Аналог теоремы Макинсона для нормальных модальных логик с оператором Сегерберга Текст научной статьи по специальности «Математика»

Д.П.Шкатов

АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ МАКИНСОНА ДЛЯ НОРМАЛЬНЫХ МОДАЛЬНЫХ ЛОГИК С ОПЕРАТОРОМ СЕГЕРБЕРГА*

Abstract. We prove the analogue of Makinson's theorem ([Makinson, 1971]) for normal modal logics with the Segerberg operator, i. e. logics with two unary modalities: the usual "necessity" operator □ and the operator □*, defined by the "Segerberg axioms", and

(The Segerberg operator is widely known as one of the modalities of propositional dynamic logic.) As the corollary of the proven result we get a simple decidability procedure for effectively axiomatizable normal logics with the Segerberg operator.

1. Цель работы

В настоящей работе доказывается аналог теоремы Макинсона ([Makinson, 1971]) для нормальных модальных логик с оператором Сегерберга, т. е. логик с двумя унарными модальностями - обычным оператором "необходимости" □ и оператором □*, определяемым так называемыми "аксиомами Сегерберга": и (Оператор Сегерберга известен главным образом как одна из модальностей языка логики PDL.) Следствием доказанного результата является наличие простой разрешающей процедуры для эффективно конечноаксиоматизируемых нормальных логик с оператором Сегерберга.

2. Постановка задачи

Синтаксическая непротиворечивость - одно из важнейших метатеоретических свойств логических исчислений. Исчисление синтаксически непротиворечиво, если в нем нельзя доказать любую формулу языка исчисления. (Для расширений классического пропозиционального исчисления непротиворечивость равносильна невозможности доказать "противоречивую" формулу вида ф & ~ф). Очевидно, что противоречивые исчисления не пред-

* Я глубоко благодарен Н.А. Алешиной и А.В. Чагрову за научную и эмоциональную поддержку, в которой я так нуждался. Кроме того, я очень признателен А.В. Чагрову за постановку вопроса, обсуждаемого в настоящей работе.

ставляют самостоятельного интереса, ибо цель исчисления - различение общезначимых и необщезначимых формул.

Для эффективно конечноаксиоматизируемых нормальных мономодальных логик - нормальных логик с единственной модальностью □, эффективно представимых в виде гильбертов-ского исчисления с конечным списком аксиом - существует элегантный алгоритм проверки на непротиворечивость, опирающийся на результат, доказанный Д. Макинсоном ([Makinson, 1971]). Теорема Макинсона. Пусть Л° обозначает логику фрейма, содержащего одну рефлексивную точку; Л' - логику фрейма, содержащего одну иррефлексивную точку; и Л - произвольную нормальную мономодальную логику. Л непротиворечива, если и только если Л ^ Л° или Л ^ Л'.

Из теоремы Макинсона следует, что для того, чтобы проверить произвольную эффективно конечноаксиоматизируемую нормальную логику Л на непротиворечивость, достаточно проверить, общезначимы ли аксиомы Л (1) на одной рефлексивной точке, и (2) на одной иррефлексивной точке. Если ответ один из тестов (1) и (2) дает положительный результат, то Л непротиворечива; в обратном случае Л противоречива.

К сожалению, для логик в произвольном бимодальном языке теорема Макинсона неверна. Отсюда возникает вопрос, поставленный А. В. Чагровым: можно ли доказать аналог теоремы Макинсона для языка, содержащего помимо □ модальный оператор, определяемый аксиомами Сегерберга?

3. Нормальные логики с оператором Сегерберга

Рассмотрим пропозициональный язык SL(E), содержащий некоторое множество Е, называемое сигнатурой языка SL(E), пропозициональных параметров, произвольные элементы которого мы будем обозначать при помощи p, q, ....; пропозициональные константы ^ (ложь) и T (истина); бинарную связку & (конъюнкция); и унарные связки ~ (отрицание), □ (бокс), и □* (оператор Сегерберга). Бинарные связки v (дизъюнкция), ^ (импликация), и ^ (эквиваленция) определяются стандартным образом; унарные связки ◊ и ◊* определяются как дуалы □ и □*, соответственно. Формулы SL(E) определяются стандартно; запись фе SL(E) означает, что ф - формула SL(E). Мы будем опускать упоминание сигнатуры в случаях, когда ее выбор не влияет на ход изложения.

Под логикой в языке SL мы понимаем множество формул SL, содержащее все теоремы классического пропозиционального исчисления и замкнутое относительно modus ponens и подста-

новки. Логика Л в языке Ж называется нормальной, если она содержит подстановочные случаи следующих формул:

(К1) □(ф —у) — (□ф —□у)

(К2) ^*(ф —>у) — (^*ф —^*у)

(Seg1) ^ ф&тю*ф

(Seg2) ф&п*(ф —□ф) — и обладает следующими свойствами замкнутости:

(01) если ф е Л, то □ф е Л.

(02) если ф е Л, то е Л.

Формулы (Seg1) и (Seg2) мы называем "аксиомами Сегер-берга". (К1) и (К2) - это обычные "аксиомы нормальности"; условия (01) и (02) - аналоги "правил Геделя". Минимальную нормальную логику в Ж мы обозначаем Seg (в честь Сегерберга). Принадлежащие логике формулы мы будем называть ее теоремами. Примером теоремы Seg, а значит и любого ее расширения, является Ф*ф ^ ф V

4. Фреймы и модели

Определение 1. Стандартным фреймом1 будем называть тройку вида (Ж, Я, Я*), где (1) Ж - непустое множество (точек или миров), (2) Я - бинарное отношение на Ж, и (3) Я* - рефлексивно-транзитивное замыкание Я (то есть, хЯ*у, если и только если х = у или, для некоторого п > 0, хЯ 21Я ... Я гпЯу).

Определение 2. Фреймом будем называть тройку вида (Ж, Я, Я*), где (1) Ж - непустое множество, (2) Я - бинарное отношение на Ж, (3) Я* - рефлексивное и транзитивное отношение, содержащее Я.

Определение 3. Стандартной моделью языка БЬ(Е) будем называть пятерку вида М = (Ж, Я, Я*, V, \=), где (1) (Ж, Я, Я*) -стандартный фрейм, (2) V- функция (оценки) из Е в 2Ж, и (3) \ = -отношение истинности формул в точках модели, рекурсивно определяемое следующим образом:

М, w \ = р если w е V(p), для каждого ре Е.

М, w \ = ^ ни для какого w ; М, w \= Т для всякого w.

М, w \= ~щ если М, w \Ф щ.

М, w \= щ & щ' если М, w \= щ и М, w \= щ'.

М, w \= ищ если, для каждой V такой что wRv, М, V \ = щ.

М, w \= и*щ если, для каждой V такой что wR*v, М, V \ = щ.

Определение 4. Моделью языка БЬ(Е) будем называть пятерку вида (Ж, Я, Я*, V, \=) такую что (1) (Ж, Я, Я*) - фрейм, (2) V -

1 В математической литературе фреймы обычно называются шкалами.

функция из Е в 2Ж, (3) \ = - отношение истинности, определяемое так же, как в Определении 3, и (4) если фе Seg, то М, ^ \ = ф для каждой w е Ж.

Нетрудно проверить, что всякая стандартная модель является моделью (обратное не верно; аналогично для фреймов); поэтому, когда мы говорим о моделях (фреймах), мы имеем в виду как стандартную, так и более общую (неквалифицированную) разновидности. Мы обычно будем опускать отношение истинности \ = при упоминании модели, так как оно может быть однозначно восстановлено по означиванию V. Мы говорим, что модель И, Я*, V) основана на фрейме (^ Я, Я*).

Определение 5. Формула ф истинна в модели М, если ф истинна в каждой точке М. Формула ф истинна на фрейме Г, если ф истинна в каждой модели, основанной на Г.

Нетрудно убедиться в том, что множество всех формул БЬ, истинных на некотором стандартном фрейме, является нормальной логикой в БЬ. Поэтому для данного стандартного фрейма Б мы можем говорить о "логике Б", имея в виду логику, идентичную множеству формул, истинных на Б.

Если М = Я, Я*, V) и М' = Я, Я'*, V') основаны на изоморфных фреймах и V(p) = V'(p) с точностью до изоморфизма для всякой р, входящей в некоторую формулу у, то мы говорим, что М и М' согласуются на всех параметрах у. Легко удостовериться в истинности следующего факта.

Факт 1. Пусть М и М' - модели, основанные на изоморфных фреймах (обозначим соответствующий изоморфизм при помощи /) и согласующиеся на всех параметрах щ. Тогда для всякого wе Ж мы имеем М, w \ = щ е.т.е. М\\ = щ.

В ходе последующего изложения нам понадобятся следующие модельные конструкции.

Определение 6. Пусть М = (Ж, Я, Я*, V) - модель БЬ(Е) и wе Ж. Подмоделью М, порожденной точкой w, называется модель М„ = (Ж', Я', Я*', V'), где (1) Ж' - наименьшее подмножество Ж такое, что (а) wе Ж' и (Ь) если уе Ж' и уЯи, то ие Ж'; (2) Я' = Ж'п Я; (3) Я*' = Ж' п Я*; (4) Г(р) = Ж п V(p) для каждого ре Е.

Определение 7. Пусть М = (Ж, Я, Я*, V) и М' = (Ж, Я', Я*', V') -модели БЬ(Е). Функция / из Ж в Ж называется р-морфизмом, если (1) для всякого реЕ, wе V(p) е.т.е. /(^)е V'(p); (2а) если wЯv, то /(^)Я'/(у); (2Ь) если/(^)Я'у', то найдется такая уе Ж, что wЯv и /(у) = у'; (3а) если wЯ*v, то/(^)Я*'/(у); (3Ь) если/(^)Я*'у\ то най-

дется такая vе Ж, что wЯ*v и/(V) = V1. Если/сюръективна, то М' называется р-морфным образом М.

Следующие хорошо известные факты легко доказываются индукцией по построению формулы.

Лемма 1. Пусть М„ = (Ж', Я', Я*', V') - подмодель 8Ь(Е)-модели М = (Ж, Я, Я*, V), порожденная w. Тогда для всяких vе Ж' и ф е БЬ(Е) Мт V \ = ф е.т.еМ, V \ = ф.

Лемма 2. Пусть / - р-морфизм между БЬ(Е)-моделями М и М'. Тогда для всякой ф е БЬ(Е), М, w \ = ф е.т.е М\ \ = ф.

5. (Нестандартные) канонические модели

Пусть Л - непротиворечивое расширение Seg. Тогда для Л можно построить каноническую модель из максимальных Л-непротиворечивых множеств формул. Каноническая модель M =

R, R*, V) для Л строится следующим образом: (1) W - множество всех максимальных Л-непротиворечивых множеств; (2) wRv, если для всякой ифе w имеет место фе V (или для всякой ф е V имеет место Ффе w); (3) wR*v, если для всякой и*фе w имеет место ф е V (или для всякой ф е V имеет место Ф*ф е w); (4) w е У(р), если ре w.

Стандартным образом может быть доказано следующее утверждение.

Лемма 3. Пусть Л - непротиворечивое расширение Seg и М -каноническая модель для Л. Тогда фе Л е.т.е ф истинна в каждой точке М.

Ключевым шагом в доказательстве Леммы 3 является следующий факт.

Лемма 4. Пусть Л - непротиворечивое расширение Seg и А -максимальное Л-непротиворечивое множество, содержащее формулу ◊ф. Тогда существует максимальное Л-непротиворечивое множество А' такое, что А R А' и фе А'. Аналогичное утверждение истинно для ◊* и R*.

Обратим внимание на то, что канонические модели для расширений Seg нестандартны. В этом несложно убедиться в случае языков с непустой сигнатурой: множество {Ф*р, ~р, ~0пр, п > 0} (0п сокращает п знаков ◊) Seg-непротиворечиво, а значит содержится в некотором максимальном Seg-непротиворечивом множестве; тогда в канонической модели для Seg имеются отличные миры w и w' такие, что wR*w', но ни для какого п не имеет места wRnw' (wRnw' сокращает wRгVl ^.vn-lRгw'). Для языков с пустой сигнатурой аналогичный эффект следует из непротиворечивости множества

{0*~0Т, ОТ, ~0"~0Т}. Именно нестандартность канонических моделей для расширений Seg делает доказательство аналога теоремы Макинсона для них нетривиальным.

6. Аналог теоремы Макинсона

Обозначим (стандартный) фрейм Я = Я* = {(w,

w)}) символом 3г и (стандартный) фрейм Я = 0, Я* = w)}) символом 31г. Обозначим логику фрейма 3г символом Л г и логику фрейма 31г символом Л 1г.

Теорема 1. Пусть Л - произвольное расширение Seg. Л непротиворечива, если и только если Л ^ Л1Г или Л ^ Лг.

Доказательство. Сначала обоснуем утверждение теоремы "слева на право". Поскольку Л непротиворечива, можно построить ее каноническую модель М = Я, Я*, V) в языке с пустой сигнатурой (но содержащем константы ^ и Т). Очевидно, что либо (1) имеется такая w е W, что ни для какой уе W не имеет места w Я у, либо (2) для всякой w е W имеется такая у е W, что w Я у. Мы покажем, что в первом случае Л ^ Л1г, в то время как во втором случае Л ^ Лг.

(1) Предположим, что для некоторой wе W не имеется такой у е W, что w Яу. Рассмотрим подмодель М^ модели М, порожденную точкой w. Сначала покажем, что М^ содержит только одну точку, w. Во-первых, согласно предположению (1), нет такой уе W, что w Я у. Во-вторых, ни для какой у Ф w не имеет места w Я* у. Действительно, в обратном случае, поскольку w и у - различные максимально Л-непротиворечивые множества, имеется формула ф такая, что ~феw и фе у. Но тогда, по определению Я*, 0*феw и, поскольку в силу Леммы 3, 0*ф ^ ф V 0 0*фе w, мы получаем, что 0 0*феw. Тогда, в силу Леммы 4, для некоторого уе W имеет место wRv; это противоречит предположению (1); следовательно, допущение о наличии такого у Ф w, что w Я*у, приводит нас к противоречию. Таким образом, мы обосновали, что М^ содержит только w.

Теперь, с целью получения противоречия, допустим, что Л не включена в Лг и, таким образом, существует такая модель М = ({у}, Я = 0, Я* = {у, у}, V), что для некоторой у е Л , мы имеем М, у |Ф у (заметим, что у может быть формулой языка с произвольной сигнатурой). На основе означивания V модели М построим подстановочный случай у' формулы у; а именно для каждого параметра р, входящего в у, сделаем следующую подстановку: если у е V(p), то заменим р на Т; если у £ V(p), то заменим р на ^ . Легко увидеть, что М, у |= у е.т.е. М, у |= у'; следова-

тельно, M, v y'. Теперь, так как y' - это подстановочный случай у, мы имеем y' G Л. Следовательно, в силу Леммы 3, M, w |= y', и в силу Леммы 1, Mw, w |= у'. Поскольку M и Mw основаны на изоморфных фреймах и тривиально согласуются на всех параметрах формулы у, в силу Факта 1, Mw, w |= у' е.т.е. M, v |= у'. Мы вынуждены заключить, что M, v |= у'. Мы получили противоречие и, таким образом, обосновали, что Л Œ Л1Г.

(2) Предположим, что для всякой wg W имеется такая vg W, что wRv. Тогда, поскольку RŒ R*, для всякой w G W имеется такая vg W, что wR*v. Рассмотрим модель M = ({и}, R, R*, V), где R = R* = {(u, u)} и V(p) = 0 для каждого р. Легко увидеть, что M - это р-морфный образ M; следовательно, в силу Лемм 2 и 3, каждая теорема Л истинна в точке u модели M. При помощи аргумента, подобного использованному в случае (1), мы можем показать, что ни одна теорема Л не может быть провалена в модели, основанной на фрейме, изоморфном фрейму, на котором основана M. Отсюда следует, что Л œ ЛГ.

Утверждение теоремы "справа налево" следует из того, что обе логики Л1Г и ЛГ непротиворечивы. Их непротиворечивость следует из того, что (a) обе логики являются логиками одной точки и (b) ни одна формула не может быть истинной в точке вместе со своим отрицанием. Q.E.D.

Следствие 1. Пусть Л - эффективно конечноаксиоматизируемое, непротиворечивое расширение Seg. Проблема непротиворечивости Л разрешима.

ЛИТЕРАТУРА

[Makinson, 1971] Makinson, D. Some embedding theorems for modal logic. // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1971.Vol. 12. P. 252-254.