CC BY
297
Электронный журнал Cloud of Science. 2015. T. 2. № 1
http:/ / cloudofscience.ru ISSN 2409-031X
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных
сравнении
Томас Л. Саати
Питтсбургский университет Питтсбург, штат Пенсильвания, США
e-mail: [email protected]
Аннотация. Описан подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений для решения задач принятия решений.
Ключевые слова: принятие решений, метод анализа иерархий.
Введение
Существует известное убеждение, что единственный надежный способ решения сложных проблем — это строгий логический анализ. Но реальность свидетельствует о том, что человек не обладает врожденной способностью к логическому мышлению. Для того чтобы этому научиться, необходима достаточно длительная практика. Поскольку сложные проблемы, как правило, содержат множество взаимосвязанных факторов, традиционный логический анализ приводит к длинным цепочкам рассуждений, которые весьма запутаны, в связи с чем в них трудно различить лучшие идеи и решения.
Много лет люди верили и утверждали, что интенсивность человеческих чувств невозможно выразить числами. Иллюстрацией такой веры является высказывание А. Ф. Маккея (A. F. MacKay), который пишет [12], что применение кардинальных2 подходов подобно погоне за тем, кого нельзя поймать. Это подтверждают также Дэвис и Херш (Davis and Hersh [5]): «Если вы изучаете человеческое бытие, вам известны такие понятия, как эмоции, убеждения, взгляды, мечты, намерения, ревность, зависть, тоска, сожаления, скука, гнев, сострадание и т. д. Эти понятия характеризуют внутренний мир человека и никогда не будут математизированы». В своей книге [11] Лоуренс Ле Шан и Генри Маргенау (Lawrence Le Shan and Henry
1 Статья представлена автором для перевода и публикации на русском языке. Перевод с англ. проф., д. т. н. О. Н. Андрейчиковой.
2 Кардинальный — основанный на использовании количественных числовых оценок (прим. переводчика).
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений
Margenau) пишут: «Мы не можем количественно представить наблюдения в сфере сознания. Там нет никаких правил соответствия, которые позволили бы нам выразить наши чувства числами. Мы можем судить только об относительной интенсивности чувств. Например, я могу сказать, что сегодня более зол на кого-то, чем вчера. Однако я не смогу обосновать, что сегодня я в три с половиной раза злее, чем вчера. Схема физических измерений, перенятая поколениями психологов, эпистемологов и эстетиков, вероятно, мешает им двигаться вперед, блокируя возможность проникновения в суть и нанося ущерб своим авторитетом. Эта схема вполне разумна и не противоречит истине, но она не подходит для изучения психических явлений». Лауреат Нобелевской премии Анри Бергсон (Henri Bergson [4]) пишет: «Но даже противники психофизики не видят никакого вреда, говоря о том, что одно ощущение или стремление сильнее другого, и, как следствие, о количественном различии чисто внутренних состояний. Кроме того, здравый смысл выносит четкий вердикт по этому вопросу; люди говорят, что им более или менее тепло, или более или менее грустно, и это отличие более от менее никого не удивляет, даже когда переносится в сферу субъективных ощущений и неосязаемых объектов».
Если бы нас спросили, что означает средство измерения с практической точки зрения, то мы, скорее всего, предложили бы какую-нибудь шкалу для измерения объектов — набор чисел, множество объектов и отображение объектов в числа. При этом следует иметь в виду, что для интерпретации и практического применения шкалы необходимы соответствующие суждения. Поэтому суждения не менее важны, чем объекты, числа и отображения. Но существуют разные способы выбора шкалы.
Анри Лебег (Henri Lebesgue), занимавшийся теорией измерений, писал [10]: «Казалось бы, что принципы экономики всегда будут требовать, чтобы мы оценивали отношения величин непосредственно, а не путем отношения измерений. Тем не менее, на практике все расстояния измеряются в метрах, все углы — в градусах и т. д.; т. е. мы используем искусственные стандарты и, может показаться, терпим неудобства, так как выполняем два измерения вместо одного. Иногда это связано с экспериментальными трудностями или отсутствием возможности прямого сравнения расстояний или углов. Но есть и другая причина. В геометрических задачах обычно нужно сравнить несколько расстояний, и их число известно. А в практических проблемах может возникнуть необходимость попарного сравнения сотен расстояний. Тогда самой предпочтительной и экономичной процедурой будет измерение каждого нового расстояния. На основе одного измерения каждого расстояния, выполненного с достаточной точностью, можно получить любые отношения между расстояниями. Этот пример объясняет известный на практике факт, что сравнения почти всегда выполняют с использованием некоторых стандартов».
Лебег не углубляется в вопрос о том, почему мы вынуждены делать сравнения. Когда мы имеем дело с неосязаемыми факторами, которые по определению не имеют шкалы измерения, мы можем сравнить их попарно. Способностью к сравнениям обладает любой нормальный человек. При этом он способен не только указать предпочитаемый объект, но и оценить интенсивность предпочтения. Артур Шопенгауэр [25] сказал: «Любая истина — это суждение, ссылающееся на что-то за ее пределами, а внутренняя (самодостаточная) истина есть противоречие».
Типичная проблема принятия решения возникает, например, при покупке дома. Варианты домов, из которых будет совершаться выбор, характеризуются некоторым набором свойств (атрибутов, критериев), которые влияют на принятие решения. Если какой-то один дом будет лучшим по всем критериям, выбор сделать легко, но, как правило, дом, который лучше остальных по одному критерию (например, стоимость), уступает остальным по другим критериям (например, размер). Как найти компромисс? В этой статье мы описываем и обсуждаем математическую модель — метод анализа иерархий (МАИ, Analytic Hierarchy Process, AHP3), — не нормативный (предписывающий), а дескриптивный (описательный) психофизический процесс, пригодный для принятия подобных решений с измеряемыми и неизмеряемыми критериями, для оценки которых используются человече-ские4 суждения. К неизмеряемым (неосязаемым) критериям относят влияние непостоянных и кратковременных нематериальных факторов. Для их измерения нет другого инструмента, кроме человеческого разума, который одновременно должен выполнять оценку и интерпретировать смысл суждений. Неосязаемые величины оказывают воздействие на наши умы, наделенные биологической способностью реагировать на стимулы, сравнивая их сознательно и подсознательно. Такой способ измерения, появившийся задолго до Николая Орема, Пьера де Ферма и, наконец, Рене Декарта, который ввел системы координат для физических измерений и предположил, что они могут продолжаться от нуля до бесконечности при произвольно выбранных единицах измерения, применяемых равномерно по всему диапазону. Переход к соотношениям величин устраняет произвол выбора единиц измерения и порождает новые относительные шкалы, инвариантные к тождественным преобразованиям. Приведенный ниже пример иллюстрирует достаточно традиционную и устойчивую (по сравнению с политикой) проблему принятия решений. Он демонстрирует математические основы метода анализа иерархий, описанные во многих моих статьях и книгах.
3 Далее по тексту мы будем использовать англоязычную аббревиатуру AHP.
4 Субъективные (прим. переводчика).
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений
Принятие решения о покупке дома
Рассмотрим следующий гипотетический пример: семья намерена купить дом и учитывает при его выборе восемь важных для нее критериев.
1. Размер — число и размер комнат, площадь подсобных помещений, общая площадь дома.
2. Транспорт — транспортное сообщение: удобство и близость метро и автобуса.
3. Окружение — ближайшие окрестности дома: интенсивность движения транспорта, безопасность, вид местности, налоги, состояние окружающих зданий.
4. Возраст — как давно построен дом.
5. Двор — пространство двора со всех сторон дома, а также пространство, разделяемое с соседями.
6. Удобства — современные средства обслуживания: посудомоечная машина, мусоропровод, кондиционирование воздуха, система сигнализации и т. д.
7. Состояние — общее состояние дома: необходимость ремонта, состояние стен, пола, проводки, обоев, чистота.
8. Финансы — финансовые параметры: предполагаемая ликвидность, условия оплаты, возможности кредитования.
Проблема заключается в выборе одного дома из трех доступных альтернатив. Применяя АНР, на первом шаге необходимо структурировать проблему в виде иерархии (рис. 1). На верхнем уровне иерархии (в фокусе) располагается главная цель — выбор лучшего дома. На втором уровне находятся восемь вышеназванных критериев, каждый из которых вносит определенный вклад в цель, и на третьем (самом нижнем) уровне — три альтернативных дома, которые оцениваются в терминах критериев, расположенных на втором уровне.
Рисунок 1. Иерархия задачи о покупке дома
На следующем шаге необходимо сформировать сравнительные суждения о важности критериев с точки зрения цели. Для этого членам семьи необходимо выполнить попарные сравнения критериев относительно цели, выработать общее суждение для каждой пары и записать суждения в матрицу.
При сравнении двух критериев следует задавать вопросы следующего характера: «Какой из двух сравниваемых критериев важнее для семьи, покупающей дом, и на сколько он важнее с точки зрения цели, отражающей степень удовлетворения домом?»
Матрица парных сравнений факторов, сформированная покупателями дома, и вычисленные по ней приоритеты приведены в табл. 1, где суждения представлены вербальными и соответствующими числовыми оценками из фундаментальной шкалы, приведенной в табл. 2. На главной диагонали матрицы парных сравнений всегда стоят единицы. Матрица — обратно симметричная, поэтому для ее заполнения достаточно задать n(n — 1) / 2 значений. В случае необходимости суждения можно представить не только целыми, но и дробными значениями из интервала 1-9.
Мы предполагаем, что критерии и альтернативы с нулевыми весами не участвуют в процессах сравнения, так как нулевые веса можно приписать всем объектам, которые не имеют отношения к рассматриваемой проблеме.
Приведенная выше целочисленная фундаментальная шкала, которая используется при проведении парных сравнений, может быть выведена из логарифмической функции отклика Вебера Фехнера (Weber Fechner) в психофизике следующим образом. Для заданного значения стимула величина отклика остается постоянной до тех пор, пока стимул не изменится настолько, чтобы его относительное приращение стало достаточным для изменения отклика. Это ассоциируется с концепцией значимых различий (just noticeable differences, JND), хорошо известной в психологии. Таким образом, начиная со стимула, s0, последовательность значений новых стимулов имеет вид [2]:
Si = s0 = S0 +— S0 = S0 i1 +r);
Sr\
J0
= s + As = S (1 + r) = s0 (1 + r)2 =
2 2 r) = s0 a •
n n—1 0
As0 A^j As2
S0 S1 S2
(w = 0, 1,2,...);
Полагаем, что реакции (отклики) на эти стимулы можно измерить в шкале отношений (Ь = 0). Типичный отклик можно представить в виде:
М1=а\оя>а; М2=2а1с^а; ..., Мп=па\оя,а.
S 2
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений
Таблица 1. Матрица парных сравнений критериев относительно цели выбора
Фактор Раз- Транс- Окру- Возраст Двор Удоб- Состо- Финан- Вектор V
мер порт жение ства яние сы приоритетов V
Размер 1 5 3 7 6 6 1/3 1/4 0.175 0.042
Транспорт 1/5 1 1/3 5 3 3 1/5 1/7 0.062 0.114
Окружен. 1/3 3 1 6 3 4 1/2 1/5 0.103 0.063
Возраст 1/7 1/5 1/6 1 1/3 1/4 1/7 1/8 0.019 0.368
Двор 1/6 1/3 1/3 3 1 1/2 1/5 1/6 0.034 0.194
Удобства 1/6 1/3 1/4 4 2 1 1/5 1/6 0.041 0.168
Состояние 3 5 2 7 5 5 1 1/2 0.221 0.030
Финансы 4 7 5 8 6 6 2 1 0.345 0.021
Таблица 2. Фундаментальная шкала
Степень предпочтения Определение Комментарии
1 Отсутствие предпочтения Две альтернативы одинаково предпочтительны с точки зрения цели
2 Слабое (легкое) предпочтение
3 Умеренное (среднее) предпочтение Опыт эксперта позволяет считать одну из альтернатив немного предпочтительнее другой
4 Предпочтение чуть выше среднего
5 Заметное предпочтение Опыт эксперта позволяет считать одну из альтернатив значительно предпочтительнее другой
6 Очень заметное предпочтение
7 Сильное (очевидное) предпочтение Опыт эксперта позволяет считать одну из альтернатив гораздо предпочтительнее другой: доминирование альтернативы подтверждено практикой
8 Очень сильное предпочтение
9 Абсолютное предпочтение Очевидность подавляющей предпочтительности одной альтернативы над другой имеет неоспоримое подтверждение
Обратные значения оценок предпочтения Если предпочтительность /-й альтернативы по сравнению с ]-й имеет одно из приведенных выше значений, то оценка предпочтительности }-й альтернативы перед /-й будет иметь обратное значение Логическое допущение
Измерения в шкале отношений В случаях, когда желательно использовать эти числа в физических приложениях. И наоборот, можно оценивать отношения таких величин с использованием суждений
Мы берем отношения MjMх, (i = 1, n) этих откликов, из которых первый является наименьшим и служит единицей измерения остальных при проведении сравнений. Таким способом мы получаем целые значения 1, 2, ..., n фундаментальной шкалы в AHP.
Похоже, что числа, присущие нашей способности к сравнению объектов, не являются изобретением наших далеких предков, которым мы должны быть благодарны за открытие символики. Мы можем упорядочить вербальные оценки Высокий, Средний, Низкий без применения математики, а затем сделать то же самое внутри каждой из этих категорий, в результате чего получим девять различных градаций. Тогда минимальному уровню (Низкий, Низкий) будет соответствовать значение 1, а максимальному (Высокий, Высокий) — значение 9. Таким способом мы охватываем весь спектр возможных значений между двумя уровнями, назначая оценку 9 при сравнении самого лучшего объекта с самым худшим. Шкала состоит из абсолютных чисел, которые, в отличие от привычных цифр, принадлежат к шкале отношений, инвариантной к подобным (умножение на положительное число) и к тождественным преобразованиям.
В книге «Смысл чисел: Как мышление создает математику» [6], математик и когнитивный нейропсихолог Станислас Дехэйн (Stanislas Dehaene) пишет (спустя 25 лет после того, как мы предложили эту шкалу): «Самоанализ предполагает, что мы можем мысленно представлять смысл чисел от 1 до 9 достаточно отчетливо. Действительно, эти символы кажутся нам эквивалентными. Нам кажется, что с ними одинаково легко работать, и мы уверены, что можем сложить или сравнить любые две цифры быстро, как компьютер. Таким образом, изобретение числовых символов (цифр) освобождает нас от нечеткости количественного представления чисел».
Можно показать, что, когда приходится сравнивать более 9 объектов, последние можно разделить на группы, внутри которых применяется тот же вид сравнений с применением девятибалльной шкалы. При этом в каждой группе есть особый (центральный) элемент для связи с другими группами. Приоритет любого элемента из одной группы следует разделить на вес центрального элемента в другой группе и умножить на вес центра своей группы, тогда приоритеты в этих двух группах сопоставимы и могут быть объединены и т. д. Такой тип группирования называют однородной кластеризацией [22]. Помимо этого, как мы увидим ниже, для того, чтобы приоритеты были устойчивыми по отношению к малым изменениям суждений, группы не должны быть многочисленными, а именно, число элементов не должно превышать 7±9 [20].
В AHP вектор приоритетов получают путем вычисления главного собственного вектора матрицы парных сравнений (классического вектора Перрона), который
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений
позволяет получить приоритеты даже в тех случаях, когда суждения не идеально согласованы. Ниже мы увидим, насколько важным является понятие согласованности в АНР. Поскольку все элементы матрицы парных сравнений положительны, теорема Перрона гарантирует существование единственного положительного вектора (V), сумма элементов которого равна единице. Этот вектор является собственным вектором матрицы парных сравнений с собственным значением (^тах), строго наибольшим по модулю. Это собственное значение (собственное значение Перрона) — положительное и алгебраически простое (кратность корня характеристического уравнения равна единице) [14]. Согласованность суждений семьи, покупающей дом, выражена отношением согласованности (С^.), которое мы объясняем ниже.
В табл. 1 можно видеть, что критерий Размер доминирует критерий Транспорт (с оценкой 5), а критерий Финансы заметно важнее критерия Размер (с оценкой 4). Вектор приоритетов в табл. 1 показывает, что Финансы — самый важный критерий для семьи, поскольку он имеет максимальный приоритет (0.345).
Согласованность, упомянутая выше, является воплощением здравого смысла, выраженного, например, в следующем утверждении: если вы предпочитаете весну лету с оценкой 2, лето предпочитаете зиме с оценкой 3, а весна предпочтительнее зимы с оценкой 6, то эти три суждения идеально согласованы.
На следующем этапе выбора дома семья должна попарно сравнить рассматриваемые альтернативы по каждому из восьми критериев. При этом нужно заполнить суждениями восемь матриц парных сравнений с размерностью 3 (число альтернатив). Эти матрицы приведены в табл. 3. Для лучшего понимания суждений ниже приведено краткое описание альтернативных вариантов дома.
Дом A: этот дом — самый большой из всех. Он расположен в хорошем районе (окружении) с небольшим движением транспорта и низкими налогами. Площадь двора этого дома больше по сравнению площадью двора домов В и С. Однако общее состояние дома не очень хорошее, поэтому при переезде потребуется косметический ремонт. Кроме того, в данном случае непривлекательны условия финансирования, потому что кредитование осуществляется банком с высокой процентной ставкой.
Дом B: этот дом немного меньше, чем А, и расположен не очень близко к нужному автобусному маршруту. Окружение дома кажется небезопасным из-за интенсивного движения транспорта. Двор довольно маленький, и дом не оснащен современными бытовыми средствами. Однако общее состояние дома очень хорошее. Предполагаемые финансовые условия являются вполне доступными, что означает возможность получения кредита с невысокой процентной ставкой. В окрестностях имеется несколько таких же домов, как В.
Дом ^ дом очень маленький и частично оснащен современной бытовой техникой. Район благоустроенный и кажется безопасным, но в нем высокие налоги. Двор больше, чем у дома B, но гораздо меньше, чем у дома A. Общее состояние хорошее, в доме красивые ковровые покрытия и обои. Финансовые условия лучше, чем в случае A, но хуже, чем для альтернативы B.
Таблица 3. Матрицы парных сравнений альтернатив
Размер Л Б С Нормирован. приоритеты Идеализир. приоритеты
Л 1 5 9 0.743 1.000
Б 1/5 1 4 0.194 0.261
С 1/9 1/4 1 0.063 0.085
С.К. = 0.07
Двор Л Б С Нормирован. приоритеты Идеализир. приоритеты
Л 1 6 4 0.691 1.000
Б 1/6 1 1/3 0.091 0.132
С 1/4 3 1 0.218 0.315
С.К. =0.05
Транспорт Л Б С Нормирован. приоритеты Идеализир. риоритеты
Л 1 4 1/5 0.194 0.261
Б 1/4 1 1/9 0.063 0.085
С 5 9 1 0.743 1.000
С.К. = 0.07
Удобства Л Б С Нормирован.приоритеты Идеализир. приоритеты
Л 1 9 6 0.770 1.000
Б 1/9 1 1/3 0.068 0.088
С 1/6 3 1 0.162 0.210
С.К. =0 .05
Окружение Л Б С Нормирован. приоритеты Идеализир. приоритеты
Л 1 9 4 0.717 1.000
Б 1/9 1 1/4 0.066 0.092
С 1/4 4 1 0.217 0.303
С.К. = 0.04
Состояние Л Б С Нормирован. приоритеты Идеализир. Приоритеты
Л 1 1/2 1/2 0.200 0.500
Б 2 1 1 0.400 1.000
С 2 1 1 0.400 1.000
С.К. = 0.00
Возраст Л Б С Нормирован. приоритеты Идеализир. приоритеты
Л 1 1 1 0.333 1.000
Б 1 1 1 0.333 1.000
С 1 1 1 0.333 1.000
С.К. = 0.00
Финансы Л Б С Нормирован.приоритеты Идеализир. Приоритеты
Л 1 1/7 1/5 0.072 0.111
Б 7 1 3 0.650 1.000
С 5 1/3 1 0.278 0.430
С.К. = 0.06
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений
Следующим шагом является синтез обобщенных (глобальных) приоритетов. Для того чтобы определить глобальные приоритеты альтернатив, мы умножаем локальные приоритеты рассматриваемых вариантов на приоритеты соответствующих критериев. Последующее суммирование полученных значений по всем критериям дает компоненты вектора глобальных приоритетов альтернатив. В табл. 4 приведены значения приоритетов альтернатив по критериям, вычисленные двумя способами. Оба способа содержат процедуру линейной свертки на иерархии, а отличаются тем, что в традиционном для АНР способе вычисления глобальных приоритетов, называемом распределенным (дистрибутивным), используются собственные векторы матриц парных сравнений, где значения нормированы на сумму, а в идеальном способе значения главных собственных векторов матриц парных сравнений (т. е. распределенные приоритеты) нормируются на максимум. В рассматриваемом примере оба результат, полученные разными способами, совпадают: лучшая альтернатива — дом В, на втором месте — А, а на третьем — С.
Таблица 4. Распределенный и идеальный синтез глобальных приоритетов альтернатив
Веса критериев Размер (0.175) Транспорт (0.062) Окружение (0.103) Возраст (0.019) Двор (0.034) Удобства (0.041) Состояние (0.221) Финансы (0.345) Глобальные
Распределенный способ
А 0.743 0.194 0.717 0.333 0.691 0.770 0.200 0.072 0.346
В 0.194 0.063 0.066 0.333 0.091 0.068 0.400 0.649 0.369
С 0.063 0.743 0.217 0.333 0.218 0.162 0.400 0.279 0.285
Идеальный способ
А 1.000 0.261 1.000 1.000 1.000 1.000 0.500 0.111 0.315
В 0.261 0.085 0.092 1.000 0.132 0.088 1.000 1.000 0.383
С 0.085 1.000 0.303 1.000 0.315 0.210 1.000 0.430 0.302
В общем случае упорядочения альтернатив, полученные разными способами, могут не совпадать. Идеальный способ подходит для случаев, когда критерии не зависят от альтернатив. Тогда альтернативы можно оценивать по каждому критерию по отдельности, не учитывая остальные. Идеальный способ обеспечивает сохранение порядка при добавлении новых альтернатив к исходному множеству. При применении распределенного способа порядок может измениться при добавлении новых альтернатив, что во многих случаях больше соответствует реальности [16].
Матрица парных сравнений
Сравнивая критерии попарно относительно цели выбора, необходимо оценить, какой из двух критериев важнее и насколько важнее. Результаты этих сравнений
записываются в положительную матрицу А = [а^ ], элементы которой обратно симметричны, т. е. а^ = 1/ а^ для всех г, к = 1, п.
Рассмотрим положительную обратно симметричную матрицу в табл. 1. Для заполнения любой матрицы с размерностью п х п необходимо сделать п(п —1)/2 сравнений, т. е. семья, покупающая дом, должна сформировать (8 х 7)/2 = 28 суждений. Сравнения в парах нужно выполнять независимо друг от друга, но в действительности между ними есть связь. Если семья считает, что Финансы вдвое важнее, чем Размер, а Размер вдвое важнее чем Возраст, то при идеальной согласованности суждений нужно ожидать, что Финансы будут вчетверо важнее, чем Возраст. Математическое выражение подобных ожиданий представляет собой множество тождеств вида
а = а&/а]1с, для всех г, к = 1, п
для элементов идеально согласованной матрицы парных сравнений А = [а^ ]. На
практике идеально согласованные матрицы парных сравнений встречаются довольно редко. Последствия отклонений от абсолютной согласованности будут рассмотрены ниже [16, 19].
Почему главный собственный вектор?
Предположим, что положительная квадратная матрица А = [ а^ ] абсолютно согласована. Тогда на ее главной диагонали должны стоять единицы, так как а = а,й/аЛ для всех г, к = 1, п. Более того, матрица должна быть обратно симметричной, так как а^а^ = 1 означает, что а^ = 1/а^. Такая матрица имеет очень простую структуру, поскольку а^ = апа1к = ап/аи для всех /, к. Выходит, что элементы первого столбца матрицы А определяют значения всех остальных элементов! Для удобства обозначим ап, тогда А = [а^] = [аi|аj]. Если мы определим два положительных вектора размерности п х 1: x=[аi] и y=[(аi)ч], то ранг матрицы А = хут будет равен единице. Таким образом, положительная матрица А будет иметь одно ненулевое собственное значение и п — 1 нулевых собственных значений. Легко проверить, что Ах = (а/а)а = [па ] = пх, поэтому ненулевое
собственное значение матрицы А (собственное значение Перрона, которое мы обозначили выше, Ятах) будет равно п, а связанный с ним положительный правый собственный вектор есть х=[а;]. Если мы определим с = а1 +а2 +... + ап, вектор
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений
Перрона для матрицы A (ее единственный положительный собственный вектор, сумма элементов которого дает единицу) можно представить как w = x/c = [a,/с] = [wi ]. Вектор Перрона определяет все элементы матрицы A: A = [atj ] = [a/a ] = [(a/с)/(a /с)}] = [w^w^. ]. Когда матрица идеально (абсолютно) согласована, правый и левый собственные векторы имеют взаимообратные соответствующие значения.
Известно, что любая положительная согласованная матрица A = [a^] размерности n х n имеет единственный положительный собственный вектор (вектор Перрона) w=[wi ], сумма элементов которого равна единице, а связанное с ним собственное значение (Перроново собственное значение) равно п. Кроме того, отношения элементов вектора w точно соответствуют элементам матрицы A: a = w^Wj. Если A — идеально согласованная матрица парных сравнений для
п заданных объектов, то значения вектора wi, i = 1, n представляют собой набор базовых приоритетов, которые определяют множество суждений при парных сравнениях a = wt/wj. Существует несколько способов доказать необходимость вычисления главного собственного вектора в тех случаях, когда суждения не согласованы[18, 21].
Все вышеизложенное объясняет основополагающий выбор вектора Перрона в качестве средства вычисления приоритетов на основе матрицы парных сравнений в модели AHP. Если бы суждения людей всегда были идеально согласованы, модель была бы совершенной. В действительности это не так, поэтому возникает необходимость оценки отклонений от согласованности фактических матриц парных сравнений, а также оценки влияния этой несогласованности на качество решений, принимаемых на основе модели AHP. Попутно заметим, что если бы люди были всегда абсолютно последовательны, они не смогли бы открыть ничего нового, что изменило бы отношения между элементами их прежних знаний, т. е. они действовали бы как роботы. Но существует некоторый уровень допустимой несогласованности, превышение которого свидетельствует о том, что суждения являются противоречивыми, случайными или произвольными.
Когда мы определяем приоритеты альтернатив путем их взаимного сравнения, результат зависит от состава множества вариантов и может отличаться от результата выбора с использованием метода назначения оценок альтернативам независимо друг от друга. Если мы считаем, что в мире все взаимосвязано и существует сложная сеть разнообразных влияний между элементами (это — основной постулат метода аналитических сетей, Analytic Network Process, ANP [17, 18]), то традиционный метод назначения элементам оценок из измерительных шкал нельзя назвать
естественным способом определения их важности. Чем больше мы сталкиваемся с тем, что относительный метод оценки приводит к различным упорядочиваниям элементов, демонстрируя разнообразие реального мира, тем лучше мы понимаем этот мир. Другой аргумент в пользу относительных измерений связан с определением важности критериев выбора, для которой отсутствуют измерительные шкалы. Кроме того, важность критериев полностью зависит от конкретной задачи. В методе аналитических сетей (МАС, АКР) можно выполнить сравнения критериев по альтернативам и сравнения альтернатив по критериям для того, чтобы получить их взаимозависимые приоритеты.
К сожалению, три основных закона логического мышления (тождественность, исключение среднего и противоречие), известные со времен Платона и Аристотеля, предъявляли строгие требования к рассуждениям, которых следовало придерживаться в языке, логике, науке и математике. Эти требования ограничивали применение унаследованной нами биологической способности к сравнениям. Познание невозможно без сравнения, поскольку любой новый объект мы можем определить, сравнив его с тем, что нам уже известно (тождественность). Артур Шопенгауэр, не имевший намерений разработать математическую теорию использования сравнений, сформулировал законы мышления, добавив к ним четвертый закон в своей книге «О четырех корнях принципа достаточного основания»5:
1) объект равен сумме его предикатов, или а = а;
2) никакой предикат нельзя одновременно приписать и запретить объекту, или а Ф ~а;
3) один из двух противоположных предикатов должен принадлежать объекту;
4) истина есть суждение со ссылкой на что-то внешнее по отношению к объекту, являющееся его причиной или основой.
Всем хорошо известна произвольно применяемая аксиома транзитивности в логике и математике: если Л доминирует Б, а Б доминирует С, то Л должно доминировать С. Но в действительности она иногда не соблюдается, например, если спортивная команда Л выиграла у Б, команда Б победила С, а С выиграла у Л. Этот пример показывает, что теория иногда нуждается в корректировке для представления реальности.
Когда положительная обратно симметричная матрица согласована?
Пусть А = [а^ ] — положительная обратно симметричная квадратная матрица размерности п, такая, что все ай = 1 и а = 1/для всех г, ] = 1, п. Пусть
5 On the Fourfold Root of the Principle of Sufficient Reason. Есть русский перевод этой книги «О четверояком корне принципа достаточного основания» (прим. переводчика).
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений
w = [w ]--вектор Перрона для матрицы A; D = diag(w, —, wn) — диагональная
матрица размерности n, в которой на главной диагонали стоят элементы вектора w, и положим, что E = D lAD = [а^ wjjwi ] = [в1у ]. Тогда E будет положительной обратно симметричной матрицей, близкой к A, так как siy = aWi / W = (ajWJ/wi) 1 = 1j sJt.
Более того, суммы строк матрицы E будут равны собственным значениям Перрона матрицы A:
" "a.wi [ Awl X w. ,
\ „ _ X У J _ L_J^ _ max г _ Л
/ J у / ! m^'
w w w
Можно показать, что Xmax > n:
n i n Л n n n
П^тах = / I /j 1 = + /(By + Вуг ) = n + / (By + By' ) > n + 2 (n2 - n )/2 = n2. (1)
г=1 V ¿=1 J г=1 г,у=1 г,у=1
¡*У ¡*У
Более того, поскольку х +1/х > 2 для всех x > 0, а равенство достигается, если и только если х = 1, ясно, что Xmax = n, тогда, и только тогда, когда все в= 1, что равнозначно выполнению условия а = w,-/w ■.
Положительная обратно симметричная матрица A имеет главное собственное число Xmax > n, а равенство достигается тогда и только тогда, когда матрица A идеально согласована. Так как мы допускаем отклонения от абсолютной согласованности, введем индекс согласованности
,, max - n
n -1
Знаем, что ц > 0, а ц = 0 тогда и только тогда, когда матрица A абсолютно согласована. Эти два желаемых свойства объясняют присутствие n в числителе выше приведенного выражения. А почему в знаменателе n -1? Так как след матрицы trace A = n представляет собой сумму всех ее собственных значений, то, если мы обозначим собственные значения, отличные от Xmax, как X2,..., Xn+х, то получим
n = Xmax + /=2 X i, тогда n - Xmax = /=2 X г и Ц = (-V(n - ВД/ 2 Хг есть отрицательное среднее неперроновых собственных значений матрицы A.
Существует простой, но наглядный способ показать, что Xmax = 2 для любой положительной обратно симметричной матрицы размерности 2^2:
1 а 1 + а 1 + а
X = 2
а-1 1 (1 + а)а-1 (1 + а)а-1
Следовательно, любая положительная обратно симметричная матрица размерности 2x2 будет абсолютно согласована. Однако это несправедливо для матриц большей размерности. Рассмотрим положительную обратно симметричную матрицу размерности 3x3
~ 1 а Ь' 1/а 1 с 1/Ь 1/с 1
и вычислим для нее главное собственное значение Л = 1 + й + й_1,
А =
где
й = (ас/Ь)13, и собственный вектор Перрона w:
= Ьй/(1 + Ьй + с/й ), w2 = с/й (1 + Ьй + с/й ), w3 = 1 (1 + Ьй + с/й ). (2) Заметим, что Лтах = 3, когда й = 1 или с = Ь/а, что имеет место, если матрица А идеально согласована. Чтобы получить представление о том, что говорит индекс согласованности о положительной обратно симметричной матрице размерности п х п, рассмотрим следующий эксперимент: элементам матрицы А, расположенным выше главной диагонали, присвоим значения, выбранные случайным образом из последовательности семнадцати возможных значений {1/9, 1/8, ..., 1/2, 1, 2, ..., 8, 9}. Соответствующим элементам под главной диагональю присвоим обратные значения и вычислим индекс согласованности такой матрицы. Повторим эту процедуру 50 000 раз и вычислим среднее значение, называемое случайным индексом согласованности. В табл. 5 и на рис. 2 показаны результаты описанного эксперимента, которые демонстрируют асимптотическую природу случайных отклонений от согласованности.
Рисунок 2. Зависимость случайного индекса согласованности У от числа сравниваемых объектов X
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений
Таблица 5. Значения случайного индекса согласованности (Я.1.)
Порядок матрицы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Индекс Я.1. 0 0 0.52 0.89 1.11 1.25 1.35 1.40 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
Разность первого порядка 0 0 0.52 0.37 0.22 0.14 0.10 0.05 0.05 0.04 0.03 0.02 0.02 0.02 0.01
В нижней строке табл. 5 приведены значения последовательных разностей случайного индекса согласованности из второй строки. Рис. 3 визуализирует зависимость этих значений от числа сравниваемых объектов и позволяет увидеть критическую точку (7, 0.1), которая свидетельствует о том, что, когда число сравниваемых объектов превышает семь, разности значений случайного индекса не превышают 0.1, т. е. мы недостаточно чувствительны к изменениям в суждениях, если число объектов становится большим.
Разности последовательных значений Я.1.
0,6
0,5 ♦
0,4 0,3 -0,2 0,1 0
♦
♦
♦
.......
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Рисунок 3. Зависимость значений последовательных разностей случайного индекса согласованности от числа сравниваемых объектов
Так как попытки упорядочивания приоритетов на основе случайного набора сравнительных суждений не имеют смысла, при практическом применении AHP/ANP необходимо, чтобы индекс согласованности любой матрицы парных сравнений был существенно меньше соответствующего значения из табл. 5. Отношение согласованности (С.Я.) матрицы парных сравнений вычисляется путем деления индекса согласованности матрицы (С.1.) на соответствующее значение случайного индекса (Я.1.) из табл. 5.
На практике не рекомендуем использовать в расчетах матрицы с размерностью п > 4, для которых значение С.Я. > 0.1. Для п = 3 и 4 рекомендуемые значения С.Я.
должны быть меньше, чем 0.05 и 0.09, соответственно. В общем случае требуется, чтобы значение С.Я. не превышало намного 0.1, и вот почему.
Понятие порядка величин является существенным в любом математическом анализе непостоянных измерений. Когда кто-то имеет количественное значение измерения, например, из интервала от 1 до 10, и хочет определить, существенно ли изменение этого значения, он рассуждает примерно так: изменение целочисленной оценки существенно, потому что значительно изменяется величина и подлинность истинного значения. Если изменение измерения невелико (менее процента), то изменение истинного значения будет на два порядка меньше и не будет значимым. Однако если изменение составляет десятки процентов (на один порядок величины меньше), мы, вероятно, должны изменить исходное значение с учетом этого порядка, чтобы не утратить достоверность и подлинность истинного значения в нашем первоначальном представлении о нем. Таким образом, при формировании последовательных сужений, выраженных числами, большие изменения оценок могут приводить к драматическим изменениям наших представлений, а очень малые изменения не меняют их. Изменение значений в первом порядке величин может вести к изменению нашего понимания. Из этого следует, что допустимый уровень значений отношения согласованности не должен быть больше, чем 0.10. Уровень 10% невозможно снизить до 1% или до 0.1% без нивелирования воздействия несогласованности, которая нужна потому, что без нее невозможно использовать новые знания, изменяющие предпочтения. Предположение об идеальной согласованности всех знаний противоречит опыту, который требует постоянного обновления нашего понимания.
Если отношение согласованности С.Я. превышает установленный уровень 10%, можно сделать следующее.
1. Найти самое несогласованное суждение в матрице парных сравнений.
2. Определить область значений, в которой должна находиться численная оценка несогласованного суждения, чтобы оно стало согласованным.
3. Предложить эксперту, заполнившему матрицу, пересмотреть суждения для улучшения согласованности. Если он не согласен, такая же процедура проводится со вторым, третьим и т. д. несогласованным суждением. В случае, когда все суждения остались без изменений, а матрица не согласована, решение лучше отложить до тех пор, пока не будет лучшего понимания проблемы.
В рассмотренном выше примере с покупкой дома семья сначала поставила оценку 6 элементу а37 матрицы парных сравнений, приведенной в табл. 1, и индекс согласованности для нее был С.1. = (9.669 — 8)/7 = 0.238. Отношение согласованности С.Я. = 0.238/1.4 = 0.17 больше, чем рекомендуемое значение 0.1. Исходная не-
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений
согласованная матрица представлена в табл. 6. Если мы собираемся попросить семью пересмотреть суждения, с чего нужно начать?
Таблица 6. Исходная несогласованная матрица парных сравнений
критериев в задаче о покупке дома
Фактор Раз- Транс- Окру- Воз- Двор Удоб- Состо- Финан- V V
мер порт жение раст ства яние сы
Размер 1 5 3 7 6 6 1/3 1/4 0.173 0.047
Транспорт 1/5 1 1/3 5 3 3 1/5 1/7 0.054 0.117
Окружение 1/3 3 1 6 3 4 6 1/5 0.188 0.052
Возраст 1/7 1/5 1/6 1 1/3 1/4 1/7 1/8 0.018 0.349
Двор 1/6 1/3 1/3 3 1 1/2 1/5 1/6 0.031 0.190
Удобства 1/6 1/3 1/4 4 2 1 1/5 1/6 0.036 0.166
Состояние 3 5 1/6 7 5 5 1 1/2 0.167 0.059
Финансы 4 7 5 8 6 6 2 1 0.333 0.020
= 9.669 СЛ. = 0.170
Существуют три возможных способа, и все они требуют теоретического исследования сходимости и эффективности. Первый из них основан на простой формуле для вычисления частных производных собственного значения Перрона по элементам матрицы.
Для заданной положительной обратно симметричной матрицы А = [] и заданной пары несовпадающих индексов к > I определим А(t) = [а^ (t)], аИ (С)=аИ +t, а1к({)=(аш + О"1 и а (0=а для всех I Ф к, / ФI,так, что А(0) = А. Зависимость от t
примем линейной, так как умножение на t, когда оно равно или близко к нулю, может привести к получению больших обратных значений, поэтому желательно t отделить от нуля. Также желательно, чтобы t не принимало слишком больших значений, при которых суждения становятся слишком пространными, что нарушает требование однородности. Таким образом, наше предположение о виде функциональной зависимости является вполне разумным. Пусть Ятах (0 — перроново собственное значение матрицы А(^ для всех t в окрестности t = 0, т. е. достаточно мало, чтобы гарантировать, что все элементы обратно симметричной матрицы А(0 будут положительными. Наконец, пусть V = [vi ] — единственный положительный собственный вектор положительной матрицы АТ, которая нормализована так, что уТ~№ = 1. Тогда классическая формула [4, теорема 6.3.12] говорит нам, что
Л ^)
Л
--Т-= v А ' °) м> = 2Л^--г 1
v ™ ш аы
t=0
Можем вывести, что
дя„
да,.
= ущ - а2у^г для всех г, у = 1, п.
Поскольку имеем дело с положительными обратно симметричными матрицами, то
д! 1 дХ„_
да,.,.
ай дау
для всех г иу.
Таблица 7. Значения частных производных для матрицы сравнений
критериев в примере о покупке дома
Фактор Размер Транспорт Окружение Возраст Двор Удобства Состояние Финансы
Размер - 0.001721 0.007814 -0.00041 0.00054 0.000906 -0.08415 -0.03911
Транспорт - - -0.00331 0.001291 0.002485 0.003249 -0.06021 -0.01366
Окружение - - - -0.00091 -0.00236 -5.710-05 0.008376 -0.07561
Возраст - - - - -0.01913 -0.03372 0.007638 0.094293
Двор - - - - - -0.01366 -0.01409 0.041309
Удобства - - - - - - -0.02599 0.029355
Состояние - - - - - - - 0.006487
Финансы - - - - - - - -
Таблица 8. Матрица е^. = а Щ /Щ в задаче о покупке дома
Фактор Размер Транспорт Окружение Возраст Двор Удобства Состояние Финансы
Размер 1.00000 1.55965 3.26120 0.70829 1.07648 1.25947 0.32138 0.48143
Транспорт 0.64117 1.00000 1.16165 1.62191 1.636746 2.01882 0.61818 0.88194
Окружение 0.30664 0.86084 1.00000 0.55848 0.49513 0.77239 5.32156 0.35430
Возраст 1.41185 0.61656 1.79056 1.00000 0.59104 0.51863 1.36123 2.37899
Двор 0.92895 0.57954 2.01967 1.69193 1.00000 0.58499 1.07478 1.78893
Удобства 0.79399 0.49534 1.29467 1.92815 1.70942 1.00000 0.91862 1.52901
Состояние 3.11156 1.61765 2.25498 0.73463 0.93042 1.08858 1.00000 0.99868
Финансы 2.07712 1.13386 2.82246 0.42035 0.55899 0.65402 1.00133 1.00000
Таблица 9. Улучшение согласованности путем замены элементов матрицы
Фактор Размер Транспорт Окружение Возраст Двор Удобства Состояние Финансы V
Размер 1 1.7779 1.756208 0.774933 1.163989 1.418734 0.425449 0.494088 0.174
Транспорт 0.562461 1 0.548777 1.556678 1.72551 1.994957 0.717895 0.794016 0.062
Окружение 0.569408 1.822233 2 1.134652 0.994177 1.615679 0 0.675211 0.102
Возраст 1.290434 0.642394 0.881328 1 0.584131 0.533978 1.64704 2.23156 0.019
Двор 0.859115 0.610968 1.005857 1.711945 1 0.609428 1.315833 1.697915 0.034
Удобства 0.704854 0.501264 0.618935 1.872735 1.640883 1 1.079564 1.39304 0.041
Состояние 2.35046 1.392962 0 0.60715 0.759975 0.9263 2 0.774223 0.223
Финансы 2.02393 1.259421 1.481018 0.448117 0.588958 0.717855 1.291617 1 0.345
Таким образом, чтобы идентифицировать элементы матрицы А, чья корректировка (подгонка) в классе обратно симметричных матриц вызовет наибольшее изменение !тах, нужно проанализировать значения п(п — 1)/2, {ущ - а2щ V.} для г > у
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений
и выбрать из них максимальное. Этот метод предложен для положительной обратно симметричной матрицы Харкером (Иагкег) [8]. Эргю с соавторами (Е^и е! а1.) [7] предложил другой метод для оценки согласованности в ЛОТ (методе аналитических сетей). Применим метод Харкера для корректировки несогласованных суждений в примере о покупке дома для матрицы в табл. 6, где значения а37 = 6, а73 = 1/6 нарушают согласованность.
В табл. 7 представлены значения частных производных для матрицы критериев из табл. 6. В исходной матрице сравнения критериев (см. табл. 6) максимальный по абсолютной величине элемент а84 = 8; он показывает, что финансовые аспекты покупки дома существенно важнее, чем возраст строения. Семье, принимающей решение, можно предложить пересмотреть это суждение. При этом необходимо знать, на какую величину нужно изменить оценку, чтобы улучшить согласованность матрицы. Как это сделать, покажем ниже.
Если изменение указанного суждения на рекомендуемую величину не соответствует нашим представлениям, то можно изменить его до приемлемого уровня. Если попытки улучшения согласованности не увенчались успехом, то нужно собрать больше информации для принятия решения и переосмыслить ее. В примере о покупке дома удалось достичь приемлемого уровня согласованности, изменив значения на а37 = 1/2 и а73 = 2 простым способом, описанным ниже.
Два других способа, приведенные здесь для сравнения эффективности практического применения, принципиально различны. Они базируются на факте, что
п
пк - П = ^(8 .+8-1 ).
тах У V }
> ,У=1 ' ФУ
Это предполагает, что мы проверяем суждение, для которого 8у дальше всех отстоит от единицы, т. е. находим элемент а у, для которого а— максимальное, и затем смотрим, можно ли уменьшить этот элемент в разумных пределах. При этом мы надеемся, что такое изменение а даст нам новую матрицу парных сравнений с меньшим значением перронова собственного значения. Продемонстрируем процедуру улучшения согласованности на примере о покупке дома и матрице в табл. 6. Чтобы определить подлежащий изменению элемент матрицы, вычислим матрицу 8у = , представленную в табл. 8, где максимальное по значение
5.32156 соответствует элементу а37 матрицы парных сравнений.
Как найти значение элемента а , которое сделает матрицу согласованной? Харкер [8] показал, что, когда мы вычисляем новый собственный вектор V после
изменения значения a37, желательно, чтобы оно было равно щ/щ, а новое значение а73 было равно w7/w3. Выполнив замены а37 на щ/щ и а73 на щ/щ с последующим умножением на вектор w, получим такой же результат, как при замене а37 и а73 на нули и соответствующих им диагональных элементов на 2 (табл. 9).
Мы берем вектор Перрона последней матрицы в качестве w и используем неизвестные значения щ/щ и щ/щ для замены элементов а37 и а73• Затем мы предлагаем принимающей решение семье изменить суждение в клетке (3, 7), чтобы приблизить к а37 настолько, насколько возможно. В данном случае а37 = 0.102/0.223 = 1/2.18 = 0.457, т. е. близко к значению / из фундаментальной шкалы AHP, и замена на это значение сделана в табл. 1. Если бы лица, принимающие решение, не согласились изменить значение a , нужно было бы найти второй по величине элемент, нарушающий согласованность матрицы, и повторить описанную процедуру.
Так, по очереди значения каждой пары обратно симметричных элементов матрицы a и a замещаются нулями, а значения соответствующих диагональных
элементов a — двойками. Затем вычисляется главное собственное число матрицы ^тах и рассматривается возможность изменения максимального по модулю элемента матрицы при данном Хтяк. Этот метод используется в программной системе Su-perDecisions [26], реализующей метод аналитических сетей (ANP), которая содержит обучающие процедуры для освоения метода. Программу SuperDecisions можно скачать с сайта www.superdecisions.com; для образовательных и научных целей доступна бесплатная версия этого продукта. Заметим, что приставка Super в названии программы не означает каких-либо сверхвозможностей, а связано с использованием в ней суперматрицы — матрицы, элементами которой являются матрицы.
Для оценки альтернатив можно применять метод парных сравнений, а в случае, если их очень много, назначать им независимые оценки из соответствующей шкалы приоритетов, которая выведена для каждого критерия из шкалы лингвистических оценок, например, таких как (высокий, средний, низкий), (отличный, очень хороший, хороший, средний, плохой, очень плохой). Эти оценки сравниваются попарно, а затем им присваиваются соответствующие значения главного собственного вектора, вычисленного для полученной матрицы парных сравнений, нормированные на максимальное значение. Метод парных сравнений дает более точное
6
упорядочивание альтернатив, чем метод назначения независимых оценок , потому
6 Этот метод в литературе по АНР называют методом лингвистических стандартов или просто методом стандартов (прим. переводчика).
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений
что последний содержит информацию об идеальном объекте, который может не совпадать у разных людей. Если оценки альтернатив лежат в очень широком диапазоне, то применяемые шкалы должны отражать разные порядки величин с тем, чтобы их можно было корректно объединить [22].
Нормированный вектор приоритетов является единственным
Чтобы выбрать лучший вариант какого-либо решения, нужно получить единственный вектор приоритетов. Но это не все, что нужно знать о приоритетах. Когда матрица А = [щ/щ ] согласована, то Ак = пк-1А. Эта формула показывает для каждого критерия, представленного строкой матрицы А, как много других критериев он доминирует по маршрутам из к шагов, однозначно определенных последовательностями единичных шагов, представленных элементами данной строки матрицы А. Но если матрица А не согласована, это не соблюдается.
Говорят, что критерий 7 доминирует критерий у на одном шаге, если сумма элементов строки 7 в матрице А больше, чем сумма элементов столбцау. Для выражения доминирования удобно использовать единичный вектор е = (1, ..., 1)Т: критерий 7 доминирует критерий у на одном шаге, если (Ае) > (Ае) .. Один критерий
может доминировать другой более чем на одном шаге, если доминируемый критерий доминирует еще какой-то. Доминирование на двух шагах можно представить возведением матрицы в квадрат с последующим вычислением суммы ее строк, доминирование на трех шагах — возведением матрицы в куб и т. д. Таким образом, критерий 7 доминирует критерий у на к шагах, если (А^е) > (Аке) Говорят, что критерий 7 просто доминирует критерий у, если 7-й элемент вектора
1 т
Нт- У Аке/еТ Аке (3)
больше чем его у-й элемент. Но этот предел усредненных значений можно оценить: теорема Перрона-Фробениуса утверждает, что
Т поэтому
Ак/ктах ^ ЩТ при к ^да Аке кк щ (уТе)
А е тах у у
= щ при к ^ да. (4)
(еТАке) кктах (еТщ)(уТе)
Поскольку выражение (3) является пределом последовательности, которая сходится к вектору Перрона V матрицы А, то, согласно суммируемости по Чеза-ро [17], значение выражения (3) действительно равно V.
Проще говоря, вектор приоритетов V для матрицы А можно использовать для получения весовых коэффициентов столбцов матрицы, а суммирование элементов
ее строк позволяет получить новый вектор приоритетов. Эту неоднозначность можно устранить, если мы потребуем, чтобы вектор приоритетов удовлетворял условию Aw = cw, c > 0. Константа c необходима потому, что w выводится из значений абсолютной шкалы (инвариантной к тождественным преобразованиям), следовательно, нормированные значения также принадлежат абсолютной шкале. Легко доказать, используя биортогональность левого и правого собственных векторов [7], что c и w должны быть соответственно Перроновым собственным значением и Перроновым вектором матрицы А. Так, опираясь на понятие «доминирование», доказано, что вектор Перрона необходим для получения приоритетов из матрицы парных сравнений.
Следует ли беспокоиться о невысокой точности суждений, которая часто имеет место? Wilkinson [27] изучал устойчивость главного собственного вектора квадратной матрицы с действительными значениями. Изменение матрицы путем прибавления к ней матрицы возмущений ДА приводило к изменению Ащ главного собственного вектора щ . Следующее выражение включает все собственные значения rki матрицы А и оба главных ее собственных вектора — левый v. и правый щ. :
где векторы V и ^ нормированы на единицу; Т — символ транспонирования.
Собственный вектор щ матрицы парных сравнений А устойчив, если выполняются следующие условия.
1. Возмущение ДА мало, а исходная матрица имеет допустимый уровень согласованности.
2. Значения X. легко отделить от X; когда матрица А согласована, X = п,
Ь = °
3. Произведение левого и правого собственных векторов не слишком велико, что соответствует случаю согласованной или почти согласованной матрицы с однородными элементами (для сравнения которых подходит целочисленная 9-балльная шкала относительного доминирования).
4. Матрицы имеют не слишком большую размерность (вспомним, что проблема согласованности суждений усиливается с увеличением размерности [13]).
Вывод о том, что п должно быть малым, а также то, что сравнивать можно однородные элементы, вполне согласуются с аксиомами МАИ (АНР) [18].
n
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений
Синтез репрезентативных групповых суждений на основе суждений отдельных индивидуумов
Теорема Кеннета Эрроу о невозможности, отмеченная Нобелевской премией 1972 г., утверждает, что репрезентативное групповое суждение невозможно получить на основе суждений индивидуумов, если они выражены порядковыми (ординальными) предпочтениями. Однако при использовании кардинальных предпочтений групповое суждение можно получить как среднее геометрическое индивидуальных суждений, как это делается в МАИ (АНР). В 1983 г. в совместной работе с 1апо8 Ао2е1 [1] мы доказали, что единственный способ объединения обратно симметричных суждений в соответствующее групповое суждение основан на использовании среднего геометрического.
Используя порядковые предпочтения (А либо предпочтительнее В, либо нет), Эрроу доказал, что не существует функции коллективного благосостояния, которая одновременно удовлетворяет четырем условиям (аксиомам), представленным на рис. 4. В апреле 2011 г. в журнале, возглавляемом Кеннетом Эрроу, мы опубликовали статью [24], где показали, что при использовании численных оценок интенсивности предпочтений и среднего геометрического для агрегирования индивидуальных суждений в групповое существует функция коллективного благосостояния, одновременно удовлетворяющая всем четырем условиям. Так появилась теорема о возможности.
Обоснование и способы применения метода анализа иерархий
Как мы можем проверить правильность метода? Есть один способ — собрать мнения многих людей, в том числе и тех, кто не является специалистом в принятии решений, но является специалистом в своей области. Необходимо ли всегда сопоставлять результат с доступными данными? Что, если эти данные неверны? Что, если у нас не хватает знаний для описания очень сложной структуры решения? Эти вопросы исследуются в литературе, но лучше всего проверить метод на серии примеров, чтобы получить представление о его надежности. Ниже мы предлагаем три примера, чтобы проиллюстрировать его точность на задаче с количественными данными и возможности представления реальности. Примеры показывают, что важнейшим вопросом МАИ (АНР/АКР) является построение адекватной структуры решения, а также уровень знаний и профессионализм, необходимый для выработки суждений и проведения сравнений.
Сходство Различие
Рисунок 4. Четыре условия К. Эрроу
Относительное потребление напитков. В табл. 10 показано, как группа примерно из 30 человек, согласовывая каждое суждение, оценивала доминирование в потреблении различных напитков в США (какой напиток в США потребляют больше и на сколько больше, чем другой?). Полученный вектор приоритетов, характеризующий относительное потребление, сравнивается с оценками, полученными из данных официальной статистики путем нормирования. При этом наблюдается хорошее совпадение расчетных и статистических данных.
Таблица 10. Сравнительная оценка потребления напитков в США
Напиток Кофе Вино Чай Пиво Содовая Молоко Вода Вектор приоритетов Реальное относительное потребление
Кофе 1 9 5 2 1 1 1/2 0.177 0.180
Вино 1/9 1 1/3 1/9 1/9 1/9 1/9 0.019 0.010
Чай 1/5 2 1 1/3 1/4 1/3 1/9 0.042 0.040
Пиво 1/2 9 3 1 1/2 1 1/3 0.116 0.120
Содовая 1 9 4 2 1 2 1/2 0190 0.180
Молоко 1 9 3 1 1/2 1 1/3 0.129 0.140
Вода 2 9 9 3 2 3 1 0.327 0.330
Пример из оптики. Четыре одинаковых стула поставлены на одной линии, исходящей от источника света, на расстояниях 9, 15, 21 и 28 ярдов. Цель эксперимента заключается в том, чтобы выяснить, может ли человек, стоящий рядом с источником света, оценить расстояния, которые отделяют стулья от источника, на основе парных сравнений предметов по освещенности. Этот эксперимент провели дважды
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений
с разными людьми, которые заполнили матрицы парных сравнений, приведенные в табл. 11.
Таблица 11. Матрицы парных сравнений для оптического примера Первый эксперимент Второй экперимент
С1 С2 Сз С4 V
С 1 5 6 7 0.61
С2 1/5 1 4 6 0.24
Сз 1/6 1/4 1 4 0.10
С4 1/7 1/6 1/4 1 0.05
ктах = 4.39; С.1. = 0.13; С.Я. = 0.14
С1 С2 Сз С4 V
С1 1 4 6 7 0.62
С2 1/4 1 3 4 0.22
Сз 1/6 1/3 1 2 0.10
С4 1/7 1/4 1/2 1 0.06
ктах = 4.1; С.1. = 0.03; С.Я. = 0.03
Суждения в первой матрице делали юные дети автора, которым тогда было 5 и 7 лет. Они выбирали качественные определения из фундаментальной шкалы в табл. 2. Суждения во вторую матрицу заносила жена автора, тоже математик, не показывая их детям. В табл. 11 приведены значения главного собственного вектора, собственного числа и отношения согласованности для матриц.
Собственные векторы матрицы из табл. 11 мы сравнили с последним столбцом в табл. 12, элементы которого вычислены по закону обратных квадратов из оптики, чтобы увидеть, насколько близки полученные векторы к действительным значениям. Для этой цели разработали специальный индекс соответствия. Умножили матрицу отношений значений собственного вектора на транспонированную матрицу таких же отношений второго вектора, вычислив произведение Адамара. Для одинаковых векторов каждый элемент произведения Адамара равен единице, а сумма всех элементов получившейся матрицы равна п2. В противном случае можно разделить сумму элементов произведения Адамара на п2 и убедиться в том, что полученное значение не превышает 1.01. В этом примере интересно и важно отметить, что количественные суждения соответствуют закону природы, и это наталкивает на мысль, что так может быть и в других областях чувственного восприятия или размышления, подобного тому, что мы опишем в следующем примере про шахматный матч, а также в любых других проявлениях.
Отметим чувствительность результатов при смещении ближайшего стула в сторону источника света, после чего он получает большее значение относительного индекса, и малые ошибки в оценках его расстояния от источника дают большие ошибки в значениях индекса. Самое примечательное в этом эксперименте — это то, что наблюдаемая интенсивность освещенности изменяется в соответствии с зако-
ном обратных квадратов расстояния. Если эксперимент провести более тщательно, можно получить более точные результаты визуальных наблюдений.
Таблица 12. Закон обратных квадратов оптики
Расстояние Нормированное Квадрат нор- 1/Q (Обратное Нормированное Округленное
расстояние мированного значение Q) значение 1/Q значение
расстояния Q относительного
индекса
9 0.123 0.015129 66.098 0.6079 0.61
15 0.205 0.042125 23.79 0.2188 0.22
21 0.288 0.082944 12.05 0.1108 0.11
28 0.384 0.147456 6.78 0.0623 0.06
Прогноз результата первенства мира по шахматам: матч Карпов-Корчной. На рис. 5 приведена иерархия, а в табл. 13 — критерии, которые мы использовали для прогнозирования результата матча по шахматам за звание чемпиона мира на основе суждений десяти гроссмейстеров из бывшего СССР и США, которые ответили на вопросы, разосланные им по почте. Результаты прогноза, которые включали количество сыгранных и отложенных партий, побед и поражений каждого игрока, были нотариально заверены до проведения матча и близко совпали с тем, что позднее произошло на самом деле. Статья по данной работе была опубликована в журнале Journal of Behavioral Sciences в мае 1980 г. Мы предсказали, что Карпов победит Корчного со счетом 6:5.
Шахматы
Рисунок 5. Иерархия задачи прогнозирования результата шахматного матча
Для решения задачи прогнозирования применялся метод анализа иерархий (МАИ, АНР). Этот подход к приоритизации дает возможность сконцентрировать внимание на важных аспектах проблемы и распределить ресурсы в соответствии с приоритетами. Ниже (с. 32-35) приведен неполный список известных приложений метода анализа иерархий (АНР).
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений
Таблица 13. Критерии иерархии из примера о шахматном матче
Родительский критерий № критерия Обозначение критерия Наименование критерия Описание критерия
Техника 1 C Calculation Вычисления Способность игрока оценивать различные альтернативы или стратегии в свете получения преимущества
2 EX Expirience Опыт Состав предыдущих соперников, уровень турниров с собственным участием, срок принадлежности к шахматной элите
3 GH Good Health Здоровье Физическая и умственная сила, способность выдерживать напряжение, выносливость
4 IM Imagination Воображение Способность понимать и импровизировать удачные стратегии и тактики
5 IN Intuition Интуиция Способность угадывать намерения противника
6 GA Game Aggressiveness Агрессивность Способность эксплуатировать слабости и ошибки противника в своих интересах, иногда объясняемую «инстинктом киллера»
7 LRP Long Range Planning Долгосрочное планирование Способность игрока предвидеть результат хода, достижимость желаемой позиции, изменения сложившегося положения
8 M Memory Память Способность запоминать предыдущие партии
9 PR Preparation Подготовленность Изучение и анализ шахматных партий и идей
10 Q Quickness Сообразительность Способность игрока увидеть суть сложной проблемы
11 RY Relative Youth Молодость Энергия, способность выдвигать и применять новые идеи
12 S Seconds Секунданты Способность других профессионалов помочь игроку в анализе стратегий между играми
13 T Technique Техника Способность использовать и реагировать на новые ходы и стратегии, импровизировать в тактике
Поведение 1 E Ego Эго Представление игрока о собственных способностях и квалификации, желание победить
2 G Gamesmanship Искусство игры Способность игрока оказывать влияние на противника, нарушая его концентрацию и уверенность в себе
3 GNWW Good Nerves and Will to Win Самообладание и воля к победе Твердость позиции, которая позволяет игроку выдержать противостояние в игре. Он помнит, что выдержка позволяет получить преимущество в игре
4 P Personality Харизма Манеры и сила эмоций, их влияние на соперника
5 ST Stamina Стойкость Физическая и психологическая способность игрока вынести усталость и напряжение
- Начиная с момента разработки, AHP применялся для прогнозирования, в частности, неоднократно для предсказания итогов президентских выборов в США. При этом состав и структура иерархии изменялась от выборов к выборам в соответствии с изменением внутренней и внешней обстановки.
- В 1986 г. Институт стратегических исследований в Претории, работающий на правительство, применял AHP для анализа конфликта в Южной Африке, рассматривая возможные действия, начиная от освобождения Нельсона Мандейла до ликвидации апартеида и предоставления всех гражданских прав черному большинству. Рекомендованные действия были оперативно реализованы белым правительством.
- Нефтяная компания применяла AHP в 1987 г. для выбора подходящего типа платформы, которую собиралась построить для бурения нефти в Северной Атлантике. Затраты на возведение платформы составляли около 3 млрд долларов США, но еще более важным фактором в этом решении были затраты на ее демонтаж.
- Корпорация Xerox использовала AHP для распределения ресурсов примерно в 1 млрд долларов на исследовательские проекты.
- Корпорация IBM применяла AHP в 1991 г. при проектировании компьютера средней мощности AS 400, который оказался весьма успешным. IBM получила престижную премию Малькольма Бэлдриджа (Malcolm Baldrige) за высокое качество этой работы. В книге о проекте AS 400 есть глава, посвященная тому, как метод анализа иерархий применялся в бенчмаркинге.
- С 1992 г. AHP используется для набора студентов в учебные заведения, а до этого, он применялся для продвижения по службе военных и для решений о найме персонала.
- AHP применялся для разрешения конфликта по правам интеллектуальной собственности между США и Китаем в 1995 г. Анализ трех иерархий для выгод, издержек и рисков показал, что для США будет лучше не вводить санкции против Китая, что и было сделано, а вскоре после этого США предоставили Китаю статус благоприятного торгового партнера.
- В области спорта AHP использовался в 1995 г. для предсказания, какие футбольные команды будут участвовать в Американском суперкубке (Super Bowl) и кто его выиграет (Даллас тогда победил мой родной Питтсбург). AHP применялся и в бейсболе для подбора игроков в команду.
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений
- Британские Авиалинии использовали AHP в 1998 г. для выбора поставщика развлекательных систем для парка своих самолетов.
- Компания Форда (Ford Motor Company) применяла AHP в 1999 г. для определения приоритетов критериев, связанных с удовлетворенностью потребителей.
- В 2001 г. AHP использовался для выбора наиболее подходящего места для переноса турецкого города Адапазари, разрушенного землетрясением.
- Проведенный нами с применением ANP всесторонний анализ решения о том, нужно ли Соединенным Штатам Америки продолжать разработку систем противоракетной обороны (по оценкам 1990-х гг. стоимость этого проекта составляла 60 млрд долларов, а ученые считали его технически нереализуемым), был представлен в Университет Национальной Обороны (National Defense University, NDU) в феврале 2002 г. В декабре того же года президент Буш принял решение продолжить разработки, в результате в США был разработан прототип системы, который успешно прошел испытания .
- Профессор Виктор Адамус из Университета Кракова анализировал решение о переходе Польши на европейскую валюту с применением AHP и убедил премьер-министра в 2007 г. отложить переход на евро на несколько лет.
- Пентагон согласился с результатами нашего анализа военных действий в Ираке, проведенного с применением AHP, где исследовались иерархии выгод, возможностей и рисков.
- AHP применялся, чтобы помочь команде Green Bay Packers8 выбрать лучших игроков, что, возможно, помогло ей выиграть Суперкубок в 2011 г. в финальном матче с Pittsburgh Steelers9. Метод неоднократно использовался и другими спортивными командами.
- В 1991, 2001 и 2009 гг., когда экономика США испытывала трудности, AHP применялся для прогнозирования сроков ее восстановления и дал удивительно точные оценки.
- AHP практически применялся для анализа израильско-палестинского конфликта в августе 2011 г., когда пятеро ведущих экспертов с каждой
7 Процесс анализа этого решения описан в переведенной на русский язык книге Т. Л. Саати «Принятие решений при зависимостях и обратных связях: Аналитические сети» (прим. переводчика).
8 Green Bay Packers (Грин-Бей пэкерс) — команда американского футбола из г. Грин-Бей, шт. Висконсин, входящая в Национальную футбольную лигу.
9 Pittsburgh Steelers — футбольная команда г. Питтсбурга.
стороны использовали предложенную методику и в результате пришли к соглашению, названному Питтсбургские Принципы. Один из участников этого процесса писал: «Я сотни раз участвовал в переговорах между палестинцами и израильтянами, которые закончивались безрезультатно, потому что в большинстве случаев каждая сторона старалась получить выгоды за счет другой и ставила общественное мнение выше, чем достижение соглашения и объективные обстоятельства».
- AHP применяется многими организациями, включая военные, для при-оритизации своих проектов и распределения ресурсов между ними в соответствии с полученными приоритетами. Поскольку AHP помогает осмыслить процесс принятия решения, его можно применять для самых разных задач, в том числе для решений, принимаемых интуитивно. Как минимум, метод позволяет экспериментировать с составом и структурой применяемых критериев, а также с суждениями. При этом можно оценить чувствительность результатов выбора при изменении структуры и суждений [19]. Оказывается, если мы знаем, как оценить объекты в относительных шкалах по многим критериям, мы можем делать любые измерения способом. Подобный тип измерений включает, как особый случай, нормированные оценки, которые мы делаем в науке, где требуется обоснование значимости оценок, полученных на основе экспертных знаний.
Я благодарю моего давнего друга профессора Роджера Хорна за помощь в подготовке этой работы к публикации. Мы надеемся на возможность в будущем показать, как работает метод аналитических сетей (ANP) и как можно обобщить дискретные данные сравнений на непрерывный случай с использованием уравнения Фредгольма, решение которого дает результат, связанный с процессами синтеза и активизации мозга.
Литература
[1] Aczel J., Saaty T. Procedures for synthesizing ratio judgments // Journal of Mathematical Psychology. 1983. Vol. 27. P. 93-102.
[2] Batschelet E. Introduction to Mathematics for Life Scientists. — New York : Springer-Verlag, 1971.
[3] Bauer R. A., Collar E., Tang V. The Silverlake Project. — New York : Oxford University Press, 1992.
[4] Bergson H. The Intensity of Psychic States // Chapter 1 in Time and Free Will: An Essay on the Immediate Data of Consciousness, translated by F. L. Pogson, M. A. London, George Allen and Unwin, 1910. P. 1-74.
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений
[5] Davis P., Hersh P. T. Descartes' Dream. — New York : Harcourt Brace Jovanovich, 1982.
[6] Dehaene S. The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics. — Oxford University Press, 1997.
[7] Ergu D., Kou G., Peng Y., Yong Shi. A simple method to improve the consistency ratio of the pairwise comparison matrix in ANP // European Journal of Operational Research. 2011. Vol. 213. No. 1. P. 246-259.
[8] Harker P. Derivatives of the Perron root of a positive reciprocal matrix: With applications to the analytic hierarchy process // Applied Mathematics and Computation. 1987. Vol. 22. P. 217-232.
[9] Horn R. A. , Johnson C. R. Matrix Analysis. — New York : Cambridge University Press, 1985.
[10] Lebesgue H. Leçons Sur L'intégration, second ed. — Paris : Gauthier-Villars, 1928.
[11] LeShan L., Margenau H. Einstein's Space and Van Gogh's Sky. — Macmillan, 1982.
[12]MacKay A. F. Arrow's Theorem: The Paradox of Social Choice. — Yale University Press, 1980.
[13] Ozdemir M., Saaty T. L. The unknown in decision making: What to do about it // European Journal of Operational Research. 2006. Vol. 174. P. 349-359.
[14] Peng Y., Kou G., Wang G., Wu W., Shi Y. Ensemble of software defect predictor: An AHP-based evaluation method // International Journal of Information Technology & Decision Making. 2011. Vol. 10. No. 1. P. 187-206.
[15] Saaty T. L. The Analytic Hierarchy Process. — New York : McGraw Hill, 1980 [Reprinted by RWS Publications, available electronically free, 2000].
[16] Saaty T. L. Fundamentals of Decision Making. — RWS Publications, 2006.
[17] Saaty T. L. Theory and Applications of the Analytic Network Process. — RWS Publications, 2006.
[18] Saaty T. L. Principia Mathematica Decernendi, subtitled Mathematical Principles of Decision Making. — RWS Publications, 2010.
[19] Saaty T. L., Forman E. The Hierarchon, a collection of nearly 800 hierarchies in all kinds of life, many actual, applications made by people, and The Encyclicon, three volumes of nearly 900 pages of several hundred network decision applications, all published by RWS Publications.
[20] Saaty T. L., Ozdemir M. Why the magic number seven plus or minus two // Mathematical and Computer Modelling. 2003. Vol. 38. P. 233-244.
[21] Saaty T. L., Peniwati K. Group Decision Making:Drawing Out and Reconciling Differences. — RWS Publications, 2008.
[22] Saaty T. L., Shang J. An innovative ordersof-magnitude approach to AHP-based mutli-criteria decision making: Prioritizing divergent intangible humane acts // European Journal of Operational Research. 2011. Vol. 214. No. 3. P. 703-715.
[23] Saaty T.L., Vargas L. G. Hierarchical analysis of behavior in competition: Prediction in chess // Behavioral Sciences. 1980. Vol. 25. P. 180-191.
[24] Saaty T. L., Vargas L. G. The possibility of group choice: Pairwise comparisons and merging functions // Social Choice and Welfare, April 2011.
[25] Schopenhauer A., Hillebrand K. On the Fourfold Root of the Principle of Sufficient Reason. — Kindle eBook, 2011.
[26] Superdecisions (http://www.superdecisions.com).
[27] Wilkinson J. H. The Algebraic Eigenvalue Problem. — Oxford: Clarendon Press, 1965.
Автор:
Томас Саати — известный американский математик, глава совета заслуженных
профессоров Университета Питтсбурга.
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений
Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных
сравнений
On the Measurement of Intangibles. A Principal Eigenvector Approach to Relative Measurement Derived from Paired Comparisons
Thomas L. Saaty
University of Pittsburgh Pittsburgh, Pennsylvania, United States
e-mail: [email protected]
Abstract. This article is about the measurement of intangibles and a principal eigenvector approach to relative measurement derived from paired comparisons. The Analytic Hierarchy Process (AHP) of the decision process has been used in various settings to make decisions. This approach to prioritization provides the opportunity to help focus attention on the important issues in the world and allocate resources to them accordingly. Keywords: decision making, analytic hierarchy process.
Reference
[1] Aczel J., Saaty T. (1983) Procedures for synthesizing ratio judgments. Journal of Mathematical Psychology, 27, 93-102.
[2] Batschelet E. (1971) Introduction to Mathematics for Life Scientists. Springer-Verlag.
[3] Bauer R. A., Collar E., Tang V. (1992) The Silverlake Project. Oxford University Press.
[4] Bergson H. (1910) The Intensity of Psychic States. Chapter 1 in Time and Free Will: An Essay on the Immediate Data of Consciousness, translated by F. L. Pogson, M. A. London, George Allen and Unwin, 1-74.
[5] Davis P., Hersh P. T. (1982) Descartes' Dream. Harcourt Brace Jovanovich.
[6] Dehaene S. (1997) The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics. Oxford Univ. Press.
[7] Ergu D., Kou G., Peng Y., Yong Shi. (2011) A simple method to improve the consistency ratio of the pairwise comparison matrix in ANP. European Journal of Operational Research, 213(1), 246-259.
[8] Harker P. (1987) Derivatives of the Perron root of a positive reciprocal matrix: With applications to the analytic hierarchy process. Applied Mathematics and Computation, 22, 217-232.
[9] Horn R. A., Johnson C. R. (1985) Matrix Analysis. Cambridge University Press.
[10] Lebesgue H. (1928) Leçons Sur L'intégration, second ed. Gauthier-Villars.
[11] LeShan L., Margenau H. (1982) Einstein's Space and Van Gogh's Sky. Macmillan.
[12] MacKayA. F. (1980) Arrow's Theorem: The Paradox of Social Choice. Yale University Press.
[13] Ozdemir M., Saaty T. L. (2006) The unknown in decision making: What to do about it. European Journal of Operational Research, 174, 349-359.
[14] Peng Y., Kou G., Wang G., Wu W., Shi Y. (2011) Ensemble of software defect predictor: An AHP-based evaluation method. International Journal of Information Technology & Decision Making, 10(1), 187-206.
[15] Saaty T. L. (1980) The Analytic Hierarchy Process. McGraw Hill. [Reprinted by RWS Publications, available electronically free, 2000].
[16] Saaty T. L. (2006) Fundamentals of Decision Making. RWS Publications.
[17] Saaty T. L. (2006) Theory and Applications of the Analytic Network Process. RWS Publications.
[18] Saaty T. L. (2010) Principia Mathematica Decernendi, subtitled Mathematical Principles of Decision Making. RWS Publications.
[19] Saaty T. L., Forman E. The Hierarchon, a collection of nearly 800 hierarchies in all kinds of life, many actual, applications made by people, and The Encyclicon, three volumes of nearly 900 pages of several hundred network decision applications, all published by RWS Publications.
[20] Saaty T. L., Ozdemir M. (2003) Why the magic number seven plus or minus two. Mathematical and Computer Modelling, 38, 233-244.
[21] Saaty T. L., Peniwati K. (2008) Group Decision Making:Drawing Out and Reconciling Differences. RWS Publications.
[22] Saaty T. L., Shang J. (2011) An innovative ordersof-magnitude approach to AHP-based mutli-criteria decision making: Prioritizing divergent intangible humane acts. European Journal of Operational Research, 214(3), 703-715.
[23] Saaty T.L., Vargas L. G. (1980) Hierarchical analysis of behavior in competition: Prediction in chess. Behavioral Sciences, 25, 180-191.
[24] Saaty T. L., Vargas L. G. (2011) The possibility of group choice: Pairwise comparisons and merging functions. Social Choice and Welfare, April.
[25] Schopenhauer A., Hillebrand K. (2011) On the Fourfold Root of the Principle of Sufficient Reason. Kindle eBook.
[26] Superdecisions (http://www.superdecisions.com).
[27] Wilkinson J. H. (1965) The Algebraic Eigenvalue Problem. Oxford, Clarendon Press.
