» пороговых функций.

В работе [2] было показано, что наилучшими из однопараметрических пороговых функций являются две функции (их потенциальные точности отличаются незначительно):

• пороговая функция TG (d,X) (получившая в зарубежных публикациях название garrote), определяемая выражением:

Tg (Щ =

d-4^, если \d\ > l, d 1 1

0, если \d\ < l,

(3)

где 1 - величина порога, й - обрабатываемый коэффициент разложения (как правило - это детализирующие коэффициенты, относительная погрешность которых на порядок и более выше,

чем у аппроксимирующих коэффициентов (см. [8], стр. 58-60);

• пороговая функция (получившая название hyperbole) вида

THYP (d,1) =

sign(d ) • -12, если d > 1,

(4)

0, если < 1.

Графики этих функций приведены на Рис. 1 (функция Тшр (С,1) - кривая 2, функция

Та (3,1) - кривая 1). На этом же рисунке приведен график (кривая 3) «жесткой»

пороговой функции, которая хронологически первой использовалась в алгоритмах вейвлет-фильтрации и определяемая выражением:

, _ ч \С, если а% > 1, Тн (3,1) = ] „ (5)

10, если Щ <1;

Заметим, что наличие в

функции TH (d

разрыва в окрестности 1 может вызвать появление осцилляций (эффект Гиббса) в «особых» точках обрабатываемого сигнала. У функций (3), (4) этот недостаток отсутствует.

Рис. 1. Графики пороговых функций (3), (4), (5)

В работе [3] были определены две «наилучшие» двухпараметрические пороговые функции:

пороговая функция THEB ()

определяемая выражением:

THEB ( d ,11,12 ) =

0, если |<%| < 1;

( \d\-1 Л e1 -1 -1

d

e -1 d, если \d\>1

пороговая функция TSS (ЙЦ)

(обозначаемая в зарубежной литературе как semisoft или firm) вида:

1 < \d\< 12,

(6)

TSS (d,1,17 ) =

0, если <1;

1 ( \d\-1 )

sign ( d )-

1 -1i

d, если \d\ >12.

если 1 < \d\ < Л2.

(7)

Видно, что эти пороговые функции включают уже две пороговые величины 1,12. Графики этих функций (при 1 = 1,1 = 2) приведены на

Рис. 2 (функция THEB (dH ) -кривая 1, функция TSS (d,1,1 ) - кривая 2).

Возникают важные вопросы: как вид плотности распределения шума измерения влияет на ошибку вейвлет-фильтрации и какая пороговая функция будет «наилучшей» при фильтрации шума с тем или иным распределением. К сожалению, пороговой характер обработки коэффициентов вейвлет-разложения зашумленного сигнала обуславливает нелинейность порогового алгоритма вейвлет-фильтра-ции. Это делает невозможным дать ответ на выше заданные вопросы исходя из аналитических исследований. Поэтому попытаемся дать ответы на основе анализа результатов вычислительных экспериментов.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

В качестве тестовых одномерных сигналов в вычислительных экспериментах были приняты сигналы Doppler и Rectangular (Рис. 3). Характерной чертой используемых сигналов является их разные частотные характеристики: Doppler представляет собой «гладкий» сигнал, Rectangular - «контрастный» сигналы с резким изменением амплитуд. Спектр последнего сигнала является широкополосным, что существенно усложняет его фильтрацию из-за совпадений высокочастотных составляющих сигнала и шума измерения.

Точные значения (количество отсчетов N = 2048) этих сигналов искажались шумами измерений, имеющие следующие плотности распределений:

• нормальное распределение (используется для описания влияния множества случайных факторов и часто применяется в науке и технике);

• равномерное распределение (таким распределением описывается шумы электронных приборах, вызванные

прежде всего хаотическим тепловым движением носителей заряда в проводниках);

• пуассоновское распределение (такую плотность имеет дробовый шум, возникающий при преодолении электронами некого потенциального барьера);

• комбинированное распределение. Это распределение используется для описания ситуации, когда с вероятностью с вероятностью (1- p) появляется значение «обычного» шума с задаваемый относительным уровнем шума Зп, а с

вероятностью p - значение «импульсного» шума, имеющего дисперсию в С2 раз больше, чем «обычный» шум.

При этом параметры этих распределений определялись таким образом, чтобы обеспечить задаваемый относительный уровень шума (в экспериментах он был равен 0.05, 0,10, 0,15),

У - У

определяемый соотношением 8п |у| , где

|| || - евклидова норма вектора, / - вектор составленный из точных значений дискретного сигнала, / - вектор «зашумленных» значений, которые подвергаются вейвлет-фильтрации. Исключение составляет комбинированное распределение, где «общий» относительный уровень шума будет выше чем 8п (из-за наличия импульсной составляющей).

Численные исследования можно условно разделить на два этапа. На первом этапе проводятся вычислительные эксперименты, результаты которых позволяют дать ответ на вопрос как вид распределений шума влияет на величину «наименьшей» ошибки вейвлет-фильтрации.

Рис. 3. Одномерные сигналы Doppler и Rectangular

Эксперименты второго этапа исследований дают ответ на вопрос о потенциальной точности разных пороговых функций при фильтрации шумов с разными распределениями.

Обозначим через fT (l) результат вейвлет-фильтрации с пороговой функцией T (с соответствующим порогом l ) и определим минимальную относительную ошибку как

Ил (i) - /II

ST = min j

(8)

В качестве неслучайной величины S

характеристики случайной величины дт примем ее математической ожидание (среднее значение), выборочная оценка которого вычислялась по выборке объемом 30:

1 30

ST =1Ys^.

зо m=í

(9)

где SÍ¡,m - минимальная относительная ошибка фильтрации m-ой реализации зашумленного сигнала. В Табл. 1 для каждого уровня шума и плотности распределения приведены наименьшие значения относительных ошибок (в верхней половине ячейки) фильтрации сигнала Doppler с указанием обозначения пороговой функции (нижняя часть ячейки). В Табл. 2 приводятся аналогичные данные для сигнала Rectangular. Предварительный анализ этих таблиц показывает, что наибольшую относительную ошибку имеют результаты фильтрации комбинированного шума, величина которой зависит как от вероятности p импульсного шума, так и его амплитуды С. Попытаемся выяснить причину такой большой ошибки.

Таблица 1

Вид распределения Относительный уровень шума

0.05 0.10 0.15

Нормальное распределение 0.0184 0.0353 0.0504

Т 1 HEB Т Т HEB Т Т HEB

Равномерное распределение 0.0180 0.0341 0.0478

Т 1 HEB Т Т HEB Т Т HEB

Пуассоновское распределение 0.0379 0.0753 0.1124

Т L HEB Т L HEB Т L HEB

Комбинированное распределение р = 0.05, С = 10 0.0583 0.1060 0.1472

Т Т HEB Т Т HEB Т Т HEB

Комбинированное распределение р = 0.01, С = 10 0.0367 0.0731 0.1037

Т L HEB Т L HEB Т L HEB

Таблица 2

Вид распределения Относительный уровень шума

0.05 0.10 0.15

Нормальное распределение 0.0195 0.0367 0.0524

Т L HEB Т L HEB Т L HEB

Равномерное распределение 0.0189 0.0355 0.0508

Т L SS Т L SS Т L SS

Пуассоновское распределение 0.0381 0.0759 0.1133

Т L HEB Т L HEB Т L HEB

Комбинированное распределение р = 0.05, С = 10 0.0598 0.1013 0.1253

Т L HEB Т L HEB Т L HEB

Комбинированное распределение р = 0.01, С = 10 0.0419 0.0754 0.0991

Т Т HEB Т Т HEB Т Т HEB

На Рис. 4 приведены значения функции Rectangular, искаженные комбинированным шумом с параметрами

= 0.15, p = 0.01, C = 10. На Рис. 5 приведены

значения первых 128 детализирующих коэффициентов й к, вычисленные по функции

Rectangular, искаженной нормально распределенным шумом (сплошная кривая) и комбинированным шумом (точечная кривая). Видно, что наличие импульсного шума приводит к появлению «аномальных» коэффициентов разложения с большой амплитудой. Эти коэффициенты «распознаются» пороговыми алгоритмами как информативные и они

участвуют в формировании отфильтрованных значений функции и это обуславливает появление «выбросов». Это хорошо иллюстрируется Рис. 6, где показан результат фильтрации зашумленных значений (см. Рис. 4). Сплошной кривой обозначены точные значения сигнала, точечной кривой - результат фильтрации. Видно, что «обычный» шум достаточно хорошо был удален, чего нельзя об импульсном шуме. На Рис. 7 показан результат фильтрации нормально распределенного шума с таким же относительным уровнем, в котором отсутствуют выбросы, обусловленные импульсными шумами.

Рис. 4. Значения функции Rectangular, искаженные комбинированным шумом

Рис. 5. Значения детализирующих коэффициентов d^^

Перейдем ко второму вопросу о потенциальной точности разных пороговых функций при фильтрации шумов с разными распределениями. Вернемся к средней минимальной ошибке фильтрации 6Т (см. (8), (9)) с использованием пороговой функции Т и коэффициент оптимальности пороговой функции Т, определяемый выражением [3]:

^ min {£]

(10)

где минимум определяется по всем пороговым функциям. Очевидно, что пороговая функция, имеющая кТ = 1 является наилучшей для вейвлет-фильтрации данного типа сигнала

зашумленного шумом с заданной плотностью распределения.

В Табл. 3 приведены значения коэффициентов оптимальности kT для нормального и равномерного распределений шума и трех значений относительного уровня шума 0.05, 0.10, 0.15 (сигнал Rectangular). В Табл. 4 представлены значения kT для пуассоновского и комбинированного распределений. Ячейки, в которых kT = 1 (максимальное значение), выделены серым фоном. Аналогичные значения коэффициентов оптимальности были получены и при фильтрации сигнала Doppler.

Рис. 6. Результат фильтрации комбинированного шума

- И

• д Г *

Г. 'ч'1

L т . t Hi * tJ *

О 510 1.02Л03 1.53x103 2.04x1 О^

Рис. 7. Результат фильтрации шума с нормальным распределением

Таблица 3

Плотность распределения шума Пороговая функция Относительный уровень шума

0.05 0.10 0.15

Нормальное распределение T LH 0.951 0.949 0.935

T L HYP 0.987 0.987 0.985

T 1G 0.981 0.984 0.986

T 1SS 0.997 0.999 0.997

T L HEB 1.000 1.000 1.000

Равномерное распределение T LH 0.954 0.951 0.945

T L HYP 0.994 0.995 0.994

T G 0.986 0.993 0.992

T 1.000 1.000 1.000

T L HEB 0.999 0.999 0.997

Таблица 4

Плотность распределения шума Пороговая функция Относительный уровень шума

0.05 0.10 0.15

Пуассоновско е распределение T LH 0.993 0.990 0.992

T L HYP 0.997 0.997 0.998

T 1G 0.996 0.998 0.998

T 1SS 0.999 0.999 0.999

T L HEB 1.000 1.000 1.000

Комбинированное распределение (р = 0.05, С = 10) T LH 0.889 0.929 0.974

T L HYP 0.937 0.951 0.976

T 0.954 0.962 0.977

T 0.971 0.978 0.965

T L HEB 1.000 1.000 1.000

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ результатов выполненных исследований позволяют сделать следующие выводы:

1. Как и предполагалось априори относительные ошибки фильтрации сигнала Rectangular оказались выше по сравнению с сигналом Doppler. Это прослеживается по всем плотностям распределения шума измерения (см. табл. 1,2).

2. Наибольшей потенциальной точностью обладает двухпараметрическая функция ТНЕВ . Только при фильтрации сигнала Rectangular, искаженного шумом с равномерным распределением более предпочтительной является двухпараметрическая функция TSS.

3. Максимальные значения kT = 1 при фильтрации шумов с нормальным, пуассоновским и комбинированным распределениями имеет пороговая функция ТНЕВ. Только при фильтрации шумов с равномерным распределением максимальное значение коэффициента оптимальности имеет пороговая функция TSS .

4. Хотя однопараметрические пороговые функции имеют меньший коэффициент оптимальности, однако, эти отличия имеют пренебрежительно малый характер (см. табл. 3,4) и на практике можно использовать эти функции, которые имеют только одну пороговую величину, что упрощает выбор пороговых величин.

5. При фильтрации шумов, включающие импульсные составляющие пороговые алгоритмы вейвлет-фильтрации имеют низкую эффективность, особенно при большой вероятности появления импульсной составляяющей. В таких ситуациях целесообразно проводить двухэтапную обработку. На первом этапе фильтруют импульсные составляющие с использованием алгоритмов фильтрации в пространственной области (например, применяя скользящий медианный фильтр или комбинированные фильтры [9,10]). На втором этапе можно уже использовать пороговые алгоритмы вейвлет-фильтрации. По-видимому, возможны и другие подходы к фильтрации импульсных составляющих шумов измерения сигналов и изображений, в частности робастные методы оценивания коэффициентов вейвлет-разло-жения.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Воскобойников Ю.Е. Вейвлет-фильтрация с двухпараметрическими пороговыми функциями: выбор функции и оценивание оптимальных параметров // Автоматика и программная инженерия. 2016, №1(15).

[2] Воскобойников Ю.Е., Д.А. Крысов. Выбор наилучшей однопараметрической пороговой функции в алгоритмах вейвлет-фильтрации// Сборник научных трудов НГТУ . - 2016. - № 3(85). С. 71-82.

[3] Ю.Е. Воскобойников, Д.А. Крысов. Выбор наилучшей двухпараметрической пороговой функции в алгоритмах вейвлет-фильтрации // Автоматика и программная инженерия. 2016, №3(17) . С. 91-98.

[4] Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории к практике / В. П. Дьяконов. - Москва: СОЛОМОН-Р, 2002. -448 с.

[5] Смоленцев Н. К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MatLAB / Н. К. Смоленцев. - Москва: ДМК, 2005. - 304 с.

[6] Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of LA2(R) / S. Mallat // Trans. AMS. - 1989. - Vol. 315, № 1. - P. 69-87.

[7] Mallat S. А theory of multiresolution signal decomposition: the wavelet representation / S. Mallat // IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intel. - 1989. -Vol. 11, № 9. - P. 674-693.

[8] Воскобойников Ю. Е. Вейвлет-фильтрация сигналов и изображений (с примерами в MathCAD): монография / Ю. Е. Воскобойников. -Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2015. - 188 с.

[9] Бронников А.В., Воскобойников Ю.Е. Нелинейные комбинированные алгоритмы фильтрации зашумленных сигналов и изображения//Автометрия. - 1990.-№1.- С.21 - 28.

[10] Воскобойников Ю.Е., Белявцев В.Г., Алгоритмы фильтрации изображений с адаптацией размеров апертуры //Автометрия. -1998. - №3. - с.18-25.

Research of Potential Accuracy of Threshold Algorithms of Wavelet Noise Filtering of Different Statistical Nature

YU.E. VOSKOBOYNIKOV, D.A. KRYSOV

Abstract. Most of the used wavelet filtering algorithms are threshold: if absolute value of the expansion coefficient is smaller then a threshold value it becomes zero, otherwise the coefficient is subjected to some (often nonlinear) transformation, which is given by the threshold function is used. Currently as a one-parameter and two-parameter threshold functions are used. Obviously, the filter error depends on the type of threshold function and its parameters and the statistical nature of the noise to be filtered. However, in the scientific publication there is no research of the influence of the latter factor on the accuracy of the wavelet filtering algorithms. The work carried out original research on the influence on the error of measurement of noise filtering having four different density distributions. We introduce the optimal ratio, which allows objective comparing of the effect of different distributions on the accuracy of filtering

by using different threshold functions. Based on the analysis of this coefficient tha paper provides practical guidance on the application of the best threshold functions (for a particular distribution of the noise).

Key words: wavelet representation of signals, threshold algorithm of wavelet filtering, threshold, measurement noise, wavelet noise filtering of different statistical nature, the optimality ratio threshold functions, the best threshold function

REFERENCES

[1] Voskobojnikov Ju.E. Vejvlet-fil'tracija s dvuhparametricheskimi porogovymi funkcijami: vybor funkcii i ocenivanie optimal'nyh parametrov // Avtomatika i programmnaja inzhenerija. 2016, №1(15).

[2] Voskobojnikov Ju.E., D.A. Krysov. Vybor nailuchshej odnoparametricheskoj porogovoj funkcii v algoritmah vejvlet-fil'tracii// Sbornik nauchnyh trudov NGTU . - 2016. - № 3(85). S. 71-82.

[3] Ju.E. Voskobojnikov, D.A. Krysov. Vybor nailuchshej dvuhparametricheskoj porogovoj funkcii v algoritmah vejvlet-fil'tracii // Avtomatika i programmnaj a inzhenerij a. 2016, №3 (17) . S. 91-98.

[4] D'jakonov V. P. Vejvlety. Ot teorii k praktike / V. P. D'jakonov. - Moskva: SOLOMON-R, 2002. - 448 s.

[5] Smolencev N. K. Osnovy teorii vejvletov. Vejvlety v MatLAB / N. K. Smolencev. - Moskva : DMK, 2005. - 304 s.

[6] Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of LA2(R) / S. Mallat // Trans. AMS. - 1989. - Vol. 315, № 1. - P. 69-87.

[7] Mallat S. A theory of multiresolution signal decomposition: the wavelet representation / S. Mallat // IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intel. - 1989. -Vol. 11, № 9. - P. 674-693.

[8] Voskobojnikov Ju. E. Vejvlet-fil'tracija signalov i izobrazhenij (s primerami v MathCAD): monografija

/ Ju. E. Voskobojnikov. - Novosibirsk: NGASU (Sibstrin), 2015. - 188 s.

[9] Bronnikov A.V., Voskobojnikov Ju.E. Nelinejnye kombinirovannye algoritmy fil'tracii zashumlennyh signalov i izobrazhenija//Avtometrija.- 1990.-№1.-S.21 - 28.

[10] Voskobojnikov Ju.E., Beljavcev V.G., Algoritmy fil'tracii izobrazhenij s adaptaciej razmerov apertury //Avtometrija.—1998. - №3. - s.18-25.

Юрий Евгеньевич

Воскобойников, доктор физ.-мат. наук, профессор, Заслуженный работник Высшей школы РФ, Соросовский профессор, действительный член МАИ, РАЕ, МАН ВШ, заведующий кафедрой прикладной математики Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин), профессор кафедры автоматики НГТУ. Автор более 290 публикаций, 6 монографий, посвященных решению некорректных задач интерпретации данных и обработке сигналов и изображений и большого числа учебных пособий. E-mail: voscob@mail.ru

Данила Алексеевич Крысов, аспирант кафедры автоматики факультета автоматики и вычислительной техники НГТУ. Автор нескольких публикаций по алгоритмам вейвлет-фильтрации сигналов и изображений. E-mail: tamahouk@sibnet.ru