Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Cloud of Science. 2016. T. 3. № 2 http://cloudofscience.ru ISSN 2409-031X

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых

А

факторов

Томас Л. Саати

Питтсбургский университет Питтсбург, штат Пенсильвания, США

e-mail: saaty@katz.pitt.edu

Аннотация. По словам великого французского математика Анри Лебега, прямое сравнение альтернатив по какому-либо признаку является фундаментальной математической процедурой для получения измерений. Измерение признаков альтернатив с применением известной шкалы с последующим их сравнением хорошо работает для признаков, для которых шкалы существуют. Данная статья о том, что прямые сравнения необходимы для получения измерений нематериальных (неосязаемых) факторов, для которых не существует шкал измерения. В этом случае значение, полученное для каждой альтернативы, зависит от того, с какими альтернативами она сравнивалась. Мы покажем, как шкалы отношений могут быть получены посредством парного сравнения с использованием числовых суждений на основе абсолютной шкалы чисел. Такие измерения, при которых используются сравнения, могут быть связаны и объединены, чтобы определить кардинальные шкалы абсолютных чисел, которые лучше, чем шкалы отношений. Такие шкалы необходимы в случаях, когда требуется складывать и перемножать нематериальные (неосязаемые) факторы между собой и с материальными факторами. Для систематичного определения и синтеза шкал отношений факторы располагаются в иерархической или сетевой структуре и измеряются в соответствии с критериями, представленными в рамках этих структур. Процесс выполнения сравнений для получения шкал измерения иллюстрируется на двух примерах практических решений из реальной жизни: иранской ядерной схватки с Западом в этом десятилетии и строительства Дисней-парка в Гонконге в 2005 г. Далее выполнено обобщение на случай непрерывных сравнений с помощью уравнения Фредгольма второго рода, решение которого приводит к функциональному уравнению. Преобразование Фурье решения этого уравнения в комплексной области является суммой распределений Дирака, что демонстрирует, что пропорциональный отклик на стимулы является процессом возбуждения и синтеза возбуждения, как это происходит с нейронами головного мозга.

1 Статья представлена автором для перевода и публикации на русском языке.

Пер. с англ.: Д. А. Бирюков, Л. А. Демидова. Редактор перевода: д. т. н., проф. Л. А. Демидова

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Преобразование Фурье решения этого уравнения в области действительных чисел приводит к почти обратно пропорциональным квадрату откликам на естественные стимулы. В статье приведены различные обобщения и критика предлагаемого подхода.

Ключевые слова: метод анализа иерархий, сравнения, разрешение конфликтов, решение, собственное значение, функциональное уравнение, иерархия, нематериальные (неосязаемые) сущности, суждение, измерение, сеть, возбуждение нейронов, чувствительность, синтез.

1. Введение

Мы просим заинтересованного, но, возможно, нетерпеливого читателя остаться с нашим повествованием до конца, чтобы увидеть, как математические идеи, представленные здесь, применимы к сферам человеческого мышления, которые считались выходящими за пределы области математики.

Предмет настоящей работы — принятие решений, должен представлять интерес для каждого человека, и прежде всего для математиков, потому что, хотя аспекты порядка и приоритета хорошо исследованы в математике, они не были изучены таким образом, чтобы сделать их применимыми в жизни людей. Каждый человек постоянно должен принимать решения, и сложность нашего мира с численностью населения более 6,8 миллиардов человек требует все в большей и большей степени рассмотрения разнообразных вариантов принятия решений. При этом могут возникать так называемые конфликты интересов, разрешение которых достигается в процессе принятия решений.

Многие люди, в том числе математики, мышление которых базируется на использовании декартовых осей координат на основе шкал измерения, считают, что есть только один способ измерить сущности, и он предполагает наличие физической шкалы измерения с началом отсчета и некоторой естественной единицей измерения. Но это не так. Удивительно, но мы также можем сформировать точные и надежные шкалы отношений, у которых нет начала отсчета или единицы измерения при помощи нашего понимания и суждений, являющихся наиболее фундаментальными первопричинами, определяющими, почему мы хотим измерить что-нибудь. В повседневной жизни мы пользуемся такими шкалами постоянно и делаем это подсознательно, не задумываясь. Физические шкалы помогают нашему пониманию и использованию сущностей, которые мы уже знаем, как измерить. Так как показания, полученные с физической шкалы, имеют произвольную единицу измерения, то сначала они должны быть интерпретированы специалистом-экспертом, и только потом, согласно этой интерпретации, мы сможем понять, насколько объект соответствует нашим потребностям. Но количество сущностей,

которые мы не знаем как измерить, гораздо больше, и весьма маловероятно, что мы когда-нибудь найдем способы измерить все с применением шкалы с единицей измерения, потому что, в отличии от физических сущностей, большинство наших идей, чувств, поведение и действия не являются зафиксированными раз и навсегда, а изменяются время от времени, и от одной ситуации к другой. Шкалы измерения являются изобретениями технологического ума. Наши разум и способы понимания всегда были и всегда будут с нами. Работа разума может быть представлена в виде работы электрического устройства из нейронов, чье возбуждение и синтез дают осмысление и понимание того, что нам нужно, чтобы выжить в сложном мире. Но насколько мы можем положиться на наш разум? Ответ на этот вопрос зависит от того, насколько хорошо мы знаем явления, относительно которых мы применяем наши суждения, и насколько хорошо эти суждения представляют наше понимание. В личных делах мы лучшие судьи по поводу того, что может быть хорошо для нас. В ситуациях с участием большого числа людей необходимо учитывать все имеющиеся суждения. Как показывает практика, всегда есть люди, которые являются экспертами в каких-то областях, и их решения имеют приоритет над суждениями тех, кто знает меньше.

В математике мы имеем два принципиально различных вида топологий: метрическую топологию и топологию порядка. Метрическая топология позволяет оценить, какое количество определенного атрибута имеет элемент при измерении по шкале с началом отсчета и единицей измерения, применяемой для измерения всех объектов по отношению к данному свойству. Произвольность единицы измерения требует необходимости использования суждения экспертом для определения смысла числовых результатов в отношении наблюдений и сравнения их с тем, что было известно раньше. К полученным таким образом результатам измерений при наличии смысла могут применяться те или иные арифметические операции. Например, имеет смысл выполнять арифметические операции для показаний веса и длины, измеренных на пропорциональной шкале, но не для показаний температуры на интервальной шкале Фаренгейта или шкале Цельсия. Показания, которые используют различные метрики по отношению к различным атрибутам, объединяются в физике с использованием соответствующей формулы. Часто метрические свойства относятся к измерению признаков физического мира, изучаемых в физике, астрономии, технике и экономике.

Топология порядка связана с измерением доминирования одного элемента над другими по общему признаку. Порядковые свойства принадлежат ментальному миру с учетом важности его событий в соответствии с человеческими ценностями, предпочтениями и оценкой вероятностей. В связи с этим всегда необходимо наличие тех или иных суждений еще до того, как будут произведены измерения, а не

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

после их выполнения, как в случае с метрическими свойствами. Результаты таких числовых измерений известны как «приоритеты». В топологии порядка все измерения сводятся к приоритетам.

В статье мы намерены описать принципиально новую парадигму измерения, которая имеет множество практических применений, потому что она делает возможным для нас иметь дело с нематериальными (неосязаемыми) факторами наряду с материальными, используемыми в науке, реалистичным и обоснованным способом. При этом необходимо, чтобы читатель знал, где и как использовался этот метод принятия решений. Среди многих приложений, созданных компаниями и правительствами, теперь, пожалуй, исчисляемых в тысячах, метод анализа иерархий (МАИ; the Analytic Hierarchy Process; AHP) был использован компанией IBM в рамках стратегии по улучшению качества проектирования компьютера AS/400, позволившей получить престижную Национальную Премию Качества Малкольма Болдриджа (Malcolm Baldrige National Quality Award) [1]. В 2001 году МАИ был использован, чтобы определить наилучшее место для переселения людей после землетрясения, разрушевшего турецкий город Адапазары (Adapazari). Компания British Airways использовала этот метод в 1998 году, чтобы выбрать поставщика мультимедийной системы для всего своего парка самолетов. В 1987 году МАИ был использован, чтобы выбрать лучший тип платформы для бурения нефти в Северной Атлантике. Платформа стоила около 3 миллиардов долларов, но стоимость сноса была еще более значимым фактором в принятии решения. МАИ был применен к конфликту между США и Китаем в борьбе за соблюдение прав интеллектуальной собственности в 1995 году, когда граждане Китая нелегально копировали и распространяли музыку, видео и программное обеспечения на лентах и компакт-дисках. Практическое применение МАИ с использованием трех иерархий для выгоды, издержек и рисков показало, что гораздо лучше для США не применять санкции к Китаю. Вскоре после того, как исследование было завершено, США наделили Китай статусом наиболее благоприятной торговой страны и не стали накладывать санкции. Корпорация Xerox использовала МАИ при выделении около миллиарда долларов для своих научно-исследовательских проектов. В 1999 году Ford Motor Company использовала МАИ при установлении приоритетов критериев, которые повышают степень удовлетворенности клиентов. Форд наградил компанию Expert Choice Inc премией Award for Excellence за помощь в достижении большего успеха со своими клиентами. В 1986 году поддерживаемый правительством Институт Стратегических Исследований (Institute of Strategic Studies) в Претории использовал МАИ для анализа конфликта в Южной Африке и рекомендовал осуществить освобождение Нельсона Манделы, а затем отказаться от апартеида и предоставить полное гражданство и равные права черному большинству. Все эти рекомендации бы-

ли быстро реализованы. МАИ был использован в задачах принятия решений о зачислении студентов, о продвижении по службе военнослужащих, о приеме на работу. В спорте МАИ был использован в 1995 году, чтобы предсказать, какая футбольная команда поедет на суперкубок и выиграет (результат оказался верным — команда Далласа выиграла у команды моего родного Питтсбурга). МАИ был применен в бейсболе, чтобы проанализировать, какие из игроков Сан-Диего Падрес (San Diego Padres) должны быть оставлены в команде. Есть целый ряд применений идей МАИ в военной сфере, которые не могут быть перечислены здесь. Интересно, что МАИ был использован в Китае десятки раз, чтобы определить места для строительства плотин и других инженерных сооружений. Мы не успеваем отслеживать все применения МАИ, однако существует соответствующее международное общество, которое раз в два года проводит свои заседания на Международных Симпозиумах по МАИ (International Symposiums on the Analytic Hierarchy Process, ISAHP) и сообщает о новых исследованиях и практических приложениях МАИ.

2. Измерение

В науке измерения факторов с различным соотношением шкал объединяются с помощью формул. Формулы применяются в структурах, включающих в себя переменные и их отношения. Каждая шкала имеет нуль в качестве координат и произвольную единицу измерения, применяемые для всех измерений на этой шкале, но, как мы уже говорили ранее, смысл единицы измерения остается неуловимым и становится более понятным после практических применений в соответствии с решением экспертов относительно того, насколько хорошо она соответствует пониманию и опыту или удовлетворяет законам природы, которые всегда необходимо учитывать. Наука измеряет объекты объективно, но интерпретирует значения измерений субъективно. Из-за разнообразия влияний, с которыми связано принятие решений, нет никаких установленных законов для описания деталей процесса принятия каждого конкретного решения. Понимание необходимо для структурирования проблемы и дальнейшего формирования суждения. В процессе принятия решений шкалы приоритетов создаются объективно после того, как сделаны субъективные суждения. Этот процесс является противоположным тому, который наблюдается в науке.

До того как принятие решений стало рассматриваться в качестве науки в конце XX века, метрические свойства были парадигмой, которую люди изучили и использовали в своих знаниях в области науки, техники, экономики, бизнеса и исследования операций. Не так много было известно о сортировке объектов по многим признакам. Люди видели мир с точки зрения различных метрик и порядок определялся эвристически в соответствии с метрическими свойствами. Даже люди с опытом ра-

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

боты в области проектирования и исследования операций, которые изучают процесс принятия решений, пытаются развивать свои теории в терминах метрических свойств. Измерения требуют суждений людей, чтобы определить их важность, исходя из которой определяются порядок и приоритеты мер. Измерение приоритетов должно избегать применения метрических свойств, оно должно выполняться в терминах свойств порядка. Единственная возможная для использования шкала, охватывающая одновременно измерение и порядок, — это абсолютная шкала (инвариантная относительно тождественного преобразования). Люди склонны сопротивляться новым парадигмам, и многие из них безуспешно пытаются искать решения в рамках старой парадигмы метрик. Но топология порядка не является метрической топологией, а представляет из себя совершенно иную идею. Порядок не может быть логически получен метрически с точки зрения того, насколько близки сущности. Например, минимизация различий не гарантирует наилучшего порядка, как показано на следующем примере, в отличие от транзитивности порядка. Обратите внимание, что решения с взаимозависимостью могут привести к транзитивности вдоль циклов (как водоворот или циклон, хвост которого доминирует сильнее, чем его голова). Такая транзитивность в теории не должна быть возможной, она неизбежно приведет к несогласованности.

Число есть абстракция, часто используемая тремя способами: чтобы обозначать сущности, чтобы считать сущности и чтобы их измерять. Обозначение сущностей номерами является наименее полезным применением идеи числа. Подсчет является систематическим способом исчисления сущностей, чтобы иметь представление об их количестве. В этом случае числа указывают величину или количество. Они не нуждаются в единице измерения. Число 5 определяет любой набор из пяти элементов. С помощью чисел мы можем оценить кратность одного набора элементов по отношению к другому. Результат такой оценки является абсолютным числом. Это число не может быть изменено на какое-либо другое значимое число, чтобы указать кратность одного элемента по отношению к другому. Поэтому когда мы при сравнении сущностей делаем суждения, мы используем абсолютные числа.

Сейчас мы дадим краткое обоснование необходимости использования сравнений и особенно парных сравнений, чтобы получить шкалы отношений, необходимые для измерения нематериальных (неосязаемых) сущностей, которые присутствуют в изобилии во многих областях науки и в многокритериальном принятии решений. Наша цель состоит в том, чтобы рассмотреть некоторые из основных моментов процесса сравнения, показать, к чему он приводит, когда используются дискретные оценки, а также выполнить обобщение идей на непрерывный случай, когда в процесс принятия решений вовлекаются органы чувств (т. е. применяются непрерывные суждения). Будучи относительным процессом, процесс сравнения

приводит к результатам, которые идут против сути прямого измерения. В последнем случае измерения применяются непосредственно к каждому объекту, независимо от остальных объектов. И совсем не так при относительном измерении, когда полученные числа зависят друг от друга.

3. Необходимость сравнений [2-4]

Задолго до того, как шкалы измерения были изобретены, люди не имели никакого прямого способа измерения, потому что у них не было шкал, и они должны был сравнивать сущности друг с другом или относительно стандарта, чтобы определить их относительный порядок. Мы до сих пор используем такой способ упорядочения, и он по-прежнему необходим и ощутимо востребован, особенно, когда мы не можем измерить сущности. Одна из причин применения такого способа упорядочения может быть связана с тем, что мы не имеем инструмента или шкалы для изменения. Другая причина заключается в том, что мы можем верить, что результат сравнения, основанный на наших суждениях, будет лучше соответствовать нашим представлениям, чем результат с использованием шкалы измерения, которая не была подобрана конкретно для нашего случая. Третья причина может состоять в том, что нет никакого известного способа измерить некоторые сущности: политическую эффективность, счастье, эстетическую привлекательность. Древние люди использовали свое суждение, чтобы упорядочить сущности. Они делали это, сравнивая две сущности в определенный момент времени, чтобы определить, какая из них больше или более предпочтительна. Повторяя процесс сравнения, они получили полное упорядочение объектов без присвоения им числовых значений. После этого они могли ранжировать объекты: первый, второй и так далее. Но при использовании множества критериев не так легко объединить порядки, полученные для различных критериев с целью получения общего порядка, если только нет связанного с каждым частным порядком набора чисел, которые в некотором смысле соизмеримы таким образом, что они могут быть объединены с применением других чисел (весов или приоритетов?), связанных с критериями.

Как так получается, что Рене Декарт — гений, который изобрел системы осей с единицами измерения для представления функций, полученных в науке и технике, — не смог обоснованно отобразить на своих осях важность таких понятий, как политика, социальные ценности, любовь и ненависть и пр., с которыми мы имеем дело ежедневно? Это произошло потому, что измерение этих понятий варьируется от одной ситуации к другой, а сами они зависят от системы ценностей, которая у каждого человека своя собственная. Таким образом, важность данных понятий не может быть измерена раз и навсегда, она должна определяться с точки зрения наших ценностей в индивидуальном порядке. Единственный способ измерить такие

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

понятия — это сравнить их относительную важность по отношению к некоторой более высокой цели. Эти сравнения являются относительными и никогда не могут быть заменены измерениями на неизменных конкретных шкалах, позволяющих измерить, например, метры и килограммы. На основе сравнений мы можем получить шкалу приоритетов в относительных величинах. Сначала формируются суждения, а на их основе — приоритеты.

Наши теории и знания в области науки основаны на числах, полученных в процессе измерения свойств, таких как длина, масса, температура и время, которые мы рассматриваем в качестве материальных критериев. Но есть множество нематериальных (неосязаемых) критериев, для которых у нас нет никакой шкалы измерения. Кое-то попытался выполнить измерения для них с точки зрения некоторой общей единицы, такой как деньги, но не все они имеют экономическую ценность, разве что с большой и ненадежной натяжкой. Чем обладают наши умы, чтобы иметь дело с нематериальными (неосязаемыми) сущностями и суметь привязать их осмысленно к материальным сущностям, которые мы знаем, как измерить?

Великий математик Анри Лебег, который занимался вопросами теории меры и измерения, [5] писал: «Казалось бы, что принцип экономики всегда будет требовать, чтобы мы оценивали отношения непосредственно, а не в виде отношения измерений. Однако, на практике, все длины измеряются в метрах, все углы — в градусах, и так далее; то есть мы используем вспомогательные единицы измерений, обладающие, как кажется, только одним недостатком, связанным с необходимостью двух измерений вместо одного. Иногда это связано с экспериментальными трудностями или отсутствием возможности прямого сравнения расстояний или углов. Но есть и другая причина. В геометрических задачах, например, нужно сравнить две длины и только эти две. На практике же возможны ситуации, когда имеются сотни длин и необходимо выполнить их попарное сравнение всеми возможными способами. Тогда самой предпочтительной и экономичной процедурой будет процедура измерения каждой новой длины. Однократное измерение каждой длины, выполненное с достаточной точностью, позволит получить любые отношения между длинами. Это объясняет тот факт, что на практике сравнения никогда или почти никогда не производятся напрямую, а только через сравнения с использованием стандартной шкалы».

Лебег не стал сильно углубляется в вопрос о том, почему мы вынуждены делать сравнения. Когда мы имеем дело с неметериальными (неосязаемыми) факторами, которые по определению не имеют шкалы измерения, мы можем сравнить их попарно. Способностью к сравнениям обладает любой нормальный человек. При этом он способен не только указать предпочитаемый объект, но и оценить интенсивность предпочтения.

В течение очень долгого времени люди верили и горячо утверждали, что невозможно выразить с помощью чисел интенсивность наших чувств. Воплощением такой веры были работы А. Ф. МакКей (A. F. MacKay), который писал [6], что попытки применения в этом случае количественных подходов сравнимы с преследованием того, что не может быть поймано. Этого же мнения придерживались Дэвис (Davis) и Херш (Hersh) [7], утверждавшие, что будучи людьми, «мы будем обладать такими сущностями, как эмоции, убеждения, отношения, мечты, намерения, ревность, зависть, сожаление, тоска, гнев, сострадание и многие другие. Эти сущности принадлежат внутреннему миру человека и никогда не могут быть математизированы». Лоуренс Ле Шан (Lawrence LeShan) и Генри Маргенау (Henry Margenau) в своей книге «Пространство Эйнштейна и небо Ван Гога: физическая реальность и за ее пределами» (Macmillan, 1982) пишут: «Мы не можем, как мы уже указывали ранее, количественно наблюдать области сознания. Там нет никаких правил, которые позволили бы нам количественно оценить наши чувства. Мы можем сделать заключения относительно интенсивности чувств, но мы не можем выйти за пределы этого. Я могу сказать: я чувствую себя злее на него сегодня, чем я был вчера. Но мы не можем, однако, сделать такие значимые заявления, как "я чувствую себя в три с половиной раза злее, чем я был вчера"».

Лауреат Нобелевской премии Анри Бергсон (Henri Bergson) в главе 1 «Интенсивность психических состояний» своей работы «Время и свободная воля: эссе о непосредственных данных сознания» (переведенной в 1910 году) писал: «Но даже противники психофизики не видят никакого вреда в описании одного ощущения как более интенсивного, чем другое, одного усилия как большего, чем другое, и, таким образом, в создании количественных различий между чисто внутренними состояниями. Кроме того, здравый смысл не имеет ни малейшего колебания в вынесении своего вердикта по этому вопросу: люди говорят, что им более или менее тепло, или что они более или менее печальные, и использование слов "более" и "менее", даже когда они переносятся в область субъективных фактов и редких объектов, никого не удивляет».

Большая часть количественных рассуждений в экономике опирается на теорию полезности, являющуюся основой в лотереях и пари, и тем самым косвенно соотносит Преимущества, Взможности и Расходы в рамках единой системы Рисков. Но лотереи глубоко укоренились в массовом обмене денег, и не имеет смысла приравнивать нематериальные (неосязаемые) сущности, такие как любовь и счастье, к деньгам. Кроме того, реальная стоимость денег варьируется среди людей и может быть оценена через полезность. Полезности измеряются с помощью шкалы интервалов, как, например, температура. Они не могут быть просуммированы или умно-

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

жены и малопригодны, когда необходимо принять решение об объектах со многими атрибутами, а также субатрибутами.

Как можно измерить сущности таким образом, чтобы учесть их влияние друг на друга? Нам нужны числа, которые не нуждаются в единице измерения и начале отсчета при их определении. Что это за числа? Ранее рассмотренные абсолютные числа не нуждаются в определении в терминах единицы измерения или начала отсчета. Абсолютное число показывает, во сколько раз что-либо больше. Пусть для пары элементов меньший элемент является единицей измерения, тогда, используя абсолютное число, можно показать, во сколько раз больше другой элемент.

Числа, полученные на основе сравнений, являются специфическими для каждой конкретной ситуации, которая определяет доминирование одного элемента по отношению к другому, и не могут быть использованы в общем случае, как наши стандартные шкалы с нулем и единицей, которые применимы в любой ситуации. Эти числа известны как приоритеты. В следующем разделе мы рассмотрим пример того, как приоритеты выводятся для материальных сущностей, чтобы мы могли сравнить результаты с реальными измерениями (в терминах относительных величин). Кроме того, мы введем использование чисел для представления суждений. Как уже упоминалось выше, эти числа относятся к абсолютной шкале и могут быть использованы во всех ситуациях принятия решений.

4. Фундаментальная шкала

Когда мы используем суждения для определения доминирования при выполнении сравнений альтернатив и, в частности, когда критерий сравнения является нематериальным (неосязаемым), вместо того, чтобы использовать два числа щ и

Wj из шкалы для определения их отношения щ / щ, мы выбираем одно число из фундаментальной шкалы абсолютных чисел от 1 до 9 (шкалы 1-9), приведенной в табл. 1, чтобы представить отношение (щ/щ )/1. Это ближайшее целое приближение к отношению щ/щ.

Фундаментальная шкала описывает степень предпочтения 7-й альтернативы по отношению к]'-й альтернативе с помощью абсолютных чисел. Для вычисления степени предпочтения ]'-й альтернативы по отношению к 7-й альтернативе необходимо разделить единицу на абсолютное число, определенное при описании степени предпочтения 7-й альтернативы по отношению к]'-й альтернативе.

Мы предполагаем, что критерии и альтернативы с нулевыми весами не участвуют в процессах сравнения, так как нулевые веса можно приписать всем объектам, которые не имеют отношения к рассматриваемой проблеме.

Таблица 1. Фундаментальная шкала абсолютных чисел

Степень предпочтения Определение Комментарий

1 Отсутствие предпочтения Две альтернативы одинаково предпочтительны с точки зрения цели

2 Слабое (легкое) предпочтение

3 Умеренное (среднее) предпочтение Опыт эксперта позволяет считать одну из альтернатив немного предпочтительнее другой

4 Предпочтение чуть выше среднего

5 Заметное предпочтение Опыт эксперта позволяет считать одну из альтернатив значительно предпочтительнее другой

6 Очень заметное предпочтение

7 Сильное (очевидное) предпочтение Опыт эксперта позволяет считать одну из альтернатив гораздо предпочтительнее другой: доминирование альтернативы подтверждено практикой

8 Очень сильное предпочтение

9 Абсолютное предпочтение Очевидность подавляющей предпочтительности одной альтернативы над другой имеет неоспоримое подтверждение

1.1-1.9 Когда альтернативы очень близки, к оценкам степеней предпочтительности добавляются маленькие десятичные числа для описания различий между альтернативами Это удобный способ сравнения двух близких альтернатив, например, с использованием той же шкалы 1-9 в пределах интервала (1, 2), в процессе сравнения с другими более контрастирующими альтернативами

Обратные значения оценок предпочтения Если предпочтительность г'-й альтернативы по сравнению с /-й имеет одно из приведенных выше значений, то оценка предпочтительности /-й альтернативы перед г'-й будет иметь обратное значение Логическое допущение

Измерения в шкале отношений Применяются в случаях, когда желательно использовать эти числа в физических приложениях. Альтернативно можно оценивать отношения таких величин с использованием суждений

Данная фундаментальная целозначная шкала, используемая при выполнении парных сравнений суждений, может быть получена математически из известной психофизической логарифмической функции отклика Вебера-Фехнера (psychophysical logarithmic response function of Weber-Fechner) [8].

В 1846 году Вебер обнаружил, что, например, люди, держа в руках предметы с разным весом, могут различить веса в 20 г и 21 г, но не могут сделать это же, если второй вес составляет всего 20.5 г. При этом люди не могут различить веса в 40 г и 41 г, но могут это сделать для весов в 40 г и 42 г, и так далее (при последующем увеличении весов). Следовательно, необходимо увеличивать величину стимула s, добавляя к нему минимальную величину As, чтобы достичь состояния, когда наше восприятие уже сможет различить s и s + As При этом величину As можно назвать

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

едва заметным различием [Just Noticeable Difference (JND)] или порогом различимости. Отношение r = As/s не зависит от величины стимула s. Закон Вебера утверждает, что изменение восприятия отмечается при увеличении стимула на постоянную долю самого стимула. Этот закон имеет место, если величина As мала по сравнению с величиной стимула s и не выполняется на практике, когда величина стимула s либо слишком мала, либо слишком велика. Агрегирование или декомпозиция стимулов по мере необходимости в кластеры или иерархии уровней является эффективным способом расширения применимости этого закона.

В 1860 г. Фехнер (Fechner) [8], основываясь на законе Вебера, пришел к следующему выводу: для заданной величины стимула величина отклика остается постоянной до тех пор, пока стимул не изменится настолько, чтобы его относительное приращение стало достаточным для изменения величины отклика. Этот вывод хорошо ассоциируется с концепцией о едва заметных различиях (о порогах различимости), хорошо известной в психологии.

Таким образом, начиная с величины стимула s0, последовательность величин новых стимулов может быть задана в виде

S1 = s0 + As0 = s0 +— s0 = sc(l + r), s0

s2 = Sj + As = s(1 + r) = s0(1 + r)2 = s0a2,

s„ = s„-ia = soa" (." = 0,1, 2,...)•

Мы предполагаем, что отклики на эти стимулы можно измерить с помощью

шкалы отношений. При этом типичный отклик имеет вид Mi = a log a' , (i = 1, n), т. е.

M = a log a, M2 = 2a log a, ..., Ми = na log a.

Далее мы вычисляем отношения Mi/Ml, (i = 1, n) этих откликов, при этом первый отклик является наименьшим и может служить единицей сравнения. В итоге мы получаем целые значения 1, 2, ..., n фундаментальной шкалы МАИ.

Оказывается, что положительные целые числа в полной мере отвечают нашей способности делать сравнения и что они не были случайным изобретением наших далеких предков. Мы можем заметить, что люди способны упорядочить вербальные оценки Высокий, Средний, Низкий без применения математики, а затем сделать то же самое внутри каждой из этих трех категорий и получить в результате девять различных категорий. Тогда минимальному уровню (Низкий, Низкий) будет соответствовать значение 1, а максимальному (Высокий, Высокий) — значение 9. Таким способом можно охватить весь спектр возможных значений между двумя

уровнями, назначая значение оценки 9 при сравнении самого лучшего объекта с самым худшим.

Как мы увидим в разделе 6, мы не должны рассматривать более 7 + 2 альтернатив из-за возможного увеличения «несогласованности» при сравнении более чем 7 альтернатив. Отметим, что фундаментальная шкала соотнесена с важностью, которую мы приписываем нашим суждениям. Если у нас есть точное измерение, такое как 2.375, и мы хотим использовать его в том виде, как оно есть, для нашего суждения, не назначая ему степень важности, мы можем использовать его значение без какой-либо аппроксимации. Известно, что небольшие изменения в суждениях приводят к небольшим изменениям в выведенных приоритетах [Wilkinson, 9].

В ситуациях, когда шкалы 1-9 недостаточно для покрытия всего спектра сравнений, т. е. когда сравниваемые альтернативы неоднородны, как, например, при сравнении вишни, помидора и арбуза в соответствии с размером, следует использовать разбиение альтернатив на кластеры так, чтобы кластеры были упорядочены от худшего к лучшему и связаны последовательно между собой некоторой общей альтернативой, а в пределах каждого кластера использовать шкалу 1-9. Тогда результирующая шкала может быть расширена на столько, на сколько это необходимо. При этом сами кластеры определяются относительной величиной приоритетов альтернатив в каждом из них. Если приоритет альтернативы отличается на порядок величины или больше, то она перемещается в соответствующий кластер. Возможно, что даже придется использовать гипотетические альтернативы, чтобы сделать переход от кластера к кластеру хорошо продуманным.

На рис. 1 показаны пять геометрических фигур, к которым мы можем применить парные сравнения, чтобы проверить правильность наших рассуждений. Сравним эти фигуры попарно, чтобы определить их относительные веса или приоритеты. Абсолютные значения на основе фундаментальной шкалы для каждого парного сравнения (при сравнении по размеру площади) приведены в матричном виде в табл. 2. Значения, обратные абсолютным значениям, записаны в соответствующие позициях транспозиции. Мы можем аппроксимировать приоритеты из этой таблицы посредством нормализации каждого столбца, а затем взять среднее из соответствующих записей в столбцах. Для того чтобы сделать это точно, как будет показано в разделе 5, необходимо вычислить главный собственный вектор, как мы сделали в этом случае, чтобы разобраться с «несогласованностью» в суждениях. В табл. 2 в самом правом столбце приведены фактические измерения площадей фигур в относительной форме.

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Рисунок 1. Пять фигур с различными размерами площадей

Таблица 2. Суждения, результаты и фактические относительные размеры

площадей пяти фигур

Фигура Круг Тре-угольник Квадрат Ромб Прямо- мо-угольник Приоритет (собственный вектор) Фактический размер

Круг 1 9 2 3 5 0.462 0.471

Треугольник 1/9 1 1/5 1/3 1/2 0.049 0.050

Квадрат 1/2 5 1 3/2 3 0.245 0.234

Ромб 1/3 3 2/3 1 3/2 0.151 0.149

Прямоугольник 1/5 2 1/3 2/3 1 0.093 0.096

Следует обратить внимание на близость значений двух последних столбцов в табл. 2, содержащих приоритеты, полученные из суждений, и фактические измерения, которые затем были нормализованы, чтобы получить относительные размеры фигур. Включение в анализ более двух альтернатив позволяет получить лучшие значения для выводимой шкалы благодаря избыточности сравнений, что может в итоге повысить общую точность суждений.

В отличие от старой парадигмы, предполагающей назначение номера из фиксированной шкалы с произвольной единицей измерения раз и навсегда для каждой сущности, в новой парадигме измерения не являются фиксированными, а зависят друг от друга и от контекста проблемы и ее цели. В то время как сущности могут зависеть или не зависеть друг от друга в зависимости от их функции, они всегда взаимозависимы, когда измерение является относительным.

Было замечено, что в общем случае сравнения относительно доминирования одной альтернативы над другой по какому-либо признаку или критерию принимают три формы: важность или значимость, которые включают в себя все виды воздействия — физические измерения в области науки, техники и экономики попадают в эту категорию; предпочтение, как в принятии решений, а также вероятность. Если есть адекватные знания, можно сравнить любые сущности, имеющие общий признак или критерий. Таким образом, сравнение выходит за рамки обычного измерения и позволяет измерять неосязаемые сущности, для которых нет шкалы измерения.

Более абстрактная форма сравнений будет включать альтернативы с материальными свойствами, о которых можно лишь думать и рассуждать, но нельзя воспринять посредством чувств. Суждения в табл. 3 служат для оценки относительного содержания белка в семи продуктах питания. При этом обратные значения оценок используются в позициях транспозиции матрицы таблицы ниже главной диагонали. Точные значения для относительного содержания белка, полученные из литературы, указаны в нижней строке табл. 3. При этом выведенная шкала имеет отношение согласованности С.Я., равное 0.28.

Таблица 3. Относительное содержание белка в семи продуктах

Потребление в США Стейк Картофель Яблоки Соя Зерновой хлеб Сладкая выпечка Рыба

Стейк 1 9 9 6 4 5 1

Картофель 1/9 1 1 1/2 1/4 1/3 1/4

Яблоки 1/9 1 1 1/3 1/3 1/5 1/9

Соя 1/6 2 3 1 1/2 1 1/6

Зерновой хлеб 1/4 4 3 2 1 3 1/3

Сладкая выпечка 1/5 3 5 1 1/3 1 1/5

Рыба 1 4 9 6 3 5 1

Выведенная шкала 0.345 0.031 0.030 0.065 0.124 0.078 0.328

Точные значения 0.370 0.040 0.000 0.070 0.110 0.090 0.320

В данном примере видно, что для яблок была получена ошибочная оценка относительного содержания белка (сравните соответствующие значения в двух последних строках табл. 3). Таким образом, может оказаться, что человек ошибочно включает предметы в сравнения (как яблоки в табл. 3), однако эти ошибки в конечном итоге при дальнейшем экспертном анализе будут устранены.

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Обратите внимание, что в первом примере глаз воспринимает размер различных областей, а во втором — разум через многократный опыт получает представление о количестве белка, которое содержат различные пищевые продукты.

Вероятностный пример. Приведем интересный пример, иллюстрирующий тот факт, что приоритеты, полученные на основе сравнений, дают правильные результаты в области вероятности. Рассмотрим урну с шарами трех цветов. Пусть мы имеем два черных, один белый и три красных шара. Вероятности достать шар одного из этих цветов равны, соответственно, 2/6, 1/6, 3/6. Матрица парных сравнений с точки зрения соотношения количества шариков, имеющих указанные цвета, приведена в табл. 4.

Таблица 4. Исходные отношения по признаку цвета шаров

Черный Белый Красный

Черный 1 2 2/3

Белый 1/2 1 1/3

Красный 3/2 3 1

В МАИ при попарном сравнении наименьший элемент полагается в качестве единицы измерения (или просто единицы), в то время как больший элемент определяется как число, кратное этой единице. То есть каждое суждение содержит единицу; она находится в знаменателе выражения (wi|Wj )/1, если элемент строки является доминирующим, или в числителе, если элемент столбца является доминирующим. Исходные отношения, указанные в табл. 4, приведены в табл. 5 после перевода в форму, как правило, используемую для суждений.

Таблица 5. Отношения в парном сравнении

Черный Белый Красный

Черный 1 2/1 1/1.5

Белый 1/2 1 1/3

Красный 1.5/1 3/1 1

Так как полученная матрица согласована (раздел 6), то записи любого столбца после нормализации дают отношение количества шаров каждого цвета к общему количеству шаров. Собственное значение, полученное при решении, описанном ниже (раздел 5), конечно, даст тот же результат. Имеем, например, в последнем столбце матрицы (табл. 5) числа 1/1.5, 1/3, 1 или, переходя к общему знаменателю, числа 2/6, 1/6, 3/6, которые, как и следовало ожидать, соответствуют вероятностям того, что случайно выбранный шар имеет один из трех цветов. Если урна будет содержать большое количество шаров, чьи относительные количества можно срав-

нить, этот подход позволит дать оценку относительного количества шаров каждого цвета.

Приведенные три примера показывают, что опытный человек может предоставить обоснованные численные суждения, из которых будут получены относительно хорошие оценки. Аналогичный подход может быть применен к сравнению неосязаемых сущностей. Метод анализа иерархий (МАИ, The Analytic Hierarchy Process, AHP) и метод анализа сетей (МАС, the Analytic Network Process, ANP) основаны на сравнении как материальных, так и нематериальных (неосязаемых) сущностей. Перед тем, как приступить к рассмотрению нематериальных (неосязаемых) сущностей, мы сделаем обзор некоторых теоретических концепций, лежащих в основе принципов формирования шкалы, получаемой на основе парных сравнений.

5. Вывод шкалы с помощью парных сравнений

Рассмотрим п акций Д, ..., Аи с известной стоимостью ^, ...,соответствен-но и предположим, что формируется матрица парных отношений, строки которой определяют отношения стоимости каждой акции к стоимостям других акций следующим образом:

Д ••• А

1 п

М/,

w,

w

_n_

w

w

w

_n

w„

Мы можем вывести шкалу w, используя следующее уравнение:

w

w

w,„

w,

или кратко

W,

w„

w„

w,

= n

w

w

Aw = nw.

Таким образом, чтобы вывести шкалу w на основе матрицы А, необходимо решить задачу о нахождении собственных значений в виде Ам> = пм> или (А — п1 ^ = 0. То есть необходимо решить систему однородных линейных уравне-

n

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

ний. Она имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы А — п1 равен нулю, т. е. п является собственным значением матрицы А. Матрица А имеет единичный ранг, так как каждая ee строка кратна первой строке. Поэтому все собственные значения матрицы А, кроме одного, равны нулю. Сумма собственных значений матрицы А равна ее следу, т. е. сумме ее диагональных элементов, и в этом случае след матрицы А равен п. Таким образом, п является главным собственным значением матрицы А, а вектор ^ — ненулевое решение, состоящее из положительных элементов и уникальное с точностью до постоянного множителя. Для того чтобы сделать вектор w уникальным, можно нормализовать его элементы путем деления их на сумму. Обратите внимание, что если разделить одно показание шкалы отношений на другое, то получим абсолютное число. Нормализация преобразует шкалу отношений в абсолютную шкалу. Таким образом, имея матрицу сравнений, можно восстановить исходную шкалу в относительном выражении. В этом случае решением является любой столбец матрицы А. Матрица А является не только обратно симметричной, но и согласованной. Ее элементы удовлетворяют условию = а • Отсюда следует, что вся матрица может быть построена из набора п элементов, которые образуют остовное дерево по строкам и столбцам. Мы показали, что если значения из стандартной шкалы используются для сравнений, главный собственный вектор восстанавливает эти значения в нормализованном виде.

В общем случае, когда доступно только суждение, а не сами числа, точное значение отношения , которое является безразмерным числом и, следовательно,

принадлежит к абсолютной шкале, инвариантной относительно тождественного преобразования, не известно, и только приблизительная его оценка может быть дана в качестве числового суждения. Рассмотрим оценку этих значений экспертом, который, как предполагается, создает малые возмущения отношения . Это

подразумевает малые возмущения собственных значений. Теперь задача принимает вид А' м' =^тах мгде Хтах — наибольшее собственное значение матрицы А'. Для того, чтобы определить, насколько хороша полученная оценка решения w, заметим, что если решение w получается из системы А'м' = ^тахм', то матрица А, элементы

которой равны м;./м., представляет собой согласованную матрицу. На самом деле элементы матрицы А' даже не должны быть транзитивными; т. е. А1 может быть предпочтительнее, чем А , а А — предпочтительнее, чем А , а А может быть предпочтительнее, чем А1. Мы бы хотели получить измерение ошибки из-за несогласованности суждений. Оказывается, что матрица А' согласована тогда и только

тогда, когда ^тах = п, и что всегда Хтах > п. Существование вектора w' с положительными компонентами и его единственность с точностью до постоянного множителя в случае несогласованности подтверждается использованием концепции доминирования и предельной матрицы степеней для А'. Таким образом, вектор w' принадлежит к шкале отношений или, после нормализации, к абсолютной шкале, которая не нуждается в начале отсчета или единице измерения, так как деление двух чисел из одной и той же шкалы отношений дает число, которое принадлежит к абсолютной шкале.

Рассуждая о необходимости использования собственного вектора для получения шкалы приоритетов для значений из матрицы сравнений, отметим, что основным свойством согласованной матрицы является то, что она удовлетворяет условию Ак = пк—1А, где п — порядок матрицы А, к — степень матрицы. Доминирование несогласованной матрицы не удовлетворяет этому условию. Доминирование первого порядка определяется на основе исходной матрицы, доминирование второго порядка — на основе квадрата матрицы и так далее. Таким образом мы приходим к искомому доминированию альтернатив. При этом будет, получено бесконечное число векторов приоритетов, каждый из которых представляет различный порядок доминирования. Сумма по Чезаро этих векторов равна вектору приоритетов, полученному из предельных степеней матрицы. Эта предельная матрица снова согласована. В процессе возведения матриц в степени главный собственный вектор приобретает транзитивность всех порядков. Ниже приведены некоторые детали.

Пусть число а^ определяет относительное доминирование альтернативы А

над альтернативой А.. Относительное доминирование альтернативы Д над альтернативой А ■ за к шагов задается как

п I п п

^ 7 Е Е<

,(к)

]=1

'=1 ]=1

где а( ) является (/, у) элементом матрицы в степени к. Общее доминирование w(А ) алтернативы А над всеми другими альтернативами задается в виде

*>( А)=Е

к=1

что соответствует сумме по Чезаро

1

Нш— Е

м мк=1

Ъ

V у=1

,(к)

{ п п

Е !4к)

V '=1 ]=1

м

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

6. В каком случае положительная обратно симметричная матрица является согласованной?

Для лучшего качества вектора приоритетов нам нужна большая избыточность и, следовательно, большое количество сравнений. Для согласованности же нужно небольшое количество сравнений. Так где же золотая середина?

Теперь мы рассматриваем психологическое представление о согласованности суждений и их измерений в рамках центральной концепции теории матриц, а также в зависимости от нашей способности обрабатывать те ли иные объемы информации.

Пусть A = [üj ] — положительная обратно симметричная квадратная матрица

размером n х n, такая, что все a = 1 и üj = Vй для всех i, j = 1, n. Кроме того, пусть w = [w ] — главный правый собственный вектор матрицы A, D = diag(w, .., wn ) — диагональная матрица размером n х n, на главной диагонали которой стоят элементы вектора w и E¡D lAD = [üijwjjwi ] = [s^. ]. Тогда матрица E — положительная обратно симметричная квадратная матрица размером n х n, так как sij = üjWjWj = (üjWj IWi) 1 = 1/ sij. Более того, все суммы строк матрицы E равны главному собственному значению матрицы A:

n _

Zs = X ü.w./w. = [Aw] lw. = A w./w. = A .

j / ,j j j l i L Ul i max и i max

j=1

Вычисление

n n n n n

nAmax = XX Sj = XSii + X (s j + Si) = n + X (Sj + Sj ) > n + 2(n - nM2 = n

i=1 j=1 i=1 i ,j=1 i,j=1

показывает, что Amax > n. К тому же, так как х +1/ х > 2 при всех х > 0, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда х = 1, мы видим, что Amax = n, тогда и только тогда, когда все Sj = 1, что эквивалентно тому, что все üij. = wjwj .

Приведенные выше рассуждения показывают, что положительная обратно симметричная матрица A имеет главное собственное значение Amax > n, при этом равенство достигается тогда и только тогда, когда матрица A является согласованной. В качестве меры отклонения матрицы А от согласованности будем использовать индекс согласованности (Consistency Index, C.I.)

n -1

Видим, что ц > 0, при этом ц = 0 тогда и только тогда, когда матрица А является согласованной. Можно сказать, что если ц ^ 0, то а- ^ wijWj или = ау ^ 1. Эти два желаемых свойства объясняют присутствие п в числите-

ле выше приведенного выражения для ц, а вот что можно сказать насчет «п - 1» в знаменателе? Так как след матрицы 1т(А) = п представляет собой сумму всех ее собственных значений, то, если мы обозначим все собственные значения, отличные

от ^шах , как ^ пOлУчим, что П = ^тах +ХП=2 ^, т. е. П "^шах = ЕП=2 ^ , а

ц = 1/(п " 1) Ем \ — среднее из неглавных собственных значений матрицы А.

Приведем простой и наглядный пример, показывающий, что Ятах = 2 для любой положительной обратно симметричной матрицы размерности 2 х 2:

1 а 1 + а 1 + а

= 2

а"1 1 (1 + а)а"1 (1 + а)а"1

Таким образом, любая положительная обратно симметричная матрица размером 2 х 2 является согласованной.

Однако не каждая положительная обратно симметричная матрица размером 3 х 3 будет согласованной. Но в данном случае нам снова повезло иметь явные формулы для главного собственного значения и собственного вектора. Для матрицы

А =

имеем Хтах = 1 + й + й 1, й = (ас/Ь)1'

1

1/а 1/Ь

а Ь 1 с 1/с 1

w1 = Ьй I 1 + Ьй +

йI 1 + Ьй + -

w3 = 1/ I 1 + Ьй + -

Примечательно, что Ятах = 3, когда ё = 1 или с = Ь/а, что верно тогда и только

тогда, когда матрица А согласована.

Чтобы получить представление о том, что говорит индекс согласованности о положительной обратно симметричной матрице размером пх п, рассмотрим следующий эксперимент. Сначала элементам матрицы А, расположенным выше главной диагонали, присвоим значения, выбранные случайным образом из последовательности семнадцати возможных значений {1/9, 1/8, ..., 1, 2, ..., 8, 9},а затем соответствующим элементам, расположенным ниже главной диагонали, присвоим обратные значения и вычислим индекс согласованности такой матрицы. Повторим

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

процедуру заполнения матрицы и вычисления индекса согласованости 50 000 раз и вычислим среднее значение, которое назовем случайным индексом (Random Index, R.I.). В табл. 6 и на рис. 2 (полученном на основе первых двух строк табл. 6) показаны результаты описанного эксперимента, которые демонстрируют асимптотическую природу случайных отклонений от согласованности.

Таблица 6. Значения случайного индекса (R.I.)

Порядок матрицы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Индекс R.I. 0 0 0.52 0.89 1.11 1.25 1.35 1.40 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59

Разность первого порядка 0 0.52 0.37 0.22 0.14 0.10 0.05 0.05 0.04 0.03 0.02 0.02 0.02 0.01

1.8 и

1-в " ......

. • *

1,2 ■

1 -

*

0,8 -0.8 ■

♦

0,4 0,2 ■

О -I-1-1-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-

О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Number of elements compared

Рисунок 2. График случайной несогласованности

Так как попытки упорядочивания приоритетов на основе случайного набора сравнительных суждений не имеют смысла, то для практического применения необходимо, чтобы индекс согласованности любой матрицы парных сравнений был существенно меньше соответствующего значения из табл. 6. Отношение согласованности (Consistency Ratio, C.R.) матрицы парных сравнений определяется как отношением ее индекса согласованности C.I. — числа ц — к соответствующему значению случайного индекса R.I. из табл. 6.

Понятие порядка величин является ключевым при любом математическом рассмотрении изменений в процессе измерения. Когда имеется числовое значение, например из интервала от 1 до 10, для некоторого измерения и необходимо определить, является ли изменение этого значения существенным, рассуждения выполняются примерно так. Изменение целочисленного значения является существенным, так как оно в значительной степени изменяет величину и сущность исходного числа. Если изменение значения невелико (порядка 1% или меньше), то этим измене-

нием можно пренебречь. Однако если изменение значения составляет десятки процентов, то, вероятно, необходимо изменить исходное значение так, чтобы не утратить достоверность и подлинность исходного значения в нашем первоначальном представлении о нем.

Таким образом, при формировании согласованных сужений, выраженных числами, большие изменения могут приводить к драматическим изменениям наших представлений, а очень малые изменения не будут их изменять. Допустимый уровень значений отношения согласованности С.Я. не должен быть больше, чем 0.10. Уровень в 10% невозможно снизить до 1% или до 0.1% без нивелирования воздействия несогласованности, которая нужна потому, что без нее невозможно использовать новые знания, изменяющие предпочтения. Предположение об идеальной согласованности всех знаний противоречит опыту, который требует постоянного обновления нашего понимания.

Если значение отношения согласованности С.Я. больше, чем хотелось бы, можем сделать следующее: 1) найти наиболее несогласованное суждение в матрице (например, суждение, для которого 8^ = aijWj|wi является самым большим);

2) определить диапазон значений, в который должно попасть это суждение, чтобы уменьшить противоречивость; 3) спросить эксперта, может ли он изменить свое суждение на какое-либо правдоподобное значение из этого диапазона.

Существуют три метода, решающие данную задачу повышения согласованности матрицы парных сравнений, и все они требуют теоретического исследования сходимости и эффективности.

В одном из них используется формула для вычисления частных производных собственного значения Перрона (главного собственного значения) по элементам матрицы А .

Для заданной положительной обратно симметричной матрицы А = [а^ ] и заданной пары несовпадающих индексов к > I, определим А(г) = [а^ (г)] с помощью формул вида аи (г) = аи + г, аа (г) = (аш + г)-1, и а- (г) = а- для всех i Ф к, - ФI так, что А(0) = А. Пусть Хтах (г) — главное собственное значение матрицы А(0 для всех ^ в окрестностях ^ = 0 достаточно малого, чтобы элементы матрицы А(0 были положительными. Кроме того, пусть V = [V ] — единственный положительный собственный вектор положительной матрицы Ат, нормализованной так, что vTw = 1. Тогда классическая формула [3, теорема 6.3.12] дает

й ^шах(г )

йг

утА '(0^ т ч 1

--Т-= v А '(0)w = vkwl--Г vlwk.

v w аы

г=0

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Можно вывести, что

dAm„x 2 • • i—

—— = vw. — a . v w. для всех г, j = 1, n. da.. г j л j г

V

Поскольку мы имеем дело с положительными обратно симметричными матрицами, то

dA /da.. = —dA Ida..

max/ ji max/ ij

для всех i и j.

Таким образом, чтобы определить элемент матрицы A, чья корректировка (подгонка) в классе обратно симметричных матриц вызовет наибольшее изменение числа Amax, необходимо проанализировать n(n -1)/2 значений вида

{viwj. — afi2vjwi}, г > j и выбрать из них одно (любое) с наибольшим абсолютным

значением. Если эксперт не желает изменить выявленное самое противоречивое суждение ни при каких условиях, то следует рассмотреть следующее самое противоречивое суждение и т. д. Если ни одно из суждений не было изменено, принятие решения откладывается до получения лучшего понимания ситуации. Понимающие эксперты всегда готовы пересмотреть свои суждения — часто не в полной степени, но частично, а затем при необходимости — пересмотреть вторые наиболее несогласованные суждения и так далее. Бывает так, что знания эксперта не позволяют ему улучшить согласованность суждений, и тогда может потребоваться увеличить объем имеющейся информации, чтобы улучшить согласованность суждений.

Прежде чем продолжить, приведем следующие замечания, которые могут быть полезны для лучшего понимания важности концепции ограниченности наших способностей обрабатывать и изменять информацию. Качество ответной реакции на стимулы определяется тремя факторами: точность или достоверность, согласованность, а также эффективность или объем сгенерированной информации. Наше суждение гораздо более чувствительно к большим возмущениям. Когда мы говорим о возмущениях, мы имеем в виду численные изменения отношений согласованности C.R., полученных из приоритетов. Чем больше несогласованность и, следовательно, больше возмущения в приоритетах, тем больше наша склонность к изменениям в присвоенных численных значениях. И наоборот, чем меньше несогласованность, тем труднее понять, какие должны быть внесены изменения, чтобы улучшить согласованность и достоверность результата. При приближении к согласованности становится неясно, какие коэффициенты должны быть незначительно изменены, чтобы преобразовать почти согласованную матрицу в согласованную. Принудительные возмущения могут оказаться случайными, и, в результате могут исказить достоверность полученного вектора приоритетов, представляющего решение.

В третьей строке табл. 6 приведены значения разностей для последовательных чисел второй строки. Рис. 3 визуализирует зависимость этих значений от числа сравниваемых альтернатив и позволяет увидеть критическую точку (7, 0.1), которая свидетельствует о том, что, когда число сравниваемых альтернатив превышает семь, разности значений случайного индекса Я.1. не превышают 0.1, т. е. мы недостаточно чувствительны к изменениям в суждениях, если число альтернатив становится слишком большим. Таким образом, в общем случае следует сравнивать лишь несколько альтернатив (около семи), а когда их число больше, необходимо разбивать альтернативы на группы так, чтобы для каждой пары групп была общая альтернатива, вес которой мог бы быть использован в качестве опорного значения для объединения конечных весов.

Number of elements compared Рисунок 3. График первых разностей для случайной несогласованности

7. Еще немного о собственном векторе

В приближении первого порядка возмущение Aw1 в главном собственном векторе w с учетом возмущений АЛ в матрице А, где матрица А согласована, Уилкин-сон (Wilkinson) определяет в виде [10]:

n

AW = Z(vj АЛwi/(Xi -Xj) v]wj)wj.

j=2

Здесь символ T обозначает операцию транспонирования. Собственный вектор W нечувствителен к возмущениям в матрице А, если: 1) число n мало; 2) главное

собственное значение X легко отделимо от других собственных значений X ■; и 3)

ни одно из произведений v.T w ■ левых и правых собственных векторов не является

малым, но если хотя бы одно из них мало, то и все они малы.

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Отметим, что v1 T щ — произведение нормализованных левого и правого главных собственных векторов согласованной матрицы равно целому числу n, которое не является очень малым числом. Если n относительно мало, и сравниваемые элементы являются однородными, ни один из компонентов w не является сколь угодно малым, и, соответственно, ни один из компонентов v T также не является сколь угодно малым. Их произведение не может быть сколь угодно малым, и, следовательно, вектор w нечувствителен к малым возмущениям согласованной матрицы A. В итоге можно сделать вывод, что число n должно быть мало и нужно сравнивать однородные элементы.

Если собственные значения имеют кратность, большую единицы, соответствующие левые и правые собственные векторы не будут уникальными. В этом

T

случае косинус угла между ними, который определяется через vi щ, соответствует конкретному выбору щ и v.. Даже если щ и v; соответствуют простому , они являются произвольными с точностью до мультипликативной сложной константы от модуля единицы измерения, но в этом случае | vtTщ | полностью определено. Поскольку оба вектора нормализированы, мы всегда имеем, что | v Tщ |< 1.

8. Аксиомы

Для полноты картины, скажем что раздел аксиом из главы 10 моей книги «Основы принятия решений» (Fundamentals of Decision Making) [2] может оказаться полезным для более глубокого изучения теоретического аппарата, использованного в данной статье. Читатель может ознакомиться с этой книгой для получения полного представления об основных идеях и результатах, полученных на основе аксиом.

9. Пример: использование МАИ для анализа стратегий в отношении Ирана

Угроза войны в Иране является сложным и спорным вопросом с участием многих действующих лиц в разных регионах и несколькими возможными направлениями действий. Около 40 человек приняли участие в посвященной анализу стратегий в отношении Ирана работе, выполненной в октябре 2007 года. Все участники работы были разделены на группы по 4 или 5 человек, и каждая из этих групп разработала модель и представила полученные результаты для четырех таких параметров, как: Преимущества, Возможности, Расходы и Риски. В итоге было получено по два результата по каждому из параметров, они были объединены с использованием среднего геометрического, как описано в разделе группового принятия решений, а

затем четыре полученных результата были объединены в один общий, как описано ниже. Следует понимать, что это только пример для иллюстрации использования МАИ, не адаптированный для применения в реальной жизни в первую очередь потому, что в нем не были задействованы политические эксперты и посредники от всех заинтересованных сторон. Полученные выводы должны быть приняты в качестве гипотезы для дальнейших исследований. Летом 2008 года многие люди, в том числе люди, которые писали из Израиля, люди, которые хотели помешать Ирану обладать ядерным оружием, считали, что нападение на Иран приведет к большему вреду экономике мира, так как около 45% мировых запасов нефти вывозится через Персидский залив, и в случае войны Иран сделает все для того, чтобы затруднить трансфер нефти.

9.1. Создание моделей

Модель для определения политики, проводимой в отношении Ирана, стремящегося обладать ядерным оружием, была разработана с использованием таких параметров, как Преимущества (benefits, В), Возможности (opportunities, O), Расходы (costs, С) и Риски (risks, R) и может рассматриваться, как комбинированная модель (BOCR). Модель Преимуществ показывает, какая альтернатива будет наиболее выгодной; модель Возможностей показывает, какая альтернатива имеет наибольший потенциал для преимуществ; модель Расходов (включая денежные, людские и нематериальные (неосязаемые) расходы) показывает, какая альтернатива будет наиболее дорогостоящей; модель Рисков показывает, какая альтернатива имеет самые высокие потенциальные затраты.

9.2. Стратегические критерии

Стратегические критерии используются лицом, принимающим решения при определении параметров BOCR модели для всех решений. Эти критерии являются главенствующими критериями, используемыми лицами, корпорациями или правительствами для определения, какое решение принять в первую очередь и каковы относительные достоинства и недостатки этого решения.

Для политики в отношении Ирана BOCR модель оценивалась по таким критериям, как Мировая безопасность (0.361), Стабильность в регионе (0.356), Уменьшение волатильности (0.087) и Уменьшение эскалации Ближневосточной проблемы (0.196). Приоритеты стратегических критериев, указанные в скобках, получены из матрицы парных сравнений по отношению к цели, заключающейся в обеспечении долгосрочного мира во всем мире.

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

9.3. Критерии контроля

BOCR модель была оценена с учетом ответов на вопросы при парных сравнениях) с использованием таких критериев контроля, как Экономика, Политика, Верховенство закона и Безопасность. Это те критерии, благодаря которым мы имеем возможность представлять различные виды возможных воздействий. Эти воздействия позднее должны быть объединены в общее воздействие на основе МАИ/МАС.

9.4. Участники

В качестве стран, которые оказались в наибольшей степени вовлечены в решение рассматриваемой проблемы, следует назвать такие страны, как: США, Иран, Россия, Китай, страны Среднего Востока и Израиль.

9.5. Альтернативы

Группа определила шесть следующих альтернатив:

1. Выполнить воздушные удары в отношении Ирана.

2. Применить экономические санкции против Ирана.

3. Осуществлять наземное вторжение в Иран.

4. Израиль должен предпринять действия по отношению к Ирану.

5. Бездействовать, оставить все так, как есть.

6. Приложить усилия к изменению режима в Ираке.

9.6. BOCR модели

В целях экономии места мы не даем все иерархии и их матрицы суждений. В этом примере было решено реализовать простую схему, используя одну и ту же структуру для всех четырех параметров (рис. 4), хотя и с разными суждениями. В частности, для расходов и рисков задается вопрос: что является более (не менее) дорогостоящим или рискованным? И в результате вычисляются соответствующие значения для Преимуществ и Возможностей. Анализ выявил четыре рейтинга альтернатив, по одному для каждого из параметров BOCR модели. После этого необходимо было получить приоритеты для самих BOCR моделей с точки зрения стратегических критериев и использовать наилучшую альтернативу для каждого параметра, а затем использовать приоритеты, чтобы взвесить и синтезировать альтернативы. Приоритеты альтернатив были пропорциональны приоритету наилучшей альтернативы, при этом все они умножались на одно и то же число, являющееся приоритетом параметра.

Рисунок 4. Иерархия затрат для определения наилучшей стратегии по отношению к Ирану

Важно отметить, что, как правило, в общем случае каждый параметр будет иметь собственную структуру, отличную от структур других параметров. Тем не менее ради наглядности в данном примере группа решила использовать одну и ту же структуру с соответствующей формулировкой вопросов для предоставления суждений.

9.7. Суждения и сравнения

Как уже упоминалось, суждение является выражением мнения о доминировании (важности, предпочтении или вероятности) одной альтернатвы над другой. Формирование суждения происходит каждый день через словесное высказывание, имеющее некоторое количественное значение, которое мы должны использовать при объединении нескольких доминирующих суждений, задействованных в принятии решения. Множество всех таких суждений при проведении сравнений по одному свойству или цели может быть представлено с помощью квадратной матрицы, в которой выполнено сравнение множества альтернатив. Это очень удобный способ организации всех суждений относительно некоторого свойства с целью их обработки и синтеза с другими матрицами сравнений, вовлеченными в принятие решения. Каждое суждение представляет доминирование альтернативы в левом столбце

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

таблицы над соответствующей альтернативой верхней строки. Суждение отражает ответы на два вопроса: какая из двух альтернатив является более важной по отношению к критерию более высокого уровня и насколько эта важность больше?

Как обычно в МАИ, в моделях Преимуществ, Возможностей, Расходов и Рисков группа участников сравнивала критерии и субкритерии в соответствии с их относительной важностью по отношению к порождающему (родительскому) элементу в смежном верхнем уровне. Например, элементы матрицы, представленные в табл. 7, являются ответом на вопросы: какой критерий контроля является более важным в выборе наилучшей стратегии по отношению к Ирану и насколько эта важность больше? В данном примере экономические расходы являются несколько более важными, чем политические расходы, и им присвоено абсолютное число 3 в позиции (1,2), т. е. первой строке второго столбца матрицы парных сравнений. Число 3 означает, что доминирование (преимущество) в три раза больше. Обратное числу 3 число, равное 1/3, автоматически вводится в позицию (2,1), где политические расходы из левого столбца сравниваются с экономическими расходами из верхней строки таблицы. Точно так же число 5, определяющее сильное доминирование (преимущество), присваивается расходам на обеспечение безопасности в сравнении с политическими расходами в позиции (4,2), и число 2, определяющее слабое или небольшое доминирование (преимущество), присваивается расходам верховенства закона над политическими расходами в позиции (3,2) с соответствующими обратными значениями в позициях транспонирования матрицы.

Суждения в матрице могут быть несогласованными. При формировании суждений делаются избыточные сравнения, чтобы повысить достоверность ответа, учитывая, что респонденты могут быть не уверены или могут просто ошибаться при сравнении некоторых альтернатив. Избыточность приводит к многократным сравнениям альтернативы с другими и, как следствие, к численной несогласованности. Группа участников сначала выполнила все сравнения, используя семантические термины из фундаментальной шкалы, а затем привела их к соответствующим числам.

Таблица 7. Матрица суждений для критериев контроля в иерархии затрат

Выбор наилучшей Эконо- Поли- Закон- Безопас- Нормализо-

стратегии по отно- мика тика ность ность ванные прио-

шению к Ирану (расходы) ритеты

Экономика 1 3 1/3 0.173

Политика 1/3 1 1/5 0.087

Законность 2 2 1 1/3 0.222

Безопасность 3 5 3 1 0.518

С.Я. = 0.049

Сравним расходы на обеспечение безопасности с экономическими расходами, а потом — с политическими расходами и получим соответствующие суждения с числовыми значениями 3 и 5. Тогда, если х = зу и х = 5z, то зу = 5z или у = 5^. Если эксперты были бы последовательны, то экономическим расходам в приведенной матрице было бы присвоено числовое значение 5/3 вместо 3. Таким образом, суждения являются несогласованными. На самом деле, мы не уверены, какие суждения являются точными, а какие являются причиной этой несогласованности. Тем не менее суждения могут быть определены на систематической основе и улучшены посредством диалога с экспертом.

В процессе опроса членов группы формируются все матрицы суждений.

Например, элементы в матрице суждений, приведенные в табл. 8, представляют ответы на вопрос: какая из сторон более заинтересована в обеспечении безопасности?

Таблица 8. Матрица суждений о субкритериях относительно расходов на безопасность

Затраты Иран Изра- Средний Россия и США Нормализо-

на безопасность иль Восток Китай ванные

приоритеты

Иран 1 1/8 1/3 1/6 1/9 0.029

Израиль 8 1 4 1/2 1/7 0.138

Средний Восток 3 1/4 1 1/5 1/7 0.054

Россия и Китай 6 2 5 1 1/6 0.182

США 9 7 7 6 1 0.597

C.R. = 0.1

Здесь расходы на обеспечение безопасности США считаются чрезвычайно более важными по сравнению с расходами на обеспечение безопасности Ирана, и число 9 вводится в позиции (5,1), а 1/9 в позиции (1, 5) соответственно.

При сравнении шести стратегий-альтернатив по отношению к Ирану мы спросили членов группы по принятию решений, какая стратегия, по их мнению, была бы более дорогостоящей для каждого из участников. В результате для США мы получили матрицу парных сравнений, приведенную в табл. 9, в которой наземное вторжение является самой дорогостроящей стратегией. Напротив, смена режима и бездействие являются наименее дорогостоящими из стратегий. В этом примере критерии, в качестве которых выступают разные страны, считаются независимыми от альтернатив и поэтому приоритеты альтернатив приведены в идеальной форме, полученной посредством деления на наибольший среди них приоритет.

В табл. 10-12 приведены приоритеты, полученные на основе всех сравнений для BOCR моделей.

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Таблица 9. Относительные затраты на стратегии для США

Расходы стратегий для США Воздушные удары Экономические санкции Наземное вторжение Действия Израиля Бездействие Нормализованные приоритеты Идеализованные приоритеты

Авиаудары 1 1/3 1/7 1/2 3 0.087 0.164

Экономические санкции 3 1 1/6 2 3 0.160 0.301

Наземное вторжение 7 6 1 6 7 0.533 1.000

Действия Израиля 2 1/2 1/6 1 3 0.122 0.229

Бездействие 1/3 1/3 1/7 1/3 1 0.058 0.108

Смена режима 1/3 1/3 1/6 1/4 1/3 0.040 0.075

С.Я. = 0.08

В каждом столбце в табл. 10 жирным шрифтом выделены приоритеты критериев контроля, в отношении которых выполнялись сравнения. Например, критеий Экономика при анализе Преимуществ имеет значение приоритета 0.047, полученное посредством сравнения этого критерия контроля с другими критериями, такими как Политика, Верховенство закона и Безопасность, чьи приоритеты также выделены жирным шрифтом. Эти приоритеты в сумме дают единицу. Аналогичные выводы имеют место и для Возможностей, Расходов и Рисков. Приоритеты участников приведены под приоритетами каждого из критериев контроля в том же столбце. В нижней части табл. 10 приведены общие приоритеты участников по отношению к каждой из BOCR моделей, полученные посредством взвешивания с помощью приоритетов критериев контроля данных конкретного участника в столбце и их суммированием в том же столбце. Здесь мы объединяем числа только по столбцам, а по строкам — нет. Аналогичным образом сделано в табл. 11 для участников и альтернатив. В нижней части табл. 11 приведены общие идеализированные веса альтернатив для каждой из BOCR моделей. В табл. 12 выполнена оценка лучшей альтернативы для каждого параметра BOCR модели по отношению к каждому из стратегических критериев с использованием шкалы оценок, полученной на основе сравнений. Обычно для большей точности разрабатывают отдельные шкалы оценок для каждого критерия или субкритерия, но в данном случае мы упростили анализ посредством использования единой шкалы для всех стратегических критериев. Далее мы взвешиваем рейтинги с помощью приоритетов стратегических критериев и суммируем, чтобы получить вес для каждого параметра BOCR модели. В конце концов мы нормализуем эти четыре значения, чтобы получить приоритеты B, O, C и R. Затем мы используем эти приоритеты в табл. 13, чтобы синтезировать идеали-

зированные веса альтернатив в соответствии с предельной формулой, которая представляет краткосрочное решение проблемы, и в соответствии с общей формулой, которая дает долгосрочное решение проблемы.

Таблица 10. Приоритеты участников по отношению к критериям контроля

Критерий контроля Участники Преимуще- Возможно- Расхо- Рис-

ства сти ды ки

Экономика 0.047 0.626 0.174 0.209

Иран 0.031 0.066 0.129 0.321

Израиль 0.259 0.041 0.036 0.126

Средний Восток 0.166 0.233 0.087 0.306

Россия и Китай 0.095 0.120 0.425 0.075

США 0.449 0.540 0.324 0.173

Политика 0.128 0.156 0.087 0.033

Иран 0.043 0.201 0.082 0.506

Израиль 0.311 0.125 0.226 0.145

Средний Восток 0.133 0.494 0.067 0.248

Россия и Китай 0.079 0.090 0.152 0.045

США 0.433 0.090 0.483 0.056

Сила закона 0.246 0.043 0.222 0.066

Иран 0.031 0.114 0.044 0.317

Израиль 0.347 0.415 0.218 0.118

Средний Восток 0.132 0.169 0.060 0.443

Россия и Китай 0.101 0.051 0.119 0.059

США 0.389 0.251 0.559 0.063

Безопасность 0.579 0.175 0.518 0.692

Иран 0.068 0.131 0.029 0.200

Израиль 0.115 0.298 0.138 0.200

Средний Восток 0.165 0.308 0.054 0.200

Россия и Китай 0.407 0.106 0.181 0.200

США 0.245 0.156 0.597 0.200

Общее

Иран 0.031 0.100 0.054 0.243

Израиль 0.259 0.115 0.204 0.177

Средний Восток 0.166 0.284 0.153 0.240

Россия и Китай 0.095 0.110 0.275 0.159

США 0.449 0.390 0.314 0.180

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Таблица 11. Приоритеты альтернатив по отношению к участникам

в группах BOCR модели

Акторы Альтернативы Преимущества Возможности Расходы Риски

Иран 0.031 0.100 0.054 0.243

Воздушные удары 1.000 0.078 0.115 0.701

Экон. санкции 1.000 0.452 0.260 1.000

Наземн. вторжение 1.000 0.057 1.000 0.294

Действ. Израиля 1.000 0.142 0.149 0.762

Бездействие 1.000 1.000 0.068 0.239

Смена режима 1.000 0.220 0.362 0.882

Израиль 0.259 0.115 0.204 0.177

Воздушные удары 0.214 0.359 0.212 0.240

Экон. санкции 0.463 0.069 0.120 0.209

Наземн. вторжение 0.128 0.228 0.355 0.385

Действ. Израиля 0.070 0.104 1.000 1.000

Бездействие 0.177 0.062 0.210 0.153

Смена режима 1.000 1.000 0.130 0.052

Средний Восток 0.166 0.284 0.153 0.240

Воздушные удары 0.095 0.168 0.257 0.186

Экон. санкции 0.357 0.676 0.132 0.073

Наземн. вторжение 0.159 0.196 1.000 0.328

Действ. Израиля 0.131 0.062 0.483 1.000

Бездействие 1.000 0.371 0.111 0.068

Смена режима 0.702 1.000 0.175 0.045

Россия и Китай 0.095 0.110 0.275 0.159

Воздушные удары 0.778 0.141 0.114 0.190

Экон. санкции 0.825 0.259 0.215 0.057

Наземн. вторжене 0.331 0.174 1.000 0.379

Действ. Израиля 1.000 0.122 0.160 1.000

Бездействие 0.559 1.000 0.071 0.072

Смена режима 0.303 0.154 0.411 0.086

США 0.449 0.390 0.314 0.180

Воздушные удары 0.167 1.000 0.164 0.133

Экон. санкции 0.231 0.094 0.301 0.076

Наземн. вторжение 0.130 0.285 1.000 0.388

Действ. Израиля 0.165 0.050 0.229 1.000

Бездействие 1.000 0.150 0.108 0.079

Смена режима 0.130 0.417 0.075 0.038

Общее

Воздушные удары 0.402 0.891 0.179 0.259

Экон. санкции 0.586 0.496 0.271 0.221

Наземн. вторжение 0.258 0.378 1.000 0.368

Действ. Израиля 0.414 0.136 0.365 1.000

Бездействие 1.000 0.666 0.124 0.112

Смена режима 0.651 1.000 0.189 0.165

Таблица 12. Рейтинги по отношению к стратегическим критериям лучших альтернатив по параметрам BOCR моделей

Мировой порядок (0.362) Стабильность в регионе (0.356) Уменьшение волатильно-сти (0.087) Уменьшение эскалации конфликта (0.196) Приоритеты Нормализованные приоритеты

Преимущества Очень высокая Высокая Высокая Средняя 0.710 0.254

Возможности Средняя Низкая Средняя Средняя 0.330 0.118

Расходы Очень высокая Очень высокая Очень высокая Средняя 0.878 0.314

Риски Очень высокая Очень высокая Очень высокая Средняя 0.878 0.314

Очень высокая (1), Высокая (0.619), Средняя (0.381), Низкая (0.238), Очень низкая (0.143)

Далее мы оценили лучший результат для каждой из BOCR моделей по отношению к стратегическим критериям с использованием пятиуровневой рейтинговой шкалы, полученной на основе парных сравнений. Синтез общих приоритетов альтернатив представлен в табл. 13. Мы хотим определить лучшие альтернативы в плане Преимуществ и Возможностей в отношении стратегических критериев и оценить, на сколько они полезны по каждому из критериев. Мы также хотим оценить лучшие альтернативы в плане Расходов и Рисков относительно того, насколько они негативно сказываются на каждом из критериев.

Таблица 13. Синтез общих приоритетов альтернатив для четырех параметров

BOCR моделей

Преимуще- Возможности Расходы Риски БО/СЯ ЪБ+оО-сС-гЯ

ства

Ь = 0.254 o = 0.118 с = 0.314 г = 0.314

Воздушные 0.402 0.891 0.179 0.259 7.711 0.069

удары

Экономиче- 0.586 0.496 0.271 0.221 4.841 0.053

ские санкции

Наземное 0.258 0.378 1.000 0.368 0.265 -0.319

вторжение

Действия 0.414 0.136 0.365 1.000 0.155 -0.308

Израиля

Бездействие 1.000 0.666 0.124 0.112 48.077 0.258

Смена режима 0.651 1.000 0.189 0.165 20.814 0.172

Преимущества и Возможности — позитивные параметры, в то время как Расходы и Риски — негативные. Перевес весов в последнем столбце является отрицательным для наземного вторжения и действий со стороны Израиля и является положительным для воздушных ударов, экономических санкций, бездействия и изме-

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

нения режима. В результате в нынешней ситуации бездействие оказывается лучшей альтернативой, а наземное вторжение — худшей.

9.8 Анализ чувствительности

Известно много способов проведения анализа чувствительности, один из которых мы рассмотрим здесь. Графики чувствительности для BOCR моделей показаны на рис. 5. Применив программное обеспечение Superdecisions, мы видим, что результаты, полученные в процессе возмущения приоритетов для Преимуществ, Возможностей, Расходов и Рисков являются стабильными. Полученная модель чувствительна к изменениям приоритетов рассмативаемых параметров. При увеличении приоритета Расходов альтернатива «Действия Израиля» становится более предпочтительной, чем альтернатива «Наземное вторжение», и альтернатива «Воздушные удары» становятся более предпочтительной, чем альтернатива «Экономические санкции». С другой стороны, как только приоритет Рисков возрастает, альтернативы «Действия Израиля» и «Наземное вторжение» меняются местами в общем рейтинге. Результаты, полученные для Преимуществ и Возможностей, являются устойчивыми и альтернатива «Бездействие» остается лучшей альтернативой.

1.0 0.8

Об

04

-0.4 --Аеч'а! 5 1ггке&

-Есопотк аапсЬопз

-&/оип<1 ыдоаюп

-!ёгээИ асИоп

■0.8 - ШЫпд

-Йедте сЬапде

в) г)

Рисунок 5. Чувствительность параметров: а) Преимущества; б) Возможности; в) Расходы; г) Риски

10. Сети, зависимость и обратная связь

На рис. 6 представлены иерархия и сеть [3, 4]. Иерархия состоит из цели, уровней элементов и связей между ними. Эти связи направлены только к элементам более низких уровней. Сеть состоит из кластеров элементов, при этом элементы одного кластера соединены с элементами другого кластера (внешняя связь) или того же кластереа (внутренняя связь). Иерархия представляет собой частный случай сети с соединениями, идущими только в одном направлении.

Существуют два вида влияний: внешнее и внутреннее. В первом случае сравнивается влияние элементов кластера на элементы в другом кластере по критерию контроля. Предполагается, что влияния раскладываются на узнаваемые основные влияния, известные как критерии контроля, такие как экономические, политические, технологические, экологические и так далее, в терминах которых сделаны все сравнения и ранжирование альтернатив. При внутреннем влиянии сравнивается влияние элементов в группе друг на друга. Например, можно взять семью из отца, матери и ребенка, а затем рассмотреть их по отдельности и, например, первым взять ребенка и спросить, кто вносит больший вклад в выживание ребенка — его отец или его мать, он сам или его отец, он сам или его мать. В этом случае ребенок не столь важен в содействии своему выживанию, как его родители. Но если мы возьмем мать и зададим тот же вопрос о том, кто вносит больший вклад в ее выживание: она сама или ее муж, она сама или ребенок, то в обоих случаях вклад матери окажется выше. Другой пример внутренней зависимости — производство электричества. Для производства электричества нам необходима сталь, чтобы сделать турбины, и нам нужно топливо. Таким образом, нам требуется электроэнергетическая, сталелитейная и топливная промышленность. От чего электроэнергетическая промышленность зависит в большей степени: от самой себя или сталелитейной промышленности? Сталелитейная промышленность является более важной. От самой себя или от топливной промышленности? Топливная промышленность гораздо важнее. Что важнее для электроэнергетической промышленности: сталелитейная промышленность или топливная промышленность? Топливо является более важным. Электроэнергетическая промышленность не нуждается в своей собственной электроэнергии для производства. Она нуждается в топливе. Электричество используется только для освещения комнат, что, может быть, даже не нужно для самого производства.

Если подумать, то можно заметить, что все влияет на все, в том числе само на себя по многим критериям. Мир гораздо более взаимозависим, чем мы обычно учитываем в наших существующих способах мышления и действиях. МАС является логическим способом разобраться с зависимостями.

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Линейная иерархия

Цель J

Критерий «•II Компонент, у кластер X (Уровень)

Субкритерий С /

Элемент

Альтернативы С ••••• > / 1 Цикл указывает на то, что каждый элемент зависит только от себя

Рисунок 6. Сравнение иерархии и сети

Приоритеты, полученные из матриц парных сравнений, вводятся как части столбцов суперматрицы. Суперматрица отражает приоритет влияния элемента из левой части матрицы на элемент в верхней части матрицы относительно конкретного критерия контроля. Суперматрица, наряду с примером одной из входящих в нее матриц, показана на рис. 7. Компонент С ■ в суперматрице включает в себя все векторы приоритетов, полученные для узлов, которые являются «родительскими» в кластере С ■. Рис. 8 отображет суперматрицу иерархий, а рис. 9 показывает ^ю

степень этой суперматрицы, которая является такой же, как иерархическая композиция в позиции (к, 1). Принцип иерархической композиции проявляется в позиции (п,1) как влияние п-й компоненты на первую.

Суперматрица сети

W =

C' C2 • • • C,

e11e12"" e1n' e21e22"" e2n2 eN1eN2*

с, e11

' e12 W'' W'2 • • • W1

г? C2 e22 W2' W22 • •• W2

• ■ • • •

• • • •• •

• J-2 • • •

WN' WN2 • •• W,

Компоненты Wy суперматрицы

" Wf' Wf • •• Wf "

W = W1J Wf 02) Wi2 • •• Wf

• • • W00 1П1 • • • W(j2) ini • •• • • • W^' 1n1

Рисунок 7. Суперматрица сети и ее компоненты

e

2N

В МАС мы ищем устойчивые приоритеты на основе предельной суперматрицы. Для получения предела мы должны возвести матрицу в степени. Каждая степень матрицы охватывает все транзитивности порядка, равного этой степени. Пре-

дел этих степений, согласно суммируемости по Чезаро (Cesaro), равен пределу суммы всех степеней матрицы. Транзитивности всех порядков охватываются этой серией степеней матрицы.

Суперматрица

с. с2 • • • с№2 сш с»

е1 _••• е1п '21е " " е2 П2 е(№2)1* " "е(»-2) N-2 • е» N

е11 е(№1)1* * *е(»-1) п»-!

с. : 0 0 • • • 0 0 0

с2 : W71 0 • • • 0 0 0

3 II

0 • • • 0 0 0

• • • • • • • • •

• • • • • • • • •

• • • • • • • • •

=N1 0 0 • • • Wn-l, п-2 0 0

с» • _ 0 0 • • • 0 I

п п, п-

Wk =

Рисунок 8. Суперматрица иерархии

0 0 ...0 0 0~ 0 0 ... 0 0 0

О 0 ... О О О

1Г ¡г ¡г ¡г ¡г ¡г ¡г ¡г ¡г ¡г Т

" 11,11-1" 11-1,11-2 •••" 32" 21 " 11,11-1" 11-1,11-2 ■ ■ ■ " 32 ■■■" 11,11-1" 11-1,11-2 " п,п-1 1 _

Рисунок 9. Предельная суперматрица иерархии, соответствующая иерархической композиции

Результат МАС носит нелинейный и довольно сложный характер. Предел может не сходиться, если матрица не стохастическая по столбцам, то есть сумма каждого из ее столбцов не равна единице. Если суммы по столбцам равны единице, то из того факта, что главное собственное значение матрицы лежит между наибольшей и наименьшей суммой ее столбцов, мы получаем, что главное собственное значение стохастической по столбцам матрицы равно единице.

Но для суперматрицы мы уже знаем, что Хтах (?) = 1, что следует из:

п п щ .

тах £ а1} > £ ар = Хтах для тж Щ,;

]=1 ]=1 Щ

п п Щ

тт £ а < £ аР—=ХтШ для тт щ .

]=1 ]=1 щ1

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Для стохастической матрицы по строкам

n n

1 = min £ Qj. < Amax < max £ ау = 1, то есть Amax =1.

jj jj

Такие же аргументы применими к матрице, которая является стохастической по столбцам.

Мы знаем, например, из теоремы Сильвестра (J.J. Sylvester) [3], что, когда собственные значения матрицы W различны, то функция fx) (разложение в степенной ряд fx) сходится при всех конечных значениях x), где переменная x заменена на W, задается в виде

n

f (W) = £ f (A. )z (A.),

¡=1

П (AI -A)

Z (A.) =

j *i

П (A j -A)'

j *i

£ 2 (А)=I,

¡=1

2 (А )2 (А,) = 0, 2 2(A¡) = 2 (А).

где I и 0 — единичная и нулевая матрицы соответственно.

Аналогичное выражение также возможно получить, если некоторые или все собственные значения имеют кратность.

Можем видеть, что если, как нужно в нашем случае, /(Ж) = Жк, то /(А ) = Ак и при к ^ го члены, которые дают конечное значение, отличное от нуля, — только те, для которых модуль собственного значения равен единице. Тот факт, что матрица W является стохастической, гарантирует это потому, что наибольшее собственное значение этой матрицы равно единице. Приоритеты альтернатив (или любого набора элементов в компоненте) получаются путем нормализации соответствующих значений в соответствующих столбцах предельной матрицы. Если матрица W имеет нули и приводима (ее граф не сильно связан, т. е. не существует пути от некоторой точки до другой), то предел может зациклиться, поэтому вычисляется среднее по Чезаро значение по различным пределам цикла.

11. Почему необходима стохастичность суперматрицы

Взаимодействие в суперматрице может быть измерено в соответствии с несколькими различными критериями. Для отображения критериев нам нужна отдельная иерархия контроля, которая будет включает в себя критерии и их приоритеты (см. примеры ниже). Для каждого критерия составляется своя суперматрица

воздействий, и с точки зрения этого критерия сравниваются компоненты в соответствии с их воздействием (или отсутствием воздействия) на каждый другой компонент в верхней части суперматрицы. В результате определяются приоритеты для взвешивания блок-матриц столбцов собственного вектора под этим компонентом в суперматрице. Результирующая стохастическая матрица известна как взвешенная суперматрица. Как мы увидим ниже, она должна быть стохастической, чтобы получить корректные предельные приоритеты.

Перед вычислением предела сначала необходимо свести суперматрицу к матрице, каждый из столбцов которой в сумме дает единицу, что приведет к так называемой стохастической по столбцам матрице. В общем случае суперматрица не является стохастической. Это объясняется тем, что ее столбцы состоят из нескольких собственных векторов, чьи элементы в нормализованном виде в сумме равны единице и, следовательно, сумма в столбце равна числу ненулевых собственных векторов. Для того чтобы превратить суперматрицу в стохастическую матрицу, мы должны сравнить кластеры в зависимости от их влияния друг на друга по общему рассматриваемому критерию контроля. Этот процесс сравнения мы должны повторить для каждого критерия контроля, при этом для каждого критерия необходимо несколько матриц. Каждая из этих матриц используется для сравнения влияния всех кластеров на некоторый кластер. Это позволяет получить собственный вектор влияния всех кластеров на каждый кластер. Такой вектор будет иметь нулевые компоненты при отсутствии влияния. Приоритет компонента такого собственного вектора используется для взвешивания всех элементов в блоке суперматрицы, который соответствует элементам как воздействующего кластера, так и кластера, находящегося под влиянием. Результатом этого является стохастической суперматрица. Это не принудительный способ сделать матрицу стохастический, а вполне естественный. Почему? Потому что элементы сравниваются между собой и требуется информация о важности кластеров, к которым они принадлежат, чтобы определить их относительный общий вес среди всех элементов в других кластерах. Приведем пример того, почему необходимо взвешивать приоритеты элементов для соответствующих кластеров. Если кто-то кричит в комнату: «Дамы и господа, президент...», все предупреждены и с неким благоговением ожидают увидеть президента Соединенных Штатов, потому что слышат о нем в новостях очень часто. Но если за анонсом следует: «.ассоциации по сбору мусора», приоритет сразу падает в зависимости от важности группы, к которой принадлежит президент. Мы не можем это не учитывать.

Суперматрица иерархии, приведенная выше, уже является стохастической по столбцам и ее кластеры имеют равные веса. В результате все блоки матрицы умножаются на одно и то же число. Таким образом, кластеры не обязательно должны

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

быть взвешены. Соответствующая предельная матрица, приведенная на рис. 9, имеет первый элемент в нижнем ряду, удовлетворяющий хорошо известному принципу иерархической композиции, который определяет приоритеты альтернатив на нижнем уровне по отношению к целям на верхнем уровне. В этом случае предельная суперматрица получается путем возведения суперматриы W в степени, при этом ^й степени (к > п — 1) достаточно, чтобы удовлетворить принципу иерархической композиции в (к, 1) позиции.

Если суперматрица является стохастической, предельные приоритеты зависят от ее приводимости, примитивности и цикличности с учетом четырех случаев (см. табл. 14). Здесь проиллюстрированы оба ациклических случая. Матрица А является приводимой, если при перестановках строк и столбцов ее можно представить в виде

о

В2 В3

где B\ и B3 — квадратные подматрицы. В противном случае матрица А не приводима или не разложима. Очевидно, что суперматрица иерархии является приводимой. Ее главное собственное значение Атах является кратным собственным значением. Матрица является примитивной, если некоторая ее степень положительна. В противном случае она называется импримитивной. Матрица должна быть приводимой для того, чтобы ее степени были цикличны, что лучше всего иллюстрируется следующим примером последовательных степеней матрицы (при этом можно заметить цикличность расположения элементов в соответствии со степенями матриц):

" 0 Ж ''12 0 " " 0 0 ' 12' 23

' = 0 0 Ж ''23 = Ж Ж ''23'' 31 0 0

Ж _"31 0 0 0 ' 31' 12 0

"' ' ' ' 12' 23' 31 0 0 "

ж 3 _ 0 ' ' ' ' 23' 31' 12 0

0 0 ' ' ' ' 31' 12' 23 _

\W12W23WJ 0 0

к II 0 0

0 0 "'Л _

Жзк+1 =

жзк+2 =

0 0

(Ж^Ж^Х 0

(«1^2)43^1 0

(ЖЖЖ^Ж 0 0

0 0

0

(Ж^Ж^к 0

0 0

Таблица 14. Характеристика Wx в терминах кратности собственных значений

Ациклическая Циклическая

Неприводимая X шах= 1 простой корень (т.е. корень кратности 1) другие собственные значения с модулем = 1 (они возникают в сопряженных парах)

Приводимая X тах= 1 кратный корень другие собственные значения с модулем = 1 (они возикают в сопряженных парах)

Пусть Ж — стохастическая матрица, для которой мы хотим получить /(Ж) = Ж™. Необходимо найти способ получить приоритеты для всех четырех случаев из табл. 14.

Рассмотрим два случая, сначала, когда Хтах = 1 — простой корень, а затем, когда Хтах = 1 — кратный. Формально, так как правая часть в формуле разложения, упомянутой выше, является полиномом для матрицы Ж, то при умножении обеих частей на Жполучим, что каждый член справа станет константой, умноженной на Ж™ и конечный результат будет также константой, умноженной на ЖТак как мы заинтересованы только в относительных значениях записей в Ж можно пренебречь константами и просто возвести матрицу Ж в очень большие степени, что делает компьютерная программа ЗирегВеыъют в случае различных собственных значений.

Рассмотрим случай, когда Хтах = 1 является кратным собственным значением. В этом случае мы можем воспользоваться вырожденной формой теоремы Сильвестра:

1

П <)

/ (Ж) = £ Т (X ,) = — / (Х)(Х/ - Ж)-1 -

;=1 ;=1(т -1)! ёП (Х-Х)

1=т, +1

где к — число различных корней, а щ — кратность корня X .

Х-Х

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Как мы покажем ниже, для получения предельных приоритетов, достаточно возвести W в сколь угодно большую степень, чтобы получить удовлетворительное десятичное приближение к 'х.

Единственными оставшимися ненулевыми корнями при возведении матрицы в степень будут те, которые равны единице или корню из единицы. Если кратность наибольшего действительного собственного значения Атах = 1 равна п , то мы имеем

d (п1—1)

' "= __(А1 — 1 Л(А)]

А(^(А)

где производные берутся от характеристического полинома матрицы W, и Л(А) = ёй(А1 — ') = Ап + рАп—1 +... + р. Также (А1 — 1 = ^(А,)/Л(А) и матрица ^ (А) = 'п—1 + (А + р )'п—2 + (А2 + р А + р )'п—3 +... + (Ап—1 + р Ап—2 +... + ря_ !)1 является сопряженной к матрице (А1 — ').

Теперь правая часть в матрице W является полиномиальной. Опять же, если мы умножим обе части на 'х, будем справа иметь константу, умноженную на 'х.

Это означает, что мы можем получить 'х за счет возведения матрицы W в большие степени.

Для случаев, когда Атах = 1 является простым или кратным корнем, посмотрим формально, что происходит с полиномиальными выражениями справа в обеих формулах Сильвестра, когда мы умножаем слева и справа сначала на ('с )х, получая одно уравнение, затем снова на ('с)х, получая другое, и так далее c раз, в итоге умножая обе части на ('с+с—1 )х. Затем мы просуммируем эти уравнения и возьмем их среднее значение с обеих сторон. Левая часть каждого из уравнений сводится к 'х, и среднее значение будет (1/ с)'х. В правой части сумма для каждого собственного значения, которое является корнем из единицы, есть просто константа, умноженная на сумму ('с)х + ('с+1)х +... + ('с+с—')". Так как эта сумма является общей для всех собственных значений, она выносится за скобки и ее различные константы в сумме приводят к новой константе, умноженной на (1/с). Это верно для простых и кратных собственных значений, так как применяется тот же самый процесс для получения констант. В конечном итоге мы имеем

-[('с)х + ('с+1)х +... + ('с+с—1)х] = -(1 + ' +... + 'с—1 Х'с)х, с > 2,

что приводит к усреднению цикла длины с, полученному возведением матрицы Ж в бесконечную степень. Цикличность с может быть определена, в частности, возвращением вида матрицы степеней Ж в первоначальную форму из нулевых блоков в матрице Ж.

Предупреждение. Некоторые интересные вещи могут произойти в предельной суперматрице, когда она приводима. Например, пусть у нас есть несколько целей в иерархии, которые не связаны с более высокой целью, т. е. у нас есть несколько источников, тогда мы можем иметь несколько предельных векторов для альтернатив, и они должны быть синтезированы каким-то образом, чтобы дать однозначный ответ. Чтобы это сделать, источники должны быть соединены с высшей целью и при-оритезированы по отношению к ней. В противном случае результат не будет уникальным, и мы не получим ничего, что имеет смысл в кооперативном решении (но может быть полезным для некооперативной задачи, когда цели, например, это различные способы предстать перед противником). Важно отметить, что иерархия всегда имеет единственный узел-источник (цель) и единственный конечный кластер-приемник (альтернативы), ее суперматрица приводима. Только тогда, когда суперматрица неприводима, и, следовательно, ее граф сильно связан, т. е. имеются пути от любого узла или кластера до любого другого узла или кластера, то столбцы суперматрицы будут идентичны. Это редкость, что суперматрица проблемы принятия решений неприводима. Если кластеры-источники не имеют достаточного взаимодействия, чтобы служить в качестве единственного источника, можно было бы взять среднее из альтернатив, относящихся к различным источникам, как если бы они были одинаково важны для получения единого общего результата.

12. Пример иерархической композиции приоритетов в задаче о выборе школы

Ниже на рис. 10 показана иерархия, а на рис. 11 — соответствующая ей суперматрица и предельная суперматрица, используемая для получения приоритетов трех школ при выборе наилучшей из них. Это именно то, что получается с помощью иерархической композиции с использованием МАИ. Приоритеты критериев в отношении цели и альтернативы по отношению к каждому критерию четко различимы в представленной суперматрице. Обратите внимание, что единичная подматрица для альтернатив в отношении самих альтернатив располагается в нижней правой части матрицы. Уровень альтернатив в иерархии является принимающим кластером узлов, поглощающим приоритеты, но не передающим их. Это приводит к использованию для них единичной подматрицы в суперматрице.

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Goal

Satisfaction with School

Рисунок 10. Иерархия выбора школы

The School Hierarchy as Supermatrix

Goal Learning Friends School life Vocational trainngCOllege preparation Music classes ABC

Goal 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Learning 0.32 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Friends 0.14 0 0 0 0 0 0 0 0 0

School life 0.03 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Vocational training 0.13 0 0 0 0 0 0 0 0 0

College preparation 0.24 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Music classes 0.14 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Alternative A 0 016 0.33 0.45 077 0.25 0.69 1 0 0

Alternative B 0 093 0.33 0C9 0.06 0.5 0.09 0 1 0

Alternative C 0 025 0.34 0.46 0.17 0.25 0.22 0 0 1

Limiting Supermatrix & Hierarchic Composition

Goal Learning Friends School lite Vocational tainngGOllege preparation Music dasses A B G

Goal 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Learning 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Frends 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

School lite 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Vocational tiairing 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

College preparation 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Music dasses 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Alternative A 03376 016 033 045 077 025 0.69 1 0 0

Alternative B 03781 053 033 009 006 0.5 0.09 0 1 0

Alternative C 02543 025 034 046 017 025 0.22 0 0 1

Рисунок 11. Предельная суперматрица иерархии выбора школы показывает такие же результаты, как и иерархическая композиция

13. Пример оценки относительной доли рынка

13.1. МАС с единственным критерием контроля

Модель оценки доли рынка структурирована в виде сети из кластеров и узлов. Цель состоит в том, чтобы попытаться определить относительную долю рынка кон-

курентов в конкретном бизнесе, выявить, что влияет на рыночную долю в этом бизнесе и сформировать сеть из кластеров, узлов и связей влияния. В качестве альтернатив при решении выступают конкуренты, а синтезированными результатами являются оценки их относительного доминирования. Потом результаты относительного доминирования можно сравнить с какой-либо внешней мерой, основанной, например, на долларах. Если используемой мерой является прибыль в долларах, то доходы конкурентов должны быть нормализованы, чтобы получить их в терминах относительной доли рынка.

Кластеры могут включать в себя клиентов, услуги, экономику, рекламу, качество товаров. Кластер клиентов, в свою очередь, может включать в себя узлы для возрастных групп людей, которые покупают продукты бизнеса: подростков, 20-33-летних, 34-55-летних, 55-70-летних и старше 70 лет. Рекламный кластер может включать в себя газеты, телевидение, радио и рекламные листовки. После того, как все узлы будут созданы, начинается выбор узла и связь его с другими узлами в модели, которая оказывает на него влияние. Затем дочерние узлы попарно сравниваются по отношению к родительскому узлу. При этом проводится стрелка от кластера родительского узла к кластеру с его дочерними узлами. Когда узел связан с узлами в своем кластере, стрелка становится петлей в этом кластере, и мы можем говорить об установлении внутренней зависимости.

Связанные узлы данного кластера попарно сравниваются по их влиянию на родительский узел, с которым они связаны, для определения приоритетности их влияния на этот узел. Сравнения основываются на том, кто является более важным для родительского узла в задаче захвата «доли рынка». Затем выявленные в результате парных сравнений приоритеты формируют суперматрицу для сети.

Кластеры также попарно сравниваются для установления их значимости по отношению к каждому кластеру, с которым они связаны. Полученная в результате матрица чисел используется для взвешивания соответствующих блоков исходной невзвешенной суперматрицы для получения взвешенной суперматрицы. Эту матрицу затем возводят в некоторую степень с целью получения предельной суперматрицы. Относительные значения для конкурентов получаются из столбцов предельной суперматрицы, в данном случае они будут одинаковыми, потому что матрица неприводима. Нормализация этих чисел дает относительную долю рынка.

Если доступны какие-либо данные по объемам продаж в долларах, количеству участников или некоторой другой известной мере, можно использовать эти относительные значения для проверки результата. В МАИ/МАС используется метрика совместимости, которая позволяет оценить, насколько близок результат МАС к известной мере. Эта метрика основана на вычислении произведении Адамара (Hadamard) для матрицы отношений результатов МАС и транспонированной мат-

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

рицы отношений фактических результатов с вычислением суммы все полученных элементов новой матрицы и делением этой суммы на л2, где n — количество элементов в векторе приоритетов. Требуется, чтобы полученное значение было близко к 1.

Приведем два примера оценки доли рынка, показывая детали расчетов в первом примере, и показывая только модели и результаты во втором.

13.2. Расчет относительной доли рынка компаний Walmart, Kmart и Target

Сеть для МАС модели, показанной на рисунке 12, хорошо описывает влияния, которые определяют рыночную долю этих компаний. Не будем подробно останавливаться на описании кластеров и узлов.

Рисунок 12. Кластеры и узлы модели для расчета относительной доли рынка компаний

Walmart, Kmart и Target

13.3. Невзвешенная суперматрица

Невзвешенная суперматрица строится с использованием приоритетов, полученных на основе различных парных сравнений. Столбец для узла содержит приоритеты всех узлов, которые попарно сравниваются с ним и влияют на него по критерию контроля «доля рынка». Суперматрица для сети на рис. 12 показана в двух частях в табл. 15 и 16.

Таблица 15. Невзвешенная суперматрица. Часть 1

1 Альтернативы 2 Реклама 3 Расположение

1 Walmart 2 Kmart 3 Target 1 ТВ 2 Печать 3 Радио 4 Почта 1 Город 2 Пригород 3 Окрестности

1 Альтерна- 1 Walmart 0.000 0.833 0.833 0.687 0.540 0.634 0.661 0.614 0.652 0.683

тивы 2 Kmart 0.750 0.000 0.167 0.186 0.297 0.174 0.208 0.268 0.235 0.200

3 Target 0.250 0.167 0.000 0.127 0.163 0.192 0.131 0.117 0.113 0.117

2 Реклама 1 ТВ 0.553 0.176 0.188 0.000 0.000 0.000 0.000 0.288 0.543 0.558

2 Печать 0.202 0.349 0.428 0.750 0.000 0.800 0.000 0.381 0.231 0.175

3 радио 0.062 0.056 0.055 0.000 0.000 0.000 0.000 0.059 0.053 0.048

4 Почта 0.183 0.420 0.330 0.250 0.000 0.200 0.000 0.273 0.173 0.219

3 Располо- 1 Город 0.114 0.084 0.086 0.443 0.126 0.080 0.099 0.000 0.000 0.000

жение 2 Пригород 0.405 0.444 0.628 0.387 0.416 0.609 0.537 0.000 0.000 0.000

3 Окрестн. 0.481 0.472 0.285 0.169 0.458 0.311 0.364 0.000 0.000 0.000

4 Группы 1 Белые 0.141 0.114 0.208 0.165 0.155 0.116 0.120 0.078 0.198 0.092

клиентов воротники

2 Синие 0.217 0.214 0.117 0.165 0.155 0.198 0.203 0.223 0.116 0.224

воротники

3 Семьи 0.579 0.623 0.620 0.621 0.646 0.641 0.635 0.656 0.641 0.645

4 Подростки 0.063 0.049 0.055 0.048 0.043 0.045 0.041 0.043 0.045 0.038

5 Товар 1 Низкая цена 0.362 0.333 0.168 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

2 Качество 0.261 0.140 0.484 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

3 Выбор 0.377 0.528 0.349 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

6 Характе- 1 Освеще- 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

ристики ние

магазина 2 Организ. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

3 Чистота 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

4 Работники 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

5 Парковка 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Таблица 16. Невзвешенная суперматрица. Часть 2

4 Группы клиентов 5 Товар 6 Характеристики магазина

1 Белые 2 Синие 3 Семьи 4 Под- 1 Низкая 2 Каче- 3 Выбор 1 Осве- 2 Орга- 3 Чис- 4 Ра- 5 Пар-

воротни- воротни- ростки цена ство щение низация тота ботни- ковка

ки ки ки

1 Аль- 1 Walmart 0.637 0.661 0.630 0.691 0.661 0.614 0.648 0.667 0.655 0.570 0.644 0.558

терна- 2 Kmart 0.105 0.208 0.218 0.149 0.208 0.117 0.122 0.111 0.095 0.097 0.085 0.122

тивы 3 Target 0.258 0.131 0.151 0.160 0.131 0.268 0.230 0.222 0.250 0.333 0.271 0.320

2 Ре- 1 ТВ 0.323 0.510 0.508 0.634 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

клама 2 Печать 0.214 0.221 0.270 0.170 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

3 Радио 0.059 0.063 0.049 0.096 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

4 Почта 0.404 0.206 0.173 0.100 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

3 Рас- 1 Город 0.167 0.094 0.096 0.109 0.268 0.105 0.094 0.100 0.091 0.091 0.111 0.067

поло- 2 Пригород 0.833 0.280 0.308 0.309 0.117 0.605 0.627 0.433 0.455 0.455 0.444 0.293

жение 3 Окрестн. 0.000 0.627 0.596 0.582 0.614 0.291 0.280 0.466 0.455 0.455 0.444 0.641

4 Кли- 1 Белые 0.000 0.000 0.279 0.085 0.051 0.222 0.165 0.383 0.187 0.242 0.165 0.000

енты воротники

2 Синие 0.000 0.000 0.649 0.177 0.112 0.159 0.165 0.383 0.187 0.208 0.165 0.000

воротники

3 Семьи 0.857 0.857 0.000 0.737 0.618 0.566 0.621 0.185 0.583 0.494 0.621 0.000

4 Под- 0.143 0.143 0.072 0.000 0.219 0.053 0.048 0.048 0.043 0.056 0.048 0.000

ростки

5 Товар 1 Низкая цена 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.800 0.800 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

2 Качество 0.000 0.000 0.000 0.000 0.750 0.000 0.200 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

3 Выбор 0.000 0.000 0.000 0.000 0.250 0.200 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000

6 Ха- 1 Осве- 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.169 0.121 0.000 0.250

ракте- щение

ристи- 2 Организ. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.251 0.000 0.575 0.200 0.750

ки 3 Чистота 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.673 0.469 0.000 0.800 0.000

магазина 4 Работники 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.308 0.304 0.000 0.000

5 Парков. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.075 0.055 0.000 0.000 0.000

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

13.4. Матрица кластеров

Мы должны сравнить сами кластеры, чтобы установить их относительную важность и использовать результаты для взвешивания соответствующих блоков суперматрицы, чтобы сделать ее стохастической по столбцам. Кластер воздействует на другой кластер, если он связан с ним, т. е. когда хотя бы один узел в исходном кластере связан с узлами в целевом кластере. Кластеры, связанные с исходным кластером, попарно сравниваются для определения важности их воздействия на него в отношении доли рынка, в результате чего получаем столбец приоритетов для этого кластера в матрице кластеров. Данные действия повторяются для каждого кластера в сети с целью получения матрицы, приведенной в табл. 17. Значения приоритетов в первом столбце отражают то, что товар (0.442) и расположение (0.276) имеют наибольшее влияние на альтернативы, а также на трех конкурентов.

Таблица 17. Матрица кластеров

1 Альтернативы 2 Реклама 3 Расположение 4 Группы клиентов 5 Товар 6 Характеристики магазина

1 Альтернативы 0.137 0.174 0.094 0.057 0.049 0.037

2 Реклама 0.091 0.220 0.280 0.234 0.000 0.000

3 Расположение 0.276 0.176 0.000 0.169 0.102 0.112

4 Группы клиентов 0.054 0.429 0.627 0.540 0.252 0.441

5 Товар 0.442 0.000 0.000 0.000 0.596 0.316

6 Характеристики магазина 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.094

13.5. Взвешенная суперматрица

Взвешенную суперматрицу, представленную в табл. 18 и 19, мы получили посредством умножения каждой записи в блоке компонента в верхней строке таблицы для суперматрицы на приоритет влияния компонента из левого столбца этой же таблицы, взятый из матрицы кластеров в табл. 17. Например, первая запись (число 0.137) из табл. 17 используется для умножения каждой из девяти записей в блоке (Альтернативы, Альтернативы) в невзвешенной суперматрице, представленной в табл. 15 и 16. В результате мы получаем элементы для компонента (Альтернативы, Альтернативы) в взвешенной суперматрице в табл. 18. Каждый столбец взвешенной суперматрицы в сумме дает единицу, следовательно, матрица является стохастической по столбцам.

Таблица 18. Взвешенная суперматрица. Часть 1

1 Альтернативы 2 Реклама 3 Расположение

1 Walmart 2 Kmart 3 Target 1 ТВ 2 Печать 3 Радио 4 Почта 1 Город 2 Пригород 3 Окрестности

1 Альтернативы 1 Walmart 0.000 0.114 0.114 0.120 0.121 0.110 0.148 0.058 0.061 0.064

2 Kmart 0.103 0.000 0.023 0.033 0.066 0.030 0.047 0.025 0.022 0.019

3 Target 0.034 0.023 0.000 0.022 0.037 0.033 0.029 0.011 0.011 0.011

2 Реклама 1 ТВ 0.050 0.016 0.017 0.000 0.000 0.000 0.000 0.080 0.152 0.156

2 Печать 0.018 0.032 0.039 0.165 0.000 0.176 0.000 0.106 0.064 0.049

3 Радио 0.006 0.005 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 0.016 0.015 0.014

4 Почта 0.017 0.038 0.030 0.055 0.000 0.044 0.000 0.076 0.048 0.061

3 Расположение 1 Город 0.031 0.023 0.024 0.078 0.028 0.014 0.022 0.000 0.000 0.000

2 Пригород 0.112 0.123 0.174 0.068 0.094 0.107 0.121 0.000 0.000 0.000

3 Окрестности 0.133 0.130 0.079 0.030 0.103 0.055 0.082 0.000 0.000 0.000

4 Группы клиентов 1 Белые воротники 0.008 0.006 0.011 0.071 0.086 0.050 0.066 0.049 0.124 0.058

2 Синие воротники 0.012 0.011 0.006 0.071 0.086 0.085 0.112 0.140 0.073 0.141

3 Семьи 0.031 0.033 0.033 0.267 0.356 0.275 0.350 0.411 0.402 0.404

4 Подростки 0.003 0.003 0.003 0.021 0.024 0.019 0.023 0.027 0.028 0.024

5 Товар 1 Низкая цена 0.160 0.147 0.074 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

2 Качество 0.115 0.062 0.214 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

3 Выбор 0.166 0.233 0.154 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

6 Характеристики магазина 1 Освещение 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

2 Организация 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

3 Чистота 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

4 Работники 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

5 Парковка 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Таблица 19. Взвешенная суперматрица . Часть 2

4 Группы клиентов 5 Товар 6 Характеристики магазина

1 Белые воротники 2 Синие воротники 3 Семьи 4 Подростки 1 Низкая цена 2 Качество 3 Выбор 1 Освещение 2 Орга-низ. 3 Чистота 4 Работники 5 Парковка

1 Альт ерна- тивы 1 Walmart 0.036 0.038 0.036 0.040 0.033 0.030 0.032 0.036 0.024 0.031 0.035 0.086

2 Kmart 0.006 0.012 0.012 0.009 0.010 0.006 0.006 0.006 0.004 0.005 0.005 0.019

3 Target 0.015 0.007 0.009 0.009 0.006 0.013 0.011 0.012 0.009 0.018 0.015 0.049

2 Рекл ама 1 ТВ 0.076 0.119 0.119 0.148 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

2 Печать 0.050 0.052 0.063 0.040 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

3 Радио 0.014 0.015 0.012 0.023 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

4 Почта 0.095 0.048 0.040 0.023 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Расположение 1 Город 0.028 0.016 0.016 0.018 0.027 0.011 0.010 0.016 0.010 0.015 0.018 0.031

2 Пригород 0.141 0.047 0.052 0.052 0.012 0.062 0.064 0.071 0.051 0.074 0.073 0.135

3 Окрестности 0.000 0.106 0.101 0.098 0.063 0.030 0.029 0.076 0.051 0.074 0.073 0.295

4Груп пы клиентов 1 Белые воротники 0.000 0.000 0.151 0.046 0.013 0.056 0.042 0.247 0.082 0.156 0.107 0.000

2 Синие воротники 0.000 0.000 0.350 0.096 0.028 0.040 0.042 0.247 0.082 0.134 0.107 0.000

3 Семьи 0.463 0.463 0.000 0.398 0.156 0.143 0.157 0.119 0.257 0.318 0.400 0.000

4 Подростки 0.077 0.077 0.039 0.000 0.055 0.013 0.012 0.031 0.019 0.036 0.031 0.000

5 Товар 1 Низкая цена 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.477 0.477 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

2 Качество 0.000 0.000 0.000 0.000 0.447 0.000 0.119 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

3 Выбор 0.000 0.000 0.000 0.000 0.149 0.119 0.000 0.000 0.316 0.000 0.000 0.000

6 Хара ктери-стики магазина 1 Освещение 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.016 0.017 0.000 0.097

2 Организация 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.035 0.000 0.079 0.027 0.290

3 Чистота 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.092 0.044 0.000 0.110 0.000

4 Работники 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.029 0.042 0.000 0.000

5 Парковка 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.010 0.005 0.000 0.000 0.000

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

13.6. Предельная суперматрица

Предельная суперматрица приведена в табл. 20 и 21, она получена из взвешенной суперматрицы так, как это было описано ранее.

Таблица 20. Предельная суперматрица. Часть 1

1 Альтернативы 2 Реклама 3 Расположение

1 Walmart 2 Kmart 3 Target 1 ТВ 2 Печать 3 Радио 4 Почта 1 Город 2 Пригород 3 Окрест.

1 Альтернативы 1 Walmart 0.057 0.057 0.057 0.057 0.057 0.057 0.057 0.057 0.057 0.057

2 Kmart 0.024 0.024 0.024 0.024 0.024 0.024 0.024 0.024 0.024 0.024

3 Target 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015

2 Реклама 1 ТВ 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079

2 Печать 0.053 0.053 0.053 0.053 0.053 0.053 0.053 0.053 0.053 0.053

3 Радио 0.009 0.009 0.009 0.009 0.009 0.009 0.009 0.009 0.009 0.009

4 Почта 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039

3 Расположение 1 Город 0.022 0.022 0.022 0.022 0.022 0.022 0.022 0.022 0.022 0.022

2 Пригород 0.062 0.062 0.062 0.062 0.062 0.062 0.062 0.062 0.062 0.062

3 Окрест. 0.069 0.069 0.069 0.069 0.069 0.069 0.069 0.069 0.069 0.069

4 Группы клиентов 1 Белые воротники 0.068 0.068 0.068 0.068 0.068 0.068 0.068 0.068 0.068 0.068

2 Синие воротники 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125

3 Семьи 0.240 0.240 0.240 0.240 0.240 0.240 0.240 0.240 0.240 0.240

4 Подростки 0.036 0.036 0.036 0.036 0.036 0.036 0.036 0.036 0.036 0.036

5 Товар 1 Низкая цена 0.043 0.043 0.043 0.043 0.043 0.043 0.043 0.043 0.043 0.043

2 Качество 0.034 0.034 0.034 0.034 0.034 0.034 0.034 0.034 0.034 0.034

3 Выбор 0.028 0.028 0.028 0.028 0.028 0.028 0.028 0.028 0.028 0.028

6 Характеристики магазина Освещение 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Организация 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

3 Чистота 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

4 Работники 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

5 Парковка 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Таблица 21. Предельная суперматрица. Часть 2

4 Группы клиентов 5 Товар 6 Характеристики магазина

1 Белые 2 Синие 3 Семьи Подростки 1 Низкая 2 3 Вы- 1 1 Органи- 3 Работни 5 Парковка

воротни- воротники цена Каче- бор Осве- зация Чисто ки

ки ство щение та

1 Альтер- 1 Walmart 0.057 0.057 0.057 0.057 0.057 0.057 0.057 0.057 0.057 0.057 0.057 0.057

нативы 2 Kmart 0.024 0.024 0.024 0.024 0.024 0.024 0.024 0.024 0.024 0.024 0.024 0.024

3 Target 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015

2 Реклама 1 ТВ 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079

2 Печать 0.053 0.053 0.053 0.053 0.053 0.053 0.053 0.053 0.053 0.053 0.053 0.053

3 Радио 0.009 0.009 0.009 0.009 0.009 0.009 0.009 0.009 0.009 0.009 0.009 0.009

4 Почта 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039

3 Распо- 1 Город 0.022 0.022 0.022 0.022 0.022 0.022 0.022 0.022 0.022 0.022 0.022 0.022

ложение 2 Пригород 0.062 0.062 0.062 0.062 0.062 0.062 0.062 0.062 0.062 0.062 0.062 0.062

3 Окрест. 0.069 0.069 0.069 0.069 0.069 0.069 0.069 0.069 0.069 0.069 0.069 0.069

4 Группы 1 Белые 0.068 0.068 0.068 0.068 0.068 0.068 0.068 0.068 0.068 0.068 0.068 0.068

клиентов воротники

2 Синие 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125

воротники

3 Семьи 0.240 0.240 0.240 0.240 0.240 0.240 0.240 0.240 0.240 0.240 0.240 0.240

4 Подростки 0.036 0.036 0.036 0.036 0.036 0.036 0.036 0.036 0.036 0.036 0.036 0.036

5 Товар 1 Низкая цена 0.043 0.043 0.043 0.043 0.043 0.043 0.043 0.043 0.043 0.043 0.043 0.043

2 Качество 0.034 0.034 0.034 0.034 0.034 0.034 0.034 0.034 0.034 0.034 0.034 0.034

3 Выбор 0.028 0.028 0.028 0.028 0.028 0.028 0.028 0.028 0.028 0.028 0.028 0.028

6 Харак- 1 Освещение 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

теристи- 2 Организа- 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

ки мага- ция

зина 3 Чистота 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

4 Работники 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

5 Парковка 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Чтобы получить окончательный результат, необходимо вычислить среднее по Чезаро (Cesaro) для прогрессии последовательных предельных векторов.

13.7. Результаты расчетов относительной доли рынка

Относительные рыночные доли альтернатив (0.599, 0.248 и 0.154) вычислены в результате синтеза в программе SuperDecisions и представлены в последнем столбце в табл. 22. Они получены посредством нормализации значений для Walmart, Kmart и Target, взятых из предельной суперматрицы — (0.057, 0.024 и 0.015).

Идеализированные значения получаются из нормализованных значений посредством деления каждого значения на наибольшее значение в этом столбце.

Таблица 22. Синтезированные результаты для альтернатив

Альтернативы Значения из предельной суперматрицы Нормализованные значения

Walmart 0.057 0.599

Kmart 0.024 0.248

Target 0.015 0.154

В МАИ/МАС актуален вопрос о том, насколько близок один вектор приоритетов к другому вектору приоритетов относительных измерений. Когда два вектора близки, мы говорим, что они совместимы. Вопрос заключается в том, как измерить совместимость в наглядном виде. Оказывается, что согласованность и совместимость могут быть связаны. Наш подход к вычислению меры совместимости использует идею Адамара, основанную на поэлементном произведении двух матриц.

13.8. Индекс совместимости

Сначала покажем, что вектор приоритетов м = (м, •••, ) полностью совместим с самим собой. Для этого сформируем матрицу всех возможных отношений Ж = (^ ) = (Wi|Wj) из этого вектора. Эта матрица является обратно симметричной,

т. е/ м = 1 ^ • Произведение Адамара обратно симметричной матрицы Ж и транспонированной матрицей Жт определяется по формуле:

Ж о Ж' =

WJ wi

wl/wl ^

WJW1 ••• Wn!Wn

W,

\!wi

wJwA fi

vl

n

i

m

vly

(i i).

ее

Ж /М1 ••• м? /ж

V 1/ я я/ я у

Сумму элементов матрицы А можно записать в виде вАвТ• В частности, имеем

етА ° А'е = п2 для суммы элементов произведения Адамара для матрицы А и ее транспонированной версии Ат. Индекс совместимости находится как сумма элементов матрицы, полученной при вычислении произведения Адамара, деленная на

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

и2. Таким образом, вектор приоритетов полностью совместим с самим собой, так как и2 / и2 = 1. Теперь у нас есть представление о том, как определить меру совместимости для двух матриц А и В. Эта мера задается формулой (\/п2)еТ А° ВТ е. Обратите внимание, что обратно симметричная матрица суждений, являющаяся несогласованной, не является матрицей отношений из данного вектора. Тем не менее такая матрица имеет главный собственный вектор и, таким образом, мы говорим о совместимости матрицы суждений и матрицы, составленной из отношений на основе главного собственного вектора. Имеем следующую теорему для обратно симметричной матрицы суждений и матрицы W отношений на основе главного собственного вектора:

Теорема. Справедливо выражение

Доказательство.

Из Aw = w име

п~) п

Za.w. = К

'J J m

К

Ж J п- —— ■ wt п

Мы хотим, чтобы это отношение было близко к единице или в общем случае было не на много больше, чем 1.01, и было меньше этого значения для матриц малого размера. Это согласуется с идеей о том, что отклонение в 10% находится на верхней границе приемлемости результата.

13.9. Фактическая относительная доля рынка по данным продаж

Наша цель заключается в оценке доли рынка Walmart, Kmart и Target. Нормализованные результаты, полученные с помощью построенной модели, были сопоставлены с фактическими данными по продажам (представленными в материалах журнала Discount Store News от 13 июля 1998 г., стр. 77) в размере 58, 27.5 и 20.3 миллиардов долларов соответственно (табл. 23). Нормализация сумм в долларах показывает фактические относительные доли рынка: 54.8, 25.9 и 19.2. Относительная доля рынка из модели сравнивалась со значениями продаж посредством построения матрицы парных сравнений на основе вектора результатов в столбце 1, матрицы парных стравнений на основе вектора результатов в столбце 3 и вычисления индекса совместимости с использованием произведения Адамара. Индекс ока-

1=1

и

зался равен 1.016. Так как это число близко к 1.01, то можно сказать, что результаты, полученные с помощью МАС, близки к реальным данным, отражающим фактическую относительную долю рынка.

Таблица 23. Сравнение результатов с фактическими данными

Конкурсант Результат MAC Продажи Относительная доля рынка

Walmart 59.8 $58.0 billion 54.8

Kmart 24.8 $27.5 billion 25.9

Target 15.4 $20.3 billion 19.2

Индекс совместимости 1.016

14. План МАС

Ниже представлен план реализации при решении какой-либо прикладной задачи.

1. Опишите проблему принятия решений в деталях, включая ее цели, критерии и субкритерии, участников и их цели, а также возможные результаты этого решения. Детально опишите все, что может повлиять на принятие решений.

2. Определите критерии контроля и субкритерии в терминах четырех иерархий контроля для таких параметров, как Преимущества, Возможности, Расходы и Риски, связанные с этим решением и получите приоритеты на основе матриц парных сравнений. Если критерий контроля или субкритерий имеет глобальный приоритет 3% или менее, можно аккуратно удалить его из дальнейшего рассмотрения. Для таких параметров, как Преимущества и Возможности, спросите, что дает наибольший экономический эффект или представляет наибольшую возможность влиять на выполнение критерия контроля. Для таких параметров, как Расходы и Риски, спросите, что требует наибольших расходов или сталкивается с наибольшим риском. Иногда (очень редко) сравнения делаются просто с точки зрения Преимуществ, Возможностей, Расходов и Рисков в совокупности без использования критериев контроля и субкритериев.

3. Определите наиболее общую сеть кластеров (или компонентов) и их элементы, которые задействованы для всех критериев контроля. Для того чтобы лучше организовать разработку модели, пронумеруйте и организуйте кластеры и их элементы в удобном виде (возможно, по столбцам). Используйте одну и ту же метку, чтобы представлять один и тот же кластер и одни и те же элементы для всех критериев контроля.

4. Определите для каждого критерия контроля или субкритерия кластеры общей системы обратной связи с их элементами и соедините элементы в соответствии с их внешней и внутренней зависимостью влияний. Стрелка рисуется из кластера в любой кластер, элементы которого влияют на его.

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

5. Определите подход, которому вы хотите следовать при анализе каждого кластера или элемента: подход, оценивающий влияние на другие кластеры и элементы по какому-либо критерию (это более предпочтительный подход) или подход, оценивающий влияние со стороны других кластеров и элементов. Выбранный подход должны применяться ко всем критериям для четырех иерархий контроля в рамках всего решения.

6. Постройте для каждого критерия контроля суперматрицу посредством расположения кластеров в порядке, в котором они пронумерованы, аналогичным обо-разом расположите элементы в каждом кластере как по вертикали слева, так и по горизонтали сверху. Установите в соответствующие позиции приоритеты, полученные на основе парных сравнений в виде подстолбцов соответствующего столбца суперматрицы.

7. Выполните парные сравнения для элементов внутри самих кластеров с учетом их влияния на каждый элемент в другом кластере, с которым они связаны (внешняя зависимость), или на элементы в их собственном кластере (внутренняя зависимость). В процессе сравнения всегда необходимо помнить о критерии, по отношению к которому выполняется сравнение.

8. Выполните парные сравнения кластеров с учетом их влияния на каждый кластер, с которым они связаны, по отношению к критерию контроля. Полученные веса используются для взвешивания элементов соответствующих блоков столбцов в суперматрице. Нулевой вес назначается при отсутствии какого-либо влияния. В результате будет получен взвешенный столбец стохастической по столбцам суперматрицы.

9. Вычислите предельные приоритеты стохастической суперматрицы согласно тому, является ли она неприводимой (примитивной или импримитивной [циклической]) либо приводимой с одним простым или кратным корнем, является ли система циклической или нет. При этом возможны два варианта результатов. При первом варианте все столбцы матрицы одинаковые, и каждый столбец дает относительные приоритеты элементов, из которых выводятся приоритеты элементов в каждом кластере, нормализованные к единице. При втором варианте предельные циклы в блоках и различные ограничения суммируются, усредняются и снова нормализуются к единице для каждого кластера. Несмотря на то, что векторы приоритетов вводятся в суперматрицы в нормализованной форме, предельные приоритеты ставятся в идеализированной форме, так как критерии контроля не зависят от альтернатив.

10. Обобщите предельные приоритеты посредством взвешивания каждого идеализированного предельного вектора по весу его критерия контроля и просуммируйте результирующие векторы для каждого из четырех параметров: Преимуще-

ства (В), Возможности (O), Расходы (C) и Риски (R). Искомый результат, включающий в себя предельные значения параметров, получается посредством формирования отношения BO/CR для каждой альтернативы на основе четырех векторов. Один из вариантов синтеза предполагает использование альтернативы с наибольшим значением отношения BO/CR в качестве искомой. Компании и физические лица с ограниченными ресурсами часто предпочитают именно этот вариант синтеза. Правительства предпочитают другие варианта синтеза. Например, следующий: определить стратегические критерии и их приоритеты, чтобы оценить четыре параметра поочередно; осуществить нормализацию полученных таким образом четырех оценок и использовать их для общего синтеза четырех векторов; для каждой альтернативы отделить сумму Расходов и Рисков от суммы Преимуществ и Возможностей. Кроме того, можно взвесить каждый из параметров, а затем рассмотреть их сумму. Это полезно для прогнозирования численных результатов, например, когда необходимо оценить, сколько людей проголосовало за альтернативу и сколько проголосовали против нее. В итоге, у нас есть три различных варианта для синтеза.

11. Выполните анализ чувствительности для полученного конечного результата. Ответьте на вопрос: может ли другой близкий результат служить в качестве лучшего результата? Почему? Оцените, насколько устойчив полученный результат. Сравните полученный конечный результат с другими вариантами решения посредством вариации отношений.

15. Подробный пример разработки BOCR моделей

Рассмотрим пример разработки BOCR моделей для компании Walt Disney World, созданной с целью анализа перспективности строительства нового тематического парка в Большом Китае (исполнители анализа — Эмбер Лин-Хуэй (Amber Ling-Hui), Лин СуЛун Пен (Lin SzuLun Peng)).

15.1. Введение. Общие сведения

В целях увеличения количества операций на зарубежных рынках компания Walt Disney World постоянно находится в поиске регионов, где она может выйти на новый рынок. В соответствии с прогнозируемым количеством иностранных посетителей компания Walt Disney World планирует увеличить текущий уровень посещаемости иностранных посетителей в отечественных парках с 20 до 50 %, а также расширить свой тематический парковый бизнес за пределами США. Для достижения этих прогнозируемых процентов компания стремится предпринять интенсивные попытки по расширению своего присутствия на зарубежных рынках, особенно

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

в Большом Китае. Тем не менее, компания должна тщательно оценить возможные выгоды, а также расходы и потенциальные риски, приняв во внимание различные социальные и экономические проблемы в этом регионе. В этой модели мы сузили набор альтернатив до таких как Гонконг, Шанхай, Тайвань и Отсутствие инвестиции в Большой Китай. Действительно, пробуждающийся и растущий средний класс в этих регионах — хорошая целевая аудитория для тематического парка Диснея.

15.2. Цель компании Walt Disney World

Цель компании Walt Disney World — делать минимальные инвестиции в акционерный капитал и обеспечивать большую часть своей прибыли через лицензионные и комиссионные поступления.

15.3. Основная модель

15.3.1. Сети BOCR моделей и определения кластеров

В соответствии с BOCR моделями для таких параметров, как Преимущества, Возможности, Расходы и Риски, различные кластеры определяют взаимодействие по установленной иерархии контроля. Преимущества сети показывают альтернативы, которые дают наибольшую пользу, Возможности сети указывают на ту альтернативу, которая предлагает лучшие возможности, в то время как Расходы и Риски сетей указывают на альтернативы, которые являются наиболее дорогостоящими или представляют наибольший риск по каждой альтернативе.

При этом сначала необходимо построить сети и подсети для каждой из BOCR моделей, сделать суждения и оценки, определив, какая альтернатива является лучшей в каждом конкретном случае для данного конкретного решения. Важность BOCR моделей должна затем определяться по их рейтингу в отношении стратегических критериев организации или лица, принимающего решения.

15.3.2. Критерии контроля и подсети BOCR моделей

Каждая из BOCR моделей на рис. 13 имеет критерии контроля, приоритеты которых устанавливаются посредством парного сравнения. Критерии контроля поочередно связывают подмодели сети, которые содержат альтернативные решения и кластеры элементов. Таким образом, приоритеты альтернатив определяются в каждой подсети. Эти приоритеты взвешиваются с помощью своих критериев контроля, полученные результаты умножаются на веса BOCR моделей из рейтинговой модели и объединяются с целью получения окончательных результатов. Альтернативы присутствуют в кластере в каждом решении подсети, поэтому мы определяет их именно здесь. Мы рассматриваем три альтернативных варианта размещения тема-

тического парка Диснея в Большом Китае и еще одну альтернативу — не строить парк вообще.

Рисунок 13. Подсети решений с кластерами и узлами для каждой BOCR модели

15.3.3. Альтернативы (в каждой подсети):

- не инвестировать в Большой Китай;

- инвестировать в Гонконг;

- инвестировать в Шанхай;

- инвестировать в Тайвань.

Рассмотрим первую подсеть в соответствии с общественным критерием контроля для Преимуществ и укажем ее кластеры.

15.3.4. Кластеры в подсети Преимущества/Общественность

Здесь мы выделили 3 кластера.

1. Альтернативы (их 4 и они везде одинаковые).

2. Рынок.

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Кластер Рынок содержит следующие узлы.

Ценность бренда.

Ценность бренда мы рассматриваем в качестве нематериального (неосязаемого) актива компании Walt Disney World. Ценность бренда представляет репутацию и имидж компании на рынке. В пределах этой подсети мы рассмотрим, как много Преимуществ каждая альтернатива может принести компании с точки зрения увеличения ценности бренда.

Международный характер.

Международный характер оценивает разнообразие базы посетителей. Чем выше разнообразие базы посетителей, тем больше Преимуществ у компании.

Рыночная конкуренция.

Рыночная конкуренция оценивает число конкурентов сравнимого масштаба на одном рынке. В рамках этого кластера мы обсудим, на какой уровень в плане Преимуществ может выйти компания по каждой альтернативе с учетом конкуренции.

3. Политические факторы.

Кластер Политические факторы содержит следующие узлы.

Государственное регулирование.

Благоприятное государственное регулирование на местах принесет, безусловно, Преимущества компании.

Политическая обстановка.

Стабильная политическая обстановка создаст перспективную инвестиционную среду. Таким образом, Преимущества будут определяться на основе текущей политической стабильности и потенциальной политической нестабильности каждой альтернативы.

15.3.5. Взаимодействия между кластерами в подсети Преимущества/Общественность

В этой подсети мы можем видеть взаимодействие между кластерами, а также взаимодействия внутри кластеров.

Рыночные факторы. Прежде всего, так как правительственные постановления и политическая среда будут влиять на международный характер и конкуренцию на рынке, мы можем видеть взаимодействие между кластером Рынок и кластером Политические факторы. Кроме того, различные варианты выбора, которые компания осуществляет, будут влиять на саму компанию с точки зрения ценности бренда, международного характера и рыночной конкуренции. Наконец, конкурентоспособность компании и международный характер рынка также в итоге могут повлиять на ценность бренда компании. Таким образом, мы можем увидеть еще взаимодействие внутри самого кластера Рынок.

Политические факторы.

Помимо взаимодействия с кластером Рынок, кластер Политические факторы также взаимодействует с кластером Альтернативы, поскольку политические факторы подвержены влиянию различных альтернатив.

Альтернативы.

В то время как каждая альтернатива влияет на рыночные и политические факторы, эти факторы также влияют на решение компании по выбору альтернатив. Таким образом, существуют обратные взаимодействия между кластером Альтернативы и двумя другими кластерами.

15.3.6. Кластеры подсети Преимущества/Экономика

Здесь мы также выделили 3 кластера.

1. Альтернативы.

2. Финансовые факторы.

Кластер Финансовые факторы содержит следующие узлы.

Валовой доход и уровень совокупного чистого дохода.

В соответствии с этим узлом будут рассматриваться только текущие валовой доход и уровень совокупного чистого дохода населения региона. Мы предполагаем, что более высокий уровень доходов населения приведет к росту бизнеса компании и дальнейшему увеличению ее доходов.

Наемный труд.

Наемный труд определяется текущим состоянием на рынке местной рабочей силы. Более низкая трудовая заработная плата принесет преимущества компании.

Рентабельность.

Рентабельность определяется прогнозируемой прибылью на основе текущей ситуации на рынке.

3. Инфраструктура.

Кластер Инфраструктура содержит следующие узлы.

Вместимость.

Вместимость определяется возможностями размещения в гостиницах региона.

Ресурсы.

Под ресурсами понимается качество строительства и эффективности региона.

Транспортировка.

Под транспортировкой понимается текущее развитие местных железных дорог, аэропортов, тоннелей и т.д. Если регион уже хорошо развит, компания может извлечь Преимущества из имеющихся ресурсов транспортной системы для клиентов.

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

В табл. 24 и 25 приведены приоритеты и рейтинги альтернатив для подсетей Преимущества/Общественность и Преимущества/Экономика.

Таблица 24. Приоритеты и рейтинги альтернатив для подсети Преимущества/Общественность

Графика Альтернативы Общий Нормированный Идеализированный Рейтинг

1 Не инвестировать в Большой Китай 0.0045 0.0099 0.0219 4

Гонконг 0.2059 0.4521 1.0000 1

Шанхай 0.1556 0.3417 0.7558 2

■ Тайвань 0.0894 0.1963 0.4342 3

Таблица 25. Приоритеты и рейтинги альтернатив для подсети Преимущества/Экономика

Графика Альтернативы Общий Нормированный Идеализированный Рейтинг

1 Не инвестировать в Большой Китай 0.0273 0.0579 0.1242 4

™ Гонконг 0.2201 0.4662 1.0000 1

Ш Шанхай 0.1379 0.2922 0.6267 2

■ Тайвань 0.0867 0.1837 0.3940 3

Синтез результатов из подсетей общественных и экономических решений для БОСЯ модели по параметру Преимущества дает результаты, приведенные в табл. 26. Нормализованные значения (выделены жирным шрифтом) показывают, что Гонконг предлагает самые лучшие Преимущества, оцененные на уровне в 46.4%.

Таблица 26. Синтезированные результаты(приоритеты и рейтинги)

для модели параметра Преимущества

Графика Альтернативы Общий Нормированный Идеализированный Рейтинг

1 Не инвестировать в Большой Китай 0.107 0.050 0.107 4

Гонконг 1.0000 0.464 1.000 1

Шанхай 0.648 0.301 0.648 2

■ Тайвань 0.401 0.186 0.401 3

В BOCR моделях таких параметров, как Возможности, Расходы и Риски, подсети строятся на основе той же логики, что и для параметра Преимущества. Детали их кластеров и узлов аналогичны деталям BOCR модели по параметру Преимущества и не будут здесь показаны. Общее представление о том, как они выглядят, можно получить из рис. 13. Синтезированные результаты по каждому из критериев контроля для параметров Возможности, Расходы и Риски приведены соответственно в табл. 27, 28 и 29.

Таблица 27. Синтезированные результаты (приоритеты и рейтинги)

для модели параметра Возможности

Графика Альтернативы Общий Нормированный Идеализированный Рейтинг

Не инвестировать в Большой Китай 0.019 0.010 0.019 4

Гонконг 0.428 0.224 0.428 3

Шанхай 1.000 0.524 1.000 1

Тайвань 0.462 0.242 0.462 2

Таблица 28. Синтезированные результаты (приоритеты и рейтинги)

для модели Расходы

Графика Альтернативы Общий Нормированный Идеализированный Рейтинг

1 Не инвестировать в Большой Китай 0.104 0.040 0.105 4

■ Гонконг 0.610 0.233 0.617 3

Шанхай 0.989 0.378 1.000 1

Тайвань 0.912 0.349 0.922 2

Таблица 29. Синтезированные результаты (приоритеты и рейтинги)

для модели Риски

Графика Альтернативы Общий Нормированный Идеализированный Рейтинг

1 Не инвестировать в Большой Китай 0.116 0.051 0.118 4

щ Гонконг 0.425 0.188 0.434 3

Шанхай 0.981 0.434 1.000 1

Тайвань 0.736 0.326 0.751 2

15.3.7. Модель решений для оценки стратегических критериев

Последний шаг в решении заключается в определении стратегических критериев, которые являются более или менее одинаковыми для организаций или физических лиц в принятии какого-либо решения. Эти критерии используются, чтобы оценить BOCR модели в плане Конкуренции, Уровня доходов, Инфраструктуры, Международного характера и Политической поддержки как показано в табл. 30.

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Мы решили, что пяти стратегических критериев будет достаточно, чтобы отразить основные корпоративные идеи компании о своих тематических парках.

Чтобы оценить стратегические критерии, необходимо сначала попарно их сравнить по важности в иерархии, выражающейся в приоритетах, представленных под названиями критериев в табл. 30. Затем определяются интенсивности, чтобы указать степень реализации (в случае Преимуществ и Возможностей) или воздействия (в случае Расходов и Рисков). Интенсивности и их приоритеты (в идеальной форме) таковы: Очень сильная (1.000), Сильная (0.627), Средняя (0.382), Умеренная (0.232) и Слабая (0.148). Приоритеты определяются для интенсивностей на основе парных сравнений. В данном примере одни и те же интенсивности и приоритеты используются для каждого стратегического критерия, хотя они могут быть разными.

15.3.8. Определение стратегических критериев

Стратегические критерии определены ниже. Они сравниваются попарно, чтобы определить их важность по отношению к цели компании. Затем определяются рейтинги для каждого из этих критериев и выполняются попарные сравнения для установления их приоритетов. Эти рейтинги используются для определения приоритета или важности для таких параметров, как Преимущестав, Возможности, Расходы и Риски с целью дальнейшего взвешивания результатов в подмоделях, прикрепленных к ним.

Конкуренция.

Наличие успешных тематических парков в регионе можно рассматривать как положительно, так и отрицательно. Другие тематические парки, уже имеющиеся в регионе, представляют конкуренцию для компании. Однако наличие конкурентов может позволить привлечь в регион больше клиентов, желающих посетить несколько парков.

Уровень дохода.

Валовой доход и уровень совокупного чистого дохода населения региона также могут повлиять на успех тематического парка. Рассмотрим, например, Tokyo Disney Land. Примерно 95% посетителей парка являются местными жителями. Таким образом, высокий средний уровень доходов японцев, кажется, действительно вносит свой вклад в огромный успех компании в Японии.

Инфраструктура.

Инфраструктура в районе парка и региональной поддержка также играют важную роль. Посетители должны иметь возможность легко добраться до парка. Поэтому во время строительства парка должна развиваться и транспортная система. Хороший регион должен иметь инфраструктуру для эффективной поддержки пар-

ка. Кроме того, регион должен способствовать тому, чтобы посетители как можно дольше находились в парке. Например, к моменту открытия парка необходим запас номеров в гостиницах, при этом должны быть доступны номера в различных ценовых категориях (эконом-класс, стандарт, люкс).

Международный характер.

Компания выступает за «международный характер» тематического парка в Большом Китае. Разнообразие базы посетителей позволит снизить риски, связанные с негативным влиянием на поток иностранных туристов.

Политическая поддержка.

Для компании очень важна поддержка со стороны местного правительства. Эта поддержка может варьироваться от предоставления хорошего места для строительства тематического парка до обеспечения достаточного потока капитала.

15.3.9. Рейтинги Преимуществ, Возможностей, Расходов и Рисков

При выборе в табл. 30 рейтингов для параметра Преимущества, например, нужно иметь в виду альтернативу с синтезированными результатами для модели параметра Преимущества (см. табл. 26), которая имеет самые лучшие преимущества, а именно, Гонконг. Например, Преимущества Гонконга при конкуренции по стратегическому критерию или по цели сильные. Преимущества по уровню дохода у Гонконга будут очень сильными, поскольку люди имеют высокий совокупный чистый доход. Такие заключения по Гонконгу справедливы для всех стратегистис-ких критериев.

При выставлении рейтингов для таких параметров, как Расходы и Риски, необходимо иметь в виду, что альтернатива с самым высоким приоритетом является наиболее дорогостоящей или наиболее рискованной. При выставлении рейтингов по параметру Риски особое внимание следует обратить на Шанхай. Шанхай имеет очень сильные Риски в плане конкуренции и сильные Риски по уровню доходов, поскольку люди имеют невысокий совокупный чистый доход, и средние Риски для политической поддержки. Это означает, что эти Риски не слишком велики для компании в Шанхае, так как она надеется на поддержку китайского правительства.

Общие приоритеты для BOCR моделей вычисляются посредством умножения и сложения по каждой строке с нормализацией конечного результата, показанного в последнем столбце табл. 30. Приоритеты показывают, что наиболее важным параметром является парамер Преимущества (31.9%), за которым следует параметр Возможности (26.4%). Это означает, что приоритеты альтернатив в рамках параметра Преимущества взвешиваются в большей степени. При этом приоритет параметра Риски оценен всего в 19.3%.

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Окончательные результаты, представленные в табл. 31, получены с использованием формулы bB + oO - ^ - ^, где Ь, o, c и г являются приоритетами для параметров Преимущества, Возможности, Расходы и Риски, полученными из рейтинга стратегических критериев в табл. 30. Это формула применяется для альтернатив с использованием векторов приоритетов из синтезированных результатов (Б, O, C и R в формуле) в табл. 25-28. Так как эта формула включает в себя вычитание, поэтому общие синтезированные результаты, приведенные в табл. 30, могут быть отрицательными. В этом случае альтернатива считается нежелательной. Иногда бывает так, что все результаты в табл. 31 отрицательные, тогда необходимо выбрать наименее нежелательный. В табл. 31 положительные результаты помечены синим цветом, а отрицательные — красным. При этом Гонконг является лучшей альтернативой с самым высоким положительным значением, а Тайвань —является самой худшей с наибольшим (по модулю) отрицательным значением.

Таблица 30. Оценки и приоритеты BOCR моделей

Очень высокий(1.000), Высокий(.627), Средний(.382), Достаточный(.232) и Слабый(.148)

Конкуренция (0.127) Доходность (0.190) Инфраструктура (0.147) Международный характер (0.323) Политическая поддержка (0.214) Приоритеты

Преиму- Высокий Очень высо- Высокий Очень высокий Очень высокий 0.319

щества кий

Возмож- Очень высокий Высокий Высокий Очень высокий Высокий 0.264

ности

Расходы Очень высокий Средний Высокий Высокий Высокий 0.223

Риски Очень высокий Высокий Высокий Средний Средний 0.193

Таблица 31. Модели BOCR: общие синтезированные результаты (приоритеты и рейтинги)

Графика Альтернативы Общий Нормированный Идеализированный Рейтинг

Не инвестировать в Большой Китай -0.006 -0.017 -0.030 3

Гонконг 0.214 0.567 1.000 1

Шанхай 0.061 0.161 0.284 2

Тайвань -0.096 -0.255 -0.449 4

Как мы видим, из общих синтезированных результатов в табл. 31 лучший вариант для компании — построить свой новый тематический парк в Гонконге.

15.3.10. Графики анализа чувствительности

На рис. 14 вертикальные пунктирные линии представляют приоритеты BOCR моделей. На каждом графике, считая от левой границы, направа сверху вниз отображают: 1) Преимущества: Не инвестировать в Большой Китай, Гонконг, Шанхай, Тайвань; 2) Возможности: Гонконг, Не инвестировать в Большой Китай, Шанхай,

Тайвань; 3) Расходы: Гонконг, Шанхай, Тайвань, Не инвестировать в Большой Китай; 4) Риски: Гонконг, Шанхай, Тайвань, Не инвестировать в Большой Китай. Анализ чувствительности на рис. 14 показывает, что когда важность Преимуществ больше, чем 0.05, инвестиции в Гонконг является лучшим вариантом. Для того чтобы посмотреть, что происходит, когда, например, важность Преимуществ увеличивается, вертикальная линия может быть перемещена вправо. При приоритете Преимуществ выше, чем примерно 0.39, наименее предпочтительная альтернатива изменяется с альтернативы Тайвань на альтернативу Не инвестировать в Большой Китай. График непосредственно под Гонконгом — Шанхай. Это можно было бы интерпретировать как указание, что инвестиции в Большом Китае должны где-нибудь быть обязательно с точки зрения Преимуществ.

Risk«

Рисунок 14. График чувствительности для сетей BOCR моделей

При 22.3% для Расходов Гонконг (верхний график) является наиболее дорогостоящим, а Тайвань (нижний график) является наименее дорогостоящим, возможно, из-за политической неопределенности и отсутствия поддержки инфраструктуры в Гонконге. По мере увеличения Расходов (после примерно 39%) альтернатива Не инвестировать в Большой Китай выходит вперед (соответствующий график выхо-

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

дит наверх). При 19.3% для Рисков верхний график соответствует Гонконгу, поэтому соответствующая ему стратегия наиболее рискованна, а нижний график соответствует Тайваню, то есть соответствующая ему статегия наименее рискованна. Когда Риски составляют менее чем примерно 50%, предпочтительной альтернативой являются инвестиции в Гонконг. Поскольку важность Рисков увеличивается, предпочтительной альтернативой является вообще Не инвестировать в Большой Китай, но так как приоритет отрицателен и лежит ниже оси х, то это не является особенно хорошей альтернативой, хотя она и имеет наименее отрицательный приоритет. Таким образом, крайне рискованно не вкладывать деньги в Большой Китай вообще. В целом, наибольшие Преимущества и Возможности лежат в материковом Китае, но и самые большие Расходы и Риски тоже здесь. С учетом всего вышесказанного, Гонконг является самой предпочтительной альтернативой для инвестиций компании Walt Disney World.

Данное исследование было проведено до реализации проекта. И теперь парк Диснейленд, построенный на цветущем острове Лантау (Lantau) всего в 24 минутах от центра города Гонконг, является пятым парком компании Walt Disney World, предлагающим людям посетить мир приключений и развлечений с момента своего открытия в сентябре 2005 года.

16. Вопрос о сохранении и пересмотре рейтингов в дискретном случае

При относительном измерении значение приоритета, связанного с альтернативой, зависит от значений приоритетов всех альтернатив, с которыми она сравнивается, т. е. измерение альтернативы не является постоянным, а зависит от того, какие еще другие альтернативы измеряются. Поэтому, если альтернативы были упорядочены на основе рейтинга по результатам парных сравнений, их приоритеты и общий рейтинговый порядок могут измениться, когда добавляются новые альтернативы или удаляются старые. То есть возможен пересмотр рейтингов альтернатив. Известно, что такой пересмотр не может произойти, когда альтернативы сравниваются по одному критерию и суждения согласованы, пересмотр возможен только по отношению к нескольким критериям. Экспериментально было показано, что пересмотр рейтингов происходит в среднем только в 8% случаев [10].

Одним из следствий веры в шкалы измерения в качестве бесспорного и единственного способа измерения является идея о том, что измерение альтернатив может и должно выполняться независимо друг от друга, и, таким образом, измерение одной альтернативы не может повлиять на рейтинговый порядок других альтернатив независимо от того, насколько важной или неважной является эта альтернатива. Естественно надеяться, что это также должно быть верным в многокритериальных

решениях, где мы имеем измерения одних и тех же альтернатив не по одному свойству, а сразу по нескольким с использованием различных шкал, и желать объединить эти измерения с использованием весов критериев или других видов чисел для получения для альтернатив общего рейтинга измерений. Такого рода догма приводит к тому, что известно, как сохранение рейтинга.

На первый взгляд кажется разумным и убедительным, что, когда альтернатива добавляется или удаляется, то весовые коэффициенты критериев не зависят от альтернатив и, в частности, когда никакие критерии не добавляются и не удаляются, а суждения не изменяются. Причем это требование, естественно, напрашивается само собой, чтобы реализовать процесс присвоения номеров альтернативам независимо от других альтернатив (т. е. когда каждая альтернатива рассматривается по отдельности).

Все методы принятия решений, которые ранжируют альтернативы не зависимо от других, страдают от следующего. Добавление большого числа копий или близких копий альтернативы может обесценить значение, а также ранг этой альтернативы, и сводит на нет возможность доказательства теоремы о том, что рейтинг независимых альтернатив должен сохраняться, когда суждения остаются теми же, и никакие критерии не добавляются или не удаляются или их веса не изменяются. Такой критерий, как «множественность», который представляет собой число альтернатив, не может быть использован в рейтинге, поскольку он вызывает зависимость рейтинга каждой альтернативы от существования любой другой альтернативы, что противоречит предположению о независимости. Нелогично (или мы могли бы сказать, что неправильно) для всех многокритериальных методов, что все они используют ранжирование альтернатив по одной (по отдельности от других), не принимая вышесказанное во внимание.

Были высказаны многочисленные возражения со стороны различных авторов к предположению о сохранении рейтинга, когда альтернативы оцениваются по одной (по отдельности от других) описанным выше способом. В некоторых многокритериальных методах рейтинг альтернатив сохраняется в случаях, когда это сохранение неуместно и рейтинг должен быть пересмотрен.

Укажем три причины, почему сохранение рейтинга не является надежным принципом.

1. Не существует теоремы или закона природы, которые бы подтверждали ошибочное наблюдение, что сохранение рейтинга всегда должно поддерживаться в многокритериальном измерении, когда используется одна или несколько шкал измерения, каждая из которых измеряет сущности по отдельности от других. Если не использовать такие шкалы, то ни один факт, известный о поведении сущностей, которые измеряются с помощью таких шкал, не должен применяться. Любой убе-

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

дительный пример, который нарушает сохранение рейтинга, доказывает, что ранжирование альтернатив по отдельности от других является неуместным методом при многокритериальном принятии решений с предположениями о независимости.

2. Имеется много работ с примерами пересмотра рейтинга, опубликованных выдающимися учеными, которые показывают допустимость пересмотра рейтинга, а некоторые авторы пошли дальше и показали, что принуждение к сохранению рейтинга может приводить к неблагоразумным результатам.

3. Парные сравнения могут привести к пересмотру рейтинга среди альтернатив, когда новые альтернативы будут добавлены или старые — удалены. Сохранение ранга желательно только тогда, когда критерии, используемые для оценки альтернатив, являются внешними (наружными) или нисходящими условиями (а не внутренними атрибутами), наложенными на альтернативы. При ранжировании внутренних атрибутов нужно думать об альтернативах, и это случай зависимости критериев от альтернатив. Если критерии зависят от альтернатив, все может случиться в рейтингах альтернатив, т. е. рейтинги альтернатив могут измениться. Но если к альтернативам применяются внешние условия, рейтинги альтернатив должны быть сохранены. Это также справедливо и для внутренних условий, важность которых приобретает автономию в течение длительного времени и не привязана к имеющимся альтернативам.

17. Групповое принятие решений

Здесь мы рассмотрим два аспекта группового принятия решений [11]. Во-первых, как агрегировать индивидуальные суждения в представительную группу суждений, а во-вторых, как реализовать групповой выбор на основе результатов индивидуального выбора. В действительности групповые решения не должны приниматься на основе консенсуса, поскольку суждения различных людей об одном и том же могут сильно различаться.

В реальном мире невозможно спрятаться от проблемы группового принятия решений. Свойство взаимнообратности играет важную роль в объединении суждений нескольких лиц с целью получения группового суждения. Суждения должны быть объединены таким образом, что взаимообратная величина синтезированных суждений была равна синтезированной величине взаимообратных этих суждений. Было доказано, что среднее геометрическое является единственным способом сделать это. Если люди являются экспертами, они могут не захотеть объединять свои суждения, их интересует только окончательный результат из иерархии. В этом случае берется среднее геометрическое окончательных результатов. Если сами эксперты имеют разные приоритеты важности, то их суждения (окончательные результаты) возводятся в степени, равные их приоритетам, а затем вычисляется среднее

геометрическое. Ниже приводится краткое изложение результатов исследований, которые я сделал с Яношем Ацчелем (Janos Aczel) много лет назад [12].

17.1. Как агрегировать индивидуальные суждения

Пусть функция /(х,..., хи), объединяющая суждения п судей, удовлетворяет следующим условиям.

1. Условие разделимости /(х,..., хи) = g(х)...g(хи) для всех х,..., хп в интервале Р положительных чисел, где g — это функция, отображающая интервал Р в интервал ^ и являющаяся непрерывной, ассоциативной и сократимой. [Условие означает, что влияния индивидуальных суждений могут быть разделены.]

2. Условие целостности (Ц): /(х,...,х) = х для всех х из интервала Р. [Условие (^ означает, что если все люди дают одно и то же суждение х, то это суждение и есть синтезированное суждение.]

3. Условие однородности (Н): /(их,...,ихп) = и/(х,...,хи) где и > 0 и хк, ихк (к = 1,2,...,п) принадлежат интервалу Р. [Для отношения суждений условие (Н) означает, что если все люди считают, что некоторое отношение в и раз больше, чем другое отношение, то синтезированное суждение должно давать такой же результат, т. е. считать, что это же некоторое отношение в и раз больше, чем другое отношение.]

4. Степенные условия (Р ): /(хр,...,хр) = /р(х,...,хи) . [Условие (Р2), например, означает, что если к-е лицо считает, что длина стороны квадрата равна ^ , то синтезированное суждение о площади этого квадрата будет определяться квадратом синтезированного суждения о длине его стороны.]

Особый случай — это условие (Я=Р_1):

f (х-'-к )=У/ (х,... х„).

Условие (R) означает, что синтезированное значение взаимнообратных индивидуальных суждений должно быть взаимнообратным синтезированного значения исходных суждений.

Ацель (Ло2е1) и Саати [4] доказали следующую теорему.

Теорема. Обобщенные разделимые синтезирующие функции, удовлетворяющие условиям целостности (Ц) и однородности (Н) являются функциями среднего геометрического и среднего степенного. Если, кроме того, условие взаимооб-ратности (Я) выполняется хотя бы для одного п-кортежа(х1,...,хп) записей суждений п лиц, в котором не все элементы равны друг другу, то только среднее геометрическое удовлетворяет всем перечисленным выше условиям.

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

В любом рациональном консенсусе те, кто знает больше, должны, соответственно, повлиять на консенсус сильнее, чем те, кто менее осведомлены. Некоторые люди явно мудрее и более разумны в определенных вопросах, чем другие, некоторые люди могут быть более влиятельными, и их мнениям нужно присвоить соответственно больший вес. При такой неодинаковой важности людей не все функции g в условии одинаковы. Вместо условия мы теперь имеем условие взвешенной рзделимости (WS): / (х,..., хп ) = ^ (х )...£и (хи ). [Условие (WS) подразумевает, что при синтезе суждений не все люди имеют одинаковый вес судейства, и различные влияния людей находят отражение в различных функциях (g1,..., gи ). ]

В этой ситуации, Ацель (Ао2е1) и Альсина (АЫпа) [13] доказали следующую теорему.

Теорема. Обобщенные взвешенно-разделимые (^Б) синтезирующие функции, удовлетворяющие условиям целостности (и) и однородности (Н) являются функциями взвешенного среднего геометрического / (х, х,..., X) = Х?1 и взве-

шенного среднего степенного / (х, х,..., X ) = V ЯХ + д2ху +... + япх"У,, где ^ +... + ди = 1,, я > 0, к = 1,..., п, у> 0, а в остальном ,...,ди, у — произвольные постоянные.

Если для функции / также выполняется условие взаимообратности хотя бы для одного «-кортежа (х1,...,хп) записей суждений п лиц, в котором не все элементы равны друг другу, то применяется только взвешенное среднее геометрическое.

Приведем следующую теорему, которая является явной постановкой задачи синтеза, что следует из предыдущих результатов.

Теорема: Если х(1 \ ..., хП!), г = 1, ..., т являются рейтингами п альтернатив от т независимых судей, и если а — это важность ¡-го судьи, полученная из иерархии а для оценки судей, и, следовательно,

являются объединенными рейтингами альтернатив для m судей.

Обратите внимание, что, по существу, среднее геометрическое возводит каждое суждение в степень 1/n, делая суждение каждого человека столь же важным, как и суждение любого другого человека. Степень или приоритет /-го судьи — это просто повторение суждения этого судьи (как будто есть столько судей, как указано степенью a,), что приводит к умножению отношения самого на себя a, раз.

Следующая полезная теорема была доказана в совместной, еще не опубликованной работе, с моим другом и коллегой Луисом Г. Варгасом (Luis G. Vargas). Она показывает, насколько важно обсуждать проблемы, с тем чтобы смягчить крайние

позиции настолько, насколько это возможно, и сделать более простым диалог между членами группы. Такой диалог должен помочь людям договориться, чтобы действовать сообща в принятии решений.

Теорема (ограниченная несогласованность). Для группы согласованных лиц несогласованность групповых суждений, агрегированная с помощью среднего геометрического из индивидуальных суждений, в худшем случае равна самой большой из индивидуальных несогласованностей.

Доказательство. Сначала покажем, что несогласованность группы по циклам длиной три удовлетворяет этой теореме и связана с индексом несогласованности

n -1 n(n - 1)i<tj<„

' 1 Л е.., ч--

Jjk

е

V JJk У

где — главное собственное значение матрицы (аук = (и^/иу )г 1]к). Таким об-

^ у^рк^Л ^^у ( к I А ук 1к ^^ у

разоМ мы имеем X® W k =у japkWjk =у (wk/wJk )е jkwjk = Wi Уе jk и

^ =Е у для всех г'.

Пусть (аук = (и^/иу)вук), к = 1,2,..., т — матрицы парных сравнений размером п х п для т лиц. Пусть 8 =^к — 1. По определению несогласованность в индивидуальных суждениях означает, что а^ауй ф аЯк по крайней мере для некоторых

у, к. Несогласованность цикла длиной 3 для к-го лица может быть измерена через величину аука^а1{к. Ясно, что, если эти суждения согласованы, то а^а^а^ = 1.

для всех /, у и 1. Таким образом, несогласованность может быть измерена с помощью индекса, из которого нужно исключать петли, соединяющие суждения с сами собой и предотвращающие образование циклов длиной 3. Имеем

!к (п,3) = 777 о7 ^ аукалкаик = ~, 777 77 ^ 8 ук8ук8»,

п(п — 1)(п — 2) у у у п(п — 1)(п — 2) у у у

что равно единице при согласованности. Индекс, соответствующий матрице средних геометрических для группы, определяется в виде

a.a,a,. =

V J1 1j

1 (n,3) n(n - 1)(n - 2) У П{ajjkaA) n(n - 1)(n - 2) У

=-1-У е е е.. =-1-У П(е*е .„е,.,)- <

n(n - 1)(n - 2) yi J V 1 n(n - 1)(n - 2) yiПK Jj Jk ,jk)

J с, jе») f=№ мг - < -Uk (n,3)}.

Здесь мы снова использовали неравенство Гельдера (Holder).

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Таким образом, несогласованность цикла длиной 3 для группы не превышает наибольшую индивидуальную несогласованность цикла длиной 3. Покажем, что величина /^ (п,3) аналитически связана с индексом несогласованности цк. Эта величина служит для связи ц для группы с Ц,Ц2,...,, несогласованность оценивает

индивидуальные суждения, поэтому мы можем сказать, как несогласованность индивидуальных суждений влияет на несогласованность среднего геометрического этих суждений.

Подставляя 1 + 5^. вместо е^,, получим

4 (п,3) = 1 X (1 + 5ук)(1 + 5]1к)(1 + 5а) =

п(п - 1)(п - 2) 3 3 3

1

п(п - 1)(п - 2)

п(п - 1)(п - 2) + п^5

гук X у у1к X у Ш

ш

+ 5гук5у!к + 5гук5Ук + 5гук5у!к + 53'к5у!к51гк

= 1 + Х5ук + п(п - 1)(п - 2) Х 3ук + п(п - 1)(п - 2) Х 3. Кроме того,

= X(1 + 5*) = п + Х5ук и ц - ^^ = —.Х5 к.

у 3 У 3 п-1 п-13 3

Отметим, что для любого г. 5ик = 0 для всех к. Суммируя по /, получим

п(п - 1)-ГТ 3

Теперь можем записать индекс /^ (п, 3) для к-го лица как функцию от в виде:

+

/к(п,3) = 1 + (Л)^Х5" + п(п - 1Х„ - 2) ,5,5"5У

+--X 5 <5 >,5,, =

п(п - 1)(п - 2) 5 3 Тк "к

= 1 + ^2) Цк + п(п - 13(п - 2) Х 5укХ 53 ,к + п(п - 1)(п - 2) Х 5гк53,к5=

= 1 + ^2) Цк + пп-2) Х 8* + п(п - 1)(п - 2) Х ^35,гк = -1 3п 3(п -1) 2 1 ^ „ <, <,

= 1+ / Цк + , тч Цк + , X 5 г/к5/к5,гк .

(п - 2) (п - 2) п(п - 1)(п - 2) 3 3

В окрестности s ■■ = 1 вблизи согласованности имеем

3п

1к (п, 3) = 1 + --— цк + о(8..к)

и для группового индекса I(п, 3), избавляясь от индекса к,

п(п - 1)(п - 2)

1

Z 5 j5 jl

Таким образом, имеем

3 п ( I(п, 3) = 1 +--ц + о(5,) < max < 1 +

п-2 j к

3п

-Цк + o(5jk и maxK }•

17.2. О построении группового решения на основе индивидуальных

Кеннет Эрроу (Kenneth Arrow), рассмотрев группу экспертов, набор альтернатив (с мощностью большей, чем 2), а также индивидуальные порядковые предпочтения для альтернатив, доказал теорему о невозможности коллективного выбора, получив за нее Нобелевскую премию [14]. Данная теорема утверждает, что невозможно получить рациональный групповой выбор (построить функцию общественного выбора, объединяющую индивидуальные предпочтения) из порядковых предпочтений лиц, который удовлетворяет следующим четырем условиям (т. е., по крайней мере, одно из них нарушается):

1. Универсальность. Процедура агрегирования должна обеспечивать упорядочение списка альтернатив.

2. Единогласие. Если все лица предпочитают альернативу А по отношению к альтернативе Б, то процедура агрегирования должна обеспечивать упорядочение, свидельствующее, что группа предпочитает альтернативу А по отношению к альтернативе B.

3. Независимость от посторонних альтернатив. Если имеются два набора альтернатив, каждый из которых включает в себя альтернативы А и B, и если все лица предпочитают альтернативу А по отношению к альтернативе B в обоих наборах, то процедура агрегирования для любого набора из этих двух должна обеспечивать упорядочение, свидельствующее, что группа предпочитает альтернативу А по отношению к альтернативе B.

4. Отсутствие диктатора. Ничье предпочтение не может определять результат выбора независимо от предпочтений других лиц.

Используя фундаментальную шкалу абсолютных чисел МАИ, можно реализовать рациональный групповой выбор, удовлетворяющий всем четыре вышеуказан-

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

ные условиям. Мы доказали это вместе с Л.Г. Варгас (L.G. Vargas) [15]. Это возможно потому, что: а) индивидуальные шкалы приоритетов всегда могут быть получены из множества попарных суждений о предпочтениях, если они образуют по крайней мере, минимальное остовное дерево в полностью связном графе из сравниваемых альтернатив; и б) суждения о предпочтениях, связанные с выбором группы относятся к абсолютной шкале, которая представляет собой относительную интенсивность предпочтений группы.

18. Обобщение на непрерывный случай

В дискретном случае мы имели, что

n

X jj = Vax Wj, (1)

j = 1

n

X w = 1. (2)

¡=1

С учетом того, что щ.. = 1/щ (то есть a^a^ = 1) и щ > 0, обобщим (1) на непрерывный случай через интегральное уравнение Фредгольма (Fredholm) второго рода (такой же вывод мы можем получить непосредственно из принципов, описывающих реакцию нейрона на стимулы) [16]:

b

J K(s, t) w(t) dt = Xmax w(s), (3)

a

в котором вместо матрицы A записано положительное ядро K(s, t) > 0. Решение w(s) этого уравнения — правая собственная функция.

Удобно переписать это уравнение, перенеся собственное значение Xmax влево

= lAmax )

b

XjK (s, t)w(t )dt = w(s) (4)

a

при условии:

b

J w(s)ds = 1. (5)

a

Собственная функция этого уравнения определяется с точностью до константы. Если w(t) есть собственная функция, соответствующая значению X, а C — произвольная константа, то мы видим, что Cw(t) также является собственной функцией, соответствующей тому же значению X. Значение X = 0 не является характеристическим значением, потому что в этом случае мы имеем соответствующее реше-

ние м>(?) = 0 для каждого значения /, что является тривиальным случаем, исключенным из нашей дискуссии. Здесь мы также имеем, что

К(я, О К(/, я) = 1, (6)

так что ядро К(5,/) не только положительно, но и взаимнообратно. Примером такого ядра является ядро К (я, г) = = е* /

Как и в дискретном случае, ядро К(я,1) согласовано и удовлетворяет отношению

К(я, /) К(/, и) = К(я, и) для всех я, /, и и. (7)

Если я = / = и, то К(я,я)=1 для всех я, что соответствует наличию матрицы с единицами на главной диалонали в дискретном случае.

В результате мы приходим к фундаментальному уравнению, решением которого является собственная функция уравнения Фредгольма.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Ядро К(я, () согласовано тогда и только тогда, когда оно сепара-бельно:

К (я, г ) = к (я )/к (г). (8)

Теорема 2. Если ядро согласовано, то решение уравнения (4) имеет вид

л (я) = к (я)/1 к = ак (я). .„ч

Необходимо отметить, что эта формулировка носит общий характер и относится ко всем ситуациям, где требуется непрерывная шкала. Это в равной степени относится к получению или обоснованию шкал приоритетов при изучении научных явлений.

Определим теперь форму к(я) и ^(я).

В дискретном случае нормализованный собственный вектор не зависит от того, были ли все элементы матрицы А парных сравнений умножены на константу а или нет. Таким образом, мы можем заменить матрицу А на матрицу аА и получить тот же собственный вектор. Обобщая этот результат, мы имеем:

К (ая, аг) = аК (я, г) = к (ая)/к (аг) = а к (я )/к (г). (10)

Это означает, что ядро К(я, /) является однородной функцией первого порядка.

Теорема 3. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы было решением уравнения Фредгольма второго порядка с согласованным ядром, которое является однородной функцией первого порядка, нужно, чтобы оно удовлетворяло следующему функциональному уравнению

л ( ая ) = Ъл ( я ), (11)

где Ъ = аа ■

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Очевидно, что любой аспект реального мира, будь то зрение, слух, осязание, вкус, запах, тепло или холод, в каждый момент времени многократно оказывает воздействие на наши органы чувств. Стимул величины 5 получается из преобразования подобия ая, а > 0, что называется дилатацией 5. Это есть растяжение, если а > 1, или сжатие, если а < 1.

Из (11) следует, что отношение между отреагировавшим на изменения стимулом и исходным стимулом имеет вид

w

w '

Уравнение (11) называется функциональным уравнением шкалы отношений. Из-за широкого применения этого уравнения в науке мы можем назвать его также фундаментальным уравнением пропорциональности и порядка [16]. Можно вывести это уравнение непосредственно из знания о реакциях на стимулы с учетом идеи об осуществлении контроля, для которого необходима пропорциональность. Это было бы верно и для композиции стимулов, составленной из нескольких стимулов при использовании функции вместо единственной переменной 5. Если подставим s = au в (11), то получим

w (aм -1) - bw (аи) = 0.

[Я благодарен моему другу Яношу Ацелю (Jаnos Aczel), мировому лидеру в области функциональных уравнений, за его помощь при выводе формул (12) и (13), приведенных ниже.] Если запишем

w(au) = bup(u),

то получим:

p (и +1) - p (и ) = 0,

где р(и) — периодическая функция с периодом 1, например, соз(и/(2я)).

Отметим, что, если переменные а и 5 являются действительными, то и переменная и — тоже действительная, причем, она может быть отрицательной при положительных а и 5.

Если в последнем уравнении р(0) не равно нулю, мы можем ввести С = р(0) и Р(и) = р(и)/С. Тогда в общем случае мы имеем:

1оя а

где функция Р — также периодическая функция с периодом 1, а Р(0) = 1; при этом С > 0, только если р(0) положительно, в противном случае, если р(0) < 0, то и С < 0.

>Ф) = Се1оё ь ЮН Р ^ , (12)

В окрестностях нуля экспоненциальный множитель, равный slosMosa, «сжимает» w(s) при log b/log a > 0 и «растягивает» w(s) при log b/log a < 0. Так как 5 является значением стимула и не может быть отрицательным, нам не приходится сталкиваться с комплексными переменными, пока a и b являются положительными действительными числами. Решение в комплексноq области имеет вид:

w( z) = z111 b 111 aP (— 1, (13)

V ln a )

где функция P(u) при u = ln z/ln a является многозначной периодической функцией периодом 1. Даже без многозначности функции P функция w(z) может быть многозначной, так как ln b/ln a в общем случае является комплексным числом. Если функция P(u) однозначная функция и ln b/ln a — целое или вещественное число, то w(z) — однозначная функция или многозначная с конечным числом значений соответственно.

Данное решение приводит к закону Вебера-Фехнера (Weber-Fechner).

Заметим, что из (12) следует, что периодическая функция Р(и) ограничена, и отрицательная экспонента приводит к знакопеременным рядам. Таким образом, при аппроксимации первого порядка при разложении в ряд получим закон Вебера-Фехнера: a log s + b в качестве отклика на стимул s. Будем считать, что b = 0, следовательно, отклик на стимул принадлежит шкале отношений. Напомним, что при проведении сравнительного анализа мы формируем отношение на основе двух показаний по шкале отношений, которое является безразмерным числом и принадлежит к фундаментальной шкале абсолютных чисел.

Стимулы, получаемые мозгом от внешней среды, преобразуются в химическую и электрическую нейронные активности, которые приводят к суммированию и синтезу. Все это трансформируется в осознание природы посредством преобразования электрического синтеза (вибрации, вызванной паттерном) в пространственно-временное представление. То, как мозг переходит от паттерна стимулов к его электро-химическому синтезу, а затем к представлению отклика на этот пространственно-временной паттерн, можно отобразить, применив преобразование Фурье к стимулу и обратное преобразование Фурье — для формирования отклика.

Покажем теперь, что пространственноо-временное преобразование Фурье (13) представляет собой комбинацию распределений Дирака. Наше решение уравнения Фредгольма представлено ниже в форме преобразования Фурье:

+да

f (®) = J F(x)e-2niax dx = CePa P(®), (14)

-да

чья обратная форма имеет вид:

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Л, А, (2ттп + 0(Ъ) - х)

(— 1ое а > а ---—---

2л ^ п (к^ а |Ъ | + (2лп + 0(Ъ) - х)

г 5(2лп + 0(Ъ) - х), (15)

где 5(2лт + 0(и) — х) — дельта-функция Дирака, которая означает, что то, как мы реагируем на стимулы, имеет вид дельта-возбуждений. Именно так и работают нейроны. Ответы нейронов представляют собой импульсы, следовательно, мозг является дискретной возбуждающейся системой. А это подтверждает целесообразность использования обобщенной модели сравнений.

19. Формирование изображений и звуков на основе распределений Дирака

Комплекснозначные функции с мнимой частью не могут быть изображены как обычные функции трех действительных переменных. Тем не менее, можно построить график модуля или абсолютного значения такой функции. Чтобы представить ответ на последовательность индивидуальных стимулов, мы сделали предположение, что все слои в сети нейронов являются идентичными, и каждое значение стимула представлено возбуждением нейрона в каждом слое. Недостатком такого представления является то, что оно не является инвариантным относительно порядка, в котором стимулы поступают в сеть. В случае зрения известно, что глаза не сканируют изображения симметрично, если они не являются симметричными, и, следовательно, наше представление должно удовлетворять некоторому принципу инвариантности. Принятие во внимание этого принципа позволит нам представлять изображения независимо от формы, в которой стимулы поступают в сеть. Например, мы распознаем изображение, даже если оно подвергается вращению или некоторой деформации. Таким образом, принцип инвариантности должен включать в себя аффинные преобразования и преобразования подобия. Инвариантность позволит сети распознавать изображения, даже если они не совпадают с исходными, например изображение птицы. При этом будет необходимо дополнить представление сети, приведенное здесь, некоторыми условиями для однозначности представления паттернов на основе изображений, звуков и, возможно, других источников стимулов, таких как запах. Наше представление фокусируется на вещественной части амплитуды, а не на фазе преобразования Фурье. Мы провели эксперименты, чтобы увидеть влияние фазы и амплитуды на результат представления комплексно-значной функции. Наблюдается гораздо больше размытости в связи с изменением по амплитуде, чем в связи с изменением по фазе. Таким образом, мы ориентируемся на представлении откликов в терминах функций Дирака (сумм таких функций) и на их аппроксимациях без учета коэффициентов в (15).

Поскольку конечные линейные комбинации функций {гае"рг, а, р > 0} плотны в пространстве ограниченных непрерывных функций С[0, Ь], мы использовали их для представления изображений и звуков [17].

Мы создали 2-мерную сеть нейронов, состоящую из слоев. В иллюстративных целях мы предположили, что существует один слой нейронов, соответствующих каждому из значений стимула. Таким образом, если список стимулов состоит из п числовых значений, создаем п слоев с определенным числом нейронов в каждом слое. В предположении, что каждый стимул представляется возбуждением одного и только одного нейрона, каждый слой сети также должен состоять из п нейронов с порогами, варьирующимися между наибольшим и наименьшим значениями в списке стимулов. Мы предположили, что пороги возбуждения у всех нейронов одинаковые. При этом, если воспринимаемый диапазон стимула изменяется между двумя значениями 0 и 02, и каждый слой сети имеет п нейронов, то нейрон в положении 7-й позиции слой будет срабатывать, если значение стимула лежит между 0! + (г — 1)[(02 — 0,)/(п — 1)] и 0! + г • [(02 — 0,)/(п — 1)].

19.1. Эксперимент с изображением

В графическом эксперименте с изображениями птицы и розы мы использовали 124 и 248 точек данных соответственно, в то время как для эксперимента со звуком было использовано в 1000 раз больше точек данных. После того, как координаты точек (х,у) были получены, координата х использовалась для представления времени, а координата у для представления отклика на стимул. Числовые значения, связанные с изображениями на рисунках 16 и 17, были сведены в таблицу и использованы в качестве входных данных для нейронов в сетях, построенных для представления птицы и розы.

О 2.5 5 7.5 10 12.5 15 G £ 4 £

Рисунок 15. Птица Рисунок 16. Роза

19.2. Эксперимент со звуком

В звуковом эксперименте мы сначала записали с помощью Mathematica первые несколько секунд симфонии Гайдна (Haydn) № 102 в си-бемоль мажор и симфонии

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

Моцарта (Mozart) № 40 в соль минор. В результате был получен набор числовых амплитуд в диапазоне от -1 до 1. Каждая из этих амплитуд использовалась, чтобы возбудить нейроны, если она падает в пределы заданного порогового диапазона. В предположении, что каждый нейрон срабатывает в ответ на один стимул, мы взяли число нейронов, равное размеру набора амплитуд, т.е. 117 247 для симфонии Гайдна и 144,5 32 для симфонии Моцарта. Наша цель заключалась в аппроксимации амплитуды с помощью одного нейрона для каждого значения амплитуды, а затем — в использовании полученных значений в Mathematica для воспроизведения музыки. Небольшой паттерн числовых данных для симфонии Моцарта приведен на рис. 17.

Данная задача является вычислительно затратной даже для таких простых геометрических фигур, как птица и цветок, показанных на рис. 15 и 16. Например, для изображения птицы список стимулов содержит 124 значения, и мы должны были бы расположить 1242 = 15376 нейронов в 124 слоя по 124 нейрона в каждом. Каждая точка на рисунках является результатом возбуждения нейрона в отклик на стимул, попадающий в пороговый диапазон.

Рисунок 17. Симфония Моцарта № 40

19.3. Законы обратных квадратов

Ранее мы использовали преобразование Фурье комплексного решения для нашего фундаментального уравнения. Давайте посмотрим, что происходит при использовании преобразования Фурье для решения в действительных числах [16]. Наше решение является произведением двух факторов, обратное преобразование может быть получено в виде свертки двух функций.

Теперь обратное преобразование Фурье для задается в виде

У(2/ гс)Р Р2 + *2 '

Из теории рядов Фурье мы знаем, что можно записать формулу

2niku

a k e ,

Р(и) =

к = - да

для которой обратное преобразование Фурье включает знакомую дельта-функцию Дирака и определяется в виде:

да

Хак 2лк)-

к = -да

Произведение преобразований двух функций эквивалентно преобразованию Фурье для свертки этих двух функций, которые мы получили, выполнив их индивидуальные обратные преобразования. Таким образом, мы имеем с точностью до константы:

Р ^ р

а к -

J 2nk) P

,k = - да P2 + (X -£) k = -да P2 + (X - 2%k)

Обратное преобразование Фурье для w(u) =Ce~Pu cos u, P> 0 определяется по формуле

C

1 1

+

'x 2,

р2 + ( х + 2 л) р2 + ( х - 2л)

Когда константы в знаменателе малы относительно х, имеем величину С/ х С/х2, по нашему мнению, является причиной, почему в оптике, гравитации (Ньютон) и электричестве (Кулон) отклик на действия сил происходит в соответствии с законами обратных квадратов. Это тот же самый закон природы, в соответствии с которым объект, реагируя на силовое поле, должен принять решение следовать этому закону, сравнивая бесконечно малые последовательные состояния, через которые он проходит. Если стимул постоянен, то экспоненциальный множитель в общем решении отклика является константой, и решение будет периодическим с периодом 1. Когда расстояние х очень мало, то результат изменяется обратно пропорционально параметру в > 0. Представляется, что закон обратных квадратов не является строгим законом обратных квадратов и его использование может иногда приводить к трудностям, как при вычислении орбиты Меркурия.

20. Обобщение на множественные стимулы

При наличии нескольких стимулов мы имеем функциональное уравнение w( ахгх,..., апгп) = М^..^ гп), решение которого для случая с действительными переменными при Ь > 0, а > 0, и ^ > 0 имеет вид

да

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

w(s1,..., sn) =ЪЫ P

2(log%/log at )!f log s log J^

k = 1,..., n,

log Oi log an

где функция P — произвольная периодическая функция с периодом 1 относительно n переменных, т. е.

P(u +1,..., un +1) = Р(ц,..., un ).

Решение функционального уравнения в комплексной области было предложено мне моим другом математиком Каролем Бароном Катовице, Польша (Karol Baron of Katowice, Poland):

..., Z.) = 2* G{ I 2, I, ..., I ZM I l0g| I ,...,

\ 1°S I aM+\ I log I «ЛГ I )

где функция G дважды периодическая функция с периодами

(0, , 0, 1, , 1, arg a, ..., arg а„) и (0, ..., 0, 2л, 0, ..., 0)

M M-N (n+l)

для l g {1, ..., N}.

Известно, что однозначная аналитическая функция не может иметь более двух линейно независимых периодов.

Пусть K (X, Y) — компактное взаимнообратное ядро, т. е. K ( x, y)K ( y, x) = 1, для всех x g X и y g Y, где X и Y представляют собой компактные подмножества

действительных чисел. У нас есть уравнение w(X) = bf K(X;Y)w(Y)dY, для которого по аналогии с необходимым условием разрешимости уравнения Фредголь-ма (4) и последующим обсуждением, следующее операторное функциональное уравнение должно быть выполнено для того, чтобы вышеуказанное уравнение имело решение: w[af ( x)] = Ъ [ f ( x)]. Это операторное линейное функциональное уравнение формально и полностью решил Николь Брилуэ-Белу (Nicole Brillouet-Belluot) в Нанте во Франции (Nantes, France) [18]. Из-за ограниченности данной статьи решение и интерпретация этого уравнения будут описаны более подробно в моей будущей книге, посвященной вопросам обобщения парных сравнений на непрерывный случай.

Обратите внимание, что решение системы уравнений для получения численного результата и создание малых возмущений чисел, которые представляют суждения о доминировании, не требуют использования декартовой системы или евклидовой метрики координат. Обобщение на непрерывный случай в окрестностях малой области возмущения приводит к интегральному уравнению, подобному тому, которое получается в теории интегрирования по Лебегу. Разрешимость этого уравнения приводит к функциональному уравнению в той области, решение которого снова численное и не нуждается в геометрии. Таким образом, мы имеем конструк-

тивный локальный способ построения интегралов и функций числовых переменных без использования геометрии Декарта.

21. Критика метода анализа иерархий

По существу было высказано пять критических замечаний по поводу МАИ которые были рассмотрены в [19].

Первое критическое замечание уже упоминалось в статье, оно связано озабоченностью в связи с необоснованными изменениями в рейтингах альтернатив, называемых пересмотр рейтинга, при изменении структуры решения.

Второе критическое замечание связано с наличием противоречивых суждений и их влиянием на агрегирование суждений и вывод приоритетов из них. Небольшая нетранзитивность и числовое несоответствие, как правило, не рассматриваются или полагаются допустимыми в других теориях. Подобное допустимо и в МАИ, поэтому решения можно рассматривать реалистично, а не аксиоматически усеченными. Для противоречивых суждений может не выполняться условие оптимальности по Парето. Оптимальность по Парето — отношение порядка, которое требует, чтобы метод, используемый для совокупности суждений отдельных людей в группе с целью представления коллективного суждения этой группы, в случае, когда все люди в группе предпочитают альтернативу А по отношению к альтернативе В, делал вывод, что групповое суждение предпочитает альтернативу А по отношению к альтернативе В. Поскольку в МАИ суждения не являются порядковыми, можно объединять отдельные суждения в представительное групповое суждение с использованием оптимальности по Парето или без нее. Другое условие, унаследованное от теории ожидаемой полезности, связано с отношением, которое называется условием сохранения порядка: для всех альтернатив х, х2, X, X, таких, что х1 доминирует над х2, и х доминирует над х4, если суждения эксперта указывают,что степень, с которой х доминирует над х2, больше, чем степень, с которой х3 доминирует над х4, то вектор приоритетов w должен быть таким, чтобы не только ) > х2) и х3) > х4) (сохранение порядка предпочтений), но также чтобы (м(х )/м(х2) >м(х )/х) (сохранение порядка интенсивности предпочтений). Это условие выполняется, когда суждения согласованы, но может не выполняться, когда они не согласованы. Это условие накладывается аксиоматически, с отказом от первоначального намерения МАИ вывести приоритеты, которые соответствуют реальности, представленной суждениями без принудительной согласованности.

Третье критическое замечание связано с попытками защитить рейтинг от неуместных альтернатив посредством объединения индивидуальных суждений, связанных со сравнением, с использованием среднего геометрического (метода лога-

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

рифмических наименьших квадратов) для получения приоритетов, а также для объединения полученных приоритетов по различным критериям с использованием мультипликативного взвешенного синтеза.

Четвертое критическое замечание имеет отношение к людям, которые пытаются изменить фундаментальную шкалу, несмотря на то, что она получена теоретически и протестирована посредством сравнения с другими многочисленными шкалами на множества примеров, для которых ответ был известен.

Пятое и последнее критическое замечание имеет отношение к вопросу, являются или нет аксиомы парных сравнений поведенческими и стихийными по своей природе.

Интересно, что МАИ/МАС дает возможность принимать сложные решения для любых произвольных структур, встречающихся в реальной жизни. МАИ/МАС позволяет выводить приоритеты для всех факторов в таких структурах и синтезировать их для получения общего результата, как ни один другой метод, поскольку обеспечивает построение шкал для материальных и нематериальных (неосязаемых) сущностей. Однако мы пока мало знаем о критических замечаниях по формулировке проблем и проверке результатов с применением МАИ/МАС в дальнейших широких перспективах, связанных с анализом различных структур, выявлением зависимостей и обратных связей, а также Преимуществ, Возможностей, Расходов и Рисков, анализируемых по отдельности, а затем подвергаемых синтезу с целью получения конечного результата или разрешения конфликта с участием посредника или без него.

22. Выводы

МАИ/МАС является полезным средством решения комплексных проблем, которые включают зависимости и обратные связи и рассматриваются в контексте Преимуществ, Возможностей, Расходов и Рисков. МАИ/МАС применялся буквально в сотне ситуаций — реальных и гипотетических. Что важно в процессе принятия решений — это получение ответов, которые работают на практике. Люди часто утверждают, что решение носит субъективный характер и что не следует ожидать, что результат будет соответствовать объективным данным. И это не дает уверенности в долгосрочной обоснованности решений. Большинство других подходов к принятию решений являются нормативными. Они утверждают: «Если вы рациональны, вы делаете, как я говорю». Но то решение, о котором люди думают, как о лучшем, может быть очень далеко от действительности. Именно поэтому МАИ/МАС носит описательный характер, а не нормативный и предписывающий, который может привести к нереалистичным предположениям. МАИ/МАС не настаивает на транзитивности предпочтений, так как мы знаем, что люди могут

быть бескомпромиссными и противоречивыми. МАИ/МАС дает результаты, которые лучше не просто в соответствии с ценностями принимающего решения, но и с учетом внешних рисков и опасностей, с которыми приходится сталкиваться.

К сожалению, есть люди, которые используют нечеткие множества без доказательств для модификации МАИ. Хотя известно, что нечеткие приложения к принятию решений были причислены к худшим среди всех методов. По наблюдениям Вебера-Фехнера, фундаментальная шкала, используемая в МАИ/МАС, уже представляет суждения нечетко. Увеличение нечеткости не приводит к улучшению результатов, как мы показали с помощью многочисленных примеров [20]. Цели нечеткости в МАИ, как представляется, в возмущении суждений. Уже известно, что в математике возмущение элементов матрицы возмущает собственный вектор на небольшую величину, но не обязательно в нужном направлении.

Программное обеспечение SuperDecisions, используемое для анализа сложных решений, было названо в честь суперматрицы. Его можно бесплатно загрузить с сайта creativedecisions.net, оно доступно в сети Интернет вместе с руководством и с многочисленными приложениями, чтобы позволить читателю применить его к его/ее задачам. Можно также перейти на сайт www.superdecisions.com/~saaty и тоже загрузить программное обеспечение SuperDecisions. Установочный .exe файл находится в папке программного обеспечения. Серийный номер находится в файле .doc, который располагается в той же папке. Больший интерес может заключаться не в программном обеспечении, а в моделях, которые находятся в отдельной папке с названием models. Военные постоянно участвуют в принятии сложных решений и, по всей видимости, используют МАИ, так как вкладывают средства в его развитие. Зачем мы предпринимаем столько усилий? Потому что мы твердо верим в творческие возможности человечества и надеемся, что наш мир становится все более рациональным в принятии решений и в разрешении конфликтов.

Начиная с 1976 года, было проведено большое количество тематических исследований с использованием МАИ для разрешения конфликтов, в которых я был соавтором. Мы надеялись, что сможем научить людей анализировать свои конфликты и понимать их структуру. Тогда разум восторжествует, и антагонисты будут вынуждены прийти к разумному и справедливому решению.

Однако в конфликтах, особенно большой длительности, разумность редко преобладает. Отказываясь от разумных поступков, люди стоят на своем и стремятся не только удовлетворить свои собственные потребности, но и наказать своих оппонентов или, по крайней мере, заставить их заплатить за оппозицию.

Зачастую взгляд на конфликт может быть изменен. Опыт показал, что конфликт может быть ослаблен за счет использования посредника, который вводит «козырей» в переговорный процесс. Например, если А и В являются участниками,

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

то участник А будет анализировать вновь открывшиеся обстоятельства и оценивать не только дополнительные выгоды, которые им могут быть получены, но и стоимость предоставления уступок противнику: чем больше каждое значение, тем больше выигрыш.

В этом случае выгода участника А может быть представлена как произведение преимуществ участника А и расходов участника В (в том виде, как их воспринимает участник А). Мы имеем следующие отношения для двух участников А и В.

Отношение для участника А (по мнению участника А): Выгода А £ Преимущества А х Расходы В Выгода А

Выгода В по мнению А £ Преимущества В х Расходы А Потери А

где знак £ — есть сумма, которая берется по всем уступкам участника В в числителе и участника А в знаменателе.

Ожидаемое участником А отношение для В является взаимо обратным к данному отношению.

Отношение для участника В (по мнению участника В): Выгода В _ £ Преимущества В х Расходы А _ Выгода В

Выгода А по мнению В £ Преимущества А х Расходы В Потери В

где знак £ — есть сумма, которая берется по всем уступкам участника А в числителе и участника В в знаменателе.

Ожидаемое участником В отношение для А является взаимо обратным к данному отношению.

Если участники А и В воспринимают Преимущества и Расходы одинаково, эти отношения для участников А и В будут взаимообратными. Однако такие ситуации почти никогда не возникают.

Очевидно, что каждый участник хотел бы иметь значение своего отношения как можно более высоким, если отношение для участника А для некоторой альтернативы меньше, чем 1, то участник А будет воспринимать отношение для В как большее, чем 1, и будет чувствовать несправедливость. Цель должна состоять в том, чтобы найти индивидуальные и групповые уступки, при которых каждый участник воспринимает свое собственное отношение как большее, чем 1. Для этого необходимо высококвалифицированное посредничество.

Целесообразно вникнуть в вопросы участников и завоевать их доверие, чтобы сделать необходимые оценки. Если это не представляется возможным, то аналитик должен использовать для участников свои лучшие суждения.

Эти идеи были применены к конфликту в Южной Африке в 1986 году в исследовании, оплаченном в то время правительством Южной Африки. Выводы этого исследования, как представляется, были достаточно точными. Они приведены в главе 11 моей книги по разрешению конфликтов. Эти идеи с 1970-х годов применялись к анализу конфликта в Северной Ирландии моим коллегой Джойсом Алексан-

дром (Joyce Alexander). Я сам участвовал в публикации материалов исследований по анализу конфликта между Израилем и палестинцами на Ближнем Востоке. Люди понимают, что МАИ/МАС дает возможность наметить и количественно оценить все факторы в конфликте по желанию участников и провести анализ в надежде найти приемлемое решение, не прибегая к нецивилизованному поведению и насилию. Каждый человек может получить высокую степень удовлетворенности от применения предложенных в данной работе математических идей, которые могут помочь спасти жизни многих людей и продвинуть нас в новую эру полезных переговоров, отказавшись от попыток совершения насильственных действий.

Литература

[1] Bauer R. A., Collar E., Tang V. The Silverlake Project. — New York : Oxford University Press, 1992.

[2] Saaty T. L. Fundamentals of Decision Making; the Analytic Hierarchy Process. — Pittsburgh, PA, 2006.

[3] Saaty T. L. Theory and Applications of the Analytic Network Process. — Pittsburgh, PA, 2005.

[4] Saaty T. L., Ozdemir M. The Encyclicon. — RWS Publications, 2005.

[5] Lebesgue H. Leçons sur l'intégration. — 2nd ed. — Paris: Gauthier-Villars, 1928.

[6] MacKay A. F. Arrow's Theorem: The Paradox of Social Choice - A Case Study in the Philosophy of Economics. — New Haven : Yale University Press, 1980.

[7] Davis P. J,. Hersh R. Descartes Dream. — New York : Harcourt Brace and Jovanovich, 1986.

[8] Fechner G. Elements of Psychophysics, Adler, H.E. (Trans.), Vol. 2, Holt. — New York : Rinehart and Winston, 1966 (See also Batschelet S. Introduction to Mathematics for Life Scientists. — Springer, 1971).

[9] Wilkinson J. H. The Algebraic Eigenvalue Problem. — Oxford : Clarendon Press, 1965.

[10] Saaty T. L., Vargas L. G. Experiments on Rank Preservation and Reversal in Relative Measurement //Mathl. Comput. Modelling. 1993. Vol. 17. No. 4/5. P. 13-18.

[11] Saaty T. L., Peniwati K. Group Decision Making. — Pittsburgh, PA, 2008.

[12] Aczel J., Saaty T. L. Procedures for synthesising ratio judgments // Journal of Mathematical Psychology. 1983. Vol. 27. P. 93-102.

[13] Aczel J., Alsina C. On synthesis of judgments // Socio-Economic Planning Sciences. 1986. Vol. 20. P. 333-339.

[14] Arrow K. J. Social Choice and Individual Values. — 2nd ed. — New York : Wiley, 1963.

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

[15] Saaty T. L., Vargas L. G. The Possibility Of Group Choice // Social Choice and Welfare. 2012. Vol. 38. No. 3. P. 481-496.

[16] Saaty T. L. The Brain, Unraveling the Mystery of How it Works: The Neural Network Process. — RWS Publications, 2000

[17] Saaty T. L., Vargas L. G. Implementing Neural Firing: Towards a New Technology // Mathl. Comput. Modelling. 1997. Vol. 26. No. 4. P. 113-124.

[18] Brillouet-Belluot N. On a Simple Linear Functional Equation on Normed Linear Spaces // Aequationes mathematicae. 2002. Vol. 63. No. 1-2. P. 46-65.

[19] Saaty T. L., Vargas L. G., Whitaker R. Addressing Criticisms of the Analytic Hierarchy Process // International Journal of the Analytic Hierarchy Process. 2009. Vol. 1. No. 2.

[20] Saaty T. L., Tran L. T. On the invalidity of fuzzifying numerical judgments in the Analytic Hierarchy Process // Mathematical and Computer Modelling. 2007. Vol. 46. No. 7-8. P. 962975.

Автор:

Томас Саати — известный математик, глава совета заслуженных профессоров Университета Питтсбурга, США

Автор в 2008 г. был удостоен премии Informs Impact Prize Институтом исследования операций и управления за плодотворную работу по разработку и развитие метода анализа иерархий (https://www.informs.org/Recognize-Excellence/Award-Recipients/Dr.-Thomas-L.-Saaty2).

Relative Measurement and Its Generalization in Decision Making. Why Pairwise Comparisons are Central in Mathematics for the Measurement of Intangible Factors

Thomas L. Saaty

University of Pittsburgh Pittsburgh, Pennsylvania, United States

e-mail: saaty@katz.pitt.edu

Abstract. According to the great mathematician Henri Lebesgue, making direct comparisons of objects with regard to a property is a fundamental mathematical process for deriving measurements. Measuring objects by using a known scale first then comparing the measurements works well for properties for which scales of measurement exist. The theme of this paper is that direct comparisons are necessary to establish measurements for intangible properties that have no scales of measurement. In that case the value derived for each element depends on what other elements it is compared with. We show how relative scales can be derived by making pairwise comparisons using numerical judgments from an absolute scale of numbers. Such measurements, when used to represent comparisons can be related and combined to define a cardinal scale of absolute numbers that is stronger than a ratio scale. They are necessary to use when intangible factors need to be added and multiplied among themselves and with tangible factors. To derive and synthesize relative scales systematically, the factors are arranged in a hierarchic or a network structure and measured according to the criteria represented within these structures. The process of making comparisons to derive scales of measurement is illustrated in two types of practical real life decisions, the Iran nuclear show-down with the West in this decade and building a Disney park in Hong Kong in 2005. It is then generalized to the case of making a continuum of comparisons by using Fredholm's equation of the second kind whose solution gives rise to a functional equation. The Fourier transform of the solution of this equation in the complex domain is a sum of Dirac distributions demonstrating that proportionate response to stimuli is a process of firing and synthesis of firings as neurons in the brain do. The Fourier transform of the solution of the equation in the real domain leads to nearly inverse square responses to natural influences. Various generalizations and critiques of the approach are included.

Key words: analytic hierarchy process, comparisons, conflict resolution, decision, eigenvalue, functional equation, hierarchy, intangibles, judgment, measurement, network, neural firing, sensitivity, synthesis.

References

[1] Bauer R. A., Collar E., Tang V. (1992) The Silverlake Project. New York , Oxford University Press.

Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов

[2] Saaty T. L. (2006) Fundamentals of Decision Making; the Analytic Hierarchy Process. Pittsburgh, PA.

[3] Saaty T. L. (2005) Theory and Applications of the Analytic Network Process. Pittsburgh, PA.

[4] Saaty T. L., Özdemir M. (2005) The Encyclicon. RWS Publications.

[5] Lebesgue H. (1928) Lecons sur l'integration. 2nd ed. Paris: Gauthier-Villars.

[6] MacKay A. F. (1980) Arrow's Theorem: The Paradox of Social Choice - A Case Study in the Philosophy of Economics. New Haven, Yale University Press.

[7] Davis P. J,. Hersh R. (1986) Descartes Dream. New York, Harcourt Brace and Jovanovich.

[8] Fechner G. (1966) Elements of Psychophysics, Adler, H.E. (Trans.), Vol. 2, Holt. New York : Rinehart and Winston (See also Batschelet S. (1971) Introduction to Mathematics for Life Scientists. Springer).

[9] Wilkinson J. H. (1965) The Algebraic Eigenvalue Problem. Oxford, Clarendon Press.

[10] Saaty T. L., Vargas L. G. (1993) Mathl. Comput. Modelling, 17(4/5):13-18.

[11] Saaty T. L., Peniwati K. (2008) Group Decision Making. Pittsburgh, PA.

[12] Aczel J., Saaty T. L. (1983) Journal of Mathematical Psychology, 27:93-102.

[13] Aczel J., Alsina C. (1986) Socio-Economic Planning Sciences, 20:333-339.

[14]Arrow K. J. (1963) Social Choice and Individual Values. 2nd ed. New York, Wiley.

[15] Saaty T. L., Vargas L. G. (2012) Social Choice and Welfare, 38(3):481-496.

[16] Saaty T. L. (2000) The Brain, Unraveling the Mystery of How it Works: The Neural Network Process. RWS Publications.

[17] Saaty T. L., Vargas L. G. (1997) Mathl. Comput. Modelling, 26(4):113-124.

[18] Brillouet-Belluot N. (2002) Aequationes mathematicae, 63(1-2):46-65.

[19] Saaty T. L., Vargas L. G., Whitaker R. (2009) Intern. J. of the Analytic Hierarchy Proc., 1(2).

[20] Saaty T. L., Tran L. T. (2007) Mathematical and Computer Modelling, 46(7-8):962-975.