CC BY
15
УДК 539
ОТ ПОТЕНЦИАЛА КУЛОНА К ЭФФЕКТИВНОМУ ВЗАИМОДЕЙСТВИЮ: ПРИЛОЖЕНИЕ К КОНДЕНСАЦИИ БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА
С. А. Тригер1'2
На основе кулоновского взаимодействия получено выражение для эффективного потенциала взаимодействия "квазиядер". Рассматриваемая модель представляет собой равновесную кулоновскую систему взаимодействующих электронов и идентичных ядер. При этом используется адиабатическое приближение для ядер, а взаимодействие в электронной подсистеме (вырожденной или невырожденной) может быть сильным. Показано, что фурье-компонента эффективного парного потенциала между "квазиядрами" при слабом взаимодействии электронной и ядерной подсистем является разрывной функцией при волновом векторе q = 0. Разрывность важна для бозе-конденсированных систем, таких как Hell и разреженные газы щелочных металлов при температурах ниже, чем бозе-конденсационный переход, когда существует макроскопическое количество квазичастиц с импульсом q = 0. Показано, что для одночастич-ных возбуждений может существовать щель в спектре, которая исчезает в нормальном состоянии.
Ключевые слова: кулоновское взаимодействие, эффективный потенциал, конденсация Бозе-Эйнштейна, щель в спектре возбуждений.
Точные модели для описания равновесных систем взаимодействующих частиц имеют фундаментальное значение. Наиболее адекватной моделью реальной материи является квазинейтральная нерелятивистская система взаимодействующих по закону Кулона электронов и ядер. В кулоновской системе (КС) свойства вещества практически
1 Объединенный институт высоких температур РАН, 125412 Россия, Ыосква, Ижорская ул., 2.
2 ИОФ РАН, 199119 Россия, Москва, ул. Вавилова, 38; e-mail: satron@mail.ru.
полностью контролируются коллективным поведением электронов и ядер. Этот подход в статистической физике изначально развивался в пионерских публикациях [1-3]. Современный взгляд на проблему и расширенный список литературы описаны в [4].
Рассмотрение КС является наиболее общим, поскольку не содержит подгоночных параметров потенциала взаимодействия. Однако даже в простейшем случае одинаковых ядер существует четыре независимых параметра, а именно: параметр взаимодействия Г = е2п1/3/Т, параметры вырождения для электронов и ядер Ле = Ь2п1/3/теТ, Лг = К2 ZnT/ т{Т и заряд ядер Z, что приводит к большому разнообразию возможных состояний и особенностей для свойств КС. Для водорода Z =1 и ситуация более проста (см. диаграмму, введенную в [5] (см. также, напр., [6])).
Во многих случаях, при относительно низких температурах и плотностях используется модель "простого" (или "нейтрального", или "обычного") вещества, которое представляет собой систему идентичных составных частиц (фактически квазичастиц для статистических систем, таких как, напр., газ атомов), взаимодействующих друг с другом через эффективные короткодействующие потенциалы взаимодействия. Модель "простой" материи может рассматриваться как полезный подход, основанный на введении квазичастиц (напр., "атомов" в газах и конденсированных фазах вещества), подходящих для определенного диапазона термодинамических параметров [1, 7]. Статистическая теория "простой" материи основана на предположении, что потенциалы взаимодействия "атомов" известны заранее (см., напр., [7]). Хотя такой подход существенно упрощает описание свойств вещества, он связан с значительной неоднозначностью в определении потенциалов взаимодействия.
Последовательное определение эффективного потенциала взаимодействия "атомов" непосредственно связано с проблемой перехода от концепции КС (или т.н. "физической" модели электрон-ядерной материи) к "химической" модели вещества (которая вводит атомы и молекулы в качестве основных компонентов) и является сложной проблемой.
Как известно, для большого класса КС условие квазинейтральности пе = Znni (где Zn - заряд ядра или точечного иона), обеспечивает устранение (сокращение) расходящихся членов с нулевым волновым вектором ^аЬ папЬуа,Ь(д = 0) в ряду теории возмущений. Здесь индексы а, Ь являются обозначениями для электронов и ядер, взаимодействующих через кулоновские потенциалы ^а,Ь(д) = еаеЬ/д2 (или для электронов и точечных ионов с зарядом Z в моделях электрон-ионной плазмы). Здесь д - переданный импульс. Однако в [8] было показано, что для совпадения результатов для канонического ансамбля и большого ансамбля условие квазинейтральности недостаточно.
Необходимо более сильное условие для кулоновских потенциалов
Уа,ь(ч = 0) = 0, (1)
позволяющее обеспечить самосогласованное описание КС. По-видимому, условие (1) впервые было использовано в [2] при рассмотрении термодинамических свойств сла-бонеидеальной плазмы в большом ансамбле. Условие (1) имеет глубокий физический смысл, поскольку не существует физического носителя взаимодействия с импульсом hq = 0.
Установление явной формы потенциала взаимодействия между заряженными частицами (закон Кулона), как функции расстояния между ними, в теории поля основано на преобразовании Фурье уравнений Максвелла. Согласно теории поля кулоновский потенциал определяет электростатическое взаимодействие заряженных частиц, поэтому для определения преобразования фурье-потенциала потенциала кулоновского взаимодействия используется уравнение Пуассона, которое приводит к следующему результату для q = 0
4пвавь
^а,ь(я)
q2
В этом случае значение ^а,ь(я = 0), согласно уравнению Пуассона, остается неопределенным. Такая неопределенность, на первый взгляд, несущественна, так как согласно классической теории поля она не сказывается на физически измеряемых величинах. Кроме того, с учетом (2) легко установить закон Кулона с помощью интегрального преобразования Фурье
ч -а-ь
(2п)3 ..... "
Уа,ь(г) = I т^^з ехр(гяг)^а,ь(я) = ~а—. (3)
При этом, условие (1) не влияет на форму потенциала кулоновского взаимодействия (3) в г-пространстве, но играет важную роль для бозе-конденсированных систем, где конденсация происходит в состояние с q = 0. Однако, как показано в [8] (см. также [9]), равенство (1) не может быть строго обосновано в рамках классической теории и требует рассмотрения на основе квантовой электродинамики. При построении статистической теории для квантовой нерелятивистской КС вместо интегрального фурье-преобразования (2) для кулоновского потенциала, должен использоваться ряд Фурье
1 ^ ч / ч —а-ь
д
34
Уа,ь(г) = у ехР(«Яг) Уа,ь(Ч) = . (4)
В настоящее время при расчете значения ьа,ь(q = 0) в большинстве случаев принято исходить из того, что потенциал va,b(r) известен в том смысле, что его значение определяется экспериментально законом Кулона. В этом случае согласно определению преобразования Фурье для потенциала va,b(r) (3)
Va,b(q = 0) = i d3rva,b(r), lim V-1Va,b(q = 0) = 0, (5)
Jv
поскольку интеграл в (5) расходится как V2/3. Исходя из этого, при определении термодинамических свойств слабонеидеальной плазмы в [2] и заряженного бозе-газа [10], утверждение va,b(q = 0) = 0 было сформулировано из интуитивных соображений с учетом условия квазинейтральности ^аЬ nanbva,b(q = 0) в термодинамическом пределе.
Следуя [9], для решения задачи о значении va,b(q = 0) = 0 обратимся к результатам квантовой теории поля, согласно которой заряженные частицы взаимодействуют друг с другом через квантованное электромагнитное поле. В квантовой статистической электродинамике [11] можно говорить о соответствии функции Грина для квантованного электромагнитного поля DßV,(k) (ß,v = 0,1, 2, 3; k = (w/c, q)) и потенциалов взаимодействия между заряженными частицами. При этом следует использовать дискретное представление по импульсам (см. (4)) [9]. В этом случае 4-вектор потенциала, соответствующий квантованному электромагнитному полю, не содержит члена с q = 0. Следовательно, волновой вектор q в функции Грина DßV,(k) не может быть нулем, поскольку не существует физической субстанции, которая является носителем взаимодействия, которое приводит к передаче нулевого импульса.
В присутствии ансамбля заряженных частиц функция Грина квантованного электромагнитного поля (k) = 4n/k2el(k), где el(k) - продольная диэлектрическая проницаемость системы заряженных частиц описывает экранированное кулоновское взаимодействие [1]. Таким образом, согласно квантовой статистике в электродинамике утверждение (1) для va,b(q = 0) выполняется в том смысле, что потенциалы кулоновско-го взаимодействия va,b(r) можно записать в виде ряда Фурье (4), в котором отсутствует член с q = 0. Подробное обсуждение соотношения (1) и условия квазинейтральности недавно проведено в [5] на основе [8, 9].
Следовательно, возникает существенный для рассмотрения бозе-конденсированных систем из составных бозонов с нулевым импульсом вопрос о влиянии соотношения (1) на форму эффективного потенциала.
Рассмотрим простую модель эффективного потенциала для случая слабого куло-новского взаимодействия между электронной и ядерной подсистемами. Из-за разницы
масс (те ^ Мп, где те и Мп - массы электрона и ядра соответственно) используем адиабатическое приближение. Как известно, преобразование Фурье эффективного потенциала г^п между ионами (или ядрами) можно записать в виде
<П(я) = гп,п(я) + <п(я)^, ^я) = 1 - М^П(я), (6)
где Пе(я) - поляризационная функция электронной жидкости с произвольно сильным взаимодействием, ге,п = — 4пZne2/q2 и гп,п = 4пZ2ne2/ц2. Согласно соотношению (1) значение = 0) = 0, так как Пе(я = 0) конечно. В то же время, для ц ^ 0 из (6)
мы приходим к ненулевому значению 1^(4. ^ 0)
Z 2
<*<ч ^ °> = — Щ(Я=0. (7)
Учитывая, что длинноволновый предел поляризационной функции связан с длиной экранирования Кзс равенством Пе(я = 0) = — 1/(4пе2Я2с), мы находим разрыв в точке ц = 0 для эффективного потенциала ядер, который равен
А = <п(я ^ 0) — (я = 0) = zn4пе2я2с- (8)
Для вырожденной электронной подсистемы со слабым взаимодействием длина экранирования равна Язс = 1/кТР = (ер/6ппее2)1/2, где ер - энергия Ферми. Для типичной электронной плотности в металлах пе ~ 5 • 1022 = 7.5 • 10-3/а0 значение Кзс ~ 1.3 • 10-8 ~ 2.4 а0 и экранирование является очень эффективным. Характеристическое значение А ~ Z2n • 30.1 • е2 а0 и характеристическую энергию щели в спектре Ед можно оценить как Ед > 7пп • А ~ 0.47Zn3Ry, где 7 = пс/пп - отношение количества частиц (в рассматриваемой модели ядер) в конденсате пс к полному числу частиц (ядер) пп. Появление щели в спектре одночастичных возбуждений было предсказано в работах [12, 13]. Согласно этому предсказанию одночастичные возбуждения и фонон-ротонные коллективные возбуждения имеют различную форму в системах, где существует бозе-эйнштейновский конденсат. Наличие щели между конденсатом и возбужденными состояниями квазичастиц может обеспечивать сверхтекучесть при достаточно низкой скорости потока конденсата, а соответствующий критерий сверхтекучести Ландау приводит к исчезновению сверхтекучего движения при пс ^ 0. Учет сильного электрон-ядерного взаимодействия, при котором появляются атомы, на основе куло-новской модели вещества будет дан в отдельной работе.
Таким образом, в настоящей работе показано, что фурье-компонента эффективного парного потенциала между "квазиядрами" является разрывной функцией при волновом
векторе д = 0, что приводит к существованию щели в спектре одночастичных возбуждений для бозе-конденсированных систем.
Автор благодарен Е. М. Апфельбауму, В. Б. Боброву, А. М. Игнатову, Г. А. Мартынову, Р.Р.Л.М. БсЬгаш за полезные обсуждения. Работа поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований (грант № 17-02-00573).
ЛИТЕРАТУРА
[1] W.-D. Kraeft, D. Kremp, W. Ebeling, and G. Ropke, Quantum Statistics of Charged Particle Systems (Plenum, New York, 1986).
[2] А. А. Веденов, А. И. Ларкин, ЖЭТФ 36, 1133 (1959).
[3] W. Ebeling, Ann. Physik 22, 33, 383 (1968); W. Ebeling, Ann. Phys. Leipz. 19, 104 (1967).
[4] W. Ebeling, V. Fortov, V. Filinov, Quantum Statistics of Dense Gases and Nonideal Plasmas, Springer Series in Plasma Science and Technology (Switzerland, 2017).
[5] Н. И. Ключников, С. А. Тригер, ЖЭТФ 52, 276 (1967).
[6] В. Е. Фортов, А. Г. Храпак, И. Т. Якубов, Физика неидеальной плазмы (Физматлит, Москва, 2004).
[7] R. Balescu, Equlibrium and Nonequlibrium Statistical Mechanics (John Wiley and Sons, N.-Y., 1975).
[8] V. B. Bobrov, I. M. Sokolov, S. A. Trigger, Phys. Plasmas 19, 062101 (2012).
[9] В. Б. Бобров, С. А. Тригер, А. Г. Загородний, Краткие сообщения по физике ФИАН 42(11), 28 (2015).
[10] E. H. Lieb and J. P. Solovej, Commun. Math. Phys. 252, 485 (2004).
[11] Е. М. Фрадкин, Труды ФИАН 29, 7 (1965).
[12] S. A. Trigger, P.P.J.M. Schram, Physica B 107, (1996).
[13] P. Navez, K. Bongs, Europhys. Letters 88, 60008 (2009).
Поступила в редакцию 19 марта 2019 г.
После доработки 29 мая 2019 г.
Принята к публикации 30 мая 2019 г.
