НЕПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ НЕТОЧНОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

Непараметрическая идентификация динамической системы при неточном входном сигнале

Ю.Е. Воскобойников1'2, Д.А. Крысов1 ФГБОУ ВПО НГТУ, 2ФГБОУ ВПО НГАСУ (Сибстрин) Новосибирск, Россия

Аннотация: В данной работе исследуются свойства регуляризированных решений задачи идентификации импульсной переходной функции стационарной динамической системы в случае, когда и входной и выходной сигналы идентифицируемой системы регистрируются со случайными погрешностями. Решения строятся с использованием

регуляризирующих алгоритмов на основе дискретного преобразования Фурье. При этом сравниваются два класса решений: построенные при точном входном сигнале и построенные при входном сигнале, заданном со случайной ошибкой. Рассматривается возможность применения алгоритма оценивания оптимального параметра регуляризации как в первом, так и во втором случае.

Ключевые слова: непараметрическая идентификация, интегральное уравнение Вольтера I рода, регуляризирующие алгоритмы идентификации, ошибки регуляризированных решений, неточно заданный входной сигнал, выбор параметра регуляризации.

ВВЕДЕНИЕ

Наиболее часто в качестве математической модели стационарной динамической системы используется интегральной уравнение Вольтера I рода с разностным ядром:

J k (t-t)j(t) dt = f (t)

(1)

k (t) где v '

(ИПФ)

- импульсная переходная функция динамической системы (ядро

,1Ч. j(t), f (t) интегрального уравнения (1)), r v ' -

входной и выходной сигналы системы.

С уравнением (1) связаны две задачи:

• обратная измерительная задача, когда

необходимо построить оценку для

j(r)

входного сигнала

по

зарегистрированным значениям

функций к(т) (г), т.е. решить уравнение (1) относительно функции

Р(т);

• задача параметрической

идентификации, где необходимо построить оценку для ИПФ системы по зарегистрированным значениям

функций р(т) ?(г). Для этой задачи уравнение (1) целесообразно переписать в «симметричном» виде:

г

\р(г-т) к (т) йт' = / (г)

0 . (2) Заметим, что как первая, так и вторая задачи относятся к классу некорректно поставленных задач, когда могут нарушаться условия корректности по Адамару, в частности, появляется неустойчивость решения интегрального уравнения к погрешностям

задания правой части ^(г) уравнений (1), (2) [1, 2].

Для нахождения единственного и устойчивого решения обратной измерительной задачи (т.е. решения уравнения (1) относительно

функции Р(т)) используют различные методы регуляризации, как детерминированные, так и статистические [3]. При этом, как правило, предполагают, что правая часть известна с

к (т)

некоторой погрешностью, а ядро уравнения (1) задано точно. Эти же методы можно использовать и для решения задачи непараметрической идентификации [4], но уже в этом случае ядром уравнения (2) будет уже

входной сигнал системы Р(т) . В этом случае делается аналогичное предположение, что входной сигнал идентифицируемой системы задан точно. Однако такое требование редко выполняется на практике так, как и входной и выходной сигналы системы измеряются и регистрируются приборами примерно одинакового класса точности и, следовательно,

0

и входной и выходной сигналы задаются с случайными погрешностями - шумами измерений.

В работах [5-6] для обратной измерительной задачи предполагалось, что измеренные

ht,), k (t ) значения 4 ' допускают

представления

f = f (t,) = f(t,) + h(t,), kj = k (t ) + v (tj ) (3)

где i j - случайные величины (шумы измерений) с нулевыми средними и

si, s] ), ç(tj)

дисперсиями и величины j не

коррелированы друг с другом. При этих предположения был построен оригинальный регуляризирующий алгоритм (использующий дискретное преобразование Фурье - ДПФ) и предложен метод оценивания оптимального параметра регуляризации, минимизирующего СКО регуляризованного решения. Однако, этот алгоритм требует на порядок больше вычислительных операций по сравнению с регуляризирующим алгоритмом (РА) при точно заданном ядре.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

При применении рассмотренного алгоритма к задаче непараметрической идентификации возникает целый ряд следующих вопросов, которые остались без ответа.

Во-первых, всегда ли при построении регуляризированного решения рассматриваемой задачи идентификации следует учитывать погрешности задания входного сигнала идентифицируемой системы (2) или можно ограничиться более простыми РА при этом возможный проигрыш по точности решения будет приемлемым.

Во-вторых, в какой степени ошибки регуляризованного решения зависят от относительных уровней погрешностей правой части и входного сигнала уравнения (2).

В-третьих, насколько меняется оптимальный параметр регуляризации при вариации относительных уровней погрешностей

h(t, ),](t j )

j и можно ли использовать некоторые

алгоритмы выбора параметра регуляризации

(разработанные для точно заданного входного

сигнала) для оценивания оптимального

параметра регуляризации в условиях неточно

заданного входного сигнала.

Данная работа посвящена исследованиям, результаты которых позволят дать ответы на эти вопросы, важные при решении большого числа практических задач.

2. РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Первоначально предположим, что входной сигнал (ядро уравнения (2)) задано точно

(т.е. известны значения дискретизации по аргументам ' одинаков и

равен А. Тогда, используя метод прямоугольников, интегральное уравнение (2) заменяется дискретной сверткой:

,j j(tj ) ) и шаг

£ j(ti -tj)k(tj)Dt = f (tt), , = 1,...,Nf

j=1

(4)

которая при соответствующем выборе шага

А,

дискретизации : хорошо аппроксимирует исходное уравнение (2).

Построение регуляризованного решения можно представить следующими

«укрупненными» шагами (подробнее см. [4]): Шаг 1. Формирование по дискретным

I=/ (:), %)

значениям периодических

fP(,), j (,), , = 0,...,N -1

последовательностей N.

' р к '' ' ' , где - величина периода и взятия от этих последовательностей ДПФ, т.е. вычисление коэффициентов ДПФ

Ёр(/), Фр (/), / = 0,...,N -1

Шаг 2. Вычисление коэффициентов ДПФ

Кра (/), / = 0,..., N - 1

регуляризированного

решения. Шаг 3.

Вычисление регуляризированного

kpa (, ), , = 0,..., N -1

периодического решения

(взятием обратного ДПФ {Kpa. (l)},

от последовательности ) и

формирование вектора непериодического регуляризованного решения

ка , ] = 0,...,N. -1

1 , как оценку для значений

решения интегрального уравнения в дискретные

к (Т: ), ] = 0,..., N. - 1 моменты времени: 1 к .

Очевидно, что точность регуляризованного

решения определяется способом вычисления

Кра (/) Р

ра на втором шаге. Если входной сигнал задано точно, то

Kpa(l ) =

FP (l )

F p (l )| +aqp (l )

. Fp (l), l = 0,...,N -1

а ф Р (1)

где " - параметр регуляризации, р 4 ' -

фр (i)

величина, комплексно-сопряженная с ру '.

Элементы последовательности формируются по правилу:

О (I)}

оР (I)=

№ -Ав),

I = 0,...., Ж/2;

0((Ж-1)-А(), I = N/2 + 1,...Ж-1,

где

А„ = 2р/( N А,)

- шаг дискретизации в

частотой области. Функцию 0(() можно

трактовать как частотную характеристику

стабилизирующего функционала: она должна

быть неубывающей функцией частоты ( и

0(() (о®¥

чаще всего при (например,

см. [8]). Если задан порядок регуляризации г, то

при достаточно больших значениях (

0(о)» (2г справедлива асимптотика .

Проблема выбора параметра регуляризации

а является основной при использовании

регуляризирующих алгоритмов на практике.

Дело в том, при заниженных значениях а в

решении ка(т) будут присутствовать шумовые составляющие, обусловленные шумом правой

части

т)

. При завышенных значениях

а

из

решения

ка(т)

будут

«удалены»

информативные компоненты функции к (т) . Поэтому в качестве оптимального значения

а

орг

примем значение, доставляющее минимум функционалу среднеквадратической ошибки [4]:

ар (а) = М

II к - к+||2

\\ ра ""р

кр

где ¥ - периодическое псевдорешение

системы уравнений (3) с точной правой частью

„ к(т]) Мт[-] относительно значений , т - оператор

математического ожидания по ансамблю шума

измерения правой части уравнения, Ч И -евклидова норма вектора.

На практике вычисление точного значения

аорг невозможно из-за незнания функции

к (т) . Поэтому используются разные алгоритмы выбора параметра регуляризации, позволяющие в той или иной степени оценить при различной априорной информации о числовых характеристиках шума правой части (подробнее

см. [7]). В работе [8] для оценивания аорг был предложен критерий оптимальности линейного

регуляризирующего алгоритма, который в дальнейшем являлся теоретической основой для

построения алгоритмов оценивания орг при решении конкретных задач (например, см. [4,9]). Приведем только основные соотношения, необходимые для понимания этого критерия и его использования в дальнейших исследованиях.

Введем статистику

Рш (а) = Л(/, еа)

где

а = 1-фка

вектор невязки,

Ф.

(5)

матрица

ка

системы уравнений (3), а- вектор, составленный из значений регуляризированного

ка(т,), 1 = 0,...,N. -1 (•,•) решения а 1 к , ' - скалярное

произведение векторов. Тогда в качестве оценки

для орг можно принять величину а, для которой выполняется неравенство

(ь/2)<Рш а(1 -ь/2), (6)

Ят р/2)#т (1 -р2) у2

где т 4 ' т у ' - квантиль л

распределения с р/2

т = N г

1 степенями свободы

уровней и 1 р / 2, р - вероятность

ошибки первого рода (обычно 0.05) при проверке статистической гипотезы об

а

оптимальности значения ш .

Для эффективного вычисления значения

а

удовлетворяющего неравенству (6) у=1/а

вводится величина

(г) = Рш (1/г). Тогдаа№ = 1/уш,

решение нелинейного уравнения

и функция

где

яш (у) = т,

удовлетворяющее условию

Ят (Ь/2)<яш (Уш)<Ят (1 -р/2)

уш

(7)

(8)

В работе [4] для решения нелинейного уравнения (6) применяется итерационная процедура Ньютона, в которой для вычисления

Яш (у), яш (У)

ДПФ и выражениями:

N Ж-1 0р (I) .12

, использующий коэффициенты описываемый следующими

Яш (у)~ I

0 УФр (I) + 0р (I)

К (I)

N

К(г) = ~ I

(/ )Ф р (1 )|'

i |2

ИФ р (1) + вр (1)

Ё (/)|'

Видно, что эти соотношения требуют только N

порядка вычислительных операций, что обеспечивает высокую вычислительную

а

эффективность вычисления значения ш .

В работах [4,7] было показано, что для случая точно заданного входного сигнала

величина

а

ш

является наилучшей оценкой для

а

'ор:

по сравнению с другими известными

алгоритмами выбор параметра регуляризации (принцип невязки, метод перекрестной значимости, метод L-кривой). Поэтому целесообразно выполнить исследования свойств

оценки ш в случае входного сигнала.

неточно заданного

3. ИССЛЕДОВАНИЯ СВОЙСТВ РЕГУЛЯРИЗИРОВАННЫХ РЕШЕНИЙ ПРИ НЕТОЧНО ЗАДАННОМ ЯДРЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Для ответа на вопросы, приведённые в начале работы был выполнен многочисленный вычислительный эксперимент. Рассмотрим наиболее интересные результаты этих экспериментов.

В качестве импульсной переходной функции использовались два вида функций, графики которых приведены на Рис. 1: «гладкая» ИПФ -кривая 1 (будем обозначать ИПФ1); «колебательная» ИПФ - кривая 2 (ИПФ2). Входной сигнал задавался двумя функциями: «узкополосным» - кривая 1 на Рис. 2 (обозначим ВХОД1) и «широкополосным» - кривая 2 на Рис. 2 (обозначим ВХОД2). Такой выбор входных сигналов был обусловлен тем, что для широкополосного сигнала обусловленность системы (3) уменьшается и при прочих равных условиях точность оценивания ИПФ возрастает.

к(Т1) N.=

Количество

отсчетов

'к =100,

количество отсчетов входного сигнала

1 = 159

%(Т 1) N.=

к =60,

^ = М.+ N. ■

и

N ^ ттт А, = 0.022

= 256. Шаг дискретизации : .

О 0.5 1 1.5

Рис. 1. Импульсные переходные функции

2

к (т)

Рис. 2. Входные сигнала системы

Относительные уровни шума правой части

6/ 6ф

■' и шума измерения входного сигнала т

а -М б/ 11/11

определялись соотношениями: ,

«.-ё

где

/,..

, N

составленные из значений

векторы размерности

../ (:), .(Т 1)

соответственно, - евклидова норма вектора. Точность построенного регуляризированного решения определялась относительной ошибкой

Ма)-|кйм к .

, где - вектор, составленный

из значений искомой ИПФ.

Первая серия экспериментов была

посвящена исследованию влияния неточности

задания входного сигнала на ошибку

регуляризированного решения. На Рис. 3

N -1

2

1=0

5к (а),

представлены следующие зависимости

' для ИПФ2 и ВХОД2: кривая 1 -

5, = 0.10,5.= 0.0 . / . (т.е. входной сигнал задан

, , 5, = 0.10,5.= 0.02 .

точно); кривая 2 - 1 % ; кривая 3 -

5 / = 0.10,5.= 0.10,

5 / = 0.02,5.= 0.0,

5 г = 0.02,5.= 0.10 тт п / . . На Рис. 4 показаны те же

зависимости для сигнала ВХОД1.

кривая кривая

4

5

Рис. 3. Зависимости 5к (а) для ИПФ2 и ВХОД2

Ы«)

0.01

Рис. 4. Зависимости 5к (а) для ИПФ2 и ВХОД1

Анализ приведенных зависимостей показывает:

• Если уровень шума правой части намного (в 2-3 раза) больше уровня шума входного сигнала, то относительная ошибка регуляризированного решения с неточно заданным входным сигналом практически совпадает с относительной

ошибкой решения при точно заданном входном сигнале, особенно в области

5к (а)

минимальных значений к и в области больших а, за исключением малых значений параметра

регуляризации а£ 10 (см. кривые 1,2). Если уровни шумов правой части и входного сигнала примерно одинаковы, то в области минимальных значений

5к (а) и больших а ошибки

идентификации ошибки идентификации при точном входном сигнале и неточно заданном входе практически

сопоставимы (см. кривые 1,3). Если уровень шума входного сигнала в несколько раз выше уровня шума правой части, то решение при точном входном сигнале меньше по сравнению с неточно заданном входе (см. кривые 4,5). В области малых значений параметра регуляризации ошибки решений при неточно заданном входе меньше ошибок решений при точном входном сигнале (см. кривые 4,5). Величина такого уменьшения пропорциональна уровню шума ядра (сравните кривые 2 и 5). Этот эффект можно объяснить тем, что при малых а

сигнала

случайный шум входного выполняет своеобразную

регуляризацию

квадраты

ДПФ больших

Ф (/)1

р коэффициентов зашумленного ядра при

значений / превалируют в знаменателе выражения (3) над значениями

аа (/)

стабилизатора и это уменьшает

Кра ( / )

ошибку вычисления р для этих

значений / и, соответственно, вызывает уменьшение общей ошибки

регуляризированного решения.

• Для низкочастотного сигнала ВХОД1 (см. рис. 4) наблюдается увеличение ошибки идентификации для всех определенных 5 5

выше комбинаций / . при сохранении отмеченных выше закономерностей в 5к (а)

изменении к .

5к (а)

На Рис. 5 представлены зависимости к для ИПФ1 (низкочастотная ИПФ) и ВХОД2 (нумерация кривых та же, что и на рис. 3,4; кривые 1 и 2 на рис. 5 совпали). Видно, что в области средних и больших значений параметра

5к (а)

регуляризации значения " 4 ' для точно и неточно заданных входов практически совпадают.

М")

Юг

Рис. 5. Зависимости 5к (а) для ИПФ1 и ВХОД2

Полученные в вычислительном

эксперименте закономерности изменения 5к (а)

к К ' позволяют надеяться, что для оценивания оптимального параметра

а ,

регуляризации ор можно использовать (для определенных соотношений уровней шумов

1 Р ) приведенный выше алгоритм

вычисления , разработанный для случая точно заданного ядра интегрального уравнения (подробнее см. [4, 7]).

4. ВЫБОР ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРИ НЕТОЧНО ЗАДАННОМ ЯДРЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Первоначально рассмотрим свойства а

параметра ш при идентификации ИПФ2 с неточно заданном входном сигнале ВХОД2 (высокочастотный сигнал). На Рис. 5 показаны:

кривая 1 - зависимость к 51 = Яш (У)

5к (У)

, вычисленное при

51 = 0.10 5р = 0.02

1 , Р ; кривая 2 - функция

(входной сигнал задан точно); кривая 3 -

функция

Яш (У)

(входной сигнал задан

ЯП, $т,1-В

неточно); кривые 4,5 - значения т,р/2' т,1-р/2 соответственно.

Видно, что кривые 2,3 практически совпали

У Яш (у)

и значения , для которых ш находится

между прямыми 4,5 (выполняются неравенство

(8)) могут быть приняты в качестве Уш и эти значения находятся в области минимуму

относительной ошибки идентификации. На рис. 6 представлены те же зависимости (с той же

5, = 0.05

нумерацией), но вычисленные при 1 ,

5р= 0.05

Р (т.е. когда уровни шумов входного и

выходного сигналов одинаковые). Видно, что и в этом случае можно сделать тот же вывод:

значения Уш находятся в области минимуму относительной ошибки идентификации.

110

100

Рис. 5. Графики функций

5у = 0.10 5Р= 0.02

5к (У) Яш (у)

для

5 (у) я, (у) Рис. 6. Графики функций к у ', v ;

для

5/ = 0.05 5р= 0.05

На Рис. 7 приведены те же зависимости, но 5у = 0.02, 5р = 0.10

вычисленные для

где

превалируют погрешности задания ядра. Но уже

У

в этом случае значение ш незначительно смещено от точки минимума относительной ошибки идентификации в сторону больших

значений У (или в сторону меньших значений параметра регуляризации).

Следует заметить, что аналогичное

размещение значений Уш наблюдается и для ИПФ1 и ВХОД1 (поэтому результаты этих исследований здесь не приводится).

5. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ И ВЫВОДЫ

ЛИТЕРАТУРА

Анализ результатов проведенных экспериментов позволяет сделать выводы:

• Относительный уровень погрешностей задания правой части в большей степени влияет на ошибку регуляризированного решения, чем погрешности входного сигнала идентифицируемой системы -сравните между собой точки минимума кривых 2 и 4 на Рис. 3 и 5.

Рис. 7. Графики функций

5f = 0.02 5ф = 0.10

8* (g) Rw (g)

для

Rw (g)

в области решения

• Значения кривых минимальных ошибок совпадают.

• Если погрешности правой части соизмеримы или больше погрешностей задания входного сигнала, то в качестве оценки оптимального параметра регуляризации можно принимать

значение , вычисленное по критерию оптимальности, но используя при этом значения неточно заданного ядра. Если погрешность ядра значительно больше (в 5-8 раза) погрешности правой части, то а ,

при оценивании ор следует в критерии оптимальности учесть погрешности ядра (например, как это сделано в работах [5,6]).

Эти выводы являются ответами на вопросы, поставленные в начале данной статьи и позволяют обоснованно выбрать регуляризи-рующий алгоритм (включая выбор параметра регуляризации) для решения задачи параметрической идентификации с неточно заданным входным сигналом идентифицируемой системы.

[1] Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М. : Наука, 1986. - 285 с.

[2] Тихонов А. Н. Численные методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов и др. ,- М. : Наука, 1990. - 231 с.

[3] Воскобойников Ю. Е. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике / Ю. Е. Воскобойников, Н. Г. Преображенский, А. И. Седельников. - Новосибирск : Наука, 1984. -238 с.

[4] Воскобойников Ю.Е. Устойчивые алгоритмы решения обратных измерительных задач / Научная монография. Ю. Е. Воскобойников. -Новосибирск : Изд-во НГАСУ. 2007. - 184 с.

[5] Воскобойников Ю. Е. Устойчивый алгоритм восстановления изображения при неточно заданной аппаратной функции / Ю. Е. Воскобойников, В. А. Литасов // Автометрия. -2006. - № 6. - С. 13-22.

[6] Voskoboinikov Yu. E., Litasov V.A. A stable image reconstruction algorithm for inexact point-spread function// Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2006. - v.42. - N 6. - P. 3 - 14.

[7] Воскобойников Ю. Е. Численная реализация и сравнение четырех способов выбора параметра регуляризации в устойчивых алгоритмах деконволюции / Ю. Е. Воскобойников // Научный вестник НГТУ. - 2004. - № 2 (17). - С. 27-44.

[8] Воскобойников Ю. Е. Оценивание оптимального параметра регуляризирующего алгоритма восстановления изображений / Ю. Е. Воскобойников // Автометрия. - 1995. - № 3. - С. 64-72.

[9] Воскобойников Ю. Е. Устойчивые методы и алгоритмы параметрической идентификации / Научная монография Ю. Е. Воскобойников. -Новосибирск : Изд-во НГАСУ, 2006. - 186 с.

Nonparametric Identification of a Dynamic System with an Inaccurate Input Signal

Yu.E. Voskoboynikov, D.A. Krysov

NSTU, NGASU (Sibstrin) Novosibirsk, Russia

Abstract'. In this paper, we investigate the properties of regularized solutions to the problem of identifying the impulse response function of a stationary dynamic system in the case when both the input and output signals of an identifiable system are registered with random errors. The solutions are constructed using regularizing algorithms based on the discrete Fourier transform. In this case, two classes of solutions are compared. constructed with an exact input signal and constructed with an input signal given with a random error. The possibility of applying the

algorithm for estimating the optimal regularization parameter in both the first and second cases is considered.

Key words: nonparametric identification, Voltaire integral equation of the first kind, regularizing identification algorithms, errors of regularized solutions, inaccurately given input signal, choice of the regularization parameter.

REFERENCES

[1] Tikhonov A. N. Metody resheniya nekorrektnykh zadach / A.N. Tikhonov, V. YA. Arsenin. - M. : Nauka, 1986. - 285 s.

[2] Tikhonov A. N. Chislennyye metody resheniya nekorrektnykh zadach / A.N. Tikhonov, A. V. Goncharskiy, V. V. Stepanov i dr. ,- M. : Nauka, 1990. - 231 s.

[3] Voskoboynikov YU. Ye. Matematicheskaya obrabotka eksperimenta v molekulyarnoy gazodinamike / YU. Ye. Voskoboynikov, N. G. Preobrazhenskiy, A. I. Sedel'nikov. - Novosibirsk : Nauka, 1984. - 238 s.

[4] Voskoboynikov YU.Ye. Ustoychivyye algoritmy resheniya obratnykh izmeritel'nykh zadach / Nauchnaya monografiya. YU. Ye. Voskoboynikov. -Novosibirsk : Izd-vo NGASU. 2007. - 184 s.

[5] Voskoboynikov YU. Ye. Ustoychivyy algoritm vosstanovleniya izobrazheniya pri netochno zadannoy apparatnoy funktsii / YU. Ye. Voskoboynikov, V. A. Litasov // Avtometriya. -2006. - № 6. - S. 13-22.

[6] Voskoboinikov Yu. E., Litasov V.A. A stable image reconstruction algorithm for inexact point-spread function// Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2006. - v.42. - N 6. - P. 3 - 14.

[7] Voskoboynikov YU. Ye. Chislennaya realizatsiya i sravneniye chetyrekh sposobov vybora parametra regulyarizatsii v ustoychivykh algoritmakh dekonvolyutsii / YU. Ye. Voskoboynikov // Nauchnyy vestnik NGTU. - 2004. - № 2 (17). - S. 27-44.

[8] Voskoboynikov YU. Ye. Otsenivaniye optimal'nogo parametra regulyariziruyushchego algoritma vosstanovleniya izobrazheniy / YU. Ye.

Voskoboynikov // Avtometriya. - 1995. - № 3. - S. 64-72.

[9] Voskoboynikov YU. Ye. Ustoychivyye metody i algoritmy parametricheskoy identifikatsii / Nauchnaya monografiya YU. Ye. Voskoboynikov. -Novosibirsk : Izd-vo NGASU, 2006. - 186 s.

Юрий Евгеньевич

Воскобойников, доктор физ.-мат. наук, профессор, Заслуженный работник

Высшей школы РФ, Соросовский профессор, действительный член МАИ, РАЕ, МАН ВШ, профессор кафедры автоматики НГТУ. заведующий кафедрой прикладной математики Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин). Автор более 290 публикаций, 6 монографий, посвященных решению некорректных

задач интерпретации данных, обработке сигналов и изображений и большого числа учебных пособий.

E-mail: [email protected]

Данила Алексеевич Крысов, аспирант кафедры автоматики факультета

автоматики и

вычислительной техники НГТУ.

E-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 8 ноября 2017 г.