CC BY
222МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕССОВ
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА АНАЛИТИЧЕСКИХ СЕТЕЙ
А.Ю. Лабинский, кандидат технических наук, доцент. Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России. А.А. Козлов.
Департамент надзорной деятельности и профилактической работы МЧС России
Рассмотрены особенности использования метода аналитических сетей для принятия решений. Приведен алгоритм метода аналитических сетей, а также пример использования этого метода для определения относительного приоритета нескольких проектов.
Ключевые слова: метод анализа иерархий, метод аналитических сетей, сеть с обратными связями, суперматрица
REACH A DECISION WITH USE THE ANALYTICAL NETWORK PROCESS A.Yu. Labinskiy.
Saint-Petersburg university of State fire service of EMERCOM of Russia.
A.A. Kozlov. Department of supervision and preventive work of EMERCOM of Russia
This article presents the special feature of employment the analytical network process. The special feature of using a algorithm of analytical network process and example of using the analytical network process for define the project priority.
Keywords: analytical hierarchy process, analytical network process, network with opposite connections, supermatrix
Метод аналитических сетей (МАС) [1] является обобщением известного метода анализа иерархий (МАИ) [2]. При структурировании одной и той же цели разные люди могут построить разные иерархии. При этом во многих проблемах принятия решений существуют зависимости между элементами разных уровней иерархии, что приводит к невозможности их представления в виде иерархических структур. В иерархических структурах важность критериев влияет на приоритеты альтернатив. В структурах, отличных от иерархических, важность альтернатив влияет на приоритеты критериев. МАС решает задачи принятия решений путем выполнения следующих этапов:
- этап 1: структурирование проблемы принятия решений в виде аналитической сети;
- этап 2: использование системы парных сравнений для измерения веса компонентов структуры;
- этап 3: ранжирование альтернатив в решении.
Структуры решений с обратными связями являются сетями, содержащими компоненты или узлы - источники и компоненты или узлы - стоки, а также циклы и петли обратной связи между элементами одного компонента. Узел-источник сети является компонентом начала маршрута влияния, а узел-сток сети является компонентом завершения одного или нескольких маршрутов. Наличие обратных связей в структурах решений приводит к возникновению циклов. При этом возникает необходимость использования более сложного, по сравнению с методом анализа иерархий, алгоритма вычисления приоритетов.
Рассмотрим систему принятия решений, состоящую из N компонентов. Пусть элементы каждого компонента взаимодействуют между собой, а также влияют на некоторые элементы другого компонента. В процессе взаимодействий элементов каждого компонента будет изменяться некоторое свойство или критерий, который управляет взаимодействиями в системе принятия решений. В МАС архитектура такой системы принятия решений представляется в виде сети с обратными связями, содержащими компоненты или узлы -источники и компоненты или узлы - стоки, а также циклы и петли обратной связи между элементами одного компонента, схема которой в виде графа, содержащего узлы и дуги, изображена на рис. 1 [1].
Представленная сеть с обратными связями содержит компоненты, не имеющие входящих дуг, которые называются компонентами-источниками (С1 и С2 на рис. 1), а также содержит компоненты, не имеющие исходящих дуг, которые называются компонентами-стоками (С5 на рис. 1). Кроме того, представленная сеть с обратными связями содержит компоненты, которые называются промежуточными (переходными) компонентами (С3 и С4 на рис. 1). Так как между компонентами С3 и С4 существует двунаправленная связь, то эти компоненты образуют цикл. Компоненты С2 и С4 характеризуются наличием внутренних связей между их элементами, поэтому они имеют петли обратной связи. Все остальные дуги графа, представленного на рис. 1, представляют собой внешние зависимости между компонентами сети с обратными связями.
Предположим, что система принятия решений, представленная в виде сети с обратными связями (рис. 1), содержит п компонентов Сп, где п=1, ..., т. В такой системе принятия решений влияния элементов одного компонента на элементы других компонентов могут быть представлены в виде векторов приоритетов, элементы которых можно получить
Суперматрица сети с обратными связями
поглощения
Рис. 1. Архитектура системы в виде сети с обратными связями
путем парных сравнений. Взаимные влияния элементов в такой сети можно представить в виде суперматрицы взаимных влияний, представленной на рис. 2 [1].
С, C2 ... С.
«II «12 «1.1 «21 «22 ■•• «2 ... «•1 «ш2 ... 'штт
«II
С, «12 W\\ ... W1«
«11
С, «22 W21 Wn ...
«2*2
... ... ... ... ...
«.1
Ст «»2 frmi Wn2 ... wm m
Рис. 2. Суперматрица взаимных влияний в системе принятия решений
Используя матрицы парных сравнений и нулевых векторов, можно получить суперматрицу, которая состоит из шкал отношений приоритетных векторов. Для получения значимых результатов эта суперматрица должна быть стохастической, то есть суммы столбцов в такой суперматрице должны быть равны единице. Элементы в такой суперматрице называются блоками и имеют следующий вид (рис. 3).
%Л
ч : :
Рис. 3. Блоки суперматрицы взаимных влияний
На рис. 3 в матрице Wij каждый столбец представляет собой главный собственный вектор влияния элементов i компонента аналитической сети на элементы j компонента, причем нулевые элементы вектора влияния элементов i компонента аналитической сети на элементы j компонента соответствуют элементам, не оказывающим влияния. В МАС использование парных сравнений происходит с элементами компонента, оказывающими влияние. На рис. 4 показаны примеры различных структур и соответствующие им суперматрицы [1].
Рис. 4. Иерархическая структура и суперматрица
Слева показана иерархическая структура с соответствующей суперматрицей, а справа показана структура с обратной связью с соответствующей суперматрицей.
Для иерархической структуры элемент Wnn в правом нижнем углу суперматрицы является единичной матрицей, соответствующей циклу на нижнем уровне иерархии. Этот цикл показывает, что каждый элемент нижнего уровня зависит только от самого себя. Такой цикл необходим для представления иерархии в виде суперматрицы.
Для структуры с обратной связью элемент Win в правом верхнем углу суперматрицы отличен от нуля, так как верхний уровень зависит от самого нижнего уровня. Алгоритм МАС включает в себя следующие этапы [1]:
- проектирование сетевой структуры задачи принятия решений в виде графа, содержащего узлы и дуги;
- вычисление весов всех элементов каждого из компонентов с помощью матрицы парных сравнений согласно их влиянию на остальные компоненты;
- проверка согласованности введенных данных;
- формирование суперматрицы взаимных влияний в системе принятия решений из собственных векторов влияний;
- приведение суперматрицы взаимных влияний в системе принятия решений к стохастическому виду (умножение элементов каждого из компонентов на весовые коэффициенты в случае отсутствия стохастичности);
- возведение суперматрицы взаимных влияний в системе принятия решений в предельную степень;
- получение результата задачи принятия решений в первом столбце суперматрицы взаимных влияний в системе принятия решений.
Моделирование аналитической сети
В данной статье использование метода аналитических сетей демонстрируется применительно к следующей задаче [3]: необходимо при помощи метода аналитических сетей выявить относительный приоритет проектов А, Б и В. Имеются три критерия, которые определяют выбор проекта: длительность проекта, стоимость проекта и ожидаемое качество проекта.
На первом этапе МАС проекты попарно сравнивались по каждому критерию. В результате экспертных оценок путем парных сравнений получены результаты, представленные в табл. 1-6. Для выявления относительного приоритета используем классический МАИ: подсчитаем сумму в каждом столбце таблицы и разделим значение каждой ячейки на сумму значений соответствующего столбца. Затем подсчитаем средние значения по строкам и найдем удельный вес каждого из критериев (собственный вектор).
Таблица 1
Стоимость Проект А Проект Б Проект В Удельный вес
Проект А 1 5 3 0,637
Проект Б 0,20 1 0,33 0,105
Проект В 0,33 3 1 0,258
Таблица 2
Качество Проект А Проект Б Проект В Удельный вес
Проект А 1 5 2 0,582
Проект Б 0,20 1 0,33 0,109
Проект В 0,5 3 1 0,309
Таблица 3
Длительность Проект А Проект Б Проект В Удельный вес
Проект А 1 0,20 0,33 0,105
Проект Б 5 1 3 0,637
Проект В 3 0,33 1 0,258
Далее проведем парные сравнения критериев для каждого проекта. Полученные значения представлены в табл. 4-6.
Таблица 4
Проект А Стоимость Качество Длительность Удельный вес
Стоимость 1 3 4 0,634
Качество 0,33 1 1 0,192
Длительность 0,25 1 1 0,174
Таблица 5
Проект Б Стоимость Качество Длительность Удельный вес
Стоимость 1 1 0,50 0,250
Качество 1 1 0,50 0,250
Длительность 2 2 1 0,500
Таблица 6
Проект В Стоимость Качество Длительность Удельный вес
Стоимость 1 2 1 0,400
Качество 0,5 1 0,50 0,200
Длительность 1 2 1 0,400
Полученные собственные векторы для шести матриц парных сравнений были записаны в столбцы суперматрицы (табл. 7).
Таблица 7
Стоимость Качество Длительность Проект А Проект Б Проект В
Стоимость 0 0 0 0,634 0,250 0,400
Качество 0 0 0 0,192 0,250 0,200
Длительность 0 0 0 0,174 0,500 0,400
Проект А 0,637 0,582 0,105 0 0 0
Проект Б 0,105 0,109 0,637 0 0 0
Проект В 0,258 0,309 0,258 0 0 0
В соответствии с алгоритмом МАС суперматрицу нужно привести к стохастическому виду. Так как суммы элементов каждого столбца суперматрицы равны единице, суперматрица является стохастической. Для получения результирующих приоритетов элементов суперматрицы нужно возвести стохастическую суперматрицу в предельные степени. В результате возведения суперматрицы в предельные степени определяется распространение влияния каждого элемента системы принятия решений на другие элементы системы принятия решений по всем возможным маршрутам графа влияний, которому соответствует стохастическая суперматрица. Интерфейс программы возведения матрицы в целые степени представлен на рис. 5.
1
Возведение матрицы в целую степень
Исходная матрица
Матрица в степени 20
А В С D Е F А В С D Е F
А 0,000 0.000 0.000 0.634 0.250 0.400 А 0.000 0.000 0.000 0.464 0.464 0.464
В 0.000 0.000 0.000 0.192 0.250 0.200 В 0.000 0.000 0.000 0.210 0.210 0,210
С 0.000 0.000 0.000 0.174 0.500 0.400 С 0.000 0.000 0.000 0.326 0.326 0,326
D 0.637 0.582 0.105 0,000 0.000 0.000 D 0,452 0.452 0.452 0.000 0.000 0,000
Е 0.105 0.109 0.637 0,000 0.000 0.000 Е 0.279 0.279 0.279 0.000 0.000 0,000
F 0.258 0.309 0.258 0.000 0.000 0.000 F 0.269 0.269 0,269 0.000 0.000 0.000
|7| Нулевые элементы Показатель степени 20
[7] Тест1
Стохастическая матрица по столбцам
у □ Тест 2 Ввести
Вычислить
□ чистить
Закрыть
Рис. 5. Интерфейс программы возведения матрицы в целые степени
Для получения предельной суперматрицы путем возведения суперматрицы в предельные степени можно воспользоваться вычислительными возможностями пакета SuperDecisions [4]. После возведения суперматрицы в целочисленные степени была получена предельная суперматрица (табл. 8).
Таблица 8
Стоимость Качество Длительность Проект А Проект Б Проект В
Стоимость 0 0 0 0,464 0,464 0,464
Качество 0 0 0 0,210 0,210 0,210
Длительность 0 0 0 0,326 0,326 0,326
Проект А 0,452 0,452 0,452 0 0 0
Проект Б 0,279 0,279 0,279 0 0 0
Проект В 0,269 0,269 0,269 0 0 0
Таким образом, с помощью оценки относительного приоритета трех проектов методом аналитических сетей максимальный приоритет получил проект А.
Основные этапы алгоритма МАС были реализованы в виде программы для ЭВМ, интерфейс которой представлен на рис. 6.
Рис. 6. Программа, реализующая алгоритм МАС
Программа позволяет представлять результаты расчетов в графическом виде (рис. 7).
Рис. 7. Программа, реализующая алгоритм МАС
Далее рассмотрим влияние на результат принятия решения добавления к структуре системы принятия решения двух циклов независимости. Цикл независимости свидетельствует о том, что каждый элемент компонента зависит от самого себя. При этом блок, характеризующий данный компонент и расположенный на главной диагонали суперматрицы, представляет собой единичную матрицу. Исходная (не взвешенная) суперматрица соответствует матрице, представленной в табл. 7, в которой значения на главной диагонали равны 1,0.
В результате добавления единичных значений (циклы независимости) суммы столбцов суперматрицы становятся больше единицы - условие стохастичности нарушается. Определяем нормированные весовые коэффициенты, равные 0,5, на которые умножаются соответствующие блоки суперматрицы. В результате умножения значения диагональных элементов, соответствующих циклам независимости, становятся равны 0,5, и суперматрица становится стохастической. При возведении этой суперматрицы в предельные степени получим предельную суперматрицу, представленую в табл. 9.
Стоимость Качество Длительность Проект А Проект Б Проект В
Стоимость 0,232 0,232 0,232 0,232 0,232 0,232
Качество 0,105 0,105 0,105 0,105 0,105 0,105
Длительность 0,163 0,163 0,163 0,163 0,163 0,163
Проект А 0,226 0,226 0,226 0,226 0,226 0,226
Проект Б 0,140 0,140 0,140 0,140 0,140 0,140
Проект В 0,134 0,134 0,134 0,134 0,134 0,134
Результат возведения суперматрицы в 50 степень представлен на рис. 8.
Возведение матрицы в целую степень
Исходная матрица
Матрица в степени 50
А В С D Е F
А 0,500 0.000 0,000 0.317 0.125 0,200
В 0.000 0.500 0.000 0.096 0.125 0,100
С 0.000 0.000 0.500 0.087 0.250 0.200
D 0.319 0.291 0.053 0.500 0.000 0.000
Е 0,053 0.055 0.319 0,000 0,500 0,000
F 0.129 0.155 0.129 0,000 0.000 0,500
А В С D Е F
А 0.232 0,232 0.232 0.232 0.232 0.232
В 0.105 0.105 0.105 0.105 0,105 0.105
С 0.163 0.163 0.1 ез 0.163 о,1 ез 0.163
D 0.226 0.226 0.226 0,226 0.226 0.226
Е 0,140 0,140 0.140 0,140 0.140 0,140
F 0.134 0,134 0,134 0,134 0,134 0,134
Щ Нулевые элементы Тест1
Показатель степени 50 v Тест2
Ввести
Стохастическая матрица по столбцам Вычислить Очистить Закрыть
Рис. 8. Результат возведения суперматрицы в 50 степень
Для получения предельной суперматрицы производится возведение стохастической по столбцам суперматрицы в целые степени до тех пор, пока все столбцы не будут иметь одинаковые значения. Предельная суперматрица имеет идентичные столбцы, причем три первых элемента каждого столбца показывают приоритеты критериев, а три последних элемента - приоритеты альтернатив. Предельные приоритеты изменились по сравнению со случаем отсутствия циклов независимости, но их соотношение осталось прежним. Проект А по-прежнему остается лучшим.
В иерархических структурах важность критериев влияет на приоритеты альтернатив. В структурах, отличных от иерархических, важность альтернатив влияет на приоритеты критериев. Метод аналитических сетей является обобщением метода анализа иерархий, так как позволяет учитывать как влияние важности критериев на приоритеты альтернатив, что происходит в методе анализа иерархий, так и влияние важности альтернатив на приоритеты критериев, что не учитывается в методе анализа иерархий.
Литература
1. Саати Т.Л. Принятие решений при зависимостях и обратных связях. Аналитические сети. М.: ЛКИ, 2008.
2. Саати Т.Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1989.
3. Артамонов В.С., Лабинский А.Ю., Уткин О.В. Модификация нечеткого метода анализа иерархий на примере оценки кандидатов в адъюнктуру // Науч.-аналит. журн. «Вестник С.-Петерб. ун-та ГПС МЧС России». 2016. № 4. С. 77-84.
4. Adams W.J., Saaty T.L. Super decisions software guide // Princeton university press.
2003.
References
1. Saati T.L. Prinyatie reshenij pri zavisimostyah i obratnyh svyazyah. Analiticheskie seti. M.: LKI, 2008.
2. Saati T.L. Prinyatie reshenij. Metod analiza ierarhij. M.: Radio i svyaz', 1989.
3. Artamonov V.S., Labinskij A.Yu., Utkin O.V. Modifikaciya nechetkogo metoda analiza ierarhij na primere ocenki kandidatov v ad"yunkturu // Nauch.-analit. zhurn. «Vestnik S.-Peterb. un-ta GPS MCHS Rossii». 2016. № 4. S. 77-84.
4. Adams W.J., Saaty T.L. Super decisions software guide // Princeton university press.
2003.
