CC BY
33Используя описанную выше конструкцию и степенные преобразования координат [1], можно вычислить разложения решений вида (4) [2, §2].
Библиографический список
1. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М. : Наука, 1998.
2. Bruno A. D. Asymptotic solution of nonlinear algebraic and differential equations // International Mathematical Forum. 2015. Vol. 10, № 11.
ОТ ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ДО ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ А. Д. Брюно (г. Москва) E-mail: [email protected]
Рассматривается глобальное обобщение цепной дроби, дающее наилучшие диофантовы приближения. На нём основан способ вычисления основных единиц алгебраических колец и нахождение всех решений некоторого класса диофантовых уравнений.
Пусть в вещественном n-мерном пространстве Rn = {X} задано m однородных вещественных форм /¿(X), i = 1,..., m, 2 < m < n. Выпуклая оболочка множества значений G(X) = (|/i(X)|,..., |/m(X)|) £ R^ для целочисленных X £ Zn во многих случаях является выпуклым многогранным множеством, граница которого для ||X|| < const вычисляется с помощью стандартной программы. Точки X £ Zn, для которых значения G(X) лежат на этой границе, названы граничными. Они являются наилучшими диофантовыми приближениями для корневых множеств указанных форм. Их вычисление даёт глобальное обобщение цепной дроби. Для n = 3 обобщить цепную дробь безуспешно пытались Эйлер, Якоби, Дирихле, Эрмит, Пуанкаре, Гурвиц, Клейн, Минковский, Брун, Арнольд и многие другие [1].
Пусть ) — целый неприводимый в Q многочлен степени n и Л — его корень. Набор основных единиц кольца Z[A] можно вычислить по граничным точкам некоторой совокупности линейных и квадратичных форм, построенных по корням многочлена ). До сих пор эти единицы вычислялись только для n = 2 (с помощью обычных цепных дробей) и n = 3 (с помощью алгоритма Вороного). Каждая единица определяет автоморфизм граничных точек в Rn ив Rm. В логарифмической про-
екции Rm на Rm-1 можно найти фундаментальную область для группы автоморфизмов, соответствующих единицам.
С помощью этих конструкций можно находить целочисленные решения диофантовых уравнений специального вида. Аналогично вычисляются все указанные объекты для других колец поля Q(A). Приведены примеры.
Наш подход обобщает цепную дробь, позволяет вычислить наилучшие совместные приближения, основные единицы алгебраических колец поля Q(A) и все решения некоторого класса диофантовых уравнений для любого n [2].
Библиографический список
1. Брюно А. Д. Вычисление наилучших диофантовых приближений и основных единиц алгебраических полей // Докл. АН. 2016. Т. 468, № 1.
2. Брюно А. Д. От диофантовых приближений к диофантовым уравнениям // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2016. № 1.
О ПОЛУКОЛЬЦАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В ПОЛУКОЛЬЦЕ (0; то] С MAX-СЛОЖЕНИЕМ1 Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков (г. Киров) E-mail: [email protected], [email protected]
В работе начато исследование аддитивно идемпотентных полуколец C) непрерывных функций, определенных на произвольном топологическом пространстве X и принимающих значения в топологическом полукольце ((0; то] , V, •) положительных действительных чисел с добавленным поглощающим элементом то и интервальной топологией, рассматриваемых с поточечными операциями взятия максимума (V) и умножения (•) функций. Под полукольцом S мы понимаем алгебраическую структуру с коммутативно-ассоциативной операцией сложения и ассоциативной операцией умножения, дистрибутивной относительно сложения с обеих сторон. Источником идей и методов изучения аддитивно-сократимых полуколец непрерывных функций Cто(Х), принимающих значения из полукольца (0; то], служит изложенная в монографии [1] теория полуколец непрерывных неотрицательных действительнозначных функций C +(Х) с поточечными операциями сложения и умножения функций
1 Работа выполнена в рамках проектной части государственного задания Минобрнауки РФ (проект № 1.1375.2014/К).
