CC BY
28екции Rm на Rm-1 можно найти фундаментальную область для группы автоморфизмов, соответствующих единицам.
С помощью этих конструкций можно находить целочисленные решения диофантовых уравнений специального вида. Аналогично вычисляются все указанные объекты для других колец поля Q(A). Приведены примеры.
Наш подход обобщает цепную дробь, позволяет вычислить наилучшие совместные приближения, основные единицы алгебраических колец поля Q(A) и все решения некоторого класса диофантовых уравнений для любого n [2].
Библиографический список
1. Брюно А. Д. Вычисление наилучших диофантовых приближений и основных единиц алгебраических полей // Докл. АН. 2016. Т. 468, № 1.
2. Брюно А. Д. От диофантовых приближений к диофантовым уравнениям // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2016. № 1.
О ПОЛУКОЛЬЦАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В ПОЛУКОЛЬЦЕ (0; то] С MAX-СЛОЖЕНИЕМ1 Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков (г. Киров) E-mail: vecht@mail.ru, chupdiv@yandex.ru
В работе начато исследование аддитивно идемпотентных полуколец C) непрерывных функций, определенных на произвольном топологическом пространстве X и принимающих значения в топологическом полукольце ((0; то] , V, •) положительных действительных чисел с добавленным поглощающим элементом то и интервальной топологией, рассматриваемых с поточечными операциями взятия максимума (V) и умножения (•) функций. Под полукольцом S мы понимаем алгебраическую структуру с коммутативно-ассоциативной операцией сложения и ассоциативной операцией умножения, дистрибутивной относительно сложения с обеих сторон. Источником идей и методов изучения аддитивно-сократимых полуколец непрерывных функций Cто(Х), принимающих значения из полукольца (0; то], служит изложенная в монографии [1] теория полуколец непрерывных неотрицательных действительнозначных функций C +(Х) с поточечными операциями сложения и умножения функций
1 Работа выполнена в рамках проектной части государственного задания Минобрнауки РФ (проект № 1.1375.2014/К).
и полуколец CV(X), полученных и заменой операции сложения на взятие поточенных максимума V. Кольцо C(X) всех непрерывных на X действительнозначных функций служит кольцом разностей для полукольца C +(X).
Каждой функции f £ C^(X) сопоставим множества H(f) = f-1(w) и coz f = X \ H(f). Функция f*, заданная на coz f равенством f*(x) = = fX и принимающая значение 0 на H(f), непрерывна на X. Отображение *: C^(X) ^ CA(X) является полукольцевым изоморфизмом.
Для каждого идеала I кольца C(X) определим на полукольце C^(X) отношение 7(I), заданное свойством f 7(I) g ^^ f * — g* £ I. Оно является конгруэнцией тогда и только тогда, когда I — абсолютно выпуклый идеал. Конгруэнции 7(I) являются аналогами идеальных конгруэнций полуколец непрерывных функций C +(X).
Идеал I полукольца C^(X) назовем H-идеалом, если H(f) = H(g) влечет g £ I для любых f £ I и g £ CV°(X). Для f, g £ CV°(X) положим f ^я g, если H(f) = H(g). Отношение ~я является конгруэнцией на полукольце C^(X). Конгруэнцию на полукольце C^(X) назовём H-конгруэнцией, если она содержит .
Отметим, что полукольца CTO(X) и C^(X) имеют общую теорию делимости [1], поэтому справедливо следующее предложение:
Предложение 1. Для полукольца C^(X) имеют место следующие утверждения:
1. В C^(X) нет собственных полустрогих идеалов.
2. Решетка H-идеалов полукольца C^(X) является ретрактом решетки идеалов C^(X).
3. Максимальными H-конгруэнциями полукольца C^(X) являются двуклассовые конгруэнции р/ = {I, C^(X) \ I} по всевозможным простым H-идеалам I, и только они.
4. Решётка Con C^(X) конгруэнций на полукольце C^(X) над тихоновским пространством X не модулярна при |X | > 2.
Известно [2], что решётки конгруэнций полуколец C + (X) и CV(X) над топологическими пространствами X являются решётками с псевдодополнениями. Аналогичное утверждение справедливо и для решётки конгруэнций полукольца C^(X). Обозначим через qa отношение равенства функций на множестве A С X: f qa g ^^ f |a = g|A.
Предложение 2. Пусть X — произвольное тихоновское пространство. Любая конгруэнция р £ Con C^(X) имеет псевдодополнение qa
для некоторого единственного канонически замкнутого подмножества A пространства X. Обратно, для каждого канонически замкнутого множества A в X конгруэнция qa является псевдодополнением некоторой конгруэнции на Cто(Х).
Отношение р на полукольце Cто(Х) является дополняемой конгруэнцией тогда и только тогда, когда р = qa для некоторого (единственного) открыто-замкнутого подмножества A пространства X. При этом, любая дополняемая конгруэнция на Cто(Х) имеет единственное дополнение.
В заключение отметим, что все конгруэнции аддитивно идемпотент-ного полуполя U^Х) непрерывных положительных функций на Х продолжаются до конгруэнций полукольца Cто(Х). При этом наименьшим продолжением конгруэнции р полуполя U^Х) с ядром K является конгруэнция рк, заданная условием f рк g ^^ gk < f < gk' для некоторых k, k' G K, а наибольшим — конгруэнция 6к, совпадающая с р на U^Х) и склеивающая все функции с непустым H-множеством.
Библиографический список
1. Вечтомов Е. М, Сидоров В. В., Чупраков Д. В. Полукольца непрерывных функций. Киров : Изд-во ВятГГУ, 2011.
ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ С ОРТОГОНАЛЬНОЙ
__ «_» _ _ _ _ _ _
СИСТЕМОЙ СДВИГОВ В ЛОКАЛЬНЫХ ПОЛЯХ1 А. М. Водолазов (г. Саратов) E-mail: vam21@yandex.ru
Пусть K - локальное поле, являющиеся конечным расширением поля Qp p-адических чисел. Поле K является нормированным с нормой || • ||к, которая является продолжением нормы с поля Qp. Zк = {x G K | ||x|| < < 1}-кольцо целых в K с единственным максимальным идеалом Рк = = {x G K | ||x|| < 1} = nZK. Любое число x = 0 из K единственным образом представимо в виде
то
x = п7 ^^ xk nk k=о
где х0 = 0 и Жк элемент множества представителей смежных классов Ък/Р, которое изоморфно конечному полю из д = р? элементов.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00152 А).
