CC BY
39
Теоретическая физика
УДК 538.945
П.Н.Брусов, П.П.Брусов, В.П.Саченко
КОЛЛЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА СВЕРХПРОВОДНИКОВ С НЕТРИВИАЛЬНЫМ СПАРИВАНИЕМ
В свете недавних экспериментов изучение коллективных возбуждений в сверхпроводниках с нетривиальным спариванием становится очень важной и актуальной задачей. В формализме функционального интегрирования строятся трехмерные (3D) и двумерные (2D) модели р- и d- спаривания для сверхпроводников и сверхтекучих квантовых жидкостей. В рамках этих моделей мы вычисляем спектры коллективных возбуждений в сверхпроводниках с нетривиальным спариванием (высокотемпературных сверхпроводниках (ВТСП), сверхпроводниках с тяжелыми фермионами (СТФ) и др.) при р- и d- спаривании. Изучаются некоторые недавние идеи относительно реализации в ВТСП смесей различных состояний. В частности, рассмотрена смессь dx2-y2 +idxy состояний. Полученные результаты по вычислению спектров коллективных возбуждений в сверхпроводниках с нетривиальным спариванием могут быть использованы для определения типа спаривания и параметра порядка в ВТСП и СТФ, а также для интерпретации экспериментов по поглощению ультразвука и микроволн в этих системах.
До последнего времени изучение коллективных возбуждений в сверхпроводниках с нетривиальным спариванием носило экзотический характер, и тому было несколько причин.
Во-первых, несмотря на существование определенных свидетельств о нетривиальном характере спаривания в некоторых сверхпроводниках (ВТСП и СТФ), достоверно нетривиальный тип спаривания не был установлен ни для одного сверхпроводника.
Во-вторых, не были найдены достаточно веские доказательства существования коллективных возбуждений в сверхпроводниках.
Ситуация резко изменилась за последние несколько лет и особенно за последний год, в связи переводом изучения коллективных возбуждений в сверхпроводниках с нетривиальным спариванием в реальную плоскость.
В свете последних экспериментов эта тема становится весьма важной. Прежде всего, несколько лет назад в пленках обычных (низкотемпературных) сверхпроводников впервые экспериментально наблюдалась так называемая «амплитудная» мода (с частотой порядка 2Д), связанная с колебаниями амплитуды параметра порядка. Отметим, что до этого времени из двух коллективных мод, существующих в ВТСП и связанных с колебаниями фазы и амплитуды комплексного параметра порядка, экспериментально наблюдалась только первая (нуль-звук).
В-третьих, за последний год тип спаривания установлен для многих сверхпроводников. Мы имеем 5-спаривание в обычных (низкотемпературных) сверхпроводниках и ВТСП с проводимостью электронного типа; d- спаривание - в ВТСП с проводимостью дырочного типа, органических сверхпроводниках, некоторых СТФ (UPd2Al3,CePd2Si2, CeIn3, CeNi2Ge2 etc.); p- спаривание - в чистом 3He; 3He в аэрогеле, SR2RuO4 (ВТСП),UPtз (СТФ).
Модели p - и d - спаривания для сверхпроводников
Для теоретического описания сверхпроводников (как и сверхтекучих фаз) необходимо в соответствии с общей теорией фазовых переходов второго рода Ландау ввести параметр порядка - величину, равную нулю выше точки фазового перехода Тс и отличную от нуля ниже Тс. Такой величиной является аномальная функция Грина Fap (к), играющая роль волновой функции связанных пар частиц. Поскольку волновая функция пары является симметричным спинором второго ранга, ее можно разложить по базису из симметричных унитарных матриц второго порядка i(sCT2)ap:
¥ар(к)=1й(к)(р^2)а,ь - в случае триплетного спаривания; ¥ар(к)=-у(к)(ст2)<хр - в случае синглет-ного спаривания, где а=(ст1,ст2,ст3) - матрицы Паули. Вектор й(к) зависит лишь от направления в импульсном пространстве п =к/к.
При спаривании в р-состояние (с I = 1) эта зависимость описывается комбинацией сферических функций с I = 1, которые можно отождествить с декартовыми компонентами п. Таким образом,
4- = Лу ц..
Комплексная матрица 3х3 Лу и является параметром порядка в системах с р-спариванием.
В случае 4-спаривания параметром порядка является комплексная симметричная бесследо-вая матрица 3х3 Лу.
Метод континуального интегрирования в применении к нерелятивистской ферми-системе при температуре Т приводит к необходимости интегрировать по пространству антикоммутирующих функций с (Х’Т),Х ( х,т) с разложением Фурье вида
С, (х) = (ь )-1/2 X (р )ехр (/(ют + к • х)), (1)
Р
где р = (к,ю); ю = (2п + 1рТ - Ферми-частоты и х = (х,т).
Рассмотрим функционал действия для взаимодействующей ферми-системы
5 = |оРёхё3хXX,(x,х)тХ,(Хх)-|0Рн'(хУх , (2)
соответствующий гамильтониану
н ' Т ) = 143 х^(2да)-1 ^ (х, т)у с 5 (х,т)-(л + тн (Х т)С (Хт +
+ 214 3х4 3уи(х - у)Х с,(Х т)хс (y, т)х^ (y, т)%5(х т) . (3)
2 55'
Проинтегрируем сначала по "быстрым", а затем по "медленным" ферми-полям, используя на этих этапах различные схемы теории возмущений. Результат интегрирования по быстрым полям, в которых | к - кр | > к0 или | ш|< ш0, запишем в виде
| ехр 5^0С15^С15 = ехР 5 (С05 , С05 ). (4)
Функционал 5 имеет смысл действия медленных полей хо ,Хо, у которых | к - кр | > к0 и | ш | <ю0. Вспомогательные параметры к0 и ш0 определяются по порядку величины, а физические результаты не должны зависеть от их конкретного выбора.
Общий вид функционала 5 есть сумма функционалов четных степеней по полям %05, %а5:
¥
5 = Х ~2„ . (5)
п=0
Пренебрегая высшими функционалами 5е,58 ...и опуская несущественную в дальнейшем константу 50, рассмотрим формы 52 и 54, описывающие соответственно невзаимодействующие квазичастицы у поверхности Ферми и их парное взаимодействие. Форма 52 имеет вид
~2 » X 2-1 [/ю - СР (к - кР )+ ]а+ (Р)а5 (Р) . (6)
5. р
Форма же 554 различна для различных типов спаривания, поэтому, начиная отсюда, мы будем вести изложение отдельно для случаев р - и 4- спариваний.
р-спаривание
В случае триплетного спаривания 54 имеет вид
~4 = -(Ь )-1 X10 (Р1, Р2, Р3, Р 4 )а+(Р1 )а-(^2 )а-(Р4 К(Р3 )-
Р1 + Р2 = Р3 + Р4
- (2Ь )-1 X11 (1’ Р2, Р3 = Р 4 )(2а++ (Р1 )а- (Р2 )а- Ср 4 ) + а+ (Р1 )а+ Ср 2 )а+ (Р4 )а+ 0^3 ) +
Р1 + Р2 = Р3 + Р4
+ а- 0?1 )и- (Р2 )а- °?4 )а- ^)).
Здесь р = (к,ю) - 4-импульс; t0(pi) - симметричная, (¡(р) - антисимметричная амплитуды рассеяния при перестановках р!0р2,р30р4. В окрестности сферы Ферми можно положить
ю1= 0, к;=игкр (1 = 1, 2, 3, 4). Амплитуды 4, / 1 должны зависеть лишь от двух инвариантов, скажем, от (п1,п2) и (п1-п2,п3-п4), причем 4 - четна, а ¿1 - нечетна по второму инварианту. Поэтому можно записать
Ъ=,((пь П2), (П1-П2, П3-П4)); 1:=(П:-П2, П3-П4) §((П], П2), (П1-П2, П3-П4)),
причем функции / g - четные по второму аргументу. Функции/и g легко вычислить для газовой модели, для систем большой плотности их необходимо определять из эксперимента.
Мы рассмотрим модель с /=0, g=const<0 как модель типа БКШ (приближение слабой связи) для сверхпроводников и сверхтекучих квантовых жидкостей со спариванием в р -состоянии. Использование ферми-полей, являющихся исходными для описания Не3, является наиболее удовлетворительным для определения действия (2) теории. Однако они оказываются совершенно неэкономичными для описания низкоэнергетических и длинноволновых явлений в системе. Причина этого состоит в следующем. Ниже температуры перехода ТС в сверхтекучую фазу связанность исходных квазичастиц в куперовские пары проявляется в наличии энергетической щели в одночастичном спектре
3 Е(к) = (Х(к) +Д2)1/2,
где Х(к) = ср (к - кр). Для Не величина щели порядка тК. В результате функция Грина
> не имеет особенностей в энергетической плоскости ниже Е =Л. Поэтому описание большого набора физических явлений с Е << Л ("инфракрасных" явлений), таких, как нуль-звуковые волны, спиновые волны и др., в терминах ферми-полей оказывается довольно сложным. Необходимо просуммировать бесконечное число фейнмановских диаграмм даже для простейшего понимания этих явлений. С другой стороны, имеются гриновские функции, которые непосредственно описывают возбуждения такого типа в комплексной энергетической плоскости, такие, как
< 0 | Т(Х (х,т)Х(х,т); х (у, т)Х( у, т) | 0 >;
< 0 | Т(Х (х, т)(1 х!2)Х( х, Т; Х (у,Т))(<Зх/2)Х( у,т) | 0 >.
Сингулярности, которые появляются в таких сложных функциях, но которых нет в функции < 01 Т(Х(х,т)Х(у,Т])) | 0 >, называются коллективными возбуждениями. Наиболее экономичным способом их описания является переход от исходных ферми-полей к бозе-полям, описывающим куперовские пары квазичастиц. Такой переход можно осуществить, вставив, например, под знак интеграла по ферми-полям гауссов интеграл от ехр(с+ Ас) по бозе-полю с, где А -
некоторый оператор. После сдвига бозе-поля, уничтожающего форму 54 на квадратичную форму ферми-полей, интеграл по ферми-полям становится гауссовым и равен определителю оператора М(с+, с). Таким образом, мы приходим к функционалу
+ € М (с + , С )
х,,. = с Лс + ь, ля М (Оо ;с№ |),
в котором 1п det регуляризован делением М(с+, с) на оператор М(с0+, с0). 5/называется функционалом гидродинамического действия. Он определяет точку фазового перехода исходной ферми-системы как бosе-конденсацию полей с, а также плотность конденсата при Т < ТС.
При спаривании в р-состояние под знак интеграла по ферми-полям необходимо ввести гауссов интеграл по комплексным функциям с,а (х, т), с,а (х, т) с векторным индексом , и изотопическим а (,,а= 1,2,3), имеющий вид
I ¿4аЛС-а
где g — отрицательная константа.
Сдвиг
■ С,1(Р) ® С,1(Р) + 1 )1/2 X К - П2, )[а+ (Р2)а+ (Р1 ) - а- (Р2)а- (Р1 )] ,
2(Ь ) р1 + р2 = р
. С,2(Р) ® С,2(Р) + -£)Ш X (П1, - П2, )[а+ (Р2)а+ (Р1) + а- (Р2)а- (Р1)].
2(Ь) Р1+р2=р
. С,3( Р) ® С,3( Р) + ( „Дш X (П1, - П2,)а- (Р2)а+ (Р1)
\ИУ ) Р1+ р2 = Р
уничтожает форму 84. Квадратичная форма по медленным ферми-полям имеет вид
g 1 X С,+ (Р)С,а (Р)
р,,,,а
■ К = 2 ХУ (Рі)МаЬ (Рі, Р 2)Уь (Р2>.
2 Рі,Р2,а,Ь
где уі(р) = а+(р), у2(р) = - а_(р) , у(р) = а±(р), у4(р) = а ++(р), матрица четвертого порядка М
(Р1Р2) с элементами Маь(рір2), даваемыми формулами
міі = г-1 [т + X- т(на)\зМг, М22 = г-1 [-і® + х + т(на)Кр2 ,
Мі2 = (Ь )-1/2(иіг - И2г )сіа (Рі + Р2К , М2і = -(Ь )-1/2(»іі - «2, )с+ (Рі + Р2)^а ■ С7) Проинтегрировав по медленным ферми-полям, приходим к функционалу гидродинамического действия в виде
^ = я -1 х>+ (Р)с,а (р)+21п л* (8)
Р,і,а у іа ’ іа /
где & конденсатные значения Бозе-полей сіа и М(сіа, с+) - 4 х 4 матрица, зависящая от Бозе-полей и параметров квазифермионов с элементами (7).
Функционал гидродинамического действия содержит всю информацию о физических свойствах модельной системы и определяет, в частности, ее спектр коллективных возбуждений.
й-спаривание
В случае синглетного спаривания £4 имеет вид
~4 = -(Ь )-і X і(Р^ Р2 , Р3’ Р4 )а+(^1 )а-+ ІР 2 )а-(Р4 К(Рз ) ■ (9)
+ '
Рі + Р2 = Р3 + Р4
Первый вариант модели 4-спаривания для сверхпроводников, полученный методом функционального интегрирования, был предложен П.Н.Брусовым и Н.П. Брусовой в 1994 г. [6,7], когда идея 4-спаривания в ВТСП только начинала всерьез обсуждаться. Ниже мы представим усовершенствованную самосогласованную модель сверхпроводников с 4-спариванием, а далее исследуем с ее помощью спектра коллективных мод в ВТСП и СТФ.
В случае Л- спаривания мы имеем
{( Р2, Рз, Р 4 ) = 1 (к ^)= X gmY2m (10)
эт
т=-2
Здесь к1=к+ц/2,к2=-к+ц/2,кз=к’+ц/2,к4=к’+ц/2^2т(к) - сферические гармоники с I = 2.
Мы рассматриваем случай сферической симметрии, который требует использования одной константы связи g■Учет симметрии решетки требует введения дополнителных констант связи (до пяти в общем случае:пять-число сферических гармоник с I = 2).Это число, однако, уменьшается до двух в случае кубической симметрии и до трех в случае гексагональной симметрии^/т1(т=0,+1,+2).
Для перехода к Бозе-полям, описывающим квазифермионы у поверхности Ферми, необходимо после интегрирования по быстрам ферми-полям под знак интеграла по ферми-полям ввести гауссов интеграл по комплексным функциям с,а (х, т), с,а (х, т) с векторным индексом , и изотопическим а (,,а= 1,2,3), имеющий вид
4с+а4сі.
-1 X с+ (Р)сіа (р)
(11)
В случае синглетного 4-спаривания сіа(х,ґ) являются бесследовыми симметричными матрицами 3х3,обладающими 2х(6-1) = 10 степенями свободы в отличие от триплетного ^-спаривания в сверхтекучем Не3, где число степеней свободы равно 18. Поскольку число КМ равно числу степеней свободы, то в сверхпроводнике при 4-спаривании, вообще говоря, должно наблюдаться 10 КМ, в отличие от сверхтекучего Не3, где их число равно 18.
После сдвига в сіа[х,ґ] на квадратичную форму по медленным ферми-полям , уничтожающую члены четвертого порядка по ферми-полям , и интегрирования по медленным ферми-полям (теперь интеграл по медленным ферми-полям является гауссовым и его можно вычислить аналитически) получается функционал гидродинамического действия, зависящий от бозе-полей и параметров квазифермионов:
^ = 8-1 Хс+ (рка (р) + 1іп Міжсо+І, (12)
Р,г,а ^ Ш\'іа>Сіа )
где 40) - конденсатные значения Бозе-полей са и М(са, с+) - 4 х 4 матрица, зависящая от Бозе-полей и параметров квазифермионов. Этот функционал определяет все свойства рассматриваемой системы и, в частности, спектр коллективных возбуждений.
Как упоминалось выше, в случае синглетного 4-спаривания число степеней свободы параметра порядка равно 10, т.е. мы должны иметь пять комплексных канонических переменных. Из недиагональных элементов матрицы М легко видеть, что в качестве канонических переменных естественно выбрать следующие комбинации исходных переменных:
с1 = с11 + с22; с2 = с11 -с22; с3 = с12 + с21; с4 = с13 + с31; с5 = с23 + с32 .
В канонических переменных эффективный функционал действия имеет следующий вид:
^ = (2 g)-1 X с+ (р)с, (р)(1 + 2^1) + 11п Ле* 01), (13)
где
М11 = г-1 [т + # - /л(но)\бр р2, М22 = г- [- т + X + Мно)К р2;
Pi P2
/ 15 \1/2
M12 = M2i = (УУ)-1/2[ 32-1 [ (i_ 3cos2 q + С2 sin2 qcos2 j + c3 sin2 Osinlj +
+ C4sin20cos j + C5sin20sin j]. (14)
Коллективные свойства сверхпроводников с нетривиальным спариванием
р- спаривание
Первые результаты для случая р-спаривания были получены Брусовым и Поповым2 для A-, B-, A1- ,2D- и полярных фаз, связанных со сверхтекучим 3He, где первые три фазы были открыты экспериментально. Нами рассмотрены дополнительные сверхпроводящие фазы, которые могут реализовываться в ВТСП или СТФ. Ниже мы приведем полученные результаты. Напомним, что спектр коллективных мод в каждой сверхпроводящей фазе состоит из 18 мод, включающих в себя высокочастотные и Г олдстоуновские моды.
A-фаза
E = А0 (Г)(1.96 - i 0.31) (3 моды); E = А0 (Г)(1.17 - i 0.13) ;E2=cF2k2/3(3); E2=cF2k||2(6).
B- фаза
Е2=12А2/5(5); Е2=8А2/5(5); Е2=4А2(4); E2=cF2k2/3(1); E2=cF2k2/5(1); E2=2cF2k2/5(2).
2D- фаза
E=0(6); E = А0 (Г)(1.96 - i 0.31) (2) ; E = А0 (T)(1.17 - i 0.13) (4) ;
E=2mH(2); E02 = А20 (Г)(1.96 - i 0.31)2 + 4jU2H2; E2 = А20 (Г)(0.518)2 + 4/л2И2(1);
E2 = А20 (Г)(0.495)2 + 4/л2И 2 (1).
Aj- фаза
E = А0 (Г)(1.96 - i 0.31) (1); E = А0 (Г)(1.17 - i 0.13) (2); E=2|mH (8); E=0 (1).
Здесь H - магнитное поле.
Шесть других мод имеют мнимый спектр (это связано с нестабильностью А1-фазы относительно малых возмущений).
(0001
В полярной фазе
тивных мод:
000
001
мы получили следующий набор уравнений для спектра коллек-
4 А2
г 2 4А2 1 1 + lT + У
f dX(1 - x 2)[(1--) ln * 4 - 2] = 0 (6 мод);
■ ' f+f 1 ■ Ft
І"dx(\ - х2)[ . 1 =
1 ^
1п
1 - 1 +
4 А2
- 2] = 0 (6 моды);
I dxx2 (1 -
4А2
1 + , 1 +
4 А2
1п
1+
4 А2
1 -. 1 +
4 А2
= 0 (3 моды);
1 + , 1 +
4 А2
| dxx2
1п
= 0 (3 моды).
V ч \ 4
Полагая к=0 и решая численно эти уравнения, мы нашли корень Е = А0(Т)(1.20 - / 1.75)
для второго уравнения и Е=0 для третьего. Мы не нашли корней для первого и четвертого уравнений.
Таким образом, в полярной фазе найдено шесть сильно затухающих мод с частотой Е = А0 (Т)(1.96 -1 0.31) и три Голдстоуновские моды. Наличие сильно затухающих мод
связано с тем, что в полярной фазе щель исчезает вдоль экватора, в отличие от случаев аксиальной и планарной фаз, где она обращается в нуль лишь в полюсах и коллективные моды затухают умеренно и могут наблюдаться как резонансы в экспериментах по поглощению ультразвука.
Г100 1 (0101 (0 -101
Для следующих трех фаз
1
л/2
0 -10 000
1
л/2
100
V0000
апЛ
1
л/2
100
000
спектр оказывается
идентичным, и для его определения мы получаем следующий набор уравнений:
I ск(1 - х 2)[1-
6А2
1 + . 1 +
4 А2
Лп
1+
4 А2
1 - 1 +
4А2
= 0 (2 моды);
| dx(1 - х 2)[1 + ^]-
4 А2
1 + „ 1 +
4 А2
Лп
1+
4 А2
1 -„ 1 +
4 А2
= 0 (2 моды);
| dx(1 - х 2)[1 + ^]-
6А
1 + . 1 +
4А2
1п
1+
4 А2
1 -. 1 +
4 А2
= 0 (3 моды);
1 + „ 1 +
4А2
| dx(1 - х 2)[1 + ^]-
8А2
1п
1+
4А2
1 -„ 1 +
4 А2
= 0 (1 мода);
2
Ч
2
Ч
Ч
2
1
Ч
)
2
Ч
2
2
Ч
Ч
2
1
Ч
2
1
Ч
2
Ч
2
2
Ч
Ч
2
1
Ч
2
2
Ч
Ч
2
1
Ч
2
2
Ч
Ч
2
1
Ч
2
2
Ч
Ч
12 14х(2 - х2)(1 + 4^)[ , 1 =1п
Л 4А2 4 А2
1 + — 1 -,1 + “Г
ч У ч
-1] = 0 (1 мода);
14x2 х 2(1 + 6АГ)[- 1
1 + . 1 +
1п
4А
ч2
2
-1] = 0 (2 моды);
1 + , 1 +
[- X2)[1 - 2Аг-] , 1 — 1п
2
14х(1 - х 2)[1------г]
4 А2
ч2
Ч , 4А2 I 4 А2
1 + — 1 “л1 + “Г
ч \ ч
= 0 (2 моды);
14х(1 - х2) 1
1 + , 1 +
1п
4А‘
ч2
2
1 4А2 4А
1 + -Г 1 “Л1 + — ч \ ч
= 0 (3 моды);
14х(1 - х 2)[1-
4А2] 1
^ Г
1 + , 1+
4 А2
1п
4А2
1 -„ 1 +
4 А2
= 0 (1 мода);
1 2 А2
Г 4хх 2[(1------------)-
0 ч2
1 + „ 1 +
4 А2
1п
1+
4 А2
1 - 1 +
4 А2
- 1] = 0 (2 моды);
Г4хх2[ 1 =
1 + „ 1 +
4 А2
1п
1 -„ 1 +
4 А2
-1] = 0 (1 мода).
Здесь ч1=а?+ср(кп).
Численное решение этих уравнений дает следующий спектр высокочастотных мод (при к=0):
Е = А0(Т)(1.83 -1 0.06)(1); Е = А0(Т)(1.58 -1 0.04) (2); Е = А0(Т)(1.33 -1 0.10)(1);
Е = А0(Т)(1.33 -1 0.08)(2); Е = А0(т)(1.28 -1 0.04) (2); Е = А0(т)(1.09 -1 0.22) (3);
Е = А0(Т)(0.71 -1 0.05) (3); Е = А0(т)(0.33 -1 0.34)(1); Е = А0(т)(0.23 -1 0.71) (2).
Две последние моды имеют мнимые части того же порядка, что и действительные. Это означает, что они сильно затухают и не могут рассматриваться как резонансы.
(1101 и0
Для
V0000
фазы мы получаем следующий набор уравнений для спектра коллективных воз-
буждений:
2
ч
2
2
ч
ч
2
1
ч
2
2
ч
ч
2
ч
2
ч
ч
1 , 2П 2А2 1
I dxx (1 + —)[^==
0 Ч ІНІ
4 А2
1п
1 - 1 +
4А2
- 1] = 0 (6 мод);
1 2 А2 1
I dx(1 - х 2)(1 + —)----------------------_
0 Ч ^
1 + . 1 +
4А2
1п
1 -. 1 +
4 А2
= 0 (4 моды);
1 А 2 1
Idx(1 - х2)(1 + -^) -----,
0 Ч .£+<?
1 + „ 1 +
4 А2
1п
1 -„ 1 +
4 А2
= 0 (4 моды);
1 3 д2 1
I dx(1 - х 2)(1 + — )-=
1 + , 1 +
4 А2
1п
і 4А2 4А2
1 + ~ 1 -лР +
= 0 (4 моды).
\ ч \ ч
Численное решение этих уравнений дает следующий спектр высокочастотных мод (при к=0):
Е = А0(Т)(0.66 -1 0.02); Е = А0(т)(0.64 -1 0.02); Е = А0(т)(0.46 -1 0.04);
Е = А0(Т)(0.36 -1 0.04).
(001 1
Для
000
V100 0
фазы мы нашли следующие высокочастотные моды:
Е = А0 (Г)(1.80 - і 0.09); Е = А0 (г)(0.55 - і 0.80);
Последняя мода имеет мнимую часть того же порядка, что и действительная. Это означает, что она сильно затухает и не может рассматриваться как резонанс.
й-спаривание
Коллективные возбуждения в ВТСП при d-спаривании
Мы рассмотрим следующие сверхпроводящие состояния, возникающие в симметрийной классификации ВТСП:
dx2-у2 , ^ , dxz , dyz , dзz_-г2 :
1)
2)
3)
4)
Г-1001 0 -10 002
Г100 1 0 -10 000 Г 0101
с щелью, пропорциональной
I 3со829 - 1 |
с щелью, пропорциональной 8іп
іп2 9| оо82ф |
100 000 Г001 1 000
V100 0
с щелью, пропорциональной 8іп
іп2 9 | 8Іп2ф |
с щелью, пропорциональной
| 8Іп2 9с08ф |
2
Ч
2
Ч
Ч
2
Ч
2
Ч
Ч
2
Ч
2
Ч
Ч
2
Ч
5)
(0001
001
010
с щелью, пропорциональной
| 8ш2 0 8Шф | .
Вычислим спектр коллективных мод для пяти данных состояний. В первом приближении спектр коллективных возбуждений определяется квадратичной частью эффективного действия Seff ,получаемого посредством сдвига с/р)®с/р) + с°(р) в 8е//. Здесь с'°(р) = (рУ)1/2с8рос/ кон-денсатные значения канонических бозе-полей, и с/ для рассматриваемых здесь случаев равны:
1) с!°=-2; 2) с20=2; 3) с40=2; 4) с50=2; 5) с30=2.
Все оставшиеся компоненты с/р) равны нулю.
Спектр находится из уравнения Ле1 Q = 0, где Q матрица квадратичной формы.
Для каждой сверхпроводящей фазы найдено пять высокочастотных мод и пять голдсто-уновских (ОЛ ) (квазиголдстоуновских ^ОЛ)) мод, чьи энергии равны нулю или малы (£ 0.1 А0).
Для высокочастотных мод были получены следующие результаты.
3г2 -г2
Е1 = А 0 (2.0 -1 1.65);
Е2 3 = А0 (1.85 -1 0.69); Е4,5 = А0 (1.64 -10.50).
ах2 -/ ; Лху :
Е1 = А0 (1.88 -1 0.79) Е2 = А0 (1.66 -1 0.50) Е3 = А0 (1.14 -1 0.68) Е4 = А0 (1.13 -1 0.71); Е5 = А0 (1.10 -1 0.65).
Е1 = А 0 (1.76 -1 1.1); Е2 = А0 (1.70 -1 0.48); Е3 = А0 (1.14 -1 0.68) ; Е4 = А0 (1.13 -1 0.73); Е5 = А0 (1.04 -1 0.83).
Мы вычислили спектр коллективных мод для пяти сверхпроводящих фаз ВТСП, а именно для 4х2_у2,4зг2_г2,4ху,4хг,4уг,используя модель 4 -спаривания, созданную нами с помощью метода функционального интегрирования, и рассматривая случай сферической симметрии, который требует использования одной константы связи g. Учет симметрии решетки требует введения дополнительных констант связи (до пяти в общем случае).
Для каждой из пяти фаз мы нашли пять высокочастотных мод в каждой фазе с частотами, лежащими в интервале До - 2До, а также пять голдстоуновских (квазиголдстоуновских) мод (с частотами меньшими 0,1 А0).
Отметим, что частоты (энергии) всех коллективных мод оказываются комплексными. Это является следствием 4- спаривания или, другими словами, следствием исчезновения щели в выбранных направлениях. В этом случае бозе-возбуждения распадаются на фермионы, что приводит к затуханию коллективных мод. Значение мнимой части частоты (энергии) ¡тЕ^ составляет от 25% до 80%. Некоторые из этих мод затухают умеренно и могут рассматриваться как резонансы, в то время как другие затухают более сильно, что делает их наблюдение более трудным. Учет кулоновского взаимодействия превращает нуль-звуковую моду в плазменную моду.
Отметим в заключение, что полученные спектры коллективных мод в ВТСП могут быть использованы для интерпретации ультразвуковых экспериментов и экспериментов по поглощению микроволн в ВТСП, а также для идентификации типа спаривания и параметра порядка в ВТСП.
Коллективные возбуждения в сверхпроводниках с тяжелыми фермионами при
4-спаривании
В сверхпроводниках с тяжелыми фермионами (СТФ), так же, как и в ВТСП, параметр порядка, как и тип спаривания, к настоящему времени установлены не для всех соединений. Традиционное БКШ спаривание находится в противоречии с неэкспоненциальной температурной зависимостью большинства термодинамических величин, таких, как теплоемкость и др. Сложная фазовая диаграмма СТФ также свидетельствует о нетривиальном спаривании в этих системах. Известны примеры СТФ как с р-спариванием, так и с 4-спариванием. Случай р-спаривания нами рассмотрен выше. Здесь с помощью метода функционального интегрирования мы рассмотрим 4-спаривание в СТФ аналогично тому, как это было сделано нами для всех сверхпроводящих состояний, возникающих в симметрийной классификации ВТСП. Мы вычислим полный спектр коллективных возбуждений для всех сверхпроводящих состояний, возникающих в симметрийной классификации СТФ. Мы рассмотрим три сверхпроводящих состояния, включая так называемые Лу и У2-ь Коллективные возбуждения в двух последних фазах изучались ранее Хирошимой и Намайзавой [10] с помощью метода кинетического уравнения. Ниже мы сравним наши результаты для двух из трех фаз с результатами Хирошимы и Намай-завы [10].
В каждой сверхпроводящей фазе СТФ существует десять коллективных мод. Нами найдено, что пять из них являются высокочастотными, т.е. имеют частоты порядка щели в ферми-спектре. В то же время пять оставшихся мод являются голдстоуновскими (или квази-голдстоуновскими ) с частотами (энергиями), исчезающими при нулевых импульсах.
Итак, рассмотрим снова трехмерную модель 4-спаривания в сверхпроводниках, описанную выше. Напомним, что модель описывается функционалом гидродинамического действия, получаемого последовательным функциональным интегрированием по быстрым, а затем медленным ферми-полям. Функционал гидродинамического действия определяет все свойства рассматриваемой системы, в данном случае СТФ и, в частности, спектр коллективных возбуждений.
Вычисление спектра коллективных мод. Мы рассмотрим следующие сверхпроводящие состояния, возникающие в симметрийной классификации СТФ:
1) dg -фазу
2) Y2-1 -фазу
œ в4ш/3оо^
0e2pi/30
001
œ 001 1 00 - i 1 - i0
с щелью D(T)= Â(T)(e4x/3k2+ e4p/3 ky2+ k2);
c щелью A(T)= A(T) sin2 0 e
3) фазу
œ 1i0 1 i -10
с щелью ~sin 0.
Вычислим спектр коллективных мод для трех данных состояний. В первом приближении спектр коллективных возбуждений определяется квадратичной частью эффективного действия Seff ,получаемого посредством сдвига Cj(p)®Cj(p) + Cj(p) в S# Здесь cf(p) = (pV)1/2cSvocf - кон-денсатные значения канонических бозе-полей, и cf(p) для рассматриваемых здесь случаев равны:
1) c10= -1; c20=-i 43 ; 2) c40=2; cs0=2i; 3) c20=2; c30= 2i.
Все оставшиеся компоненты cj(p) равны нулю.
Для получения квадратичной части эффективного действия Sf представим второй член в эффективном действии Sf в следующем виде: V ln det (1+Gu).
Здесь G_1= М (с0+, с0) и u = (bV)-1/2f0;[cY ]
è [cY *];0
В дополнение разложим 1/21п 4е/(1 + Ои) по степеням новых бозе-полей сл- и удержим члены до второго порядка по с Член второго порядка (член первого порядка исчезает в результате минимизации) дается следующим выражением:
-1 Е /г(О и О и ).
4 у р\ рг рг р3 р13 р24 р42 р31'
Pl, р2. р3. р4
После вычислений получим квадратичную форму, определяющую спектр коллективных возбуждений.
Уравнение для щели. Рассмотрим первый член в Sef.
(2 g)-1 Е с+ (р)сл (р)(1+23 л).
р.л
Константа g, описывающая взаимодействие квазифермионов, должна быть исключена с помощью уравнения для щели. Для его получения необходимо вычислить Seff в области Гинзбурга-Ландау Т~Тс , где волновая функция куперовских пар (параметр порядка) мала (по модулю):
Jeff V j V /| v Ji, 2
p,j z
Разлагая второй член по степеням Gu, имеем
¥ 1
-Е Т/Р^и)'2’ •
’=1 ™
Выполняя суммирование, подставляя
( 0;[cY *f| ¡
* и G=Z8pip2(ia-X) S,
ÁcY ];0 J
Up,p2 = a(bV) -m
получаем
Ве, = ^ Ус 2 + 11п(1 + ^ 2 ^ +°7 ] ).
^ 2я 2 У V + X
Здесь а=(15/35л)12, ст3 - матрица Паули. Мы подставили сл0(р) = (рУ)У2с8р0с]0. Константа с
определяется из уравнения 8Sí,Jf / 8с=0 , которое дает уравнение для щели вида
А 1 ^ а222\с°¥ *][с+0У ]
1 > „ „ L_ ^ j L~ ^ j = о
S + bV > v2 + X2 + a2Z2[c0Y*][c+0Y] = '
Здесь A = 6 для первой фазы и A = 8 для второй и третьей фаз. Мы получаем следующие уравнения для различных сверхпроводящих фаз:
1Ч 1 a2Z2^ (1 -3cos2 в)2 + 3sin4 qcos22j
i) — +------> ---------—2-----------------------------= 0;
S 6/3V v v2 + x2 + -Ац1 -3cos2 в)2 + 3sin4 ecos22j
2) 1 a2Z2 > sin2 2в =
S + 2bV > v2 + X2 +A20sin2 2в “ ’
_ 1 a2Zsin4 2в
3) — +-----> —222-------------4— = 0.
S 2bV y v2 + X2 + A20 sin4 2в
Здесь A0=2cza. Исключая член с g-1 с помощью уравнения для щели, получим следующее
выражение для квадратичной части Seff:
a2Z2 ^ [c0Y*][c+0Y]
p л2 + X2 +a2Z2[c0^ JL~ j
2
S- =-bbVX +x' +a'Z'[c0Y-][c+0y]X(l + 1S^(РС(Р) +
+ ^ЬЇ7 X м\, + Х)(г'®2 +Х:)([^+ (р)¥(Р2)][С(Р)У*(Рі>] + [с+ (р)¥(р,)]х
4РУ ^ рм,м2
х [с(р)¥* (Р2)]) - А2[с + (р)¥(-р,)][с + (-р)¥(-Р2)] -А+2 [с (р)¥* (-р, )][с(-р)¥* (-р2)]}.
Это общая квадратичная форма для всех трех сверхпроводящих состояний СТФ: только параметр А и структура щели (посредством [с°¥*] [с+0¥] и М) различны для различных сверх-
проводящих состояний. Отметим, что для всех трех сверхпроводящих состояний А = Д+ ( или с°
= с0+).
Коэффициенты квадратичной формы пропорциональны суммам произведений гриновских функций квазифермионов. При низких температурах (ТС-Т~ТС) можно перейти от суммирования к интегрированию с помощью правила
1 1 к 2
ь I ® -р ^ I ^.
Для вычисления этих интегралов будем использовать тождество Фейнмана:
[(®2 +Х2 + А2)(®2 + Х22 + А2)] 1 = |йа\а®о12 + X:2 + А2)+(-а)® + Х2 + А2)]~2 .
С его помощью легко вычисляются интегралы по переменным ш и X и затем по параметру а и угловым переменным .
После вычисления всех интегралов, кроме интегралов по угловым переменным, приравнивая детерминант квадратичной формы к нулю, получаем следующий набор уравнений, определяющих полный спектр коллективных мод в СТФ при й -спаривании (индекс I нумерует ветви коллективных мод, относящиеся к одной фазе): к=1;
1=1;
Г й 1® + 4/ 1^® + 4/1 + ® , ( 2 / )1 г} п
I йх I йрр------------1п 1-£: + (§1 - 2 /^1п /1} = п ;
п п ® V® +4 /1 - ®
г 2р ® л/®2 + 4 / + ®
| ^ | йр{ , 2 1» ^ 2 ----§1 +(- 2 /1)1п £} = п ; (15)
пп
/®2 + 4/1 д/®2 + 4/1 - ®
I = 2,3,4 ,5
Г й р ^о2 + 4/1 1л/® + 4/ + ® , ( 2 )1Г} п
I ^ I р{--------------1п , 2 -----§г + (gi--Л)1п,/1} = п;
0 0 ® V® + 4/1 - ® 3
1 2р
йр{ , ® . 1п^® 0 чо
т2 + 4 / - ® ' ' 3
гг ® л1® + 4 / + о 2
IЛI р{ 2 1п 2 ^-§| +(§|- - / 1)1п /1} = п ;
® + 4 /1 V® + 4 /1 - ®
к=2,3;
1=1;
Г й 2р й ^ ®2 + 4/к 1* ®2 + 4/к + ® , ( 3 / )1 / } П
I йх I р{-------------------1п к-§1 + (§1 - - /|)1п /к } = п ;
0 0 ® л/® + 4/к - ® 2
Г { ® 1ч ®2 +4/к + ® + ( 3 / )1 / } п
Iйх I р{ / 2 -1п 1 2 ^—§1 +(§11- 2 /1) 1п Л} =п;
0 0 V® + 4 /к л/®+ 4 /к - ®
I = 2,3,4 ,5;
1 й2рй (V ®2 + 4/к 1Л‘ ® + 4/к + ® , ( 1 )1 / } П
I йх I р{--------1п , — §, +(§,--§к)1п/к} =п;
0 0 ® V®2 + 4/к -® 2
1 й ( ® ®2 + 4 + ® + ( 1 )1 / } п
I йх I йР{ I 2 ^ ^ 2 ------§1 + (§1 - 2 §к)1п /к } = 0.
' -2 + 4/к V® + 4/к -® 2
® Jk V®
Здесь
(1 - 3х2)2; §2 = (1 - х2)2 0082 2^ ; §3 = § = 4(1 - х2)х2 оо82 ср; §4 = 4(1 - х2)х2 81п2 ср ;
§1 =
§5 =
cos & = х; ® = ®/Л0.
§5 =(1 - х2 )2 8ш2 р ; /1 =(1/4)[(1 - 3х2 )2 + 3(1 - х2 )2 0082 2р_; /2 = 4(1 - х2 )х2; /, = (1 - х2)
00
Результаты : спектры коллективных мод в СТФ. Решая приведенные выше уравнения, численно получаем следующие результаты для спектра коллективных мод трех рассматриваемых фаз. В каждой фазе найдено десять коллективных мод. Пять из них (получаемых из вторых уравнений) являются высокочастотными, т.е. имеют частоты порядка щели в ферми-спектре. В то же время пять оставшихся мод (получаемых из первых уравнений) являются голдстоунов-скими (или квазиголдстоуновскими ) с частотами(энергиями), исчезающими при нулевых импульсах.
Ниже приведены результаты для высокочастотных мод (Е,- - энергия (частота) /-той ветви).
1. ^—состояние
Е2 = Д0 (Г)(1.66 - і 0.50); Е1 = Д0 (Г)(1.45 - і 0.48); Е2 = Д0 (Г)(1.24 - і 0.64);
Е4 = Д0 (Т)(1.21 - і 0.60); Е5 = Д0 (Т)(1.19 - і 0.60).
Отметим, что три последние моды квазивырождены.
2. Спектры второго (У2-\) и третьего состояний оказываются идентичными.
Е12 = Д0 (Т)(1.93 - і 0.41); Е3 = Д0 (г)(1.62 - і 0.75); Е4 5 = Д0 (т)(1.59 - і 0.83).
В обеих фазах найдены три высокочастотные моды, две из которых дважды вырождены.
Мы вычислили спектр коллективных мод для трех сверхпроводящих фаз СТФ, а именно для dY,Y2-l и фазы с щелью, пропорциональной 8Іп29, используя модель d -спаривания, созданную нами с помощью метода функционального интегрирования, и рассматривая случай сферической симметрии, который требует использования одной константы связи g. Учет симметрии решетки требует введения дополнителных констант связи (до пяти в общем случае: пять-число сферических гармоник с I = 2).Это число, однако, уменьшается до двух в случае кубической симметрии и до трех в случае гексагональной симметрии^ІтІ(т=0,+ 1,+2).
Для каждой из трех фаз мы нашли пять высокочастотных мод в каждой фазе (из второго уравнения в (15)) с частотами,лежащими в интервале 1,19До - 1,93Д> Первые уравнения дают пять голдстоуновских (квазиголдстоуновских) мод (с частотами меньшими 0,1 Д0).
Отметим, что частоты (энергии) всех коллективных мод оказываются комплексными, и их мнимые части ІтЕі описывают затухание коллективных мод благодаря распаду куперовских пар на исходные фермионы. Значение мнимой части частоты (энергии) составляет от 20% до 50% от действительной части ЯєЕі . Это означает, что коллективные моды в случае d-спаривания затухают более сильно, чем в большинстве случаев р-спаривания, где мнимые части частоты (энергии) составляют от 8% до 15% от действительной части ЯєЕіЗто является следствием различия в топологии нулей щели в ферми-спектре, которые являются точками при р-спаривании (в большинстве фаз) и комбинацией точек и линий в случае d-спаривания. Отметим,что подобная ситуация случается иногда и в случае р-спаривания (например, в полярной фазе сверхтекучего Не3 затухание коллективных мод сильнее, чем в других фазах (А-,2Б и др.) именно благодаря наличию линий нулей).
Затухание коллективных мод не было вычислено в работе Хирошимы и Намайзавы [10]. Это является недостатком метода кинетического уравнения по сравнению с методом функционального интегрирования. Метод кинетического уравнения вычисляет только действительные части частот (энергии) коллективных мод ЯєЕі. Учет затухания коллективных мод приводит к сдвигу действительных частей частот (энергий) коллективных мод ЯєЕі, посколькув силу дисперсионных соотношений наличие мнимой части частоты (энергии) коллективных мод приводит к перенормировке действительной части ЯєЕі.
Таким образом, мы можем сравнить только действительные части ЯєЕі частот (энергий) коллективных мод. Мы получили пять высокочастотных мод в каждой фазе. В dg-фазе часто-ты(энергии) лежат в интервале 1,19Д0 - 1,66Д0.
В работе [10] найдено пять мод с частотами (энергиями), лежащими в интервале
0,9Д0 -1,87Д0, и две низколежащие моды с частотами (энергиями)Е =0,32Д0. В У2-1-фазе наши частоты (энергии) лежат в интервале 1,59Д0 - 1,93Д0, а частоты (энергии) высокочастотных мод [8] лежат в интервале 1,22Д0 - 1,57Д0. В обеих работах найдены голдстоуновские и низколе-жащие моды .
Отметим, что спектр третьей моды вычислен нами впервые, и он оказался идентичным спектру У2-1-фазы. Некоторые из полученных нами мод затухают умеренно и могут рассматри-
ваться как резонансы, в то время как другие затухают более сильно, что делает их наблюдение более трудным. Учет кулоновского взаимодействия превращает нуль-звуковую моду в плазменную моду.
Отметим, что полученные спектры коллективных мод в СТФ могут быть использованы для интерпретации ультразвуковых экспериментов и экспериментов по поглощению микроволн в СТФ, а также для идентификации типа спаривания и параметра порядка в этих сверхпроводниках.
В настоящее время эксперименты по поглощению микроволн в СТФ (на частотах порядка 20 ГГц) проводятся в Северо-Западном университете (Эванстон, США). Их целью является определение типа спаривания и параметра порядка в СТФ.
Как отличить смесь двух ^состояний от чистого ^состояния в ВТСП
Недавние эксперименты [3] и теоретические исследования [4,5] показывают, что в ВТСП, по-видимому, реализуется смесь й-состояний. Мы впервые вычислили спектр коллективных возбуждений в смешанном йх2-у2 +1йху состоянии ВТСП с помощью модели, созданной Брусовым и Брусовой в рамках метода функционального интегрирования.
Мы показали, что несмотря на то, что спектры в обеих фазах dx2-y2 и dxy являются идентичными, спектр в смешанном dx2-y2 +idxy состоянии оказывается совершенно отличным от спектра чистых состояний. Поэтому исследование спектра коллективных мод в экспериментах по поглощению ультразвука и микроволн может разграничить смесь состояний от чистых состояний.
Большинство ученых верит, что в оксидах реализуется d-спаривание. В то же самое время различные идеи относительно расширенного 8-спаривания, смеси 8- и d- состояний, различных d- состояний до сих пор активно обсуждаются. Одной из причин такой ситуации является отсутствие ответа на вопрос, обращается ли щель точно в нуль в некоторых выделенных направлениях в импульсном пространстве (как в случае dx2-y2 состояния) или же щель анизотропна, но нигде не обращается точно в нуль (за исключением, может быть, некоторых точек на Ферми поверхности). Существующие эксперименты (туннельные и др.) не дают однозначного ответа на этот вопрос, в то время как ответ на этот вопрос является весьма принципиальным. С другой стороны, существуют эксперименты [3], которые могут быть объяснены [4] в предположении, что в ВТСП реализуется смесь состояний типа dx2-y2+idxy. Аннетт и др. [5] рассмотрели возможность реализации смеси различных d- состояний в ВТСП и пришли к выводу, что dx2-y2+idxy состояние является предпочтительным. Мы предлагаем один из возможных способов разграничить смесь состояний от чистых состояний.
Для этого мы вычислили спектр коллективных возбуждений в смешанном dx2-y2 +idxy состоянии ВТСП. Сравнение этого спектра со спектром чистых d- состояний ВТСП показывает, что они отличаются существенно и это отличие может быть использовано для определения симметрии параметра порядка в ВТСП.
Мы используем модель d-спаривания, описываемую уравнениями (12) и (13), и рассматриваем смешанное dx2-y2+idxy состояние ВТСП. Параметр порядка в этом состоянии имеет вид
(1 0 01 (0 101
0 -10 0 0 0
+i
1 0 0
è0 0 00
(16)
и щель Д(7)=До(7) sin20 , уравнение для которой имеет следующий вид:
g-i + b £--------------------------= 0, (17)
2PV p a2 +x2 + D0sin40
где Д0 = 2cZa, a = (15/32 ж )1/2.
В первом приближении спектр коллективных возбуждений определяется квадратичной частью эффективного действия Seff , получаемого посредством сдвига Cj(p)®Cj(p) + Cj0(p) в Seff. Здесь c° (p) = (b)1/2 c5p0bJ - конденсатные значения канонических бозе-полей и Cj0 для рассматриваемых здесь случаев равны b2 = 2, b2 = 2i. Все остальные b0 равны нулю.
Исключая член с g— с помощью уравнения для щели, получим следующее выражение для квадратичной части Sh:
s* = w X (+2^' *+ * c <p )+
+ Z 2/4fiV X TT^ ( + X ( + X )c +(p )Y(p2 )]x
pi+p 2= p Mi M2
x [c(p )Y * (pi)]+ [c + (p)y (pi )][c(p)y *(p 2)])- A2 [c + (p )Y(- pi)] x
x [c +(- p )y(- p2)]- a+2 [c(p )y *(- pi)][c(- p )y *(- p2)]]}. (18)
Здесь
[cY*]= ci (i - 3cos2 q) + c2 sin2 0cos2p + c3sin2 0sin2p + C4 sin 20 cos j + C5 sin 20 sin j. Коэффициенты квадратичной формы пропорциональны суммам произведений функций Грина квазифермионов. При низких температурах (Tc - T ~ Tc) мы можем перейти от суммирования к интегрированию согласно следующему правилу:
b х ® (i9)
Для вычисления этих интегралов будем использовать тождество Фейнмана:
[(W + X + A2 )(э-2 + X22 + A2)] 1 = j da\a(ai + X + A2 )+(i - a)® + X + A2 )]-2
С его помощью легко вычисляются интегралы по переменным w и X и затем по параметру a и угловым переменным .
После вычисления всех интегралов, кроме интегралов по угловым переменным, и приравнивания детерминанта квадратичной формы к нулю получаем следующий набор уравнений, определяющих полный спектр коллективных мод в смешанном dx2-y2 + idyy состоянии (индекс i нумерует ветви коллективных мод, относящиеся к одной фазе): i = 1;
f d ^d W +4f iv W +4f +® , ( ^)1 f} 0
Idx Idp{-----------------------------------1n , 2 — gi +(gi - - fi)1n f} = n; (20)
n J a J®2 + 4 f-a 2
j dx j j{ ® 1n^°2+4 f +— gi +(gi-2 f i) 1n f} =n;
n -л!o + 4 f -\io + 4 f — a 2
0 1n \J a2 + 4f -a
. a 1пл Ja2 + 4 f + a
л/®2 + 4 f Ja2 + 4f -a
Aa2+4 f 1n" Ja2 + 4 f + ®
a Ja2 + 4f -®
. a 1n- Ja2 + 4 f + ®
i = 2,3,4
fd (d Ww + 4f 1Vw + 4f + ® + ( i )1 f} n
I dxI dP{-------1n , 2 — gi +(gi--g)1n f} = n;
n J O Jw + 4 f -O 2
jdxjj{ ® 1n 02 + 4 + -g, +(gi-2g)1nf} = n;
n 4 0 + 4 f ya + 4 f -a 2
Здесь
gi = (i - 3x2)2; g2 = (i - x2)2 cos2 2p ; g3 = g = 4(i - x2)x2cos2 p ; g4 = 4(i - x2)x2 sin2 p ;
g5 =(i - x2 )2 sin2 p ; /i =(i/4)[(i - 3x2 )2 + 3(i - x2 )2cos22p]; f = (i - x2 )2. (2i)
Были использованы замены: cos0=x, w=w/An.
Решая эти уравнения численно, получаем следующие результаты для спектра коллективных мод в dx2-y2 + idxy состоянии. Найдено десять коллективных мод. Пять из них (получаемых
из вторых уравнений) являются высокочастотными, т.е. имеют частоты порядка щели в ферми-спектре.
В то же время пять оставшихся мод (получаемых из первых уравнений) являются голдсто-уновскими (или квазиголдстоуновскими) с частотами (энергиями), исчезающими при нулевых импульсах (порядка (0.03 Ao(T) - П.П8 Ao(T)).
Приведем результаты для высокочастотных мод (Ei - энергия (частота) of i -той ветви):
Eu = An(T)(i.93 - i 0.4i); E3 = An(T)(i.62 - i 0.75); E4,5 = An(T)(i.59 - i 0.83). (22)
Мы можем сравнить полученные результаты со спектром чистых йх2-у2 и йху состояний, полученных нами выше [8]:
Е1 = Д0 (Т)(1.88 -1 0.79); Е2 = Д0(г)(1.66 -1 0.50); Е3 = Д0(г)(1.40 -1 0.68);
Е4 = Д0(Т)(1.13 -1 0.71); Е5 = Д0(т)(1.10 -1 0.65). (23)
Спектры в обеих фазах dx2-y2 и dxy являются идентичными, спектр в смешанном dx2-y2 +idxy состоянии оказывается совершенно отличным от спектра чистых состояний. В чистых состояниях все моды невырождены, в то время как в смешанном состоянии две высокочастотные моды оказываются дважды вырожденными. Энергии (частоты) высокочастотных мод лежат между 1.1 Д0 (Т) и 1.88 Д0 (Т), в то время как в смешанном состоянии между 1.59 Д0 (Т) и 1.93 Д0 (Т) ,т.е. коллективные моды имеют в смешанном состоянии более высокие частоты.
Отметим еще, что затухание коллективных мод в чистых состояниях выше, чем в смешанном состоянии (1т Е, находится в пределах от 30% до 65% в чистом состоянии и от 20% до 50% в смешанном состоянии). Это можно легко понять, принимая во внимание то, что в чистых состояниях щель исчезает на линиях поверхности Ферми, в то время как в смешанном состоянии она исчезает лишь в двух точках (полюсах).
Сильное отличие спектра коллективных возбуждений в чистых й -состояниях от спектра в смешанном состоянии дает возможность проверить симметрию сверхпроводящего состояния в экспериментах по поглощению ультразвука и микроволн, в которых коллективные моды возбуждаются.
Отметим, что в то время, как эти эксперименты могут потребовать использования достаточно высоких частот (порядка десятков Г гц), принципиальные ограничения на частоты ультразвука (микроволн) отсутствуют, поскольку частоты коллективных мод пропорциональны амплитуде щели Д0(Т), исчезающей при Тс. В принципе можно использовать любые частоты, приближаясь к Тс.
Таким образом, мы получаем возможность ответить на два принцтпиальных вопроса:
1) исчезает ли щель вдоль некоторых выделенных линий;
2) имеем ли мы в ВТСП чистое й- состояние или смесь й- состояний.
Двумерная Р- и ¿-волновая сверхпроводимости
Двумерные модели р- и Л-спаривания в сверхпроводниках
Существует несколько причин для рассмотрения двумерных (2Б) моделей в сверхпроводниках, и, в частности, двумерных моделей й-спаривания в ВТСП. Прежде всего, плоскости Си02 являются общим структурным фактором практически всех открытых ВТСП, и общепринятым является то, что вся физика явления связана именно с этими плоскостями. Брусов и Попов еще 20 лет назад доказали существование сверхтекучести в пленках 3Не [2], которая и была затем открыта экспериментально Сачраджей и др. В двумерной сверхпроводимости существует своя специфика. Она связана с тем, что согласно теореме Боголюбова о (1/к2) конденсат существует только при Т=0. Однако возможна сверхпроводимость и при Т^0, связанная с определенным поведением корреляторов бозе-полей: если они убывают на больших расстояниях не экспоненциально, а степенным образом, это означает наличие сверхпроводимости в системе. В этом случае критическая температура Тс является точкой перехода от экспоненциального убывания корреляторов бозе-полей к степенному. Возможны также альтернативные подходы, связанные с введением затравочного конденсата, порождающего сверхтекучую плотность носителей порядка их полной плотности.
р- спаривания
Для описания двумерной модели р-спаривания рассмотрим трехмерную модель Брусова-Попова [2] со следующими модификациями для двумерного случая.
1. Орбитальный момент I (I =1) должен быть перпендикулярен плоскости и может иметь только две проекции на ось /:+ 1.Так как р-спаривание является триплетным, полный спин пары равен 1, поэтому в случае двумерного р-спаривания имеется 3х2х2 = 12 степеней свободы. Поэтому сверхпроводящее состояние в этом случае может быть описано произвольной комплексной матрицей 2х3 са(р), которая имеет то же количество степеней свободы (2х3х2=12). Это число равно числу коллективных мод в каждой фазе. Напомним, что в трехмерном случае это число равно 18.
2. x теперь 2D вектор и двумерный “объем” S = L2 (вместо V = L3 в 3D случае).
Спектр коллективных мод. Ниже мы приведем результаты, часть которых была получена Брусовым и Поповым, остальные нами, для спектра коллективных мод в различных сверхпроводящих состояниях двумерных сверхпроводников при р-спаривании:
(100^
«-фаза I
V'00
E2=cFk/2 (3 modes); E2=2D+ cFk2/2 (6); E2=4D+ (0.5-i0.433)cFk2/2 (3);
(100Л b- фаза I
V 010
E2=cFk2/2 (2); E2=3cFk2/4 (1); E2=cFk2/4 (1); E2=2A2(4); E2=4A2+ (0.15-i0.22)cFk2/2 (3);
E2=4A2+ (0.85-i0.22)cFk2/2 (1);E2=4A2+ (0.5-i0.43)cFk2/2 (2);
(001' E2
фаза v00i 0
( 0 ± 101
фаза v 100 (100 I E
)
фаза . 0 -1011
2
2
2
2
2
2
2
2
& спаривание
Как упоминалось выше, плоскости Си02 являются общим структурным фактором практически всех открытых ВТСП, и общепринятым является то, что вся физика явления связана именно с этими плоскостями. С учетом того, что в большинстве ВТСП, по-видимому, реализуется ^-спаривание, рассмотрение двумерной модели ^-спаривания является весьма актуальным. Существуют и дополнительные доводы для изучения таких моделей. Так в двумерной антиферромагнетике показано, что только ^-канал обеспечивает притяжение между фермионами. .О-спаривание возникает также в симметрийной классификации Сигриста и Райса [11].
Итак, мы рассмотрим двумерную модель ^-спаривания в плоскостях Си02, созданную П.Н.Брусовым, Н. П. Брусовой и П.П.Брусовым [8] с помощью метода функционального анализа. Модель, как и в трехмерном случае, описывается функционалом гидродинамического действия, получаемого последовательным функциональным интегрированием по быстрым, а затем медленным ферми-полям. Как и в трехмерном случае, функционал гидродинамического действия определяет все свойства рассматриваемой системы, в данном случае плоскостей Си02, и, в частности, спектр коллективных возбуждений.
Для описания двумерной модели ^-спаривания в плоскостях Си02 рассмотрим трехмерную модель, описанную нами выше. Основные отличия в двумерном случае будут заключаться в следующем.
1. Орбитальный момент I (1Л=2) должен быть перпендикулярен плоскости Си02 и может иметь только две проекции на ось /:+ 2. Так как ^-спаривание является синглетным, полный спин пары равен нулю, поэтому в случае двумерного ^-спаривания имеется 1х2х2 = 4 степени свободы. Поэтому сверхпроводящее состояние в этом случае может быть описано комплексной симметричной бесследовой матрицей 2х2 сіа(р),которая имеет то же количество степеней свободы (2х2х2-2-2=4).Это число равно числу коллективных мод в каждой фазе. Напомним, что в трехмерном случае это число равно 10.
2. Потенциал спаривания дается следующей формулой:
г = #)= (§у2т (#). (24)
т=-2,2
В случае круговой симметрии g2=g-2=g мы имеем одну константу связи g, в то время как менее симметричные случаи требуют наличия обеих констант g2 и g-2. Мы будем рассматривать случай круговой симметрии.
3. х будет двумерным вектором и площадь 8=Ь2 (вместо У=Ь3 в трехмерном случае).
Принимая во внимание эти различия, будем описывать Ферми-систему антикоммутирующими функциями %s(x, t), (x, t), определенными в “объеме” S = L2 и антипериодическими по
времени t с периодом ß = Г-1 .
После процедуры функционального интегрирования по медленным и быстрым Ферми -полям, которая аналогична подобной процедуре в трехмерном случае, получим эффективный функционал действия, который формально имеет ту же форму (13), как и в трехмерном случае.
В случае 2D d - спаривания число степеней свободы параметра порядка равно 4. Другими словами, мы имеем две комплексные канонические переменные. Из недиагональных элементов
матрицы M легко видеть, что в качестве канонических переменных можно выбрать следующие: c1 = c11 - c22 , c2 = c12 + c21.
Для сопряженных переменных имеем С+ = c+1 - C+2 , C2+ = c+2 + C2+1 .
В канонических переменных S eff имеет следующий вид:
Seff = (2g)-1 У c+ (p)cj (Р) + det ц!)), (25)
где M11 = z-1 [iw - x + Mpo)dpíp2; M22 = z-1 [- iw + x + m(Ho)dp1 p2;
Mi2 = M 2+1 = s0a(ßS )-1/2 (ci cos2j + c2 sin2j).
Функционал Seff определяет все свойства 2D сверхпроводников (плоскостей CuO2 и др.). Коллективные возбуждения в плоскостях CuO2 ВТСП
Í1 0
Два сверхпроводящих состояния с параметрами порядка, пропорциональными I
0 1 ö
1 oJ, возникают в симметрийной классификации плоскостей CuO2. В первой фазе щель пропорциональна Y22 + Y2-2 ~ sin2 0|cos 2 j ~ cos 2 j , в то время как во второй она пропорциональна - i (Y22 - Y2-2) ~ sin2 0|sin2 j ~ |sin2j .
В рассматриваемом двумерном случае мы полагаем 0 = л/2 и sin0 = 1.
Вычислим спектр коллективных мод для двух данных состояний. В первом приближении спектр коллективных возбуждений определяется квадратичной частью эффективного действия Sef ,получаемого посредством сдвига cj(p)®cj(p) + cj '(p) в Sejf. Здесь cf(p) - конденсатные значения канонических бозе-полей cj(p). Квадратичная часть эффективного действия Seff дается следующим выражением:
Sh = ß у 2 '<T*||c+Y] o z(1+2d 1)cj(pc(p)+
h 8ßV y w2 + X2 + [c 0Y *][c Y ]j J J jM'J
+ Z2/4ßV Z ТГ( + X1 )( + X2)([c+(p)Y(p2)]x
p1+p 2= p M1 M2
x [c(p)y* (p1)] + [c + (p)y(p1 )][c(p)Y* (p2 )])- A2 [c + (p)y(- p1 )] x
x [c+ (- p)Y(- p2 )]- A+2 [c(p)Y*(- p1 )][c(- p)y*(- p2)] ]}.
i i Í10 ö i i Í 0 1
Здесь A = Ao I cos2f | для I 1 I фазы и A = Ao I sin2f | для
Do =2acZ, a =(15/32p)1/2 иM = w2 + X2+D2.
Первый член в Sff содержит константу связи g, которая должна быть исключена с помощью уравнения для щели, имеющего следующий вид (для первой и второй фаз соответственно):
-1 + o!Z! у________cos2 2j_______= 0. g-1 + o!Z! у________sin2 2j_______= 0.
ßS p w2 + x2 + A0cos22j ßS p w2 +x2 + A2sin22j
Здесь A02=4a2c2Z2 .
При низких температурах можно перейти от суммирования к интегрированию с помощью правила
фазы, 1 0 0
1 kF
Idad%dj.
— I -
(2р еР
Здесь кР -ферми-импульс квазифермиона, еР - скорость на поверхности Ферми. После интегрирования по ш и X с использованием процедуры Фейнмана имеем следующие уравнения для спектра коллективных мод, получаемые из условия det Q = 0, где Q - матрица квадратичной части функционала Бе//.
dx л/1 - x" dx
Vi-
{
a + 4gk v® + 4gk + w a2 + 4gk - w w2 + 4gk + w
a
w
gi- (gk- gi)ln gk} = 0 ;
gi - (gk -gi)lngk} = 0.
(26)
ол/1 - х~ д/а + 4gк д/ю + 4gk - а
Здесь к обозначает фазу, а / нумерует моды, g1 каждого фиксированного к мы имеем четыре уравнения, которые дают нам четыре частоты коллективных мод.
x2, g2 = 1-x2, x = cos2fu w =w /До. Так для
Таким образом, спектры в обеих фазах оказываются идентичными. Мы нашли две высокочастотные моды в каждой фазе (из второго уравнения в (26)) со следующими частотами: Е1 = Д0 (1.42 -/0.65), Е2 = Д0 (1.74 -/0.41).
Отметим, что частоты (энергии) обеих мод оказываются комплексными. Это является следствием d- спаривания или , другими словами, следствием исчезновения щели в выбанных направлениях. В этом случае бозе-возбуждения распадаются на фермионы,что приводит к затуханию коллективных мод. Значение мнимой части частоты (энергии) составляет 23% для второй моды и 46% для первой. Поэтому обе моды могут рассматриваться как резонансы. При этом вторая мода лучше определена, чем первая.
Первое из уравнений дает две голдстоуновские (квазиголдстоуновские) моды (с частотами меньшими 0,1 До).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Brusov P.N. Mechanisms of high temperature super conductors, v.1,2; 1389 p.p., Rostov State University Publishing, 1999 (in English).
2. БрусовП.Н., ПоповВ.Н. Сверхтекучесть и коллективные свойства квантовых жидкостей. М.: Наука, 1988. 215 с.
3. KrishanaK. et al. Phase transition in Bi 2Sr2Ca2O8 induced by a magnetic field // Science. 1997. Vol. 277. P.83,.
4. Laughlin R.B., Magnetic induction of dx2-y2 -dxy order in high Tc -superconductors // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 80, P.5188.
5. Annett J.F., et al. Experimental constraints on the pairing state of the cuprate superconductors: an emering consensus // Physical Properties of High Temperature Superconductors V", D.M. Ginsberg (Ed.), World Scientific, 1996, P. 1-80.
6. Brusov P. N., Brusova N. P., The model or u-pairing for HTSC, Heavy fermion systems and superfluids // Physica B. 1994. Vol. 194-196. P.1479-1480.
7. Brusov P. N., Brusova N. P. The path integral model of d- pairing for HTSC, heavy fermion superconductors and superfluids // J. Low Temp. Phys . 1996. Vol. 103. P. 251-265.
8. Brusov P. N ., Brusova N. P. and Brusov P. P. The collective excitations of the order parameter in HTSC and heavy fermion superconductors (HFSC) under d-pairing // J. Low Temp. Phys. 1997. Vol. 108. P.143.
9. Brusov P. N . et al., The collective modes in HTSC and heavy fermion superconductors (HFSC) under d-pairing // Physica C. 1997. Vol. 282- 287. P. 1881-1882.
10. Hiroshima D.S., Namaizawa H. The collective modes in HTSC and heavy fermion superconductors (HFSC) under d-
pairing // J. Low Temp. Phys. 1988. Vol. 73. P. 137-160.
11. SigristM., Rice T. M. Symmerty classification of states in high temperature superconductors // Z.Phys. B. 1987, Vol. 68, P.9.
