АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ ПРИ ВЫСОКОМ УРОВНЕ ШУМА ИЗМЕРЕНИЯ ВХОДНОГО СИГНАЛА СИСТЕМЫ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Алгоритм идентификация импульсной переходной функции при высоком уровне шума измерения входного сигнала системы

Ю.Е. Воскобойников1'2, Д. А. Крысов2

1 Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин), Новосибирск,

Россия

2ФГБОУ ВО Новосибирский государственный технический университет, просп. Карла Маркса, д.20,

Новосибирск, Россия

Аннотация - В качестве модели стационарной динамической системы часто выступает интегральное уравнение Вольтера первого рода с разностным ядром. Для такой модели задача непараметрической идентификации заключается в оценивание этого разностного ядра (называемого импульсной переходной функции) по измеренным значениям входного и выходного сигналов идентифицируемой динамической системы. Как известно, эта задача является некорректно поставленной, т.е. решение может не существовать, быть не единственным и обладать неустойчивостью по отношению к погрешностям (шумам измерения) исходных данных. Для получения единственного устойчивого (но приближенного) решения используются различные методы регуляризации, в частности метод регуляризации А.Н. Тихонова. При этом (применительно к рассматриваемой задаче идентификации) предполагают, что входной сигнал (ядро интегрального уравнения) задан точно, а выходной сигнал системы регистрируется с некоторой случайной ошибкой. Однако такое предположение редко выполняется на практике так, как и входной и выходной сигналы системы измеряются с случайными погрешностями - шумами измерений. Не учет шума измерения входного сигнала идентифицируемой системы приводит к увеличению ошибки идентификации по сравнению с оптимальной (т.е. минимально возможной ошибкой идентификации). В данной работе предлагается устойчивый алгоритм идентификации, в котором шум измерения входного сигнала (также, как и шум измерения выходного сигнала) учитывается как при построении самого регуляризированного решения, так и при выборе параметра регуляризации. Этот параметр существенно влияет на точность получаемых регуляризированных решений. Поэтому в работе строится статистический алгоритм выбора параметра регуляризации, учитывающий дисперсию шума измерения входного сигнала и позволяющий с приемлемой точностью оценить оптимальное значение параметра регуляризации. Выполненный вычислительный эксперимент показал более высокую точность предложенного алгоритма идентификации по сравнению с регуляризирующими алгоритмами, которые не учитывают шум измерения входного сигнала.

Ключевые слова: задача непараметрической идентификации, интегральное уравнение Вольтера I рода, некорректно поставленные задачи, регуляризирующий алгоритм идентификации, параметра регуляризации, ошибки регуляризированного решения задачи идентификации, оценивание оптимального параметра регуляризации, эффективность предложенного алгоритма идентификации.

1. ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для описания динамики стационарной динамической системы достаточно часто в качестве математической модели используется интегральной уравнение Вольтера I рода с разностным ядром: г

\к(г-т)р(т)ёт = /(г), (1)

о

где к (т) - импульсная переходная функция (ИПФ) динамической системы, <р(т), /(г) -

входной и выходной сигналы системы. С уравнением (1) связаны две часто встречаемые на практике задачи:

• обратная измерительная задача, когда необходимо построить оценку для входного сигнала р(т) по зарегистрированным значениям функций к (т), / (г), т.е. решить уравнение (1) относительно функции р(т);

• задача непараметрической

идентификации, где необходимо построить оценку для ИПФ системы по зарегистрированным значениям функций j(t), f (t).

Заметим, что как первая, так и вторая задачи относятся к классу некорректно поставленных задач, когда могут нарушаться условия корректности по Адамару, в частности, появляется неустойчивость решения интегрального уравнения к погрешностям задания правой части f (t) уравнений (1) [1,2].

Для построения эффективного вычислительного алгоритма решения уравнения (1) выполняют его дискретизацию с использованием формулу прямоугольников. Это позволяет в дальнейшем использовать дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Для задачи непараметрической идентификации такая дискретизация дает систему уравнений:

Fk = f , (2)

где матрица Ф формируется из значений входного сигнала. Эта матрица плохо обусловлена (а возможно и вырождена), что создает известные трудности решения системы (2).

Для нахождения единственного и устойчивого решения обратной измерительной задачи (т.е. решения уравнения (1) относительно функции ((т)) используют различные методы регуляризации, как детерминированные, так и статистические [3]. При этом, как правило, предполагают, что правая часть известна с некоторой погрешностью, а ядро к (т) уравнения (1) задано точно. Эти же методы можно использовать и для решения задачи непараметрической идентификации, но уже в этом случае ядром уравнения будет уже входной сигнал системы ( (т) . При этом делается аналогичное предположение, что входной сигнал идентифицируемой системы задан точно. Однако такое условие редко выполняется на практике так, как и входной и выходной сигналы системы измеряются и регистрируются приборами примерно одинакового класса точности и, следовательно, и входной и выходной сигналы задаются с случайными погрешностями - шумами измерений. Поэтому возникает ряд вопросов, связанных как с построением самого регуляризирующего алгоритма, так и свойствами регуляризированных оценок для ИПФ в этой непростой ситуации.

В работе [4] было показано, что если относительный уровень шума измерения входного сигнала меньше или соизмерим с относительным уровнем шума измерения выходного сигнала идентифицируемой системы, то можно использовать регуляризирующий алгоритм, который не учитывал погрешности входного сигнала, включая алгоритм выбора параметра регуляризации. Если же уровень шума измерения входного сигнала был больше (в разы) уровня шума измерения выходного сигнала, то алгоритм оценивания оптимального параметра регуляризации, построенный на основе критерия оптимальности уже приводил к завышенным значениям, как и другой алгоритм выбора, построенный на основе принципа невязки.

Поэтому в данной работе решаются задачи:

• построение на основе дискретного преобразования Фурье (ДПФ) регуляризирующего алгоритма, учитывающего шум измерения входного сигнала идентифицируемой системы;

• обобщение критерия оптимальности регуляризирующего алгоритма на случай неточно заданного ядра интегрального уравнения;

• построение на основе этого критерия алгоритма оценивания оптимального параметра регуляризации, минимизирующего средне-

квадратическую ошибку идентификации импульсной переходной функции.

2. РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ ИПФ

значения

т

Предположим, что измеренные входного и выходного сигнала (((Tj)f(ti) допускают представления:

( =((т> ) + <кт3),] = 1...( f = /((,) + Ц((,), i = 1,...,Nf. где д(т!) - случайные величины (шумы измерений) с нулевыми средними и дисперсиями С^,^ и величины 7](ti), <?(Тз)

не коррелированы друг с другом. Здесь и далее знак «~» означает, что данная величина искажена шумом измерения.

Построение регуляризированного решения можно представить следующими

«укрупненными» шагами (подробнее см. [5]):

Шаг 1. Формирование по дискретным значениям f = f ), ( = ф(т]) периодических последовательностей / (i), фр ^), i = 0,...,N -1, где N - величина

периода и взятия от этих последовательностей ДПФ, т.е. вычисление коэффициентов ДПФ

Рр (I), Фр (I), I = 0,...,N -1.

Шаг 2. Вычисление коэффициентов ДПФ Кра(I), I = 0,...,N -1, регуляризированного решения.

Шаг 3. Вычисление периодического регуляризированного решения

кра^), i = 0,. .,N — 1 (взятием обратного ДПФ

от последовательности {Кра(I)}) и

формирование вектора непериодического регуляризованного решения ка ,

] = 0,..., Nk -1 как оценку для значений импульсной переходной функции в дискретные моменты времени: к(т), ] = 0,...,Nk-1.

Очевидно, что точность идентификации определяется способом вычисления Кра (I) на

втором шаге регуляризирующего алгоритма.

Если входной сигнал идентифицируемой системы задан точно или шум измерения пренебрежительно мал (см. [4]), то на шаге 2 используется следующее выражение:

К ра(1) = ■

Фр (I)

• Рр (I),

(3)

Ф р (I) +«• ар (I)

где а - параметр регуляризации, Ф° (I) -величина, комплексно-сопряженная с Ф (I).

Элементы последовательности {Яр (I)} формируются по правилу:

Яр, (I ) =

(I•Д»), I = о,..., N/2; 16((N -1)-Д„),I = Н/2 +1,...,N -1,

где Д( = 2р/(NДг) - шаг дискретизации в частотой области. Функцию Я(() можно трактовать как частотную характеристику стабилизирующего функционала: она должна быть неубывающей функцией частоты ( и чаще всего Я(ю) при . Если задан

порядок регуляризации г, то при достаточно больших значениях ( справедлива

асимптотика Я(() » (02г.

На основе подхода, изложенного в [5,6] для решения обратной измерительной задачи в этой работе было получено нелинейное уравнение относительно искомых коэффициентов ДПФ Кра (I):

Кра(1) =-

Фр (I)

Ф

,(/)|2+*(%\4„(/)|2+О) • я, (/)

• К (/),

I = 0,1,..., N - 1. Введем отношение дисперсий в = (Г2С / О2 и перепишем это уравнение в виде

К ра(0 =

Ф Р (0

|2 | „ |2 Р

Ф,(/) +а(1 + вк „(/) )• Я,(I)

Кр (l), (4)

Заметим, что задать отношение в проще, чем дисперсии о2,о2 в отдельности. Так, если известно, что уровень шума 7](0 в два раза больше уровня ^(0, то отношение в = (0.5)2 = 0.25. Заметим, что если входной

сигнал идентифицируемой системы задан точно, т.е. в= 0 , то выражение (4) переходит в выражение (3) (что и следовало ожидать).

Можно показать, что это нелинейное уравнение (4) имеет единственное решение при значениях а> 0, в > 0 . Для нахождения

решения Кра(1) нелинейного уравнения при

фиксированном параметре регуляризации а можно использовать любой алгоритм решения нелинейного уравнения. Например, схему простой итерации:

Фр (I)

к а (I) = -

I - |2 Л / ч 2

Ф,(/)| +а(1 + в\КК,Ра)(I) ) • Я,(I)

• К (I),

п = 0,1,.... «Точка старта» К(а (I) задается как

ра 1

Ф р (I)

■• Кр (I),

кра«)=р ,2

|Ф р (1)| +а-ЯР (I) '

I = 0,1,..., N -1. (5)

Условие прекращение итераций имеет вид

¿1 ка (I) - Кра а)|:

I=0 __

N-1, ,9

: кра и

< 0.01

(6)

Вычислительный эксперимент показал, что для выполнения условия (6) обычно требуется не более 5-8 итераций.

3. ВЫБОР ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

Проблема выбора параметра регуляризации а является основной при использовании регуляризирующих алгоритмов идентификации на практике. Дело в том, при заниженных значениях а в решении ка(т) будут

присутствовать шумовые составляющие, обусловленные шумами входного и выходного сигналов. При завышенных значениях а из

решения ка (т) будут «удалены»

информативные компоненты функции к (т) . Поэтому в качестве оптимального значения примем значение, доставляющее минимум

а,

орг

функционалу среднеквадратической ошибки [5]:

Д(а) = М

_+| |2 \\ка к

где М [•] - оператор математического ожидания

по ансамблям шумов измерений, вектор к + -нормальное псевдорешение, вычисляемое по точным значениям входного и выходного сигнала и коэффициенты ДПФ которого определяются выражением:

К+а(1) =

Фр (I)

I |2

Ф р (I)

• Кр (I), I = 0,1,...,N -1.

Вычисление аорг требует задания дискретных значений функции к (т) , которые на практике не известны. Поэтому было предложено (для случая точно заданного ядра интегрального уравнения) несколько алгоритмов выбора параметра регуляризации, позволяющих более или менее удачно оценить аорг (например,

[7,8]). В работах [3,9] для оценивания аорг был

предложен критерий оптимальности линейного регуляризирующего алгоритма, который в дальнейшем являлся теоретической основой для построения алгоритмов оценивания аорг при

решении конкретных практических задач (например, см. [5]). Приведем только основные

I=0

понятия и соотношения, необходимые для понимания этого критерия при решении задачи непараметрической идентификации.

Предположим, что входной сигнал задан точно и введем статистику:

Рш (а) = !ТУ;-1еа, (7)

где еа= f - Фка - вектор невязки, Ф - матрица системы уравнений (2), ка - вектор, составленный из значений регуляризированного решения ka(тj), V - ковариационная матрица вектора шума измерения выходного сигнала (в случае некоррелированного шума V = С • I, I - единичная матрица). Тогда в качестве оценки для аор1 принимается величина а^ , для которой выполняется неравенство

д (//2)<РШ (а )<д (1 -/3/2), (8)

где дт (//2), дт (1 -//2) - квантиль распределения с т = Nf степенями свободы уровней //2 и 1 -//2, /3 - вероятность

ошибки первого рода (обычно 0.05) при

проверке статистической гипотезы об оптимальности значения аш.

Для вычисления значения аш,

удовлетворяющего неравенству (8) можно использовать итерационную процедуру относительно величины у = 1/а вида

полагается точное задание значений входного

^ = /п-]) -

Я

(Уп-1))

- т

Я

;(Уп-1))

, п = 1,2,...,

где

т = N

f ■■

/0) « 1 (9) Яш (У) = Рш (1/У) ,

а

В

качестве

значения

К (У) = ~г К (У). ау

аш принимается а = 1/ уш , уш = /п), где -значение у на п - ой итерации, удовлетворяющее условию

дт (32)< Яш (у(п) )<д (1 -32) . (10)

Это означает, что итерационная процедура (9) прекращается, как только выполнится условие (10). Заметим, что (9) является итерационной процедурой нахождения приближенного решения нелинейного уравнения,

(У) = Рш (1/ У) = т окончание которой определяется не «традиционным» условием (10).

В работе [5] предложен эффективный алгоритм вычисления значений функций Яш (У), (У) через соответствующие коэффициенты ДПФ (напомним, что здесь

сигнала, т.е. С = 0):

а, (')

N N-1

Яш (У)~ •

с '=0 у фр (I) + (I)

N N-1

ку)=-N • т

бр (' )Ф р (' )|2

I |2

уф р (') + аР (')

Рр (' )12

Рр (' )12

Видно, что эти соотношения требуют только порядка N вычислительных операций, что обеспечивает высокую вычислительную эффективность вычисления значения Уш и соответственно аш =1 /Уш . Показано, что аш гораздо точнее оценивает аор1 по сравнению

с другими алгоритмами выбора параметра регуляризации (подробнее см. [5,10]). Для иллюстрации изложенного алгоритма выбора параметра регуляризации на рис. 1 приведены следующие «характерные» кривые: кривая 1 -зависимость относительной ошибки

идентификации бк (у) =

к - к + к1/у к

кн

от

величины У, кривая 2 - значений функции

Яш(у), прямые 3 - квантили дт (//2),

дт (1 -//2). Видно, что значения у, при

которых выполняется неравенство (10) соответствуют области минимальных значений относительной ошибки идентификации (относительный уровень шума измерения правой части в этом эксперименте был равен 0.03).

им5

1x10

1 100 им4 им6 1*10" 110'" 1*10"

Рис. 1. Иллюстрация алгоритма выбора параметра у

Попытаемся непосредственно использовать этот критерий для выбора параметра регуляризации при неточно заданном входном сигнале. На Рис. 1 кривая 4 показывает значения относительной ошибки идентификации, которая соответствует относительному уровням шумов: выходного сигнала 0.03, входного сигнала -0.20. Видно, что ошибка идентификации увеличилась и минимум ошибки сдвинулся вправо, а функция Яш (у) (кривая 5)

2

I =0

удовлетворяет условию (10) при тех же значения Yw , что и при точном входном сигнале. Таким образом, использование изложенного выше алгоритма выбора параметра регуляризации не позволяет достаточно точно оценить оптимальный параметр регуляризации при значительном уровне шума входного сигнала.

Попытаемся модифицировать изложенный алгоритм для случая неточно заданного входного сигнала. Для этого воспользуемся подходом работы [6], в которой решалась обратная задача при неточно заданном ядре интегрального уравнения (1). Заменим в статистике (7) ковариационную матрицу Vn на

ковариационную матрицу ^ (ка) «эквивалентного» вектора погрешностей правой части:

Ру Т) = / \К(ка))-1 • ^а =

/•с

О • I + О • КаКТа

,(11)

где матрица Ка составлена из значений вектора регуляризированного решения ка. Для вычис-

т

W

удовлетворяющего

ления значения неравенству

^ (Ь2) < Г (т)<€ (1 -Ь2),

(12)

вновь обратимся к итерационной процедуре относительно величины у = 1 / Т вида

1(п)=1(п-1)- Я 1))

- т

яу(уп-1))

/(0) «1

где

т = N

п = 1,2,..., (13)

еу (у) = ру (1/7),

а

Щу (7) = — ЯV (7). В качестве значения Тw

ау

принимается Ту = 1/ уу , Ту = У^, где у(п) удовлетворяет условию

(Ь2)< Щу (Уп))<*т (1 -Ь2). (14)

Это означает, что итерационная процедура (13) прекращается, как только выполнится

условие (14). Обычно у(0) »10 15 и для

вычисления Ту требуется не более 4-5

итераций процедуры (13). Предлагается эффективный алгоритм

вычисления Еу (у) через коэффициенты ДПФ:

|2 , |2 р (П

- 2 2 „ УФр(/) + (1 + вККра(1) )• 6р(1)

Еу (у)=N •:-—-

/=0 (Соо2 к:ра(/) +О2)

а+в|к;а(/)|2) • яр (/) • Кр (/)

у» NP лт2 а 2

где СО=—— • N • Дг - множитель,

устанавливающий связь между дисперсиями шумов измерения и дисперсиями

коэффициентов ДПФ этих шумов, Дг - шаг дискретизации уравнения (1). Коэффициенты ДПФ К*рт(/) являются решениями нелинейного уравнения (4) для / = 0,...,N -1. Аналогичную формулу можно привести и для вычисления производной Еу(у). Заметим, что вычисление параметра регуляризации в пространстве коэффициентов ДПФ существенно экономит

вычислительные затраты на построение оценки Т.

На Рис. 2 кривой 1 показана зависимость относительной ошибки идентификации ^ (У),

значения Еу (у) показаны кривой 2, штриховыми прямыми 3 - значения $т (Ь2), (1 -Ь2). Те значения у, для

которых значения Еу (у) находятся между этими двумя прямыми являются значениями уу (для них выполняется неравенство (14)). Видно, что эти значения соответствуют области минимальной ошибки идентификации.

Следовательно, предложенный алгоритм выбора параметра регуляризации можно использовать для оценивания оптимального значения параметра регуляризации при высоком уровне шума измерения входного сигнала.

Рис. 2. К выбору параметра регуляризации

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Для ответа на вопрос, какой выигрыш по точности идентификации дает изложенный алгоритм выбора параметра регуляризации по сравнению с алгоритмом, который не учитывает шум измерения входного сигнала, был выполнен многочисленный вычислительный эксперимент. Рассмотрим наиболее интересные результаты этих экспериментов.

В качестве импульсной переходной функции использовалась «колебательная» ИПФ, график которой изображен на Рис. 3.

е

а

Рис. 3. Импульсная переходная функция к(т)

Входной сигнал задавался двумя функциями: «узкополосной» - сплошная кривая на Рис. 4 (обозначим ВХОД1) и «широкополосной» -точечная кривая на Рис. 4 (обозначим ВХОД2). Такой выбор входных сигналов был обусловлен тем, что для широкополосного сигнала обусловленность системы (2) уменьшается и при прочих равных условиях точность оценивания ИПФ возрастает. Количество

отсчетов идентифицируемой к (т^) Ык = 100,

количество отсчетов входного сигнала

t)

Nj = 60, Nf = Nj + Nk -1 = 159 и N = 256. Шаг

дискретизации Dt = 0.022.

Рис. 3. Входные сигнала системы

Относительные уровни шума правой части 6f и шума измерения входного сигнала 5ф

определялись

5Ф = Н, где f,ф

соотношениями:

8 f=ы,

векторы размерности

Nf,Nj, составленные из значений f (tt), j(tj)

соответственно, ||-|| - евклидова норма вектора.

Для ответа на вопрос, какой выигрыш по точности идентификации дает изложенный

© AUTOMATICS & SOFTWARE ENGINERY.

алгоритм выбора параметра регуляризации был введен коэффициент эффективности этого алгоритма выбора, определяемый соотношением:

11к,_ - к + ||

(13)

Keff

ka - k4

где ka

регуляризированное решение, постро-

енное при параметре регуляризации аш , найденном по критерию оптимальности, но без учета шума измерения входного сигнала (статистика (7)), ка - регуляризированное

решение, построенное при параметре регуляризации аш , вычисленным предлагаемым алгоритмом выбора (статистика (9)). Если Кед. больше 1, то предпочтительным является

выбор параметра регуляризации предлагаемым алгоритмом. Заметим, что коэффициент

является случайной величиной, значение которой меняется от одной реализации шумов измерений к другой. Поэтому в качестве неслучайной характеристики использовалось выборочное среднее К^, определяемое выражением:

Keff —

1

N,.

sam

eff

где К^ - коэффициент эффективности,

вычисленный по ' - ой реализации шумов измерений. Объем выборки в эксперименте = 50. _

В таблице приведены значения для двух

входных сигналах и разных 5ф (0.02, 0.05, 0.10,

0.15). Относительный уровень шума измерения выходного сигнала = 0.02.

Таблица

Средние значения коэффициента эффективности

8Ф ВХОД1 ВХОД2

0.02 1.02 0.98

0.05 1.19 1.17

0.10 1.39 1.32

0.15 1.79 1.71

5. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Прежде всего отметим эффект «саморегуляризации», который обуславливается шумами измерений входного сигнала и состоит в следующем. В области малых значений параметра регуляризации ошибки решений при неточно заданном входе (Рис. 1, штриховая кривая) меньше ошибок решений при точном входном сигнале (Рис. 4, сплошная кривая). Величина такого уменьшения пропорциональна уровню шума входного сигнала. Этот эффект можно объяснить тем, что при малых а случайный шум входного сигнала выполняет

W

l=1

своеобразную регуляризацию - квадраты

I ~ / \|2 тттт

Ф (I) коэффициентов ДПФ зашумленного

ядра при больших значений I превалируют в знаменателе выражения (3) над значениями стабилизатора а^р (') и это уменьшает ошибку

вычисления Кра (I) для этих значений I и,

соответственно, вызывает уменьшение общей ошибки регуляризированного решения.

Анализ данных таблицы показывает, что если уровень шума измерения входного сигнала больше уровня шума измерения выходного сигнала, то предпочтительнее оказывается выбор параметра регуляризации предложенный алгоритмом, построенном на основе критерия оптимальности регуляризирующего алгоритма. При этом, чем больше эта разница, тем больше выигрыш по точности идентификации. Так, для отношения 5f / 5ф = 7.5 точность

идентификации увеличивается на 70-80%.

ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты вычислительного эксперимента показывают, что для схем идентификации ИПФ стационарных динамических объектов, где уровень шума измерения входного сигнала существенно выше уровня шума выходного сигнала следует использовать предлагаемые в данной работе регуляризирующий алгоритм и алгоритм оценивания оптимального параметра регуляризации, характерной чертой которых является учет шума измерения входного сигнала. Эти алгоритмы в качестве вычислительной основы используют ДПФ, что обуславливает их высокую вычислительную эффективность и могут обрабатывать сигналы, содержащие несколько тысяч отсчетов. Алгоритмы могут быть обобщены для решения уравнения Фредгольма первого рода с неточно заданным ядром.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1979. - 278 с.

[2] Тихонов А. Н. и др. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. - 231 с.

[3] Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. -Новосибирск: Наука, 1984. - 238 с.

[4] Воскобойников Ю.Е., Крысов Д.А. Непараметрическая идентификация динамической системы при неточном входном сигнале. Автоматика и программная инженерия. 2017. № 4 (22). С. 86-93.

[5] Воскобойников Ю.Е. Устойчивые алгоритмы решения обратных измерительных задач. Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2007. - 184 с.

[6] Воскобойников Ю.Е., Литасов В.А. Устойчивый алгоритм восстановления изображений при неточно заданной аппаратной функции. Автометрия. 2006. № 6. С. 13-22.

[7] Lukas M. A. Comparison of parameter choice methods for regularization with discrete noisy data. Inverse Problem. 2000. V. 14, № 2. P. 161-184.

[8] Urmanov A.M., Gribok A. V., Bozdogan H., Hines J. W., Uhrid R. E. Information complexity-based regularizing parameter selection for solution of ill-posed inverse problems. Inverse problems. 2002. V. 18, № 3.

[9] Воскобойников Ю. Е. Оценивание оптимального параметра регуляризирующего алгоритма восстановления изображений. Ю. Е. Воскобой-ников. Автометрия. 1995. № 3. С. 64-72.

[10] Воскобойников Ю. Е. Численная реализация и сравнение четырех способов выбора параметра регуляризации в устойчивых алгоритмах деконволюции. Научный вестник НГТУ. 2004. № 2 (17). С. 27-44.

Юрий Евгеньевич Воскобойников, выпускник кафедры автоматики НГТУ (НЭТИ), доктор физ.-мат. наук, профессор, Заслуженный работник Высшей школы РФ, Соросовский профессор,

действительный член МАИ,

РАЕ, МАН ВШ, заведующий кафедрой прикладной математики Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета

(Сибстрин), профессор кафедры автоматики НГТУ. Автор более 290 публикаций, 6 монографий, посвященных решению некорректных задач интерпретации данных и обработке сигналов и изображений, и большого числа учебников и учебных пособий.

Новосибирск, 530073, просп. К. Маркса, д.20

E-mail: voscob@mail.ru

Данила Алексеевич Крысов,

аспирант кафедры Автоматики Новосибирского государственного технического университета. Автор ряда научных статей. Область научных интересов: вейвлет-фильтра-ция, идентификация систем. Новосибирск, 530073, просп. К. Маркса, д.20

E-mail: danial-

patriot@yandex.ru

Статья поступила 4 мая 2018 г.

The Algorithm for Identifying the Impulse Response Function at a High Noise Level of

Measuring the Input Signal of the System

Yu.E. Voskoboinikov1,2, D. A. Krysov2 Novosibirsk State Architectural and Construction University (Sibstrin), Novosibirsk, Russia 2FGBOU VO Novosibirsk State Technical University, prosp. Karl Marx, 20, Novosibirsk, Russia

Abstract-Volter's integral equation of the first kind with a difference kernel is often used as a model of a stationary dynamical system. For such a model, the nonparametric identification problem consists in estimating this difference kernel (called the impulse response function) from the measured values of the input and output signals of the dynamical system being identified. As you know, this problem is ill-posed problem, i.e. the solution may not exist, be uniqueness and be unstable with respect to the errors (measurement noise) of the original data. To obtain a unique stable (but approximate) solution, various methods of regularization are used, in particular, the regularization method A.N. Tikhonov. In this case (with respect to the identification problem), it is assumed that the input signal (the kernel of the integral equation) is specified exactly, and the output signal of the system is registered with some random error. However, this assumption is rarely satisfied in practice, as the input and output signals of the system are measured with random measurement noise. Not taking into account the noise of measuring the input signal of the identified system leads to an increase in the identification error in comparison with the optimal (i.e., the minimum possible identification error). In this paper, we propose a stable identification algorithm in which the noise of the measurement of the input signal (as well as the noise of the measurement of the output signal) is taken into account both in the construction of the regularized solution itself and in the choice of the regularization parameter. This parameter significantly affects the accuracy of the resulting regularized solutions. Therefore, a statistical algorithm for choice the regularization parameter is constructed, which takes into account the dispersion of the noise in the measurement of the input signal and allows us to estimate with an acceptable accuracy the optimal value of the regularization parameter. The performed computational experiment showed a higher accuracy of the proposed identification algorithm in comparison with the regularizing algorithms, which do not take into account the noise of the measurement of the input signal.

Keywords: nonparametric identification problem, Volterra integral equation of the first kind, ill-posed problems, the identification regularizing algorithm, regularization parameter, errors of the regularized solution of the identification problem, estimation of the optimal regularization parameter, efficiency of the proposed identification algorithm

REFERENCES

[1] Tikhonov A.N., Arsenin V.YA. Metody resheniya nekorrektno postavlennykh zadach. M.: Nauka, 1979. - 278 s.

[2] Tikhonov A. N. i dr. Chislennyye metody resheniya nekorrektnykh zadach. M.: Nauka, 1990. - 231 s.

[3] Voskoboynikov YU.Ye., Preobrazhenskiy N.G., Sedel'nikov A.I. Matematicheskaya obrabotka eksperimenta v molekulyarnoy gazodinamike. -Novosibirsk: Nauka, 1984. - 238 s.

[4] Voskoboynikov YU.Ye., Krysov D.A. Neparametricheskaya identifikatsiya dinami-cheskoy sistemy pri netochnom vkhodnom signale. Avtomatika i programmnaya inzheneriya. 2017. № 4 (22). S. 86-93.

[5] Voskoboynikov YU.Ye. Ustoychivyye algoritmy resheniya obratnykh izmeritel'nykh zadach. Novosibirsk: NGASU (Sibstrin), 2007. - 184 s.

[6] Voskoboynikov YU.Ye., Litasov V.A. Ustoychivyy algoritm vosstanovleniya izobrazheniy pri netochno zadannoy apparatnoy funktsii. Avtometriya. 2006. № 6. S. 13-22.

[7] Lukas M. A. Comparison of parameter choice methods for regularization with discrete noisy data. Inverse Problem. 2000. V. 14, № 2. P. 161-184.

[8] Urmanov A.M., Gribok A. V., Bozdogan H., Hines J. W., Uhrid R. E. Information complexity-based

regularizing parameter selection for solution of ill-posed inverse problems. Inverse problems. 2002. V. 18, № 3.

[9] Voskoboynikov YU. Ye. Otsenivaniye optimal'nogo parametra regulyariziruyushchego algoritma vosstanovleniya izobrazheniy. YU.Ye. Vosko-boy-nikov. Avtometriya. 1995. № 3. S. 64-72.

[10] Voskoboynikov YU. Ye. Chislennaya realizatsiya i sravneniye chetyrekh sposobov vybora parametra regulyarizatsii v ustoychivykh algoritmakh dekonvolyutsii. Nauchnyy vestnikNGTU. 2004. № 2 (17). S. 27^4.

Yury Evgenievich Voskoboinikov,

doctor of physical and mathematical sciences. in Economics, Professor, Honored Worker of the Higher School of Russia, Soros Professor, Full Member of the MAI, RAE, MAN VS, Professor, Automation Department, NSTU.

Head of the Department of Applied Mathematics of the Novosibirsk State Architectural and Construction University (Sibstrin). He is the author of more than 300 scientific publications, 6 monographs devoted to solving ill-posed problems of data interpretation and signal and image processing, 16 textbooks and teaching aids. Novosibirsk, prosp. K. Marx, 20 E-mail: voscob@mail.ru

Danila Alekseevich Krysov, postgraduate student of Automation Department of Novosibirsk State Technical University. Author of several scientific articles. Research interests: wavelet filtration, identification of systems. Novosibirsk, prosp. K. Marx, 20 E-mail: danial-patriot@yandex.ru

The paper was received on May 4, 2018.