CC BY
13
А.В. Богомолов, П.О. Быков, Н.К. Кулумбаев, Ж.Т. Батталов Темен^осындыланган к^рыштыц технологияльщ сипаттамасы A.V. Bogomolov, P.O. Bykov, N.K. Kulumbayev, Zh.T. Battalov Identification of technological properties of the low-alloyed steels
Мацалада аз цоспалы цурылымдыц болаттартыц туцбалыц байцау технологиясын сынау нэтижест салыстыру жэне вттзу эдiстемесi карастырылган.
The article deals with the method and comparative results of the technological tests on a sample of the low-alloy structural steels yielding.
УДК 512.774.3
Б.Н. Дроботун, Н.И. Мухамедзянова, Е.Ш. Оралов
ОТНОШЕНИЕ ИЗОМОРФИЗМА И АБСТРАКТНЫЕ СВОЙСТВА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ (I)
В данной работе: определяются алгебраические системы бинарных отношений, заданных на конечном n - элементном множестве, и характеристических матриц размерности n*n; доказывается, что эти системы являются изоморфными; на основе этого изоморфизма приводится характеризация первичных свойств бинарных отношений в понятийно — терминологической базе теории матриц и рассматриваются возможности использования этой характеризации в прикладном аспекте.
1. Бинарные отношения являются одним из наиболее распространенных в математике видов отношений. К важнейшим типам бинарных отношений принадлежат отношения эквивалентности и порядковые отношения, что определяется их основополагающей ролью в выявлении наиболее общих, не только для математики, но и для всей науки в целом, методов определения от абстракции, классификационных методов и методов построения фактор - структур.
В данной работе: определяются алгебраические системы бинарных отношений, заданных на конечном n - элементном множестве, и характеристических матриц размерности n*n; доказывается, что эти системы являются изоморфными; на основе этого изоморфизма приводится характеризация первичных свойств бинарных отношений в понятийно - терминологической базе теории матриц и рассматриваются возможности использования этой характеризации в прикладном аспекте.
45
Говоря о первичных свойствах, мы имеем в виду свойства рефлексивности, симметричности, связности, транзитивности, антисимметричности и т.п. бинарных отношений. Эти свойства подобны атомам, различные комбинации которых определяют алгебраические, порядковые и многие другие структурные свойства алгебраических систем. Приведем определения этих свойств на языке прикладного исчисления предикатов. Бинарное отношение Р, заданное на абстрактном множестве М называется:
1) Рефлексивным, если (Ух € М)(< х; 1>еР);
2) Иррефлексивным, если СУ* Е М)(< >£ Р);
3) Симметричным, если
(Ух <Е М)(¥у ё А0((< х;у>еР) ^ (< у;х >€ Р));
4) Антисимметричными, если (У* £ М)(Уу Е М)(< х;у > Е
е Р)&(< у;х >е Р) О = У));
5) Транзитивным, если (У* € М}(Уу Е М)(Уг € М)((< х-,у >Е € Р)& (< у; г >€ РУ)
6) Связным, если (Ух Е М)(Уу Е М)((ж Ф у) (< х;у >Е Р) V V (< у:х >Е Р))
2. Переходя к построению алгебраической системы бинарных отношении, заданных на непустом множестве М напомним ряд базовых понятий и конструкций, связанных с понятием бинарного отношения [1;2].
Пусть М = {а1;а2;...; ап} - конечное П - элементное множество и М2 = М X М декартов квадрат этого множества. Подмножества множества Мг называются бинарными отношениями, заданными на множестве М Таким образом, булеан В (М2) множества М2 является множеством всех бинарных отношений, определенных на множестве М. Простейшим примером бинарного отношения, заданного на множестве М является отношение
которое называется «диагональю» множества М. На булеане В (М2) обычным образом определяются теоретико - множественные операции: " и ''-объединения; " П " - пересечения; разности множеств и унарная алгебраическая операция «— - дополнения бинарного отношения в множестве М2, а также двухместный предикат .,(-., - теоретико - множественного включения.
Специфика определения бинарных отношений на множестве Д^, как множества упорядоченных пар, позволяет ввести на В(М2у. бинарную
46
алгебраическую операцию 11 * " - композиции (или произведения) бинарных отношений и унарную алгебраическую операцию " _1" - взятия обратного отношения (или операцию обращения отношений). А именно, пусть р, 0 е в(м2). Тогда:
а) композицией (произведением) бинарных отношений Р и называется бинарное отношение р * <?, определяемое на множестве ДО по правилу:
(Ух,у€М)((<1;у>еР^) (3 гем)((<1;г>€ Р)& &(< г;у>е 0)));
б) обращением бинарного отношения Р называется бинарное отношение Р~1, задаваемое на множестве М следующим образом:
(Уж,у Ё м)((<х;у >€ Р"1) <=> (< у;ж >€ Р)) Отметим, что если рассматривать бинарные отношения, как соответствия из множества М в это же множество М, то операция композиции бинарных отношений, определенных на множестве М, и операция взятия обратного отношения будут представлять собой операции над этими соответствиями.
Нетрудно видеть, что для любого РЕМ2 имеют место равенства: р и 0 = р; р П м2 = р и р * фм = фм * р = р, т.е. бинарные от-ношшия 0, М2 и фм являются нейтральными элементами относительно операций и,П и * , соответственно. Очевидно также, что (уР,аЕВ(М*ЖР\(} = РП$\
т.е. операция "У1 - разности отношений, как элементов из £(М2), может быть определена через операции П и
Отмечшная выше, универсальная роль бинарных отношший 0, м2 и фм , как нейтральных элементов относительно соответствующих операций, по-
В(М2)
зволяет считать их выделенными элементами множества - .
Исходя из вышеизложенного получаем, что множество в (м2} вместе с определенными на нем: алгебраическими операциями п,и, _1 и ; отношением с и выделенными элементами 0. м2 и фм? является алгебраической системой
сигнатуры
При этом, интерпретация сигнатурных символов на множестве в (м2) осуществляется следующим образом: двухместным функциональным символам Р2; ставятся в соответствие операции и,П и * ; одно-
местному предикатному символу А2 - предикат с- символам С1; С2 С3 - выделенных элементов - бинарные отношения М2; Фм, соответственно. Для дальнейшего эту интерпретацию обозначим через ¿Ц.
3. Характеристической матрицей п- го порядка будем называть квадратную матрицу
размерности п X п, для которой Щ] Е £ = {ОД}, } £ {1; 2;
Для краткости, такие матрицы будут записываются, далее следующим образом: А = ||
Множество всех характеристических матриц п -го порядка обозначим через М(п; £■).
Пусть " V "->■";'—Г -логические операции дизъюнкции, конъюнкции, импликации и отрицания, соответственно, традиционным образом определенные на множестве £.
На множестве М(п; Е) зададим: бинарные алгебраические операции
V ; & ! • '> унарные алгебраические операции —,; -1 и бинарный предикат =< по следующим правилам.
Пусть Г;5 € М(гс;£) и Т = ||т^|| , 5 = Ця^Ц . Положим:
СО
(¿о = (Ш) г.5= \Ш\п,
где Уц = I,} е (1,2.....71};
(¡у) [тц - =1), I,] Е {1, 2, ...,71};
(V) --Г =
где <5:; = I,] Е {1,2, ...,?1}.
Эти определения показывают, что:
- операции V > & > —I над характеристическими матрицами определяются поэлементно, посредством применения к соответствующим элементам матриц логических операций V, & и -1 ;
- для нахождения матрицы Т • 5 матрицы т и 5 умножаются по обычному правилу умножения матриц, но, при этом, арифметические
операции сложения и умножения заменяются на их логические аналоги - дизъюнкцию и конъюнкцию, соответственно;
- высказывание "Т 5" является истинным ^ ^Ц^ == II111л);
- матрица Г"1 получается из матрицы Т посредством применения к ней операции транспонирования.
Т =
г, п = и
'1 0 1 1\
0 1 0 1)
1 0 1
■1 0 1 о/
5 =
Тогда: а) 74 У
Г& 51 =
г//-* у/у=0101101111111111,
т.е. высказывание Т< Б является ложным;
Заметим, что матрицы: /о о .. [>-о о .. о
0 -
-о о
о
1 1 1 1
= III
и
Д е {1,2, , т.е. нулевая матрица, матрица - единица и единичная матрица являются нейтральными элементами относительно операций V ' & и •, соответственно.
Замкнутость множества М(п; £) относительно вышеопределенных
-1
операций V ' &' • и алгебраической системы
обуславливает возможность определения
49
М(п; Е) =< М(п;£); v ' & i • i -, ; О; 1;ir > сигнаТуры <7, в
которой матрицы 0; 1; £ играют роль выделенных элементов. При этом интерпретация сигнатурных символов на множестве М(п.; Е) осуществляется тем же порядком, что и при построении алгебраической системе
В(М2) для дальнейшего эту интерпретацию обозначим через '
4. Связи между алгебраическими системами и М(п; Е) приво-
дятся в следующей теореме.
Теорема 1. В(М2) = M(n-, Е), т.е. алгебраические системы В(М2) и М(п;Е) являются изоморфными.
Доказательство. В соответствии с общей концепцией изоморфизма алгебраических систем, для доказательства необходимо определить такое биективное отображение <р : В (М1) -* М (и; £ ) основного множества первой из этих систем на основное множество второй, что:
3. (VP| Q £ В(М2)Хф(Р * Q) = $>(<?));
Считая, что М = {аа2;...; aj, соответствие <р из В (М1} в м(п; ^ определим по следующему правилу:
(1, если сцРа.- ;
где т1,- = л i, j £ 11.2. ...,л}.
^ J (.0, в противном случае;
Здесь уместно заметить, что на языке теории графов матрица Нту11я представляет собой матрицу смежности бинарного отношения Р, рассматриваемого в качестве простого ориентированного графа. Нетрудно проверить, что соответствие <р является биективным отображением из В(_М2~) на М(п;Е).
Заметим далее, что «сохранность» операции, отношении и выделенных
элементов при отображшии <р обеспечивается спецификой их определшия.
Проверим, к примеру, равшство <р(Р и (?) = <p(P)v <p(Q) условия 2.
50
Предположим, что ф(Р п Q) = ||jrv||n; <р(Р) = ||pi;||m;
v(Q)= IkûlL-
Покажем, что Yij = Vij& 4ij для любых ¿, / G (1,2,... , îl). Для Yij могут иметь место две возможности: a) Yij = 1 И б) Yij = 0 .
Рассмотрим каждую из них:
а)Если Yij = 1 ,то <ai;aj>E Р C\Q, т.е. < Щ > G Р и
< а^; clj > G q. Отсюда следит, что Pij = 1 И (j¡j = 1. Следовательно, Jfjj&.qij = l&l = 1. Таким образом, в этом случае, у^ = Pij&qih для любых i,j G {1,2 ,...,n}.
б) Если Yij = 0, то < а^; Cij > £ Р П Q. В соответствии с определением теоретико-множественной операции П, в этом случае могут иметь место три подслучая:
6.1) <ai;aj>EP и < ai;ai > g Q;
6.2) < a, ; ûî > g P и < а, ; а, > G Q;
6.3) < а^; Oj > k P и < aoa-j > £ (?■
Нетрудно видеть, что в каждом из этих подслучаев будем иметь Vij &4ij = 0 ■ Таким образом, и в случае б) получаем, что р^& = 0, длялюбых ij G {1,2,îl}.
Остальные условия, обеспечивающие «сохранность» операций, от-ношшия и выделенных элементов рассматриваются аналогично.
5. Наличие изоморфизма (р между алгебраическими системами позволяет вместо оперирования с бинарными отношениями Р G В (М2 ) оперировать с характеристическими матрицами (р(Р) G м(тг; Е).Изоморфным алгебраическим системам данной сигнатуры присущи одни и те же структурные свойства, выразимые на формальном языке этой сигнатуры. Такие свойства, в связи с их инвариантностью относительно изоморфных отображений, называются абстрактными [3;4].
Приведем для полноты изложшия формальный аналог этого утверждшия.
Теорема 2. Пусть M=< M1;^L(T> и М2 =< М2 ; ^О > ~ две
алгебраические системы сигнатуры Если системы f[f ^ и изоморфны (М± = Мг> )' Ф: М-, —* Mg ~ отображение осуществляющее этот изоморфизм и А = А(х1;х2', ...->xt) - произвольная формула сигнатуры а, то
51
» М2 1= ^А(Ф(а1У,Ф(а2У,...;Ф(а,))
Доказательство этого утверждения можно найти, например, в [ 4].
Применительно к алгебраическим системам В(М2), М(п; Е) и изоморфному отображению (р первой из них на вторую это означает, что если некоторое конкретное свойство 5 (которым могут обладать бинарные отношения Р, определенные на множестве Jf) допускает запись в виде формулы А(У) (с одной свободной переменной х) сигнатуры а, то эта формула при интерпретациях и сигнатуры а на множествах В(М2) и Af (?i; ЕУ соответственно, будет истинной на системе В(М) При х = Р тогда и только тогда, когда она будет истинной на системе л* Оч Я) при х = <р(_Р).
Другими словами, бинарное отношение Р t В(М2} будет обладать содержательным аналогом свойства S, представленном на «языке» операций, отношший и выделшных элемштов системы В(М2) тогда и только тогда, когда характеристическая матрица <р(Р) е M(n; Е} будет обладать содержательным аналогом этого свойства, представленном в терминах соответствующих операций, отношшия и выделенных элемштов системы М(тц Е).
След)ет подчеркнуть, что содержательное истолкование вышеописанных свойств 5 значительно проще получить в терминах теоретико - множественных операций и отношений. Но подобные истолкования носят характер более теоретический, чем прикладной, так как практическая проверка теоретико -множественных аналогов этих свойств, даже при сравнительно небольших значшиях п, сопряжша с определенными затруднениями.
В то же время алгебраическая система М(п; Я) представляет собой «наиболее чистую» (т.е. не зависящую от природы элемштов множества М) и наиболее удобную в прикладном аспекте реализацию системы бинарных отношший, заданных на множестве М, и алгоритмов оперирования с ними.
В первую очередь это связано с тем, что строение характеристической матрицы, соответствующей данному бинарному отношению (т.е. особенности расстановки нулей и единиц в ее столбцах и строках), наглядно отражают специфику тех или иных свойств, присущих этому отношению и аккумулируют в себе возможности их эффективного распознавания.
Кроме того, характеристические матрицы и технологии оперирования с ними, полученные в результате матричной реализации бинарных отношений и алгоритмов выполнения операций над этими отношениями, являются наиболее удобными при введении их в память компьютера и компьютерной обработки..
Таким образом, алгебраическая система Я(М2) более приемлема в теоретических рассмотрениях, а система М(п; Е) - в прикладных.
Первичные свойства 1) - 6) бинарных отношений могут быть выражены на «языке» операций, предикатов и выделенных элементов системы В(М2') следующим образом.
Бинарное отношение Р е В(М2 } является:
Рефлексивным » (Фм — Р);
Иррефлексивным ^ п р =
3
) Симметричным » (Р 1 = Р);
4
) Антисимметричным <=» (Р п Р 1 е ФД();
51
■ Транзитивным «(Р*РеР);
Связным « (М2 пФисри Р"1). Доказательства утверждений 1) - 6) достаточно просты. Приведем к примеру доказательство утверждение 6):
Пусть бинарное отношение Р е В(Мг) является связным и
< х;у > ее М2 П Фм. Тогда
< Х)У > е М2 П Фм => (< X)у ~>е М2)& (< х;у >е Фм) =>
.
Т.е. х;уЕМ и хф у. Так как Р - связно, то отсюда следует
< х;у > е Р или < у;х >е Р, т.е. <х;у>ЕР или < х;у >еР~1, что и означает:
< х;у >Е Р и Р"1.
Таким образом, включение М2 Г\ Фм ^ Р и Р'1 доказано. Пусть теперь включение М2 п Фм е р и Р-1 имеет место. Докажем, что отношение Р связно. Предполагая, что х-у- различные элементы множества М, покажем, что
< х;у >ЕР и Р"1.
Так как х ф у, то < х-,у > е М2 п Фм.
С учетом вышеприведенного включения, отсюда следует, что
< х;у >ЕР и Р"1.
Посредством формул (с одной свободной переменной х) сигнатуры О полученные характеризации 1) - 6 первичных свойств бинарных отношений могут быть выражены следующим образом: ^(х) = Р1(с3;х);
53
Содержательными аналогами формул - «в терминах»
операций, предикатов и выделенных элементов системы М(п, Е) будут следующие одноместные предикаты:
51(Х) = (£ ==? %)-,
56(У) = (1 &(-,£) < XV хт).
Исходя из этого, с учетом утверждений 1) - 6 получаем:
1) (УР е В(М2ЖМ(п:Ю |= МфОО) « Р - рефлексивно);
2) (УР е В(М2Ъ(М(п-Е) 1= 52(<р(РУ) « Р - иррефлексивно);
3) (УР е В(М2))(М(п;Е) 1= 53(<р(Р)) <=> Р - симметрично);
4) (УР е В(М2Ъ(М(п-Е) 1= 54(^(Р)} « Р - антисимметрично);
5) (УР £ 1= £5(<р(Р)) « Р - транзитивно);
6) (УР е и 56(<рСР)) « Р- связно).
В соответствии с утверждениями 1) - 6 ), ползаем следующую ха-рактеризацию первичных свойств бинарных отношений Р «в терминах» операций, предикатов и выделенных элементов системы М(п; Е)
1) Р - рефлексивно « все элеметты главной диагонали матрицы равны 1;
2 ) Р - иррефлексивно ^ все элеметты главной диагонали матрицы <р(.Р) равны 0;
3 ) Р - симметрично матрица <р(.Р) является симметричной;
4") Р - антисимметрично « все элементы матрицы
стоящие вне главной диагонали равны 0;
5") Р - транзитивно <р(Р) &Р» <рР= срР» <рР& если для всех I,}, к е {1,2,..., п} элементы матрицы ф(Р), стоящие на местах с номерами (У) и (|,к) равны 1, то и элемент этой матрицы, стоящий на месте с номером (^к), также равен 1.
6 ) Р - связно <=> все элеметты матрицы <р(Р)ч (^р(Р))-1, стоящие вне главной диагонали равны 1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Мальцев, А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970,392с.
2 Гончаров, С. С., Дроботун, Б. Н., Никитин, А. А. Методические аспекты изучения алгебраических систем в высшем учебном заведении: Моногр. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2007, 250 с.
54
3 Шенфилд, Дж. Математическая логика. Перевод с анг. - М.: Наука, 1973, 528 с.
4 Гончаров, С. С., Дроботун, Б. Н., Никитин, А. А. Алгебраические и алгоритмические свойства логических исчислений: монография. - Новосибирск: Изд - во НГУ, 2008. - 2 часть - 376 стр.
Павлодарский государственный университет имени С. Торайгырова, г. Павлодар. Материал поступил в редакцию 26.09.12.
Б.Н. Дроботун, Н.И. Мухамедзянова, Е.Ш. Оралов
Алгебральщ жYЙелердщ (I) изоморфизм катынасы жене абстракты касиеттер1
B.N. Drobotun, N.I. Muhamedzyanova, E.Sh. Oralov
Isomorphism relation and abstract properties of algebraic systems (i)
Бершген жумыста: ацыргы элементтi жиында бершген бинарлы цатынастардыц жэне влшемдi характеристикалыц матрицалардыц алгебралыц жYйелерi аныцталады; жYйелердiц изоморфты болып табылатыны дэлглденедi; изоморфизмнщ негiзiнде матрицалар теориясыныц тyсiнiктi терминологиялыц базасында бинарлы цатынастардыц алгашцы цасиеттертщ сипаттамасы келтiрiледi жэне осы сипаттаманыц цолданбалы аспектiде пайдалану мyмкiндiктерi царастырылады.
Algebraic systems of binary relations, specified on the final n - elemental set, and characteristic matrix with dimension n*n are determined in this work, as well as it is asserted that these systems are isomorphic; on the basis of this isomorphism reduces the characterization of primary qualities of binary relations in conceptual and terminological base of matrix theory and the possibilities of using this characterization in applied aspect are considered.
ЭОЖ 539.3:534:1
С.К. Елмуратов, А.Ф. Елмуратова, Д.К. Оразова
АЙНЫМАЛЫ ЦАЛЬЩДЬЩТЫ ПЛАСТИНАЛАРДЬЩ ТУРАЦТЫЛЫРЫ
Сыгушы куштщ эркелш цатынасы кезтде айнымалы ткбурышты пластиналардыц турацтылыгы зерттелsдi.
Айнымалы калындьщты тжбурышты пластина барльщ контур бойын-ша сы^ылатын ^штщ эсерше тYседi (1 сурет). ЖYктемелердщ цатынасы
55
