Асимптотическое решение алгебраического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов отношений // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 1, ч. 1.

3. Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов отношений с диофан-товыми операциями // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 2.

4. Bredikhin D. A. On Varieties of Groupoids of Relations with Operation of Binary Cylindrification // Algebra universalis. 2015. Vol. 73.

5. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Докл. РАН. 1998. Т. 360.

6. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сибирский матем. журн. 1997. № 1.

7. Boner F., Poschel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. Vol. 7.

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ А. Д. Брюно (г. Москва) E-mail: [email protected]

Показано, что для вычисления сингулярных решений алгебраических и дифференциальных уравнений вблизи особенностей удобно вычислять аналоги многогранника Ньютона, и по ним выделять укороченные уравнения. Для асимптотического разложения решений определённого вида справедлива теорема, что их укорочение является решением соответствующего укороченного уравнения. Здесь предложен новый вид асимптотических разложений.

Многогранник

Пусть в п-мерном вещественном пространстве И™ = = (я1,..., Яп)}, п > 2, задано конечное множество точек 8 = {^1,...,^к}. Их

выпуклая оболочка Г = = 0 < < 1, = 11 яв-

ляется выпуклым многогранником. Его граница дГ состоит из граней Г^ размерностей ^ = 0,1,..., п — 1. Нульмерные грани — это вершины,

одномерные — рёбра и (п — 1)-мерные — гиперграни. Каждая грань Г^ является выпуклым многогранником. Каждой грани Г^ соответствуют:

граничное подмножество Sjd) = rjd) П S и нормальный конус

Ujd) = {p : (P, Q') = (P, Q") > (P, Q'"), Q', Q'' e Sjd), Q''' e S\S<d)} ,

(1)

где P = (p^ ... ,pn)—точка сопряжённого к Rn пространства Rn, а

n

(P, Q) = ^ p^ — скалярное произведение. Это ситуация афинной гео-

i=i

метрии [1, гл. I].

Алгебраическое уравнение

Пусть X = (x1,...,xn) e Rn или Cn, а f(X) — многочлен. Корни уравнения f (X) = 0 образуют алгебраическое многообразие. Его точка X 0 называется особой, если в ней многочлен f(X) и все его частные производные обращаются в ноль. Если X0 = 0, то

k

f (X ) = £ aiX, (2)

i=i

где ai = const = 0, XQ = xf ... xn. При X — 0 по разным путям разные слагаемые суммы (2) дают ведущие члены суммы (2).

Чтобы их выделить, рассмотрим множество векторных показателей степени {Q1,..., Qk} = S, его выпуклую оболочку Г. Каждой грани rjd)

соответствуют: граничное подмножество Sj , укороченный многочлен

j = £ aiXQ по Qi e Sjd) (3)

и нормальный конус Ujd). Если xi = biTPi, bi,pi = const e R, i = 1,... ,n,

t —у oo и P = (p1,...,pn) e Ujd), то ведущие слагаемые в сумме (2) объединены в укороченную сумму (3), которая квазиоднородна. Пусть вещественные постоянные а2,..., an-1 > 0 и zi = x^x^, i = 2,..., n — 1. Будем искать решение уравнения f (X) =0 в виде ряда

то

Xn = ЖЛ £ ^(Z2, . . . , Zn-i)x1K, (4)

1=0

где к, Л = const > 0.

Теорема. Если уравнение f (X) = 0 имеет решением разложение вида (4) и P = — (1, а2,..., an-1, Л) Е Ujd), то укороченное уравнение fjd)(X) = о имеет решение xn = x^0(z2,... , zn—1).

Используя описанную выше конструкцию и степенные преобразования координат [1], можно вычислить разложения решений вида (4) [2, §2].

Библиографический список

1. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М. : Наука, 1998.

2. Bruno A. D. Asymptotic solution of nonlinear algebraic and differential equations // International Mathematical Forum. 2015. Vol. 10, № 11.

ОТ ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ДО ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ А. Д. Брюно (г. Москва) E-mail: [email protected]

Рассматривается глобальное обобщение цепной дроби, дающее наилучшие диофантовы приближения. На нём основан способ вычисления основных единиц алгебраических колец и нахождение всех решений некоторого класса диофантовых уравнений.

Пусть в вещественном n-мерном пространстве Rn = {X} задано m однородных вещественных форм /¿(X), i = 1,..., m, 2 < m < n. Выпуклая оболочка множества значений G(X) = (|/i(X)|,..., |/m(X)|) G R^ для целочисленных X G Zn во многих случаях является выпуклым многогранным множеством, граница которого для ||X|| < const вычисляется с помощью стандартной программы. Точки X G Zn, для которых значения G(X) лежат на этой границе, названы граничными. Они являются наилучшими диофантовыми приближениями для корневых множеств указанных форм. Их вычисление даёт глобальное обобщение цепной дроби. Для n = 3 обобщить цепную дробь безуспешно пытались Эйлер, Якоби, Дирихле, Эрмит, Пуанкаре, Гурвиц, Клейн, Минковский, Брун, Арнольд и многие другие [1].

Пусть ) — целый неприводимый в Q многочлен степени n и Л — его корень. Набор основных единиц кольца Z[A] можно вычислить по граничным точкам некоторой совокупности линейных и квадратичных форм, построенных по корням многочлена ). До сих пор эти единицы вычислялись только для n = 2 (с помощью обычных цепных дробей) и n = 3 (с помощью алгоритма Вороного). Каждая единица определяет автоморфизм граничных точек в Rn ив Rm. В логарифмической про-