ОЦЕНИВАНИЕ ДИСПЕРСИЙ ШУМОВ ИЗМЕРЕНИЙ СИГНАЛОВ ПРИ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

© Автоматика и программная инженерия. 2020, №4(34) http://www.jurnal.nips.ru УДК 681.51: 519.6

Оценивание дисперсий шумов измерений сигналов при непараметрической идентификации

Воскобойников Ю.Е.

ФГБОУ ВПО НГТУ Новосибирск, Россия ФГБОУ ВПО НГАСУ (Сибстрин) Новосибирск, Россия

Аннотация: Для непараметрической идентификации используются различные регуляризирующие алгоритмы, позволяющие получить устойчивое решение задачи идентификации. Каждый из таких алгоритмов включает определенный параметр, от величины которого существенно зависит ошибка идентификации. Для успешного выбора параметра необходимо достоверное задание дисперсии шума измерения сигналов идентифицируемой системы. Однако, в большинстве случаев экспериментатор не может задать эту характеристику с требуемой точностью (неточность задания должна быть не более 10-15%). Поэтому в данной работе предлагаются две оценки дисперсии шума измерения разных типов сигналов идентифицируемой системы. Выполненные исследования этих оценок показали более высокие точностные характеристики оценки, построенной на основе дискретного преобразования Фурье сигнала идентифицируемой системы.

Ключевые слова: смесь «сигнал+шум», дисперсия шума измерения, оценки для дисперсии шума, дискретное преобразование Фурье, вейвлет-преобразование сигнала.

Введение и постановка задачи

В качестве математической модели в терминах «вход-выход» для стационарных (т. е. с постоянными параметрами) берется интегральное уравнение Вольтера первого рода с разностным ядром вида [1]:

тМТ)А- = яо, 1е[о ,п

к(Ь) - импульсная переходная функция (ИПФ) системы (ядро интегрального уравнения); (р(т), [(Ь) - входной и выходной сигналы системы. При этом выполняется условие к(Ь) = 0 при £ < 0, которое определяется технической реализуемостью системы. Задача параметрической идентификации для таких систем заключается в построении оценки для ИПФ системы по зарегистрированным значениям сигналов ^(т),/(£:). Эта задача относятся к классу некорректно поставленных задач, где решение может не существовать, быть не единственным и не устойчивым к погрешностям задания исходных данных [2].

Для нахождения единственного и устойчивого решения задачи идентификации (т.е. решения уравнения (1) относительно функции к(т)) используют различные методы регуляризации, как детерминированные, так и статистические [3, 4]. Можно условно выделить два подхода к построению регуляризирующих алгоритмов (РА) решения уравнения (1).

В первом подходе исходное уравнение (1) или аппроксимируется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с плохо обусловленной матрицей и строят регуляризи-рованное решение такой СЛАУ или уравнение (1) заменяют дискретной сверткой и строят РА на основе дискретного преобразования Фурье (подробнее см. [4, 5]). В таких РА присутствует

так называемый параметр регуляризации, от величины которого зависит ошибка регуляризи-рованного решения. Для выбора оптимального параметра регуляризации (минимизирующего ошибку решения) необходимо знать дисперсию шумов измерений входного и выходного сигналов идентифицируемой системы. Следует заметить, что такой подход к построению РА для решения рассматриваемой задачи идентификации на практике обуславливает определенные трудности. Во-первых, входные сигналы могут являться функцией Хэвисайда (т.е. иметь ступенчатую форму), и это вызывает затруднения при применении дискретного преобразования Фурье. Во-вторых, входные сигналы, как правило, также, как и выходные сигналы, содержат случайные погрешности, которые эффективно не учитываются при построении выше названных РА (в лучшем случае при выборе параметра регуляризации - принцип обобщенной невязки).

Второй подход в значительной степени свободен от этих недостатков, и он существенно использует первые производные входного и выходного сигналов идентифицируемой системы [4, 6]. Для устойчивого вычисления первых производных используются сглаживающие кубические сплайны (СКС), гладкость которых (а, следовательно, и ошибка сглаживания) зависит от параметра сглаживания. Выбор этого параметра вызывает существенные затруднения в построении СКС на практике. Дело в том, что при заниженных (по сравнению с оптимальным значением) величинах параметра происходит недостаточная фильтрация шума измерения, который переходит в первую производную и вызывает характерные осцилляции в значениях первой производной. При завышенных значениях параметра сглаживания

происходит переглаживание первой производной (исчезают информативные составляющие). Для эффективного оценивания оптимального значения параметра сглаживания необходимо достоверное задание дисперсии шума измерения.

Таким образом можно сделать вывод, что для успешного выбора параметра в устойчивом алгоритме решения задачи непараметрической идентификации требуется достоверное задание дисперсии шума измерения сигналов идентифицируемой системы. К сожалению, в большинстве случаев экспериментатор не может задать эту характеристику с требуемой точностью (неточность задания должна быть не более 10-15%). В работе [7] была предложена оценка дисперсии шума для модели регистрируемого сигнала «сигнал+шум». Построенная оценка имела приемлемую точность (ошибка оценивания не более 4-6 %) в случаях, когда значения измеренных сигналы на концах интервала измерений приближались к нулевым значениям. Если это условие не выполнялось (например, значения выходного сигнала при подаче на вход функции Хэвисайда), то оценка принимала завышенные значения. Это обусловлено резкими изменениями амплитуды сигнала при формировании периодической последовательности, используемой в дискретном преобразовании Фурье, что приводит к увеличению значений высокочастотных составляющих спектра сигнала и, как следствие, к завышенной оценке дисперсии, вычисляемой по этим высокочастотным составляющим.

Поэтому основными задачами данной работы являются:

• Модифицировать (улучшить) оценку работы [7] для эффективного оценивания дисперсии шума регистрации разных типов сигналов, встречающихся в схемах непараметрической идентификации.

• Сравнить по точности эту оценку с оценкой дисперсии используемой в пороговых алгоритмах вейвлет-фильтрации.

УЛУЧШЕННАЯ ОЦЕНКА ДИСПЕРСИИ ШУМА

В работе [7] была предложена и исследована оценка дисперсии, основанная на усреднении квадратов модулей высокочастотных коэффициентов дискретного преобразования Фурье периодической последовательности, полученной из значений исходного сигнала «сигнал+шум». Приведем только основные соотношения, необходимые для повышения точности этой оценки.

Введем в рассмотрение модель «сигнал + шум» следующего вида:

Ь = ] = 0.....N¡-1, (1)

где ^ - значения детерминированного «полезного» сигнала. случайная дискретная последовательность - «шум измерения»,

состоящая из Л^ элементов, которые имеют нулевое среднее, дисперсию а2 (которую нужно оценить) и значения Vу не коррелированы между собой. Из непериодической последовательности {/^сформируем периодическую (с периодом N>N2) последовательность {^р(])} из N элементов по следующему правилу:

?о) = № 1 = 0.....ч-1;

>р() {о, 7 = ^.....N

1.

(2)

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) этой последовательности определим парой преобразований:

N-1

2л ~N

Ю,

j=0

I = 0,..., N — 1;

=0

j = 0,...,N — 1.

(3)

Коэффициенты ДПФ Рр (I) обладают важным

свойством

: модули 1Рр( I )| симметричны

относи-

тельно точки I = —. Заметим, что использование

2

алгоритма БПФ (быстрого преобразования Фурье) существенно уменьшает затраты машинного времени на выполнение ДПФ по сравнению с «прямым» вычислением сумм в (3). Функции, реализующие БПФ, входят во все современные системы компьютерной математики (например, МаЛСЛБ, ЫаЛаЬ и другие). Выбор периода N определяется требованием конкретной функции БПФ к длине периодической последовательности (например, период N должен быть равен степени 2, т.е. N = 2т, т > 3).

В соответствии со свойством линейности ДПФ коэффициенты Рр(1) также представляют собой сумму:

= 1 = 0.....N — 1. (4)

Было показано [8], что коэффициенты ДПФ Ур (I) последовательности {рр (¡)} также являются случайными величинами с нулевым математическим ожиданием и одинаковой дисперсией 2

аур, определяемой выражением:

ol = M\V

Очевидно, что, зная аУ , можно вычислить

дисперсию шума по формуле:

О = — • Оу

(5)

Из-за наличия второго слагаемого в (4) нельзя оценивать дисперсию по всем коэффициентам ДПФ Рр(1). Для преодоления этого затруднения предположим, что детерминированная составляющая суммы (2) есть значения низкочастотного сигнала, коэффициенты ДПФ которого отличны от нуля только в некоторой окрестности точек 1 = 0 и I = N. Используем этот факт, можно считать, что в окрестности

2

N

t

точки I = — коэффициенты Рр (I) определяются только коэффициентами Ур(1) и в этом случае точечную оценку для а{2 можно вычислить по формуле:

= — • Vм

1Ы Vi =

(6)

т.е. суммируются только те Fp(l), индексы которых iE [N/2 - M,N/2 + М]. После этого

(7)

2

вычисляется оценка для о^:

-2 n2 -2 а2 = — <7,2 .

V Nf VV

В качестве графического подтверждения возможности построения оценки (6) на Рис. 1 приведены квадраты модулей |^(0|2 (сплошная кривая) и |V£,(Z)|2 (точечная кривая) для Nf = 200, N = 256. Видно, что в достаточно большой окрестности точки I = ~ = 128 (например, I = 128 ± 90) эти квадраты модулей совпадают и по этим коэффициентам Fp(l) можно (приняв, например, М = 80) вычислять оценку (6), а затем оценку (7).

Рис. 1. Коэффициенты ДПФ сигналов {v;},{/J

Исследования работы [7] показали, что построенная оценка обладает высокой точностью (относительная ошибка оценивания не превосходит 4-6%). Однако, дальнейшие исследования и применение оценки (7) на практике показали, что такая точность имеет место только для определенного класса сигналов, когда в начале и конце интервала измерения значения сигнала близки к нулевым (например, не превосходят 5% от максимального значения сигнала). В некоторых схемах непараметрической идентификации это условие не выполняется. В качестве примера на Рис. 2 сплошной кривой показан «точный» выходной сигнал идентифицируемой системы, когда на вход подается функция Хэвисайда, точечная кривая - зашумленные значения этого сигнала (относительный уровень шума 10%).

В сформированной по правилу (2) периодической последовательности будет присутствовать скачкообразное изменение амплитуды ^ (в сигнале на Рис. 2 скачок будет при у = 200) до нуля. Такое изменение амплитуды периоди-

ческой последовательности приводит к увеличению значений высокочастотных коэффициентов ДПФ и, как следствие, к завышенной оценке дисперсии, вычисляемой по этим высокочастотным коэффициентам, см. (6).

Рис. 2. Точные и зашумленные значения выходного сигнала системы

Для иллюстрации этого факта на рис. 3 точечной кривой показаны значения оценки вычисленной по формулам (6), (7) при разных М, а штриховой прямой точное значение дисперсии шума (равна 0.087). Видно значительное (в 1,2 -1,5 раза) завышение значения построенной оценки по сравнению с точной величиной дисперсии.

Рис. 3. Оценки дисперсии шума измерения

В спектральном анализе случайных процессов (например, [9]) для увеличения разрешающей способности спектральной оценки используют специальные «взвешивающие окна» на которые умножаются исходные значения случайного процесса. По форме эти окна отличаются от «прямоугольного взвешивающего окна», реализованного в процедуре формирования периодической последовательности (2). Например, треугольное окно, окна Хэмминга, Ханна и другие. К сожалению, применение этих окон в задаче оценивания дисперсии шума приводит к существенному занижению значений

м

оценки дисперсии (в 2-3 раза), вычисленной по «взвешенной» такими окнами реализации

Однако, сама идея использование процедуры взвешивания для устранения скачков амплитуды

исходного сигнала в начале и конце интервала измерений оказалась полезной и была реализована в трапецеидальном окне, значения которого определялись следующей функцией:

Tr(j,NL,NR,Nf) =

i —, если 0 < i < N, — 1;

Nl

1,

если Nl < j < Nr;

(8)

1 — J NR , если Nr + 1 < j < Nf — 1,

Nf-NR-1 r

где МЬ,МК - значения координат левого и правого верхних углов трапеции. Тогда процедура

формирования периодической последовательности с использованием этого окна имела вид:

fWpQ)

_ f • Tr(j, Nl, Nr, Nf), j = 0.....Nf— 1;

0, j = Nf,...,N — 1.

(9)

Значения NL, Nr зависят от амплитуды и характера измеренных значений {f^ в начале и конце интервала наблюдений и обычно сумма Nl + Nr не превышает 5-7% от общего числа отсчетов Nf. На рис. 3 сплошной кривой показаны значения оценки o2v, вычисленные по взвешенной реализации (NL = 2,Nr = 193) при разных M. Видно, что при M Е [60, 100] оценка o2v может успешно использоваться для оценивания дисперсий шума суммы «сигнал+шум». Этот пример и другие эксперименты позволяют рекомендовать

выборМиз интервала [1.1 • N, 1.4 • N]. В данном

примере эта рекомендация дает значения M Е [70, 90]. Заметим, что увеличение ошибки оценивания при больших значениях Мобъясняется тем, что в сумму (6) начинают входить коэффициенты ДПФ Fp(l) полезного сигнала. Отметим, что выбор Мтакже можно осуществить из анализа графика оценки S'2v (сплошная кривая на рис. 3), т.е. взять наибольшие значения M перед резким

возрастанием значений а2У.

Оценивание дисперсии шума

ИЗМЕРЕНИЙ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ ВЕЙВЛЕТ-РАЗЛОЖЕНИЯ

Кратко приведем основные понятия и определения, необходимые для изложения результатов работы (подробнее см. [10]). Многомасштабное (тиШга'вШюп) представление функции /(г) в базисе вейвлет-функции имеет вид [11]:

ко + J

/(г) = Х а]0 + JФк(г) + X X (г),

к ]=ко +1 к

которое можно интерпретировать как восстановление функции /(/) по ее коэффициентам

разложения на J -м уровне (ко - начальный уровень разложения). Функции {ф^к(1)} называют масштабирующими (или отцовскими), а функ-

ции {¡ук к (г)} - вейвлет - функциями (или материнскими). Коэффициенты разложения а к к называют аппроксимирующими, ¿к к - детализирующими и они определяются выражениями:

а} ,к = | /(гф} ,к(г, ^к ,к = | /(г )Ук ,к (г №, Я я

где Я - интервал определения функции /(г). Переменная к характеризует уровень разложения и ее часто называют коэффициентом масштаба, а переменная к - временной сдвиг той или иной базисной функции. Системы функдий {фк,к (г)}, {ук,к (г)} составляют ортогональный базис пространств вейвлет -функций (подробнее см. [4, 5, 8]). Заметим, что чем меньше номер к , тем более «мелкие» структуры исходной функции /(г) могут быть представлены в базисах {ф^к 0)}, {¡],к 0)} и

тем ближе реконструированный сигнал /(г) к исходному.

Теоретической основой пороговых алгоритмов вейвлет-фильтрации является следующая предпосылка: уровень коэффициентов разложения случайных исходных сравнительно мал по сравнению с коэффициентами разложения точного сигнала, что позволяет распознать две ситуации: «шумовой» коэффициент разложения (в основном обусловлен шумом измерения) и «информативный» коэффициент (в основном определяется значениями точного сигнала). Таким образом, для успешной фильтрации необходимо обратить в ноль шумовые коэффициенты, сохранив при этом информативные коэффициенты разложения. Эта идея реализуется пороговыми алгоритмами обработки «зашумленных» коэффициентов разложения.

Обозначим коэффициенты разложения зашумленного сигнала как а^к,

Заметим, что относительные погрешности аппроксимирующих коэффициентов на порядок и более меньше погрешностей коэффициентов а1к (см. [12]). Поэтому на практике обработке подвергаются только детализирующие коэффициенты Пороговая обработка коэффициентов к определяется используемой пороговой функцией. Широко распространена «жесткая» пороговая функция вида:

(0, если1^,к1 < А; если1^ к1 > А

где X - величина порога. Пороговая величина X существенно влияет на ошибку фильтрации и является «управляющим» параметром алгоритмов вейвлет - фильтрации. Сравнение различных алгоритмов выбора порога X рассмотрено в работе [12]. Практически все эти алгоритмы выбора требуют достоверного задания дисперсии шума измерения. Например, так называемый универсальный порог [12, 13] определяется выражением:

AfNIV = avJ2 lnNj

где

N

число

детализирующих

коэффициентов на ]-м уровне разложения, д» -среднеквадратическое отклонение (корень квадратный из дисперсии) шума измерения.

Как правило, информация о дисперсии шума измерения отсутствует и в этом случае широко используется следующая оценка дисперсии шума измерения [13]:

Ymedian^d-ikl}'

I

[-, (10)

I. 0.6745 1 4 '

где оператор тесИап{1с11:к |}вычисляет медиану абсолютных величин детализирующих коэффициентов первого уровня разложения зашумленного сигнала.

Исследование точности

РАССМОТРЕННЫХ ОЦЕНОК

ДИСПЕРСИИ ШУМА ИЗМЕРЕНИЙ

Для исследования числовых характеристик рассмотренных двух оценок дисперсий шума был выполнен обширный вычислительный эксперимент с разными формами сигналов в модели «сигнал+шум», в которой шум подчинялся нормальному распределению. Обсудим некоторые результаты эксперимента с

сигналом, изображенном на рис. 2. По каждой отдельной реализации зашумленного сигнала

0 - номер реализации) вычислялись

оценки дисперсии ошибки оценивания

2(j) ~2(j)

и относительные

s,

(j ) _ '

2(J)

Л(j) =

' swav

°wav °v '2

-. Все эти величины являются случайными

и поэтому по выборке объемом N5ат = 200 вычислялись выборочные средние (т.е. оценки для математических ожиданий введённых характеристик точности):

• w = w v

Ns a m ь j=1 a2U) • wa v

• Swv j

Ns a m s(j) wav

,yNsam fi2(j) w ¿-ij = 1 uwv ' "Ы

s(j)

1 ^wv 1

Swav

а также выборочные среднеквадратические отклонения (корень квадратный из дисперсии) относительных ошибок оценивания:

=

N

Nsam

■^-¡■^^WV-tiwv) ,

j=1

__1 (_ Л

5Ша» — ^ „5ат-1 ' Ь] = 1 вшм) .

В таблице приведены значения этих числовых характеристик, вычисленных для различных относительных уровней шума измерения. Относительный уровень шума определялся соотношением 5» — где ||у|| -

евклидова норма вектора, составленного из значений шума измерения, | /1 - евклидова норма вектора из точных значений {[¿}. Более детальную информацию о распределении относительной ошибки оценивания можно получить из анализа гистограммы

Nт п„

относительных частот шт —-,т — 1,...,М,

где Nm- количество значений относительной ошибки оценивания, попавших в т -ый интервал из М равных интервалов, на которые разделен отрезок наблюдаемых значений ошибки оценивания. На рис. 4 приведена гистограмма относительных частот для ошибки оценивания , а на Рис. 5 - гистограмма для ошибки 5ша».

i

i

N

N

a m

a m

1

1

N

s a m

s a m

Относительный уровень шума Sv Дисперсия шума Оценка Оценка д^а»

"Lwv &WV С Jwv wav Swav С wav

0.02 3.573 ■ 10-3 3.721 ■ 10-3 0.048 0.069 4.171 ■ 10-3 0.165 0.221

0.05 0.022 0.023 0.010 0.064 0.026 0.152 0.226

0.10 0.089 0.088 -0.013 0.062 0.103 0.149 0.210

0.15 0.201 0.199 -0.010 0.064 0.231 0.158 0.194

о.з

-0.4 -0.2 О 0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 5. Гистограмма относительных частот относительной ошибки 8кау

Анализ данных таблицы позволяет сделать следующие выводы:

• оценка дисперсии 5ша„ имеет значительное положительное смещение порядка 15-17% и большое среднеквадратическое отклонение;

• оценка дисперсии имеет практически нулевое смещение и небольшой коэффициент вариации (отношение среднеквадратического отклонения случайной величины к ее математическому ожиданию) равный 0.07, существенно меньший коэффициента вариации оценки 5ша„, равного 0.187;

• вид гистограммы относительных частот ошибки 8ша„позволяет сделать вывод о несимметричном (относительно нулевого значения) распределении ошибки оценки $'2ау, смещенного в сторону положительных значений ошибки.

Заключение

В работе приводятся и исследуются две оценки дисперсий шума измерений различных типов сигналов, используемых при непараметрической идентификации стационарных динамических объектов. Выполненные исследования статистических характеристик этих оценок показали существенные преимущества оценки построенной на основе дискрет-

ного преобразования Фурье «взвешенной» зашумленной реализации сигнала по сравнению с оценкой построенной на основе вейвлет-преобразования этой реализации. Использование первой оценки дисперсии на практике позволит более точно выбирать оптимальные параметры в регуляризирующих алгоритмах непараметрической идентификации и в алгоритмах фильтрации зашумленных сигналов (например, при использовании сглаживающих кубических сплайнов).

Литература

[1] Сидоров Д.Н. Методы анализа интегральных динамических моделей: теория и приложения. -Иркутск: Изд-во ИГУ, 2013. - 293 с.

[2] Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М.: Наука, 1986. - 285 с.

[3] Воскобойников Ю. Е. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике / Ю. Е. Воскобойников, Н. Г. Преображенский, А. И. Седельников. - Новосибирск: Наука, 1984. - 238 с.

[4] Воскобойников Ю.Е. Устойчивые алгоритмы непараметрической идентификации динамических систем / Научная монография. - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2019.- 160 с.

[5] Воскобойников Ю. Е. Алгоритм идентификация импульсной переходной функции при высоком уровне шума измерения входного сигнала системы / Ю. Е. Воскобойников, Д.А. Крысов // Автоматика и программная инженерия. - 2018. -№ 2 (24). - С. 67-75.

[6] Воскобойников Ю.Е., Боева В.А. Новый устойчивый алгоритм непараметрической идентификации технических систем // Современные наукоемкие технологии. - 2019. - № 5. - С. 25-29.

[7] Воскобойников Ю.Е., Крысов Д.А. Оценивание характеристик шума измерения в модели «сиг-нал+шум» // Автоматика и программная инженерия. - 2018. - № 3(25). - С. 54-61.

[8] Воскобойников Ю.Е. Устойчивые алгоритмы решения обратных измерительных задач / Научная монография. Ю. Е. Воскобойников. -Новосибирск: Изд-во НГАСУ. 2007. - 184 с.

[9] Марпл.-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. - М.: Мир. 1990. -584 с.

[10] Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории к практике / В. П. Дьяконов. - Москва: СОЛОМОН-Р, 2002. - 448 с.

[11] Mallat S. А theory of multiresolution signal decomposition: the wavelet representation / S. Mallat // IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intel. - 1989. -Vol. 11, № 9. - P. 674-693.

[12] Воскобойников Ю. Е. Вейвлет-фильтрация сигналов и изображений (с примерами в MathCAD): монография / Ю. Е. Воскобойников. -Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2015. - 188 с.

[13] Mallat S. A Wavelet tour of signal processing: the sparse way / S. Mallat. - Academic Press, 2008. -621 p.

Юрий Евгеньевич Воско-бойников, выпускник кафедры автоматики НЭТИ-НГТУ, доктор физ.-мат. наук, профессор, Заслуженный работник Высшей школы РФ, Соро-совский профессор, действительный член МАИ, РАЕ, МАН ВШ, профессор кафедры автоматики НГТУ, заведующий кафедрой прикладной

математики Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета

(Сибстрин). Автор более 300 публикаций, 6 монографий, посвященных решению некорректных задач интерпретации данных и обработке сигналов и изображений и большого числа учебников и учебных пособий. E-mail: voscob@mail.ru

Статья поступила 02.10.2020.

Estimation of Noise Dispersions of Signal Measurements with Non-

Parametric Identification

Yury E. Voskoboinikov Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russian Federation Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering construction (Sibstrin),

Novosibirsk, Russian Federation

Abstract: For nonparametric identification, various regularizing algorithms are used to obtain a stable solution to the identification problem. Each of these algorithms includes a certain parameter, the value of which significantly depends on the identification error. For a successful selection of the parameter, it is necessary to reliably set the variance of the measurement noise of the signals of the identified system. However, in most cases the experimenter cannot set this characteristic with the required accuracy (the inaccuracy of the task should be no more than 10-15%). Therefore, in this work, two estimates of the variance of the measurement noise for different types of signals of the identified system are proposed. The performed studies of these estimates showed higher accuracy characteristics of the estimate built on the basis of the discrete Fourier transform of the signal of the identified system.

Key words: mixture «signal + noise», measurement noise variance, estimates for noise variance, discrete Fourier transform, wavelet transform of a signal.

Novosibirsk: Izd-vo NGASU. 2007. - 184 s.

[9] Marpl.-ml. S.L. Tsifrovoy spektral'nyy analiz i yego REFERENCES prilozheniya: Per. s angl. - M.: Mir. 1990. - 584 s.

[10] D'yakonov V. P. Veyvlety. Ot teorii k praktike / V. P. D'yakonov. - Moskva: SOLOMON-R, 2002. - 448 s.

[11] Mallat S. A theory of multiresolution signal decomposition: the wavelet representation / S. Mallat // IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intel. - 1989. -Vol. 11, № 9. - P. 674-693.

[12] Voskoboynikov YU. Ye. Veyvlet-fil'tratsiya signalov i izobrazheniy (s primerami v MathCAD): monografiya / YU. Ye. Voskoboynikov. -Novosibirsk: NGASU (Sibstrin), 2015. - 188 s.

[13] Mallat S. A Wavelet tour of signal processing: the sparse way / S. Mallat. - Academic Press, 2008. -621 p.

[1]

[2]

Sidorov D.N. Metody analiza integral'nykh dinamicheskikh modeley: teoriya i prilozheniya. -Irkutsk: Izd-vo IGU, 2013. - 293 s. Tikhonov A. N. Metody resheniya nekorrektnykh zadach / A.N. Tikhonov, V. YA. Arsenin. - M.: Nauka, 1986. - 285 s.

[3] Voskoboynikov YU. Ye. Matematicheskaya obrabotka eksperimenta v molekulyarnoy gazodinamike / YU. Ye. Voskoboynikov, N. G. Preobrazhenskiy, A. I. Sedel'nikov. - Novosibirsk: Nauka, 1984. - 238 s.

[4] Voskoboynikov YU.Ye. Ustoychivyye algoritmy neparametricheskoy identifikatsii dinamicheskikh sistem / Nauchnaya monografiya. - Novosibirsk: NGASU (Sibstrin), 2019.- 160 s.

[5] Voskoboynikov YU. Ye. Algoritm identifikatsiya impul'snoy perekhodnoy funktsii pri vysokom urovne shuma izmereniya vkhodnogo signala sistemy / YU. Ye. Voskoboynikov, D.A. Krysov // Avtomatika i programmnaya inzheneriya. - 2018. - № 2 (24). - S. 67-75.

[6] Voskoboynikov YU.Ye., Boyeva V.A. Novyy ustoychivyy algoritm neparametricheskoy identifikatsii tekhnicheskikh sistem // Sovremennyye naukoyemkiye tekhnologii. - 2019. - № 5. - S. 25-29.

[7] Voskoboynikov YU.Ye., Krysov D.A. Otsenivaniye kharakteristik shuma izmereniya v modeli «sig-nal+shum» // Avtomatika i programmnaya inzheneriya. - 2018. - № 3(25). - S. 54-61.

[8] Voskoboynikov YU.Ye. Ustoychivyye algoritmy resheniya obratnykh izmeritel'nykh zadach / Nauchnaya monografiya. YU. Ye. Voskoboynikov. -

Yuri Evgenievich Voskoboinikov, graduate of the Department of Automation of the NETI-NSTU, Doctor of Phys.-Math. Sci., Professor, Honored Worker of the Higher School of the Russian Federation, Soros Professor, Full Member of MAI, RAE, MAN HS, Professor of the Department of Automation of NSTU. Head of the Department of Applied Mathematics, Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering (Sibstrin). Author of over 300 publications, 6 monographs devoted to solving ill-posed problems of data interpretation and signal and image processing and a large number of textbooks and teaching aids. E-mail: voscob@mail.ru

The paper has been received on 02/10/2020.