О свойствах систем с конденсатом Бозе-Эйнштейна в кулоновскои модели вещества Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.9

О СВОЙСТВАХ СИСТЕМ С КОНДЕНСАТОМ БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА В КУЛОНОВСКОЙ МОДЕЛИ

ВЕЩЕСТВА

В. Б. Бобров1'2, С. А. Тригер1'3

Представлено альтернативное описание равновесной системы взаимодействующих бозонов при наличии конденсата Бозе Эйнштейна, основанное на первоначальном рассмотрении системы, в очень большом, но конечном объеме. С использованием точных правил, сумм для спектральной функции показа,но наличие разрыва в энергетическом, спектре квазичастиц при малых им пульсах, связанного с наличием, конденсата и кулоновского взаимодействия. Установлена возможность существования, эффекта Мейснера, в сверхтекучем, гелии как кулоновской системе с конденсатом Бозе Эйнштейна для, ядер.

Ключевые слова: конденсат Бозе Эйнштейна, кулоновская модель вещества, спектральная функция, эффект Мейснера.

Общее утверждение о конденсате Бозе Эйнштейна (Bose Einstein condensate (ВЕС)) в системе взаимодействующих бозонов, которое было впервые предложено Пенроузом и Онзагером [1. 2]. связано с аномальным пространственным поведением одночастич-ной матрицы плотности и получило название недиагонального дальнего порядка (offdiagonal long-range order (ODLRO)) [3]. В формализме вторичного квантования одно-частичная матрица плотности равна Y(r, г') = (ф + (г)ф(г')), где ф + (г) и Ф(г) - соответственно полевые операторы рождения и уничтожения для рассматриваемой системы И сход н ых бозе-частиц. угловые скобки означают усреднение с большим каноническим распределением Гиббса. Для однородной и изотропной системы, в которой одночастич-ная матрица плотности имеет вид y(г, г') = Y(|r — г'|) существование ODLRO означает

1 Объединенный институт высоких температур РАН.

2 Национальный исследовательский университет "МЭИ".

3 ИОФ РАН, 119991 Россия, Москва, ул. Вавилова, 38; e-mail: [email protected].

Нп1|г_г/|^7(|г - г'|) = по = 0, (1)

где п0 - средняя плотность числа частиц в ВЕС. Для нормальной жидкости п0 = 0.

При этом необходимо учитывать, что состояние термодинамического равновесия соответствует так называемому термодинамическому пределу (ММ) ^ ж, V ^ ж, П = (ММ)/V = сош^ где (ММ) - среднее полное число частиц в рассматриваемой системе, которая занимает объем V и характеризуется заданной средней плотностью числа частиц П, N - оператор полного числа частиц [4]. Это означает, что при вычислении средних величин необходимо первоначально рассматривать исходную систему в очень большом, но конечном объеме V, а затем осуществлять термодинамический предельный переход (см., напр., [5]). Соответствующая процедура подразумевает представление полевых операторов рождения Ф+(г) и уничтожения Ф(г) в виде

Ф+(г) = ехР(-Ф • г) Ф(г) = -V ехР(Ф • г) (2)

р р

где а+ и ар - соответственно, операторы рождения и уничтожения частиц с импульсом Яр. Здесь и далее спиновые индексы опущены. Следовательно, мы мо^кем представить одночастичную матрицу плотности для однородной системы в виде ряда Фурье

7(|г - г'|) = 1 £ ¡у(р) ехр(Ф • (г' - г)), (3)

р

где ¡у (р) - среднее число заполнения частиц в состоянии с импульсом Яр (или одноча-стичная функция распределения по импульсам), индекс V означает, что соответствующая функция отвечает системе в очень большом (макроскопическом), но конечном объеме V. Для перехода к термодинамическому пределу представим соотношение (3) в

виде

7(|г - г'|) = ¡У (Рт/= 0) + 1 £ ¡у(р) ехр(Ф • (г' - г)). (4)

р=0

В результате переход к термодинамическому пределу в соотношении (3) связан с заменой

¡у(р) = (Мо^о + ¡Т(р)(1 - 5р,о), (5)

где ¡Т(р) - одночастичная функция распределения для "надконденсатных" частиц, т.е. р=0

По = ¡у (р = 0)/V. (6)

Это означает, что среднее число заполнения частиц (N0) с нулевым импульсом p = 0 является макроскопическим (N0) = (ä+V0) = n0V, что и является определением ВЕС. Таким образом, при исследовании равновесной системы с ВЕС необходимо сначала рассматривать исходную систему бозонов в очень V И ТОЛЬКО после выделения сингулярных членов, соответствующих макроскопическому числу частиц в ВЕС, переходить к термодинамическому пределу.

Для этого, как показано в [6], можно использовать стандартные методы квантовой теории поля, применяемые для нормальных систем, но для конечного объема. Это означает, что при переходе в диаграммной технике теории возмущений от координатного представления к импульсному представлению необходимо использовать не интегральное преобразование Фурье (см., напр., [7]), а преобразование в виде ряда Фурье (см.

О))-

В этой связи отметим, что реализация подхода, основанного на рассмотрении системы в конечном макроскопическом объеме, вплоть до температуры перехода Твес в состояние с ВЕС, не вызывает трудностей. Согласно методам квантовой теории поля [7] термодинамические функции системы бозонов, находящейся в V

пературе Т, полностью определяются одночастичной температурной функцией Грина Gv(p, i^n), заданной для дискретных мнимых частот шп, шп = 2ппТ (n полагается n известной функции Грина Gv(p,^n)

может быть определена функция распределения fv (p) с помощью соотношения [7]

fv(p) = lim V^ Gv(p,iUn)exp(iUnT). (7)

т ^+0 —' n

В свою очередь, вычисление функции Грина в подавляющем оольтпинстве случаев основано на использовании уравнения Дайсона

Gv (p,ivn) = Gy^(p, iun) + Gy^(p, i^n)Sv (p, iUn)Gv (p,ivn), (8)

где G'v0(p,iun) = {iun — (ep — ßv)}_1 - одночастичная функция Грина для идеального газа бозонов, бр = h2p2/2m, m - масса частицы, (p, iun) - собственно энергетическая функция, включающая все эффекты межчастичного взаимодействия, ßv - химический

V

системы ß в термодинамическом пределе ß = lim ßv.

v

ßv

V

бозонов при наличии ВЕС (см. подробнее [6]). При этом температура перехода Твес в

состояние с ВЕС определяется условием ц = Е(0, 0), где Е(р,гип) = Иш (р,гип),

V ^те

Е(р, шп) - собственно энергетическая функция, отвечающая термодинамическому пределу.

При рассмотрении температур Т < Твес переход к термодинамическому пределу, как было отмечено выше, требует корректного учета ВЕС. В этом случае для одноча-стичной функции Грина при нулевом импульсе имеет место равенство

Gv(р = 0,шп) = {%ип + ^ - ^(Р = 0,шп)}-1, (9)

поэтому мы можем утверждать, что в системе с ВЕС

G(p = 0,и) = (N0)^,0 + GT(0,г^)(1 - 5Шп,о), (10)

GT(0, шп) = [шп + Е(0, 0) - Е(р = 0, шп)}-1. (11)

(р = 0)

G(p, Шп) = {шп - (бр - Е(0, 0) - Е(р, Шп)}-1- (12)

Таким образом, для описания системы взаимодействующих бозонов с ВЕС сводится к вычислению собственно энергетической функции Ev(р,гип) в очень большом, но конечном объеме V в рамках обычной диаграммной техники с последующим переходом к термодинамическому пределу при корректном учете ВЕС.

Это означает, что при использовании уравнения Дайсона для систем взаимодействующих частиц следует учитывать точные соотношения для одночастичной функции Грина с тем, чтобы избежать возможных противоречий в рассматриваемом подходе. С этой целью используем известное представление для одночастичной функции Грина через спектральную функцию [7]

^ те

^(р,г^п)= --¡V(р) = -( /тЛ-- • — - 13)

J гип - и J ехр(пи/Т ) - 1 2п

—те —те

При этом для спектральной функции Av(р,и) выполняются точные соотношения, называемые правилами сумм (см., напр., [8])

те те

У Av(р,и)^ = 1, ! uAv(р,и)^ = Ev(р), (14)

—те —те

Ev (p) = бр - ßy + nv (0) + v (q) fv (q + P), (15)

V

q

где v(q) - фурье-образ парного потенциала межчастичного взаимодействия. Переход к термодинамическому пределу в правилах сумм (14). (15) для нормальной жидкости не представляет труда. При наличии ВЕС (5) находим

E(p) = lim Ey (p) = бр - ß + nv(0) + nov(p) + i v(q)fT(|q + pl)^, (16) V J (2n)°

так что при выполнении условия v(0) = lim v(p) справедливо равенство

E(0) = lim E(p) = (П + no)v(0) - ß + i v(q)fT(q)^L. (17)

Таким образом, величина E(p), которая имеет непосредственное отношение к понятию спектра одночастичньтх возбуждений, является непрерывной величиной в точке p = 0

лом взаимодействия.

Однако ситуация радикально меняется при рассмотрении кулоновской системы, представляющей собой систему заряженных электронов и ядер, взаимодействующих между собой по закону Кулона. Дело в том, что фурье-образ потенциала кулонов-ского взаимодействия заряженных частиц сортов а и b имеет вид vab(q = 0) = 0 и vab(q = 0) = 4пZaZbe2/q2 (см. [9, 10] и цитированную там литературу).

При этом для равновесной кулоновской системы должно выполняться условие квазинейтральности T.aZaena = 0, оде Zae - заряд частиц сорта а, которые характеризуются массой ma, химическим потенцналом ßa и средней плотностью числа частиц na. Нетрудно убедиться, что в этом случае величина E^(р) для ядер (индекс (n)), которые

ЯВЛЯЮТСЯ

бозонами с нулевым спином, имеет вид

EVn)(p) = бРп) - ßVn) + V £ vnn(q)fVn) (q + р). (18)

q=0

n

динамическом пределе

E(n)(p = 0) = -ßn + У vnn(q)fT(q)^, (19)

E(n)(p = 0) = epn) - ßn + vnn(p)n0ra) + J vnn(q)fT(\q + p|)(0, (20)

(n) j-2 2 /п

где бр = п p / 2mn, mn - масса соответствующих ядер, которые характеризуются зарядом Zne, химическим потенциалом ßn = lim ßVn\ средней плотностью nn, потенциалом

V

взаимодействия между собой vnn(q) = 4пZnZne2/q2 и плотностью числа частиц в ВЕС

( n)

Согласно (19), (20) функция E(n)(p)

p= 0 бесконечный разрыв^

величина которого обусловлена наличием ВЕС и расходимостью кулоновского потенциала взаимодействия vnn(p) при p ^ 0. Это обстоятельство указывает на наличие соответствующей "тцели" в энергетическом спектре "надконденсатньтх" квазичастиц над энергетическим уровнем ВЕС в кулоновской системе.

Возможность бесконечного разрыва в спектре одночастичньтх возбуждений при нулевом импульсе может быть устранена при учете эффектов экранирования кулоновского взаимодействия ядер электронами. В этом случае возникающая щель в энергетическом спектре будет иметь конечное значение, величина которого определяется плотностью ВЕС n0n).

Кулоновская модель является наиболее

адекватной моделью вещества в нереляти~ вистском приближении, поэтому представленные выттте результаты приводят к необходимости пересмотра «традиционных» результатов теории многочастичных систем с ВЕС. В частности, учитывая связь между существованием ВЕС и эффектом Мейснера в заряженном бозе-газе, рассматриваемом как кулоновская система [11, 12], мы можем утверждать, что эффект Мейснера должен иметь место в сверхтекучем гелии с наличием ВЕС для ядер. Настоящая работа

выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 14 19 01492).

Авторы благодарны А. Г. Загороднему, А. М. Игнатову, А. А. Рухадзе

за полезные

обсуждения работы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] О. Penrose, Philos. Mag. 42, 1373 (1951).

[2] О. Penrose and L. Onsager, Phys. Rev. 104, 576 (1956).

[3] С. X. Yang, Rev. Mod. Phys. 34, 694 (1962).

[4] H. H. Боголюбов, H. H. Боголюбов (мл.), Введение в квантовую статистическую механику (М., Наука, 1984).

[5] R. Balescu, Equilibrium and, Nonequilibrium Statistical Mechanic (Wiley. Xew York. 1975).

[6] В. Б. Бобров, С. А. Тригер, П. Шрам, ЖЭТФ 107, 1526 (1995).

[7] А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялотпинский, Методы кватповой теории поля, в статистической физике (М., Наука, 1962).

[8] О. К. Калашников, Е. С. Фрадкин, ТМФ 5, 417 (1970).

[9] Е. Н. Lieb and J. P. Solovej, Comm. Math. Phys. 252, 485 (2004).

[10] V. B. Bobrov, I. M. Sokolov and S. A. Trigger, Phys. Plasmas 19, 062101 (2012).

[11] G. L, Sewell, J. Stat. Phys. 61, 415 (1990).

[12] S. Ivoh, Phys. Rev. В 68, 144502 (2003).

Поступила в редакцию 16 октября 2014 г.