Логика n измерений Н. А. Васильева: современная реконструкция Текст научной статьи по специальности «Математика»

Т.П.Костюк

ЛОГИКА ^ИЗМЕРЕНИЙ Н.А.ВАСИЛЬЕВА: СОВРЕМЕННАЯ РЕКОНСТРУКЦИЯ1

Abstract. The aim of the paper is to provide a formal reconstruction of Nikolai Vasiliev's idea of n-dimensional logic - logic with n quality types of categorical propositions. According to Vasiliev n-dimensional logic is the generalization of Aristotelian syllogistic (2-dimensional logic containing the two quality types of propositions - affirmative and negative) and of the Imaginary logic (3-dimensional logic containing the three quality types of propositions - affirmative, negative and contradictory). Natural semantics of n-dimensional logic and the adequate formal system are formulated.

Одной из наиболее оригинальных идей Н.А.Васильева является мысль о связи между онтологией и создаваемой для описания мира логикой. Объекты нашего мира непротиворечивы, что позволяет формулировать высказывания лишь двух качеств: либо утвердительные, содержащие связку «есть», либо отрицательные -со связкой «не есть». Однако если мы вообразим существование мира, в котором предмет может заключать в себе противоречие, т.е. одновременно обладать и не обладать неким свойством, то в логике должны появиться высказывания иного качества (Васильев называет их индифферентными), отражающие этот новый тип связи между субъектом и предикатом посредством связки «есть и не есть». Каждое качество Васильев называет измерением, поэтому стандартная аристотелева логика оказывается двухмерной, а логика с тремя качественными различиями, так называемая воображаемая логика - трехмерной.

Однако, по мнению Васильева, число измерений не может быть ограничено тремя, и построив воображаемую логику, он ставит вопрос о ее обобщении: «Наша воображаемая логика знает утвердительные, отрицательные и индифферентные суждения. Но может возникнуть вопрос, не мыслима ли логика с большим числом качественных различий суждений, чем эти три вида. Это вполне мыслимо. Как Спиноза представлял себе бога с бесконечным числом атрибутов, из которых нам доступно только два: мышление и протяжение, так мы можем мыслить логические системы с каким угодно числом качественных различий суждения, из

1 Работа выполнена при поддержке РГНФ (грант № 97-03-0452).

которых нам доступны только два: утвердительное и отрицательное» [1, с.76]. Так появляется идея логикип измерений. В каждой п-мерной логике действует закон исключенного п+1-го (для единичных высказываний). Частными случаями этого закона являются закон исключенного третьего в аристотелевой логике и закон исключенного четвертого в воображаемой логике.

Первую попытку формальной реконструкции логики п измерений Васильева осуществил В.А.Смирнов [3, с. 258], который предложил аксиоматику для одномерной логики и продемонстрировал процедуру обобщения этой системы до двухмерной, трехмерной и в общем случае п-мерной логики. Однако для построенных исчислений не была сформулирована адекватная семантика. Кроме того, в них не рассматриваются единичные высказывания, с которых, согласно Васильеву, «начинается воображаемая логика так же, как и наша» [1, с.70].

В [2] мною совместно с В.И.Маркиным была сформулирована в семантической и аксиоматической формах система ВЛ силлогистического типа, формализующая трехмерную, воображаемую логику Васильева. ВЛ может быть естественным образом обобщена до силлогистики ВЛп с произвольным числом п качественных различий высказываний.

В формализованном языке, который будет использоваться при реконструкции п-мерной логики, содержатся сингулярные (у и,-) и общие (БРМ-..) термины. Эта логика будет формулироваться на базе логики высказываний, поэтому в ее язык вводятся пропозициональные связки (—, V, &, з, =) и скобки. Кроме этого нам понадобятся по п силлогистических констант для единичных (1ь 12,...Дп), общих (Ль Л2,...,Лп) и неопределенно-частных (I!, 12,.. ,1п) высказываний различного качества.

Атомарная формула вида ]-уР содержательно означает, что объект у находится в У-том качественном отношении к Р, Л; БР -что всякий объект из Бнаходится в У-том качественном отношении к Р, 1;БР- что некоторый объект из Бнаходится в У-том качественном отношении к Р. Можно положить, что случаю У=1 соответствует утвердительныя связка «есть», случаю У=2 - отрицательная связка «не есть», а случаю У=3 - индифферентная связка «есть и не есть».

Помимо перечисленных типов высказываний Васильев в воображаемой логике использует определенно-частные суждения, например, «Некоторые Бесть Р, а все остальные Бне есть Р». Для них в языке содержатся особые силлогистические константы вида Тк, где К с {1,2,...,п}. Если К={кьк2,...кт}, то ТкБР содержательно означает: «Некоторые Б находятся в к1-ом качественном

отношении к Р, некоторые - в к2-ом качественном отношении к Р,.... а все остальные - в к т-ом качественном отношении к Р». Эти константы могут быть введены посредством определений, раскрывающих их смысл:

Тк &^кIiSP&—^БР.

Например, суждение типа «Некоторые Б есть Р, а все остальные Б не есть Р» может быть выражено посредством атомарной формулы Т{1,2}БР, которая равносильна сложной формуле \\БР & ЬБР& -1зБР& ... & -1пБР.

Сложные формулы языка образуются из атомарных с помощью пропозициональных связок.

Семантическое построение системы ВЛп основывается на идее сопоставления каждому общему термину п объемных характеристик (например, в случае трехмерной, воображаемой логики эти характеристики можно интерпретировать как объем термина, его антиобъем и противоречивую область).

В основе нашей семантической реконструкции логики п измерений лежит идея приписывания каждому общему термину Р п различных экстенсиональных характеристик (обозначим их у^Р, у2(Р, ...уп(Р), первую из которых естественно понимать как объем Р, вторую - как его антиобъем, третью - как область, противоречивую относительно Р.

Моделью для ВЛ п является кортеж <Э, ф, уь у2, ..., уп>, где ф(^)еЭ, у^РсЭ; у^Р^0; у1(Рпу(Р=0, где 1< у < пи у 1(Р)иу2(Р)и...иу п(Р) = Э.

Условия истинности атомарных формул в модели <Э, ф, у1, у2, ..., уп> следующие:

1^БР| = 1 е.т.е. ф(^)еу,(Р);

I А1БР|= 1 е.т.е. у КБ^уР

| = 1 е.т.е. у^Б^уКР^З.

Условия истинности сложных формул - обычные.

Формула А ВЛп-общезначима, если и только если | А| = 1 во всякой модели.

Класс ВЛ п-общезначимых формул аксиоматизируется исчислением ВЛ п, где в качестве исходных силлогистических констант рассматриваются 11, 1п, 11, 12, ••, 1п, а общие высказывания

определяются так:

А{БР^> —lIj БР.

Постулатами исчисления ВЛ п являются следующие схемы аксиом и правила вывода:

А0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний;

А1. -(JivP&Jj vP), где i j

А2. Ji vPvJ 2 vPv... v J n vP;

A3. (Ji vP&Ji vS) з IiSP; A4. Ii SS;

R i. modus ponens;

(J i vS& JivP) з A

R2.-----------------(где Ане содержит v).

IiSP3 А

Семантическая непротиворечивость исчисления ВЛ n доказывается стандартным образом. Полноту исчисления ВЛn относительно предложенной семантики будем доказывать методом Хен-кина.

Введем понятия ВЛ n-непротиворечивого, ВЛ п-максимального и ВЛ п-насыщенного множества.

Назовем множество силлогистических формул Г ВЛ п-непро-тиворечивым, е.т.е. для любых Аь А2,..., Ат из Г формула — (Ai&A2&...&Am) недоказуема в ВЛ п.

Назовем ВЛ п-непротиворечивое множество формул А ВЛ п-максимальным, е.т.е. оно удовлетворяет следующим условиям:

а) все теоремы ВЛ п содержатся в А;

б) (АзВе А и АеА) ^ Ве А;

в) — Ае А е.т.е. Ä<t А;

г)А&ВеА е.т.е. АеА и ВеА;

д)АvБеА е.т.е. АеА или ВеА;

е) АзВеА е.т.е. АеА ^ ВеА;

ж)А=ВеА е.т.е (АеА ^ ВеА) и (ВеА ^ АеА).

Множество формул А называется насыщенным е.т.е. оно непротиворечиво, максимально и удовлетворяет следующему условию насыщенности:

если IiSPеА, то существует vтакой, что Ji vSеА и JivPеА. Лемма i (о расширении непротиворечивого множества до насыщенного). Пусть Г - произвольное непротиворечивое множество формул, Т - множество всех сингулярных терминов языка, и Тг - множество сингулярных терминов, содержащихся в формулах из Г. Если Т \Тг бесконечно, то Г можно расширить до насыщенного множества А.

Опишем процедуру насыщения Г до Д. Пусть С1, С2,...Сп -пересчет всех формул языка. Строим последовательность множеств Д1, Д2, Д3,... следующим образом: Д1=Г;

Дп+1=Дп, если Дп и{Сп} ВЛ п-противоречиво;

если Дп и{Сп} ВЛ п-непротиворечиво, то имеем 2 возможности:

1) если Сп имеет вид 11БР, тогда Дп+1 = Дпи{11БР, уБ&^Р}, где у не входит в Дп;

2) если Сп имеет другой вид, то Дп+1 = Дп и{Сп}. Искомое Д есть результат объединения всех Д1.

Докажем, что Д насыщенно.

Для демонстрации непротиворечивости множества Д достаточно показать непротиворечивость каждого Д1. Доказательство ведем индукцией по номеру ь

1. Д1 ВЛ п-непротиворечиво по построению (в силу ВЛ -непротиворечивости Г).

2. Допустим, что Дп ВЛ п-непротиворечиво, тогда, если Дп и{Сп} ВЛ п-противоречиво, то Дп+1 ВЛ п-непротиворечиво по построению и индуктивному допущению (т.к. оно совпадает с Дп).

3. Рассмотрим, далее, ситуацию, когда Дп и{Сп} ВЛ ^непротиворечиво. В случае (1), когда Сп имеет вид 11БР, рассуждаем от противного:

Пусть Дп+1 = Дп и{11БР, 11уБ&11уР} ВЛ п-противоречиво. Тогда в Дп имеются формулы А1, А2, ., Ат такие, что

ВЛ п |- —(А1 &А2&. &Ат& 1{БР&] 1 уБ& 1 уР). Отсюда:

ВЛп |- (11 УБ& 1 уР) з —(А1 &А2&. &Ат& ^БР),

ВЛп |- ^БРз — (А1&А2&...&Ат& 11БР) Я2, у не входит в консеквент

ВЛ п |- — (А1&А2&...&Ат& IiБP), т.е.множество Дпи{Сп} оказывается ВЛп-противоречивым, что противоречит условию.

ВЛп-непротиворечивость множества Дп+1 во втором случае доказывается легко.

Выполнение условий максимальности а)-ж) доказывается обычным образом. Условие насыщенности выполняется по построению (случай (1)). Лемма 1 доказана.

Далее задаем каноническую модель: с каждым ВЛ п-насыщен-ным множеством Д ассоциируется каноническая модель <ЭД ,фд,у1д,у2д,.,упд>, в которой ЭД - множество всех сингулярных терминов языка; фД(у) = уи у1Д(Р)={и< 11иРеД}, где 1 < 1 < п;

Каноническая модель <ЭД ,фд,у1д,у2д,.,упд> удовлетворяет всем требованиям к моделям в нашей семантике:

(У) Эд Ф 0 (т.к. множество сингулярных терминов языка не пусто);

(и) фд(у)еЭд (фд сопоставляет у сингулярный термин - его самого);

(111) у1Д(Р)сЭД (у1Д сопоставляет Р некоторое множество терминов);

(1у) у 1д(Р) Ф 0:

1. 1рРеД Л4

2. 3 у. 1 уРе Д и 11 уРе Д) 1, усл. насыщенности

3. у1Д(Р)={и 11иРеД} определение у1Д

4. ]уРеД 2

5. уеу1Д(Р) 3,4

6. у 1д(Р) Ф 0 5

(у) у,д(Р)п^д(Р) = 0, где 1 Ф 1< 1 <п, 1< j < п.

1. у1Д(Р)пу^(Р) Ф 0 допущение

2. 3у.;уРеД и .^уРеД) 1, опред. у1Д

3. 1уРеД и JjyPеД 2, Зи

4. I; уР&1 j уРе Д 3, усл. максимальности г)

5. — (I; уР&Ij уР) е Д А1, усл. максимальности а)

6. ^уР&^уР^Д 5, усл. максимальности б)

7. У1Д(Р)П^Д (Р) = 0 4, 6

(у1) У1Д(Р)иу2Д(Р)и.иупД(Р) = Эд.

1. у1Д(Р)иу 2Д(Р)и.иу„Д(Р) Ф Эд допущение

2. 3уеОД(11кРёД и 12уР^Д и...и 1пуР^Д) 1, опред. у1Д

3. 11 уР^Д и ЬуР^Д и...и .пуР^Д 2, Зи

4. (11 yPvJ2yPv. vJnyP)gД 3, усл. максимальности д)

5. (11 yPvJ2yPv. vJnyP)еД А2, усл. максимальности а)

6. у1Д(Р)иу 2Д(Р)и...иу„Д(Р) = Эд 4,5

Лемма 2. Для произвольного ВЛ п-насыщенного множества Д и произвольной формулы А верно, что | А | = 1 в <Эд,фд,у1д,у2д,...,у„д> е.т.е АеД.

Доказательство ведется индукцией по числу пропозициональных связок в формуле А. Базис включает 2 случая:

I. Л имеет вид I; уБ. 11;уБ| = 1, е.т.е. фд(у)еу1Д(Б1, е.т.е. фД(у)е{и:1;иБеД}, е.т.е. уе{и. ¡иБеД}, е.т.е. 1;уБеД.

II. A имеет вид ^SP. | ISP | = 1 ^ IiSPeA:

1. |liSP| = 1 допущение

2. у1д(5)пу1д(Р) Ф 0 1, усл. истинности (ii)

3. 3 vJ 1 vSe A и J i vPe A) 2, определение y lA

4. Ji vSeA и JivPeA 3, 3и

5. JivP&J1vSeA 4, усл. максимальности в)

6. ((J i vP&J 1vS) з IiSP)e A A5, усл. максимальности а)

7. IiSPeA 6,5, усл. максимальности г) В обратную сторону:

1. IiSPeA допущение

2. 3 V J1 vSe A и J i vPe A) 1, усл. насыщенности

3. JivSeA и JivPeA 2, 3и

4. (P) = {w:JinPeA} определение

5. yiA(SmYiA(P) Ф 0 2,3

6. fliSP| = 1 4, усл. истинности (iv) Индукционный шаг обосновывается тривиально. Лемма 2

доказана.

Теперь докажем Теорему о семант ической полнот е: УА(ВЛ п 1=А => ВЛ n |-А).

Допустим, что некоторая ВЛп-общезначимая формула А недоказуема в ВЛп. Тогда ——А не является теоремой этой системы, а это означает, что множество {—А} ВЛ п-непротиворечиво. Расширим его согласно Лемме 1 до насыщенного множества A. Поскольку —АeA, постольку (в силу Леммы 22) | —А | = 1 в канонической модели <Da,9A,y1A,y2A,^,ynA>. Значит, в силу условия истинности формул (v), | А | = 0 в этой модели. Но это противоречит допущению о ВЛ п-общезначимости формулы А.

Среди законов n-мерной логики выделим следующие: A1SS- закон тождества, Ai SP з IiSP- законы подчинения,

A1SP з IPS I1SP з IPS AiSP з — !^(при 1ф1) - законы обращения,

(AiMP&I 1SM) з IiSP, (AiMP&A1SM) з AiSP - модусы первой фигуры,

А-^PMSlA^SM з —I1SP, А;РМ&^ SM з — A1SP (при tej) - модусы второй фигуры,

(ЛМР&ЛМБ) 3 11БР, (1МР&Л1МБ 3 11БР, (ЛМР&11МБ 3 11БР - модусы третьей фигуры.

Как мы уже указывали, Васильев считает п-мерную логику обобщением воображаемой логики. Однако примечательным является тот факт, что в результате расширения языка любой п-мерной логики константами новых качеств некоторые законы логик с меньшим числом измерений не сохраняются. Например, закон исключенного четвертого трехмерной, воображаемой логики недоказуем в любой п-мерной логике, где п>3, закон исключенного пятого, имеющий место в четырехмерной логике, недоказуем в логике с п>4, и т.д. Таким образом, в каждой п-мерной логике действует свой закон исключенного п+1-го. В то же время законы о попарной несовместимости высказываний разного качества, а также перечисленные выше законы при переходе от п-мерной логики к п+1-мерной сохраняются. Следовательно, при «обобщении» воображаемой логики мы получаем не ее расширение, а преемственную по отношению к ней систему, строящуюся по тем же стандартам и в соответствии с теми же принципами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Васильев Н.А Воображаемая логика. Избранные труды. М.: Наука,

1989.

2. Костюк Т.П., МаркинВ.И. Формальная реконструкция воображаемой

логики Н.А.Васильева // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке (V Общероссийская научная конференция). СПб, 1998.

3. Смирнов В.А Логические идеи Н.А.Васильева и современная логика //

[1].