О базисе тождеств одного класса группоидов бинарных отношений Текст научной статьи по специальности «Математика»

О БАЗИСЕ ТОЖДЕСТВ ОДНОГО КЛАССА ГРУППОИДОВ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ Д. А. Бредихин (г. Саратов) E-mail: [email protected]

Алгебра отношений представляет собой упорядоченную пару (Ф, Q), где Ф - множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности Q операций над ними. Алгебра отношений с одной бинарной операцией образует группоид бинарных отношений. Мотивация рассмотрения группоидов бинарных отношений и ряд результатов в этом направлении можно найти в работах [1-4].

Для заданного множества Q операций над отношениями обозначим через класс алгебр, изоморфных алгебрам отношений с операция-

ми из Q. Пусть Var{Q} - многообразие, порожденное классом Я{^}.

Важным классом операций над отношениями является класс диофан-товых операций. Операция называется диофантовой [5,6] (в другой терминологии - примитивно-позитивной [7]), если она может быть задана с помощью формулы исчисления предикатов первого порядка, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операцию конъюнкции и кванторы существования.

Сосредоточим внимание на следующей * бинарной диофантовой операции над отношениями, определяемой следующим образом: для всяких бинарных отношений р и а, определенных на множестве U, положим

р * а = {(x,x) Е U х U : (3u, v)(x, u) Е р Л (v,u) Е а}.

Основной полученный результат формулируется в следующий теореме, в которой найден базис тождеств многообразия, порожденных соответствующим классом группоидов бинарных отношений.

Теорема. Группоид (A, •) принадлежит многообразию Var{*} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующим тождествам:

(x2y)y = x2y, (xy)2 = xy, x2y2 = y2 x2, (x2y)z = (x2z )y, (x2y2)z = x2(y2z)

Библиографический список

1. Bredikhin D. A. On Varieties of Groupoids assosiated with involuted restrictive bisemigroups of binary relations // Semigroup Forum. 1992. Vol. 44, № 1.

2. Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов отношений // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 1, ч. 1.

3. Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов отношений с диофан-товыми операциями // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 2.

4. Bredikhin D. A. On Varieties of Groupoids of Relations with Operation of Binary Cylindrification // Algebra universalis. 2015. Vol. 73.

5. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Докл. РАН. 1998. Т. 360.

6. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сибирский матем. журн. 1997. № 1.

7. Boner F., Poschel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. Vol. 7.

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ А. Д. Брюно (г. Москва) E-mail: [email protected]

Показано, что для вычисления сингулярных решений алгебраических и дифференциальных уравнений вблизи особенностей удобно вычислять аналоги многогранника Ньютона, и по ним выделять укороченные уравнения. Для асимптотического разложения решений определённого вида справедлива теорема, что их укорочение является решением соответствующего укороченного уравнения. Здесь предложен новый вид асимптотических разложений.

Многогранник

Пусть в п-мерном вещественном пространстве И™ = = (я1,..., Яп)}, п > 2, задано конечное множество точек 8 = {^1,...,^к}. Их

выпуклая оболочка Г = = 0 < < 1, = 11 яв-

ляется выпуклым многогранником. Его граница дГ состоит из граней Г^ размерностей ^ = 0,1,..., п — 1. Нульмерные грани — это вершины,

одномерные — рёбра и (п — 1)-мерные — гиперграни. Каждая грань Г^ является выпуклым многогранником. Каждой грани Г^ соответствуют: