CC BY
17
УДК 538.9
0 КОЛЛЕКТИВНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЯХ И НАЛИЧИИ ЩЕЛИ В СПЕКТРЕ ВЫРОЖДЕННОГО БОЗЕ-ГАЗА
В. Б. Бобров1, С. А. Тригер1'2
Модель вырожденного слабонеидеалъного бозе-газа рассмотрена без использования предположения, о С-числовом характере операторов рождения и уничтожения, частиц в состоянии с нулевым, импульсом. Показа,но, что полюс функции Грина "плотность плотность" определяет Воголюбовский спектр коллективных возбуждений фонон-ротонного типа. При этом, спектр одночастичтлх возбуждений характеризуется наличием, щели, величина которой определяется, плотностью частиц в "конденсате".
Ключевые слова: неидеальный бозе-газ. сверхтекучесть, спектр возбуждений, щель в спектре.
1. Развитие теории вырожденного бозе-газа обусловлено необходимостью объяснения явления сверхтекучести в жидком гелии. При этом существенным является близость значений температуры перехода в сверхтекучее состояние Т\ к температуре бозе-конденсации Т0 идеального бозе-газа, а также ряд других аналогий в свойствах сверхтекучего гелия и идеального бозе-газа. С физической точки зрения наиболее ВАЖНЫМ 51В~ ляется накопление макроскопического числа частиц в состоянии с нулевым импульсом ("конденсат") в модели идеального бозе-газа при Т <Т0 [1]. Это обстоятельство является основой для предположения о том. что явление сверхтекучести может быть адекватно описано в рамках теории слабонеидеалъного бозе-газа. При этом модель идеального бозе-газа не удовлетворяет условию сверхтекучести Ландау [2. 3], а также не дает объяснения ряду особенностей термодинамических свойств сверхтекучего гелия [4]. Однако возможности обычной теории возмущений по межчастичному взаимодействию в бозе-газе при температурах Т <Т0 сразу же наталкиваются на проблему последовательного
1 Объединенный институт высоких температур РАН.
2 Институт общей физики им. А. М. Прохорова РАН.
учета "конденсата" (см.. напр.. [5]). Отметим, что наличие "конденсата" в вырожденном бозе-газе приводит к тому, что непосредственное перенесение методов квантовой теории поля на задачу неидеального бозе-газа представляется невозможным. Начиная с работ Боголюбова [6, 7], микроскопическая теория вырожденного бозе-газа основывается на специальном допущении о С-числовом представлении операторов рождения а+ и уничтожения а0 частиц при нулевом импульсе. Полученные в работах Боголюбова результаты. включая выражение для спектра возбуждений, позволили дать качественное объяснение экспериментальным данным и удовлетворяли условию сверхтекучести Ландау. Следует подчеркнуть, что впервые математические методы квантовой теории поля для рассмотрения неидеального вырожденного бозе-газа были применены Беляевым [8] без использования специального допущения о С-числовом представлении операторов а+ и ао- В [8] была построена специальная диаграммная техника теории возмущений для нулевой температуры и обобщена теория одночастичньтх функций Грина. Однако ввиду сложности и громоздкости использованного в [8] математического формализма дальнейшего развития этот подход не получил. Гугенгольц и Пайнс в своей работе [9] с самого начала, по Боголюбову, переформулировали задачу, заменив операторы а+ и а0 на С-числа, и получили возможность почти автоматически переносить методы квантовой теории поля на изучение бозе-газа с "конденсатом". В [9], в частности, было показано, что при С-числовом представлении операторов а+ и а0 в спектре возбуждений, связанном с одночастичной функцией Грина, не может существовать щели. Именно этот подход и используется до настоящего времени в теории вырожденного бозе-газа [5]. Однако строго доказать С-числовое представление операторов а+ и а0 не представляется возможным, что порождает вопросы о соответствии между исходным гамильтонианом системы и гамильтонианом, в котором операторы а+ и а0 заменены С-числами. Доказать такое соответствие также не удается [10, 11]. Более того, в работах [12 14] были предприняты попытки альтернативного Боголюбову канонического преобразования полевых операторов без использования С-числового представления операторов а+ и а0. При этом в работах [13 15] обсуждалась возможность одновременного существования в слабонеидеальном бозе-газе возбуждений Боголюбовского типа и одночастичньтх возбуждений с щелью. Кроме того, в [14, 17] показано, что подавляющая часть известных результатов для термодинамических свойств вырожденного бозе-газа может быть получена без использования С-числового представления операторов а+ и а0. В свою очередь, в [18] доказано, что отсутствуют формальные ограничения для использования стандартной температурной техники при рассмотрении температур Т < Т0. Вместе с
тем, сама идея о возможности использования С-числового представления для операторов представляется весьма привлекательной, но не для преобразования гамильтониана системы, а при вычислении средних величин (функций Грина). Обратим внимание, что
С
торов а+ и а0, конечные результаты определяются, помимо прочих термодинамических параметров, как функции числа частиц в "конденсате" [5]. В этой связи в настоящей работе на примере вырожденного бозе-газа будут детально рассмотрены последствия С
при вычислении функции Грина "плотность плотность", полюса которой определяют спектр коллективных возбуждений, и одночастичной функции Грина, полюса которой определяют спектр одночастичных возбуждений. При этом сами операторы а+ и ао не С
("точного") гамильтониана системы.
2. Рассмотрим неидеальныи бозе-газ частиц с нулевым спином и массой т в объеме V с гамильтонианом
Н = ^ £ра+ар + 27 ^ и(^а+1-я/2а+ +д/2аР2-фаР1+ф- (!)
р д Р1Р2
Здесь а+ (ар) - операторы рождения (уничтожения) частицы с импульсом Яр,
[ар2 ,ар1 ] = аР2 ар1 ар1 аР2 ^Р1Р2 , (2)
ер = Я2р2/2т - энергетический спектр свободной частицы, и(д) - фурье-компонента потенциала межчастичного взаимодействия.
Экспериментальное определение спектра коллективных возбуждений в веществе осуществляется на основе данных о хорошо выраженных пиках в динамическом структурном факторе 5(д,и) при я = 0,
5 (д,и) = V ^хр(гшЬ){рд (Ь)р-д (0))&, (3)
Рд(г) = 5^ а+-ч/2(1)ар+д/2(1)' (4)
р
где рд (¿) - фурье-компонента оператора плотности числа частиц в Гейзенберговском {... )
аном Н и химическим потенциалом Динамический структурный фактор 5(д, и) (3)
непосредственно связан [191 с запаздывающей функцией Грина "плотность плотность" ХК(я, г), аналитичной в верхней полуплоскости комплексных г(1тг > 0),
Б(д,и) = -2н| 1 - ехр^-Н^ } 1тхК(я,и + ¿0), (5)
НУ
ХЯ(я,г) = ~ I ехр(гг1){[рч(I), р-д(0)]}сИ = У-1 < рд\р-д . (6)
Определения (3), (6) следует понимать в термодинамическом пределе: У ^ ж, {М} ^ ж, п = {М}/У = сош^ Здесь N = а+ар - оператор полного числа частиц в системе. С учетом (4) функцию ХК(я, г) можно представить в виде
1
ХК(Я, г) = (р' )> Г(р' а+-д/2ар+/\р-я . (7)
г) = _ Г(р ^ г) Г(р ^ г) =^ а+
р
Точное уравнение движения для функции Г(р, q, г) с гамильтонианом И, определяемым равенством (1. имеет вид
(Нг + 6р-ф - ер+д/2)Г(р, q, г) = (!р-ч/2 - ¡р+ч/2)- (8)
- у и(к)^2 ^ (а++к-ч/2аР,1-к/2аР1+к/2ар+ч/2 - а+-ч/2а+1-к/2аР1+к/2ар-к+ч/2)\р-ч ,
к=0 рг
где ¡р - одночастичная функция распределения по импульсам Нр,
¡р = {а+ар}. (9)
При температурах Т < Т0 одночастичную функцию распределения /р можно представить в виде [20]
¡р = {N0}5р,о + Ц(1 - Ы, (1»)
где М0 = а+а0 - оператор числа частиц с нулевым импульсом ("конденсат"), ¡Т = {а+ар) - одночастичная функция распределения для частиц с ненулевым импульсом ("надконденсатньте" состояния). Таким образом,
1 \—л сТ С т / \
п = п0 + у 2=0 ¡р = п0 + ] Щз¡р , (П)
где п0 = {М0}/У среднее число частиц в "конденсате". С учетом (10) из (8) следует, что функция Г(р, q, г) имеет сингулярности при р — iq/2. Соответственно^ д ,ля функции Грина "плотность-плотность" ХК(я, г) можно записать
ХЯ(я,г) = У Г (ф, q, г) + У Г (-ф, q, г) + У ^ ГТ (р, ч,г). (12)
р=±ч/2
Индекс Т означает, что у соответствующей функции отсутствуют особенности, связанные с наличием "конденсата" в системе, и ее величина определяется "надконденсат-ными" состояниями. В этом смысле в последнем слагаемом в правой части соотношения (12) можно перейти от суммирования к интегрированию. Выделенные функции Г(±я/2, г) удовлетворяют, согласно (8), (10), точным уравнениям движения
(Кг - е,)Г(я/2, я, г) = ({N0) - Ц)- (13)
1
к=0 Р1
X и(к) X ^ (а+а+1-к/2аР1+к/2ад - ар+а+1-к/2аР1+к/2ад-к)\р-д .
(Кг + ед)Г(-я/2, я, г) = -({N0) - —)- (14)
-1 X и(к) X ^ (а+-дар1—к/2аР1+к/2а0 - а+да+1-к/2аР1+к/2а-к)\р-д .
к=0 Р1
Рассмотрим далее случай сильного вырождения Т ^ 0. Чтобы определить главные члены Г(0) в функциях Г, действуем далее по Боголюбову. Выделим в правых частях
(13) и (14) члены, определяемые максимально возможным количеством операторов а+ а0
Г
(14) с учетом того, что /Т = /-д(я = 0), следует
(Кг - ед )Г (0)( + я/2
я, г
= — ( [{N0) - ¡Т] + — и(д) < (а+а+ада0 + а+а-да0а0)\р-д . (15)
^ V
Отметим, что соотношение (15) само по себе является точным, т.к. определяет функции Г(0). Для вычисления функций Грина в правой части (15) необходимо сделать какие-то допущения.
С
ров при вычислении средних величин остается очень привлекательной и использована нами ниже в альтернативном по отношению к Боголюбовскому варианте. Принципиально новое утверждение настоящей работы состоит в том, что при вычислении функций Грина бозе-газа при температурах Т <Т0 С-числом являются не операторы а+ и а0, а оператор числа частиц "конденсата" Щ,
N0 = {N0). (16)
В этом случае из (15) непосредственно следует
(Кг - е,)Г(0\я/2, г) =
= ([№ - /Л + ^и^){Р^^ + Р• (17)
(Кг + е,)Г(0)(-ч/2, я, г) = = - ([(^о) - /Т] + ^и(д){Г(0\я/2, я,г) + Г(0\-Ч/2, я, г. Из (17) находим явные выражения для функций Г(о)(±я/2, я, г)
г ^ ^1
Ки(д) = (е2 + 2е, пои(д))1/2. (19)
Соотношение (19) для спектра возбуждений Ки(д) полностью отвечает известному Бого-любовскому выражению. Подставляя (18) в (7) в предположении, что вкладом функций (р, Я, г) в рассматриваемом приближении слабого взаимодействия и сильного вырождения можно пренебречь, получаем для главного члена х(о) функции Грина "плотность-
Х(0)(^г) = \2 „Л1 - Т/Н} • (20)
(Кг)2 - (К^(д))2 [ (Мо)\
Особенности функции хК(д, г) определяют спектр коллективных возбуждений системы. Таким образом, в предположении о С-числовом поведении оператора N получаем Боголюбовский результат для спектра коллективных возбуждений в вырожденном сла-бонеидеальном бозе-газе. Однако пока неясно, что делать с членом /,/(N<0) в фигурных скобках
в соотношении (20). Проблема заключается в том, что при рассмотрении идеального бозе-газа функция /, имеет вид
, = {ехр(е,/Т) - 1}"1 • (21)
В пределе малых волновых векторов д функция /,л имеет расходимость при ненулевых
1 /д2
ИшИш Г = ИшИш Г. (22)
Т^0 а^о^а ' а^о т^о а х '
Аналогичный вопрос возникает и при использовании соотношения (10).
4. Для вычисления функции распределения /Т "надконденсатных" состояний в сла-бонеидеальном бозе-газе рассмотрим одночастичную функцию Грина дя(д,г),
дк(д,г) =< ач\а+ , я = 0, (23)
которая непосредственно связана с функцией распределения /Т соотношением [21]
/7
2Пд<(д,и), д<(д,и) = -2К{ехр(К^/Т) - 1}-11тдк(д,ш + г0). (24)
Уравнение
дви^кения для
функции Грина дя(д, г) при я = 0 с гамильтонианом (1) имеет (Кг - ед + ¡¡)дк(д,г) = 1 + т1^ ^и(к) ^ а++каРад+к\а+ =
кР
= 1 + ни(0)дК(д, г) + ^и(к) < а++карад+к\а+ . (25)
к=0 р
где и(0) = и(я = 0) = Ишд^0 и(д) > 0. Для вычисления главного члена функции Грина в последнем слагаемом в правой части (24) в пределе сильного вырождения используем тот же прием, что и при вычислении функций Грина Г(0) и х^- Для этого выделим в правой части (25) члены с максимальным количеством операторов а+ и а0. Тогда из (25) получаем
(Кг - ед + ¡0))дК(д, г) = 1 + 1 и(д) < а+ада0\а+ (1 - (26)
где = ц - ии(0). Далее
для вычисления
функции Грина в правой части (26) предполагаем, что оператор ^является С-числом, а также учитываем, что в рассматриваемом приближении слабонеидеального бозе-газа ¡(0) = 0. В результате получаем
дЕ(д,г) = {Кг - Ед}-1. (27)
Выражение для энергетического спектра одночастичных возбуждений Ед равно
Ед = ед + щи(д). (28)
Из (24), (27), (28) непосредственно следует, что для случая слабой неидеальности в пределе сильного вырождения Т ^ 0 одночастичная функция распределения /Т "над-коидеисатных состоянии равна
/Т = {ехр(Ед/Т) - 1}-1. (29)
Следовательно, функция f конечна при q ^ 0. Более того, в пределе сильного вырождения T ^ 0
fT ^ 0 (30)
q
газа. Таким образом, представление (10) для одночастичной функции распределения fp справедливо. При этом в одночастичном спектре возбуждений появляется щель
Л = Ep^o = nou(0), (31)
величина которой определяется плотностью числа частиц в "конденсате". Обратим внимание, что наличие щели позволяет существенно расширить область применения результатов, полученных в пределе сильного вырождения T ^ 0. Очевидно, что во многих приложениях условие T ^ 0 эквивалентно условию T ^ А. В свою очередь, с учетом (30) функция Грина х(0) (q,z) (20) принимает вид
xm(q-z)=(hz )2 Ü ■ (32)
Из (32) можно получить [16, 17] практически все известные результаты для термодинамических величин вырожденного бозе-газа. Таким образом, в отличие от результатов применения С-числового представления операторов a+ и a0, при использовании С-числового представления для оператора N0 спектры коллективных и одночастичных возбуждений отличаются друг от друга. При этом оба спектра, как нетрудно убедиться, удовлетворяют условию сверхтекучести Ландау. Для одночастичного спектра возбуждений условие Ландау выполняется в отношении переходов между "конденсатом" и "надконденсатными" состояниями. Условие Ландау естественным образом нарушается в отношении переходов между "надконденсатными" состояниями.
Здесь необходимо отметить, что в ранних работах Ландау, а также Боголюбова, упоминалось о возможности существования спектра с щелью в бозе-системах при T < T0, однако такая возможность была отвергнута из-за отсутствия в спектре одночастичных возбуждений "фононной" ветви. Как видно из проведенного рассмотрения, в этом нет необходимости. Коллективные возбуждения с "фонон-ротонньтм" спектром и одноча-стичньте возбуждения со спектром с щелью сосуществуют.
Отметим также, что в рассматриваемом приближении с учетом (30)
lim (N0) = (N), (33)
T—> 0
что подтверждает использованный способ определения главных членов для функций Грина в пределе сильного вырождения.
5. Подводя итоги проведенного рассмотрения, можно утверждать, что при вычислении функций Грина слабонеидеального бозе-газа в пределе сильного вырождения на основе С-числового представления для оператора Щ:
(A) может быть разрешена проблема 1/д2-расходимости, характерная для идеального бозе-газа;
(B) система характеризуется наличием двух ветвей возбуждений одно частичных и коллективных, каждая из которых удовлетворяет условию сверхтекучести Ландау;
(C) спектр одночастичньтх возбуждений характеризуется щелью в области малых волновых векторов, обусловленной наличием "конденсата" в системе;
(Б) спектр коллективных возбуждений соответствует "фонон-ротонньтм" возбуждениям. наблюдаемым в экспериментах по неупругому рассеянию нейтронов [22].
Таким образом, учет даже слабого взаимодействия приводит к радикальному отличию от случая идеального бозе-газа не только в отношении коллективных возбуждений, описываемых функцией "плотность плотность", но и в описании функции распределения и одночастичньтх возбуждений надконденсатных частиц. На основе полученных результатов для вычисления соответствующих температурных функций Грина может быть развита специальная диаграммная техника, аналогичная [9], но с использованием С-числового представления для оператора Щ.
С
раторов а+ и а0, строго доказать возможность применения С-числового представления для оператора N0 для вычисления функций Грина вырожденного бозе-газа не представляется возможным. Судить о справедливости того или иного допущения можно лишь по полученным в результате его применения результатам. В данном случае принципиальным различием между результатами настоящей работы и результатами применения "традиционного" С-числового представления операторов а+ и а0 является наличие щели в спектре одночастичных возбуждений. Как видно из проведенного рассмотрения. наличие такой щели не проявляется в функции Грина "плотность плотность", по крайней мере, для слабонеидеального бозе -газа, а тем самым не мо^кет наолюдаться в экспериментах по неупругому рассеянию нейтронов в сверхтекучем гелии [22]. Однако такая возможность не исключена в экспериментах по комбинационному рассеянию света. Более того, в работе [23], где проведены соответствующие экспериментальные исследования в сверхтекучем гелии, содержится, на наттт взгляд, прямое указание на
такую возможность.
Авторы благодарны К).А. Кухаренко и A.A. Рухадзе за полезные обсуждения работы.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Р. Балеску, Равновесная, и неравновесная, статистическая, механика, т.1 (Мир. Москва, 1978).
[2] Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 11, 592 (1941).
[3] L. D. Landau, Phys. Rev. 60, 356 (1941); J. Phys. USSR 5, 71 (1941).
[4] L, D. Landau, J. Phys. USSR 11, 91 (1947).
[5] А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялотпинский, Методы кватповой теории поля, в статистической физик,е (ГИФМЛ, Москва, 1962).
[6] X. Bogolubov, J. Phys. USSR 11, 23 (1947).
[7] H. H. Боголюбов, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 77 (1947).
[8] С. Т. Беляев, ЖЭТФ 34, 417 (1958); 34, 433 (1958).
[9] X. М. Hugenholtz and D. Pines, Phys. Rev. 116, 489 (1959).
[10] W. H. Bassichis and L, L, Foldy, Phys. Rev. 133A, 435 (1964).
[11] H. Stolz, Physica A86, 11 (1977).
[12] И. С. Ландман, С. E. Песчанов, Ф. P. Улинич, Препринт ИАЭ X 4897/1 (1989).
[13] I. M. Yurin, E-print archives, quant-ph./0310115.
[14] I. M. Yurin and S. A. Trigger, E-print archives, cond-mat.supr-con./0906.0755 (2009).
[15] S. A. Trigger and P. P. J. M. Schram, Physica В 228, 107 (1996).
[16] V. В. Bobrov and S. A. Trigger, Physica A 170, 261 (1990).
[17] В. Б. Бобров, К). П. Власов, С. А. Тригер, ЖЭТФ 102, 107 (1992).
[18] В. Б. Бобров, С. А. Тригер, П. Шрам, ЖЭТФ 107, 1526 (1995).
[19] Е. М. Лифтниц, Л. П. Питаевский, Статистическая, физика, часть 2, Теория, конденсированного состояния, (Наука, Москва, 1978).
[20] К). Л. Климонтович, В. П. Силин, ЖЭТФ 23, 151 (1952).
[21] Л. Каданов, Г. Бейм, Квантовая, статистическая, механика. Метод функций Грина в теории равновесных и неравновесных процессов (Мир, Москва, 1964).
[22] R. A. Cowley and A. D. В. Woods, Can. J. Phys. 49, 177 (1971).
[23] J. Greytak, R. Woerner, J. Yan, and R. Benjamin, Phys. Rev. Lett. 25, 1547 (1970).
Поступила в редакцию 3 февраля 2010 г.
УДК 536.241
ТЕПЛОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ГРАНИЦЫ В СТРУКТУРЕ КРЕМНИЙ-НА-АЛМАЗЕ ПРИ ТЕМПЕРАТУРЕ 80 К
Д. Ф. Аминев, А. Ю. Клоков, Т. И. Галкина2, А. И. Шарков, В. Г. Ральченко1
Исследовано распространение тепла при температуре жидкого азота в гетероструктуре, состоящей из поликристаллической алмазной пленки, осажденной из углеводородной плазмы, на ориентированную кремниевую подложку. Использована методика измерения кинетики остывания, тонкопленочного индиевого термометра, нанесенного на, алмазную пленку, после нагрева, наносекунд-нъш/и импульсами азотного лазера. Экспериментальные данные сравнены с рассчитанными в рамках теории теплопроводности для, многослойных систем. Проведенный анализ позволил, определить одновременно теплопроводность алмазной пленки и граничное тепловое сопротивление границ алмаз/Si и In/алмаз при азотной температуре.
Ключевые слова: граничное тепловое сопротивление, гетероструктура алмаз/кремний.
Алмаз является перспективным материалом для создания элементной базы высокотемпературной радиационно стойкой электроники. Использование алмаза в СВЧ-приборах позволяет увеличивать их мощность, КПД и предельную частоту. Еще одной областью применения алмаза является изготовление теплоотводов (теплостоков). Алмазные теплоотводьт совместимы с различными материалами, используемыми в полупроводниковых приборах. В частности, развивается технология совмещения кремния и алмаза, и получения структур "кремний на алмазе" КНА (silicon он diamond SOD)
1 Учреждение Российской академии наук Институт общей физики им. A.M. Прохорова РАН, Россия, 119991 Москва, ул. Вавилова 38.
2 E-mail: galkina@lebedev.ru
