CC BY
35
ISSN 2687-0770 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ОБЩЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 1
ISSN 2687-0770 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. SOCIAL SCIENCE. 2023. No. 1
Научная статья УДК 111.3
doi: 10.18522/2687-0770-2023-1-40-48
ОТ ПИФАГОРА К ЕВКЛИДУ: ПОНЯТИЕ «ТОЧКА» КАК ФЕНОМЕН СИНТЕЗА МАТЕМАТИКИ И ФИЛОСОФИИ
Анастасия Валерьевна Перекрестова
Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Россия pereckrestova@mail. ru
Аннотация. В постиндустриальном обществе в условиях превалирования научного познания и активной интеграции различных его отраслей все более значимым становится не просто анализ отдельных объектов, но выявление тех существенных параметров, которые связывают понятийное ядро изучаемых феноменов с разными сферами культуры. Такая эвристическая установка наилучшим образом реализуется в контексте философии, плотно взаимодействующей со всеми направлениями науки. Именно античный философский дискурс стал той плодотворной средой, которая породила целый спектр образов и идей, вошедших в категориальный аппарат разных научных специальностей. Одним из таких открытий античности можно считать понятие «точка», получившее в пифагореизме предметную разработку и импульс к дальнейшей рационализации. В статье предпринята попытка проследить процесс оформления и развития данного концепта в учении Пифагора и обретение им терминологического статуса в трудах Евклида. Показано, что точка как многозначный феномен выступает символом единения математики и философии, при этом акцент сделан на субстанциональных и онтологических характеристиках данного элемента. Задача настоящей статьи состоит в том, чтобы обозначить основополагающие свойства понятия «точка», выделить исходные аспекты его понимания античными мыслителями, позволившие данной категории стать универсальным элементом культуры. В этом смысле представляется целесообразным изучение специфики точки как многогранного понятия, предваряющего собой идеи онтологического порядка и демонстрирующего глубокую взаимосвязь прежде всего философии и математики, ибо такие исследования влияют на методологию мышления и задают новые векторы развития человеческой цивилизации.
Ключевые слова: точка, монада, единица, начало и конец, число и форма, предел, античность, пифагореизм, математическое знание, наука
Для цитирования: Перекрестова А.В. От Пифагора к Евклиду: понятие «точка» как феномен синтеза математики и философии // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Общественные науки. 2023. № 1. С. 40-48.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0). Original article
FROM PYTHAGORAS TO EUCLID: THE CONCEPT OF "POINT" AS A PHENOMENON OF SYNTHESIS OF MATHEMATICS
AND PHILOSOPHY
Anastasia V. Perekrestova
Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia pereckrestova@mail. ru
Abstract. Nowadays it is becoming more significant not so much to analyze separate objects, but to identify those essential parameters that connect the conceptual core of the studied phenomena with different spheres of culture. This is due to the fact that scientific knowledge and the active integration of its various branches are priority areas for the development of a post-industrial society. Such a heuristic setting is best implemented in the context of philosophy, which closely interacts with all areas of science. The ancient philosophical dis-
© Перекрестова А.В., 2023
ISSN 2687-0770 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. SOCIAL SCIENCE. 2023. No. 1
course became such a productive environment that created a whole range of images and ideas included in the categorical apparatus of various scientific specialties. The concept of "point" is one of the discoveries of antiquity; it received a substantive development in Pythagoreanism and an impetus for further rationalization. The article attempts to trace the process of formation and development of this concept in the Pythagorean doctrine and its acquisition of a terminological status in the works of Euclid. It is shown that the point is a multidimensional phenomenon and acts as a symbol of the unity of mathematics and philosophy. The article focuses on the substantial and ontological characteristics of this element. The purpose of this article is to identify the fundamental properties of the concept of "point", to highlight the initial aspects of its understanding by ancient thinkers, which allowed this category to become a universal element of culture. It seems appropriate to study the specifics of a point as a multifaceted concept that precedes ideas of an ontological order and demonstrates a deep relationship, primarily philosophy and mathematics, because such studies influence the methodology of thinking and set new vectors for the development of human civilization.
Keywords: point, monad, unit, beginning and end, number and form, limit, antiquity, Pythagoreanism, mathematical knowledge, science
For citation: Perekrestova A.V. From Pythagoras to Euclid: the Concept of "Point" as a Phenomenon of Synthesis of Mathematics and Philosophy. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Social Science. 2023;(1):40-48. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).
В современных философских исследованиях установление культурно-исторических предпосылок и основ формирования различных понятий в силу многообразия культурных факторов часто оказывается непростой и труднореализуемой задачей. Однако этот вопрос чрезвычайно важен для развития науки в целом, поскольку поиск новых путей осмысления привычных понятий невозможен без понимания их концептуальной этиологии. Предлагая свежие эпистемологические схемы для интерпретации понятий и явлений, характеризующихся междисциплинарностью, ин-тегративностью и синкретизмом, человек не просто расширяет границы познания, но и генерирует новые идеи, которые в будущем способны принести многочисленные плоды.
Подобным образом дело обстоит с выявлением истоков оформления понятия «точка», первые свидетельства которых в западной культуре мы находим в античный период. Сложность этих изысканий заключается в специфичности данного понятия, не просто входящего структурным компонентом в огромное количество теоретических систем, но являющегося первоэлементом пространственно-временной модели реальности, используемой для описания и экспликации окружающего мира.
Универсальность, фундаментальность, предельная абстрактность и семантическая многоас-пектность точки соотносит ее с широким спектром параметров и характеристик (неделимость, дискретность и т.д.), отдельный вдумчивый анализ которых, с одной стороны, способен прояснить исходное понятие, но с другой - может увести слишком далеко от исходного объекта. Стоит учитывать и еще одну особенность беспредметных категорий: «Как точка, так и целое, не поддается определению, само определяя собою всё, что отклоняется от него» [1, с. 418].
Весьма примечательно, что проблема выявления философских истоков точки - в целом малоисследованная область, хотя имеется ряд интересных и глубоких статей, проливающих свет на интерпретации точки, предложенные отдельными мыслителями. В частности, наиболее содержательными и выразительными можно считать работы П.А. Флоренского, В.В. Бибихина и А.В. Ахутина, посвятивших феномену точки очень лаконичные, но невероятно емкие тексты. Их ценность для нашего исследования состоит прежде всего в том, что они дают прекрасную экспозицию трактовок точки античными учеными, прослеживают логику дефинирования и обосновывают функциональные аспекты использования элемента. Но останавливаясь на отдельных значимых моментах, эти авторы оставляют за рамками рассмотрения процесс выкри-сталлизовывания данного понятия в пифагореизме и его вхождения в научно-философский дискурс. А он заслуживает особого внимания ещё и потому, что формирование категории точки связано с теснейшим взаимодействием и взаимообогащением двух масштабных интеллектуальных сфер - математики и философии.
ISSN 2687-0770 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. SOCIAL SCIENCE. 2023. No. 1
Для реконструкции становления понятия «точка» в рамках западной культуры следует обратиться в первую очередь к интеллектуальному наследию двух знаковых фигур античности, стоявших у истоков формирования математики. Сегодня имена Пифагора и Евклида знакомы любому образованному человеку, но мало кто задумывается о том, что в развитии философского знания они сыграли не менее значительную роль, чем в создании категориального аппарата точных наук. Одним из важнейших пунктов, в котором математические и философские взгляды обоих титанов мысли проявили свой синергический эффект, следует считать разработку проблематики такого удивительного объекта, как точка, получившего с их подачи дефиниции, ставшие каноническими. Как смело декларировал Флоренский, «между пифагорейским и ев-клидовским определениями протекает вся история математики» [2, с. 576].
Прежде чем характеристика точки как термина была дана в «Началах» Евклида, это понятие с различной степенью проработанности и осмысленности ситуативно всплывало в отдельных направлениях античной философской традиции. И первым контекстом, высветившим фундаментальность точки как первоэлемента, выступил пифагореизм, положивший начало древнегреческой математике, - именно достижения пифагорейской школы стали предпосылками превращения математики в теоретическую науку.
Общеизвестно, насколько весомую лепту в формирование математики внес Древний Восток, однако там она имела инструментальное, прикладное значение, а концептуальный характер приобрела именно в западном мире. Этому в немалой степени способствовал пифагореизм -одно из самых загадочных и непроясненных явлений культуры, которое имеет длительную историю и связано с деятельностью Пифагора, младшего современника Фалеса Милетского.
Сложность рассмотрения учения Пифагора заключается в том, что на ранних этапах развития оно представляло собой религиозно-мистический культ, положения которого должны были оставаться тайной для непосвященных. Эзотеричность высокой мудрости провозглашалась важным постулатом этого течения, - даже сегодня, спустя тысячелетия, исследователи не могут объяснить многие его важнейшие аспекты. Сам легендарный ученый, как известно, ничего не писал, а если современники как-то документировали его доктрину, свидетельств этого не сохранилось, что еще сильнее затемняет «пифагорейский вопрос» [3, p. 22].
Но квинтэссенция данного учения давно стала четко установленным фактом, ведь пифагорейцы постулировали новое понимание смысла и предназначения математического знания, провозгласив известную максиму «Всё есть число». При помощи чисел и геометрических объектов они пытались познать природу сущего, верили, что в математических символах сосредоточено исчерпывающее знание о мироздании. Математика в пифагореизме предстает онтологической схемой бытия, а ее элементам приписывается гносеологическое и созидательное значение.
Пифагорейцы занимались не только математикой, которая включала в античности арифметику, геометрию и стереометрию, но и космологией, астрономией, акустикой и теорией музыки. Тем не менее центральным для них оставалось понятие числа, и уже во времена Пифагора, несмотря на весь мистический туман, окутывавший его адептов, велись интенсивные естественнонаучные исследования. Математическое знание воспринималось как инструмент рели-гиозно-катарсического преображения природы человека, а его элементы постулировались не просто как ключи к постижению космоса, но как кирпичики, составляющие каркас мироздания.
Математические объекты, такие как числа и геометрические формы, выступали в качестве экспликации всей архитектуры Вселенной. Число в раннем пифагореизме мыслилось в виде множества единиц, возникающих «из соединения предела и беспредельного» [4, с. 30].
Единица (monas), воплощающая единое, для пифагорейцев являлась истинным истоком всего сущего, поскольку она была и началом всех чисел, задавая арифметическую последовательность. Как известно, в греческой математике отсутствовал ноль, который пришел на Запад значительно позже с Востока. Таким образом, особый статус единицы, которая даже не относилась к разряду нечетных чисел (первым нечетным для пифагорейцев была тройка), выступая в качестве своеобразной точки отсчета в любой системе, предопределил фундаментальную онтологическую функцию монады.
Но самое интересное заключается в том, что единица была для пифагорейцев точкой не в фигуральном смысле, а в самом буквальном, поскольку арифметика и геометрия в Древней
ISSN 2687-0770 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. SOCIAL SCIENCE. 2023. No. 1
Греции были не просто тесно связаны, а взаимозаменяемы. Греки унаследовали свои числа из геометрии египтян, поэтому в греческой математике не было существенного различия между формами и числами, это были эквивалентные феномены. Как отмечает американский математик Чарльз Сейфе, для Пифагора связь между формами и числами являлась глубокой и мистической: каждая числовая фигура имела скрытый смысл, а самые красивые арифметические конфигурации почитались священными [5, p. 26]. В силу этих обстоятельств в пифагореизме существовали четкие параллели: единица являлась точкой, двойка выступала как линия или две соединенных точки, тройка - треугольник или плоскость, четверка - квадрат или пирамида.
Итак, субстратом бытия для пифагорейцев выступает единица-точка как символ всеобъем-лемости, самодостаточности и целостности - это высшее состояние универсума, воплощающее единство, согласованность и абсолютную красоту, которое обнаруживает мощную креативную силу. Любое число состоит из единиц-точек, что весьма наглядно запечатлено в сакральном символе пифагорейцев - тетраксисе, фигуре в виде двумерной пирамиды из десяти точек. Уровни пирамиды состоят из одной, двух, трех и четырех точек, соотносимых с природными стихиями и звуковыми интервалами. Исследователи утверждают, что тетраксис выступал моделью музыкально-числовой гармонии космоса [6, p. 32].
При этом для Пифагора монада, или единица, являющаяся вершиной пирамиды, ассоциировалась с божественным началом. Примечательно, что тетраксис сформирован из 10 элементов, а десятка, или декада, в пифагореизме постулировалась в качестве совершенного числа. Как пишет П. Таннери, переведя и комментируя «Теологумен» Спевсиппа: «10 заключает в себе все отношения равенства, превосходства, подчиненности, возможные между последовательными числами, и другие, а равно линейные, плоские и телесные числа, так как 1 есть точка, 2 - линия, 3 - треугольник, 4 - пирамида, и каждое из этих чисел первое в своём роде и начало ему подобных» [7, с. 326].
Именно последовательное арифметическое выражение точки, линии, треугольника и пирамиды и дает в графическом варианте совершенную фигуру равностороннего треугольника -священный тетраксис, который выступает эмблемой божественной реальности.
В декаде для пифагорейцев заключены не только все возможные соотношения чисел, но и формируется единство предела и беспредельного. Десять - это своеобразный рубеж числового ряда, выход за границы которого вновь возвращает нас к единице, точке отсчета. Поскольку при счете перешагивание через десять происходит постоянно, у данного процесса нет завершения, следовательно, декада, воплотив всю полноту числового разнообразия, открывает врата в бесконечное. Здесь в неявном виде распознается весьма значимый фактор: восхождение к декаде как модели числового совершенства начинается с монады, что уже в античности формирует особый онтологический статус точки как первоначала.
Как отмечают антиковеды, для пифагорейцев были тождественны не только числа и фигуры, но и закономерным образом - числа и вещи. На это указывал и Аристотель, делая акцент на размерности: «Они утверждают, что чувственно воспринимаемые сущности состоят из такого числа, а именно всё небо образовано из чисел, но не составленных из [отвлеченных] единиц; единицы, по их мнению, имеют [пространственную] величину» [8, с. 332].
Таким образом, топологическим эквивалентом единицы, или монады, снова оказывается точка, - для пифагорейцев телесность была буквальной, осязаемой. Ключевым атрибутом единицы выступает ее неделимость, которая и делает монаду элементарным структурным компонентом материи. Причем составленность всех вещей из единиц-точек в пифагореизме носила не столько умозрительный, сколько вполне рельефный, пластический характер, о чем свидетельствуют многочисленные указания на этот факт в «Метафизике» Аристотеля, в частности упоминание о пифагорейце Эврите, который конструировал из чисел формы животных, выкладывая их контуры при помощи определенного количества камешков [8].
Подобно тому, как в виде комбинации точек можно представить любой физический объект пространственно-временного континуума, так и каждая вещь складывается из комплекса единиц-точек, отражающих все нюансы их скульптурирования. Это указывает на очень существенную деталь, подмеченную многими историками науки: в некоторых своих версиях или в определенные периоды математика пифагорейцев в качестве структурно-методологического
ISSN 2687-0770 BULLETIN OFHIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. SOCIAL SCIENCE. 2023. No. 1
базиса своих исследований и изысканий включала логико-математический атомизм, основанный на том, что числа квалифицируются как геометрические точки, имеющие определенное положение в пространстве.
В частности, датский математик Г.Г. Цейтен [9] рассматривает эту когнитивную стратегию выкладывания из единообразных камешков различных фигур и предметов в ракурсе синкретизма математического мироописания, называя этот метод «геометрической арифметикой». Здесь действительно прослеживаются предпосылки атомистического учения, которое оформится чуть позже, для нас же значимым оказывается то обстоятельство, что тела предстают как совокупность множества точек, цифровая трансформация которых дает набор единиц.
Аристотель обращает внимание на интересную особенность: монада в пифагореизме рассматривается как точка, не локализованная в пространстве, а точка считается единицей, имеющей пространственную позицию - «не имеет положения единица, а имеет положение точка» [8, с. 155]. Можно говорить о том, что в пифагореизме имелась практика рассмотрения физических объектов как концентрации бесчисленных неделимых частиц, что экстраполирует попытки подойти к проблемам бесконечности и несоизмеримости.
Историк математики И.Г. Башмакова [10] подчеркивает, что уже во времена пифагореизма оформилась тенденция геометризации математики, которая берет истоки в изначальном неразличении геометрии и арифметики. Не стоит забывать, что категории, которыми оперирует пифагореизм - числа, фигуры, точки и т.д. - тем не менее не были ещё дефинированы и логически прояснены. Ранним математикам в лице пифагорейцев еще не хватает аналитичности, выверен-ности и строгости понятий. Об этом говорил и Аристотель, утверждавший, что несмотря на неотделимость чисел от вещей в пифагореизме, нельзя заявлять, что они полностью идентифицировались с предметным миром.
Мыслители античности, которые жили после Пифагора и черпали вдохновение в пифагореизме, с разной степенью вовлеченности, целенаправленно или опосредованно, закладывали концептуальные основы формирования понятия «точка». Очень многое было сделано Аристотелем, но его вклад в эту сферу - слишком обширная тема, заслуживающая отдельной статьи.
В данной работе мы хотим обратить внимание на то, что кульминацией развития категории «точка» в древнегреческой культуре закономерным образом стали работы не философа, а математика - прославленного Евклида. Причем достижение этого великого ученого древности состоит не в масштабности и детальности проработки данного понятия, коих мы не находим в его сочинениях, а в том, что в его грандиозном трактате «Начала» точка впервые в истории западной цивилизации обрела статус термина, получила четкую научную дефиницию. Философы и в предшествующее время пытались определять данное понятие, однако эти формулировки не обладали достаточной проясненностью и строгостью, так или иначе отсылая к другим сложным феноменам. Евклиду же не просто удалось в лаконичной форме дать максимально простое, точное и выразительное определение, ставшее базовым на несколько тысячелетий и актуальное даже сейчас, но и органично встроить его в свою научную систему, заложившую фундамент классической геометрии.
Евклид в своих «Началах» конституирует особый статус точки как первоэлемента и основополагающего научного понятия. Именно с подачи ученого точка в науке будет позиционироваться как фундаментальный абстрактный объект, не имеющий никаких измеримых параметров, - величины, размера, массы, и специфически соотносимый с понятиями пространства-времени. Первая же дефиниция великого математика посвящена этому объекту: «Точка есть то, что не имеет частей» [11, с. 11], - таков канонический, но не буквальный перевод с древнегреческого. Д.Д. Мордухай-Болтовской относит это объяснение к отрицательным, добавляя: «Таково евклидовское определение; в нем отмечается неделимость точки, так что совершенно одинаково определяется и точка и актуально-бесконечно малое неделимое» [11, с. 224].
Вслед за первой дефиницией и второй, посвященной линии, следует заключение, которое актуализирует ипостась точки как границы: «Концы же линии - точки» [11, с. 11]. Этот тезис в имплицитном виде подразумевает постановку проблемы о том, что находится за этим пределом. Третью аксиому Мордухай-Болтовской считает в эпистемологическом плане более удач-
ISSN 2687-0770 BULLETIN OFHIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. SOCIAL SCIENCE. 2023. No. 1
ным определением, поскольку первая формула, сливая воедино понятие точки и неделимости, не дает понимания критериев градации между ними и замутняет суть обеих категорий.
На тот факт, что первое определение точки носит апофатический характер, указывали многие исследователи «Начал», но в контексте нашей темы гораздо важнее другое обстоятельство, связанное с дословным переводом первого предложения трактата. Звучит он в высшей степени метафизично - «точка есть то, часть чего ничто». В свете этой версии становится очевидно, что более благозвучный и строгий вариант Мордухай-Болтовского отсекает целый спектр смыслов, затушевывая очень значимые для философской интерпретации понятия параметры. На это обращает внимание и А.В. Ахутин, заявляя, что «"литературность" вуалирует апорию, но, конечно, не упраздняет её» [12, с. 343].
Из буквального прочтения евклидовского определения следует, что точка состоит из ничего. И в самом деле точка референтно соотносится с ничто: представляется примечательным, что данный элемент, как незримый и неизмеримый, невозможно обнаружить в пустом пространстве. Этот нюанс впоследствии будет акцентирован и Н. Кузанским, вслед за Боэцием отмечавшим, что «прибавлять точку к точке - это будет все равно что присоединять ничто к ничему» [13, с. 254].
Евклид не рефлексирует на эту тему, но задает чрезвычайно значимый вектор для философского осмысления многогранного понятия «точка», предстающего условным аналогом категории «ничто». Заключая в себе единичность, целостность абсолютного минимума, будучи, по образному выражению В.В. Бибихина, «маркированным бытием», точка словно зависает между двумя мирами, обнаруживая исходную антиномичность своей самобытной природы. Отталкиваясь от двух евклидовских определений точки и выходя на уровень концептуального истолкования, можно сказать, что существование точки сконцентрировано на зыбкой границе, отделяющей ничто от нечто.
В первой книге «Начал», которая является интродукцией для всех последующих, Евклид дает экспозицию базовых понятий геометрии, используемых для построения всего многообразия положений. И помимо того, что эти понятия являются недоказуемыми, они подразделяются на три категории: определения, постулаты и общие понятия (аксиомы). Приведенные нами дефиниции точки относятся к разряду определений. Прокл в своих комментариях [14] называет эту первую группу также гипотезами. Двадцать три определения первой книги охватывают основополагающие объекты геометрии, среди которых точка, линия, прямая, поверхность, плоскость, угол, различные фигуры и граница. Из них тринадцатое утверждение представляет для нас интерес в том смысле, что соотносится с третьим определением точки: «Граница есть то, что является оконечностью чего-либо» [11, с. 12].
Д.Д. Мордухай-Болтовской дает лишь краткую ремарку по поводу данного положения, заявляя, что оно не является номинальным и слово «оконечность» не призвано подменять собой «границу». Он полагает, что «оконечность» выступает в качестве рода, а «граница» - вида, что, на наш взгляд, представляет собой несколько искусственное обоснование евклидовской логики необходимости подобной дифференциации. Однако если сопоставить это определение с точкой как концами линии, точка раскрывается в качестве универсальной модели как границы, так и оконечности.
Будучи математическим первоэлементом, точка оказывается тем самым фундаментальным пределом, который лимитирует любые вариации и модификации геометрической и стереометрической действительности. В конструктивном плане данный объект венчает вершины любых фигур - многоугольников и многогранников, знаменуя собой переход от области вещественного к сфере нематериального. Сложно найти более яркий, выразительный образец «оконечности», о которой упоминает Евклид, чем точка, предстающая как пик пространственного угла и своеобразная мера, пресекающая устремленность пластических форм к протяженности во всех направлениях.
Помимо рассмотренных спецификаций точки, в «Началах» встречается еще одно упоминание данного понятия как некоего порождающего элемента, инициирующего динамическое развертывание геометрических констант. Известно, что после блока с определениями у Евклида следует раздел под названием «Постулаты», состоящий из пяти допущений, которые, как и ак-
ISSN 2687-0770 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. SOCIAL SCIENCE. 2023. No. 1
сиомы, имеют универсальное значение и относятся ко всем книгам «Начал», посвященным геометрической проблематике. Дословный перевод данного раздела звучит как «требования» и, по замыслу автора, за счет предельно обобщенного характера формулировок призваны объяснять максимально широкий спектр явлений, с которыми геометрия имеет дело на более высоких уровнях усложнения и дифференциации фигур. Первый постулат Евклида допускает, «что от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию» [11, с. 14].
Как отмечают исследователи, математик не стремился вывести данное утверждение силлогистически из предшествующих дефиниций, он пытался лишь дать экспозицию неких очевидных положений, апеллируя к образному восприятию читателя и не прибегая к формальным логическим выводам. Для уровня развития научного мышления IV - III вв. до н.э. признание того, что от любой точки до другой можно построить прямую было общепризнанным и единственно возможным решением. Не стоит забывать, что геометрия Евклида конструктивно связана с плоскостями и в базовых ситуациях ввиду наглядности и визуальной убедительности не предполагает обязательной аргументации, которая неизбежна для обоснования случаев, например, в сложных пространствах Римана или Лобачевского.
Несмотря на вероятностный характер, который обозначен в самом начале фразы, Евклид видит во всех пяти постулатах теоретические положения, в которых фиксируется свойство объекта, присущее ему с необходимостью. Таким образом, ни обоснование, ни геометрическое доказательство возможности прямой между точками не требуется - рассудок должен постигнуть это непосредственно как неопровержимый факт. Однако не все соглашаются с таким подходом. В.В. Бибихин весьма экспрессивно высказывается об этом в своей лекции: «Чтобы провести прямую от точки к точке, надо ту точку уже из бесконечности точек выделить, т.е. сначала решить парадокс Ахиллеса и черепахи. Только тогда можно будет считать первый постулат Евклида аксиомой» [1, с. 404].
Поскольку непроясненной остается изначальная природа точки, осознается сложность экспликации ее локализации и эфемерность бытия, постольку все дальнейшие умозаключения и канонические выводы, призванные репрезентировать отдельные свойства объекта, становятся весьма условными и во многом конвенциональными. Тем не менее для нас крайне значимо, что первый постулат Евклида фиксирует на терминологическом уровне две первостепенных ипостаси точки - идею начала и идею предела, которая коррелирует с третьим определением и получает дополнительное развитие в 13-м тезисе, посвященном границе.
Тонкие связи, усматриваемые между различными положениями первой книги «Начал», легко выявляются в свете целостного философского обзора геометрических объектов, но, что гораздо важнее, у Евклида они приобретают наглядность и визуализируемость, находят затем практическое подтверждение в так называемых предложениях, составляющих основной объем трактата и являющихся математическими доказательствами задач.
Обладая безупречным логическим мышлением, беспрецедентным для того времени, Евклид нивелирует излишнюю абстрактность базовых понятий, замутняющую понимание их функционирования, находит выразительные примеры их эмпирической объективации - так точка предстает и центром круга, и местом пересечения линий, и вершиной угла. Воплощаясь в задачах Евклида в разных качествах, точка в очередной раз демонстрирует свою полиморфность, в которой, однако, можно выделить фундаментальные принципы - в евклидовской трактовке они естественным образом перекликаются с теми атрибутами данного понятия, которые выделялись его предшественниками, в первую очередь Пифагором. Точка как нечто неделимое, монада, инициирующая всякое начало и оказывающаяся одновременно концом любой материальности, границей вещественности - вот те ключевые аспекты, которые иллюстративно раскрываются в положениях сочинения Евклида через рассмотрение конкретных задач.
Великий математик, аккумулировавший в своих произведениях мудрость предшествующей философии и науки, сумел не только создать стройную систему базовых начал геометрии и теоретической арифметики, но и задать направление развития научного знания. Его главный труд более чем два тысячелетия оставался основным пособием для освоения математических азов, и даже сегодня он предоставляет богатейший материал для анализа. Введенные ученым основополагающие определения, постулаты и аксиомы предлагаются к рассмотрению без дока-
ISSN 2687-0770 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ОБЩЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 1
ISSN 2687-0770 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. SOCIAL SCIENCE. 2023. No. 1
зательств, которые в большинстве случаев оказываются невозможны, что не лишает их содержательной глубины.
В полной мере это относится к понятию «точка», которое из абстрактного первоэлемента превращается у Евклида в фундаментальную, системообразующую категорию, создающую концептуальную платформу для построения всего здания математики. Обретя терминологический статус, точка не утрачивает своей онтологической универсальности, ведь она предстает у Евклида как начало начал, альфа и омега бытия, оставаясь такой же неуловимой, многоликой и вездесущей, какой ее воспринимали пифагорейцы.
Можно сделать вывод, что в учении Пифагора и трудах Евклида закладывались основы оформления понятия «точка» не только как математического термина, но и как философской категории и универсалии культуры. Данный концепт уже в античности позиционировался как феномен, соотносимый с идеей первоистока, - именно этот элемент, позволяющий сконструировать универсум и объединить противоположности, дает понимание того, что всё возникло из одного начала.
Список источников
1. Бибихин В.В. Точка // Другое начало. СПб.: Наука, 2003. С. 397-429.
2. Флоренский П.А. Symbolarium (Словарь символов) // Соч. : в 4 т. М.: Мысль, 1996. Т. 2. 877 с.
3. Gregory A. The Pyphagoreans: number and numerology // Mathematicians and Their Gods: Interactions Between Mathematics and religious beliefs. New York: Oxford University Press, 2015. P. 21-50.
4. Гайденко П.П. Эволюция понятия науки. М.: Наука, 1980. 567 с.
5. Seife Ch. Zero: The biography of a dangerous idea. New York: Penguin Publishing Group, 2000. 272 p.
6. Kahn Ch.K. Pythagoras and the Pythagoreans. Indianopolis; Cambridge: Hackett Publishing Company, Inc., 2001. 206 p.
7. Таннери П. Первые шаги древнегреческой науки. СПб.: Тип. В. Безобразова и Ко, 1902. 466 с.
8. Аристотель. Метафизика // Соч. : в 4 т. М.: Мысль, 1976. Т. 1. 550 с.
9. Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. М.; Л.: ГТТИ, 1932. 230 с.
10. Башмакова И.Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. 1958. № 11. С. 363-406.
11. Начала Евклида / пер. и ком. Д. Д. Мордухай-Болтовского, ред. И.Н. Веселовский, М.Я. Выгодский : в 3 т. М., Л.: ГИТТЛ, 1950. Т. 1. 448 с.
12. Ахутин А.В. Античные начала философии. СПб.: Наука, 2003. 784 с.
13. Кузанский Н. Игра в шар // Соч. : в 2 т. М.: Мысль, 1980. Т. 2. 471 с.
14. Прокл. Комментарий к первой книге Начал Евклида. Введение / пер. Ю. А. Шичалина. М.: Греко-латинский кабинет, 1994. 224 с.
References
1. Bibikhin V.V. Point. Another start. St. Petersburg: Nauka Publ.; 2003:397-429. (In Russ.).
2. Florensky P.A. Symbolarium (Dictionary of symbols). Works: in 4 vols. Moscow: Mysl' Publ.; 1996. Vol. 2. 877 p. (In Russ.).
3. Gregory A. The Pyphagoreans: number and numerology. Mathematicians and Their Gods: Interactions Between Mathematics and religious beliefs. New York: Oxford University Press; 2015:21-50.
4. Gaidenko P.P. The evolution of the concept of science. Moscow: Nauka Publ.; 1980. 567 p. (In Russ.).
5. Seife Ch. Zero: The biography of a dangerous idea. New York: Penguin Publishing Group; 2000. 272 p.
6. Kahn Ch.K. Pythagoras and the Pythagoreans. Indianopolis; Cambridge: Hackett Publishing Company, Inc.; 2001. 206 p.
7. Tannery P. The first steps of ancient Greek science. St. Petersburg: Publishing House of V. Bezobrazov and Co; 1902. 466 p. (In Russ.).
8. Aristotle. Metaphysics. Works: in 4 vols. Moscow: Mysl' Publ.: 1976. Vol. 1. 550 p. (In Russ.).
9. Zeuthen H.G. History of mathematics in antiquity and in the Middle Ages. Moscow, Leningrad: GTTI Publ.; 1932. 230 p. (In Russ.).
ISSN 2687-0770 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. SOCIAL SCIENCE. 2023. No. 1
10. Bashmakova I.G. Lectures on the history of mathematics in Ancient Greece. Istoriko-matematicheskie is-sledovaniya = Historical and Mathematical Studies. 1958;(11):363-406. (In Russ.).
11. Veselovsky I.N., Vygodsky M.Ya., eds. Beginnings of Euclid. Tr. and comm. by D. D. Mordukhai-Boltovsky: in 3 vols. Moscow, Leningrad: GITTL Publ.; 1950. Vol. 1. 448 p. (In Russ.).
12. Akhutin A.V. Ancient principles ofphilosophy. St. Petersburg: Nauka Publ.; 2003.784 p. (In Russ.).
13. Kuzansky N. Ball game. Works: in 2 vols. Moscow: Mysl' Publ.; 1980. Vol. 2. 471 p. (In Russ.).
14. Proclus. Commentary on the first book of Euclid's. Introduction. Tr. by Yu. A. Shichalina. Moscow: Greco-Latin cabinet Publ.; 1994. 224 p. (In Russ.).
Информация об авторе
А.В. Перекрестова - аспирант кафедры философии и мировых религий.
Information about the author
A. V. Perekrestova - Postgraduate Student of the Department of Philosophy and World Religions.
Статья поступила в редакцию 21.02.2023; одобрена после рецензирования 28.02.2023; принята к публикации 20.03.2023. The article was submitted 21.02.2023; approved after reviewing 28.02.2023; accepted for publication 20.03.2023._
