Особенности тепловых режимов плоских пленочных плазменно напыленных нагревательных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.365.22 (075.8)

ОСОБЕННОСТИ ТЕПЛОВЫХ РЕЖИМОВ ПЛОСКИХ ПЛЕНОЧНЫХ ПЛАЗМЕННО НАПЫЛЕННЫХ НАГРЕВАТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

А.И. Алиферов

Новосибирский государственный технический университет Т.В. Хацевская

Павлодарский государственный университет им.С. Торайгырова

Осы мацалада жазьщ цабыригак, плазмалык, тозацданган цыздыргыш элгменпинщ жылу модел1 жэне жылу втюзгш тецдеушц сандъщ edici царастырылган. К,ыздыргыштъщ жылу турак,тылыгына талдау жасалган.

В статье рассматриваются математическая тепловая модель плоского плгночного плазменно напылгнного нагревательного элемента и численный метод решения уравнений теплопереноса. Произведен анализ теплового режима нагревателя.

The mathematical thermal model of a flat film heating element covered by plasma and the numerical method, usedfor the decision of the equations of carry of heat are considered in this article. The analysis of a thermal mode of a heater is made.

1. Разработка тепловой модели плоского пленочного плазменно напыленного нагревательного элемента

Высокая надежность и работоспособность плоского пленочного плазменно напыленного нагревательного элемента во многом зависит не только от неравномерности и неоднородности состава наносимых пленочных покрытий, но и от распределения электромагнитного и температурного

полей. При общей постановке задачи исследования был введен ряд допущений, которые с учетом предваряющих результатов исследований распределения параметров электромагнитного поля по сечению токонесущего слоя значительно упрощают математическую тепловую модель [1].

Задачей становится нахождение стационарного температурного поля в многослойной структуре нагревателя при задании как общего количества тепла, выделенного в нагревателе, так и равномерного пространственного распределения (поперечного профиля) источников тепла в тепловыделяющем слое. По условиям эксплуатации нагревательный элемент помещен в воздушную среду атмосферного давления с вертикальной или горизонтальной ориентацией и является частью плоской нагревательной системы.

При принятых упрощениях модель нагревательного элемента может быть представлена как совокупность тонких слоев, для которых изменение температуры по толщине материала незначительно и сравнимо с ошибкой в расчетах из-за недостаточной достоверности данных об условиях теплообмена и теплофизических свойств материала. Несмотря на малость температурного перепада по толщине слоя, им нельзя полностью пренебречь, так как только наличие градиента температуры обеспечивает поперечный поток тепла от одного слоя к другому. На границах каждого слоя необходимо поставить или условия сопряжения, описывающие тепловой контакт между слоями, или условия теплообмена со средой для открытых поверхностей. Теплообмен с внешней

средой осуществляется посредством свободной или вынужденной конвекции (конвективный теплообмен) и тепловым излучением (лучистый теплообмен).

Для более простого описания модели удобно считать, что многослойная структура нагревателя состоит из четырех тонких пластин, введя их следующую нумерацию: 1 - стальная подложка, 2 - первый электроизоляционный слой, 3 - резис-тивный слой, 4 - второй электроизоляционный слой. В соответствии с принятой нумерацией на рис. 1, изображающем поперечный разрез нагревателя, указаны обозначения толщины слоев и их ширина, а также приведены обозначения размеров и физических величин: / - ширина пластины 7; /,- ширина пластин 2,3 и 4', Бр 5",, Б4 - толщины пластин 1, 2, 3 и 4, соответственно; 1;, 1„ \4-коэффициенты теплопроводности пластин 1, 2, 3 и 4, соответственно; Тр Т„ Ту Т4 -температурные поля в пластинах.

С учетом допущений, принятых при общей постановке, и результатов исследований распределения электромагнитного поля в резистив-ном слое математическая модель теплового состояния может быть представлена нижеследующей системой дифференциальных уравнений теплопроводности и граничных условий, записанных для каждой пластины.

Пластина 1 Уравнение:

дгТх дгтх

Зс2 + дуг

0

Граничные условия:

- на свободной поверхности, контактирующей непосредственно с воздушной средой, при ДО х < 1р 13+ I, < х 111- условие конвективного и лучистого теплообмена на верхней и при ДО х I - нижней поверхностях:

оТ

хду

- на торцах пластины при х-0их = 11-условие конвективного и лучистого теплообмена:

яД

Зс дх

= а-(ТЦх__0-Тср) + £Гст-Т1^-

- на границе пластины 1 с пластиной 2 при I Зх ] 1+1,- условие равен-

ства теплового потока:

Л,

ду

ду

Пластина 2 Уравнение:

д2Т, дТ,

з? ду1

= 0

Граничные условия:

- на торцах пластины при х = 1} и х = 13 +1, - условие конвективного и лучистого теплообмена:

^ — = а ■ (Г2Мз -Тср) + £2-а- ЦхЫ};

Зс

■я

дх

- а' ( ^2|л-=/3+/2 Тср) + е2 ■ а ■ ;

- на границах с пластинами 7 и 3 при 131 х ]13 +12 - условие равенства тепловых потоков:

дТ2

Л-,

ду

ду

А-! ----

ду

л

Пластина 3 Уравнение:

д2Т3 | д% | ду{х) = () йк2 ду1 Я3

Граничные условия:

- на торцах пластины при х - 13ях -13 +1,-условие конвективного и лучистого теплообмена:

0Тг

К

дх

а

дх

= а ' (Г3|л-=/3+/2 -Тср) + £3 ' " ;

*=/3+/2

- на границах с пластинами 4 и 2 (при / Л л' 11+ /,) - условие равенства

тепловых потоков:

Пластина 4 Уравнение:

ду

. д,В.

' ду

3 ^

: Л-,-

д2Т д2Т

4 + и 1 4 _ 0

дхГ ду* Граничные условия:

- на свободной поверхности (при 131 х 113 + /, и торцах пластины - условие конвективного и лучистого теплообмена:

= а ■ (Тщпоа — Тср) + £4 • <т • 7^яоя,

4

дх дх

= ® ' (^4|а-/3+/2 ~ + ' ' л-=/3+/2 ,

,*=/3+/2

- на границах с пластиной 3 (при 13] х 113 + /,) - условие равенства тепловых потоков:

дТА ду

ду

2. Особенности методов исследований и решений задач

Несмотря на известные достоинства аналитических методов [2], в данной задаче применение численного метода неизбежно по трем причинам:

1) сложная форма нагревательного элемента требует двухмерной постановки задачи;

2) неодинаковые краевые условия на различных границах не позволяют использовать аналитические методы без существенного упрощения задачи;

3) необходимость учета излуче-ния приводит к сильной нелинейности математической модели, что в сочетании с пунктами (1) и (2) приводит к невозможности решения данной задачи аналитическими методами.

Наиболее универсальным численным методом приближенного решения дифференциальных уравнений, который широко применяется для решения нелинейных уравнений тепло-и массопереноса, является метод ко-

нечных разностей. При его применении нет необходимости задаваться аналитическими выражениями для уравнений границ тела, граничных условий и коэффициентов переноса, что особенно важно в данной задаче.

Поскольку дифференциальные уравнения для каждой пластины одного типа, а граничные условия похожи между собой, достаточно рассмотреть принцип построения разностной схемы на примере одной пластины.

Например, для пластины 3 запись постановки задачи после изменения индексов в обозначении температур и других переменных следующим образом (рис. 2.): собственная температура и коэффициент теплопроводности пластины Г и 1; температуры и коэффициенты теплопроводности для пластин, расположенных сверху и снизу Тр 1у и Т2,соответственно, будет иметь вид следующего уравнения и граничных условий:

Я

щ

дх

д2Т д2Т дх2+ ду2' = сс-(Т1х=1з -

= 0

Чу(Х)

Я

Тср) + £ -сг-7^;

дх

л-=/,

А

т

ду

= л

дТ,

ду

А

ср

дТ ду

= Л.

(1)

сТ,

ду

Получение разностной схемы из дифференциальной задачи (уравнение Пуассона и граничные условия к нему) исходит из записи в разностном виде первых и вторых производных на пятиточечном шаблоне с постоянным шагом й. по оси х и 1г. по оси у (рис. 3):

дТ _ Т1Г- Тиг_х дТ _ ТГ] - ТГА] ду к/ ! дх к

д2Т _ У-и ~ + ТМ ] ах2 и2 ;

ду2 к]

где -Тг и ТГ1 - температура на границе и в приграничной точках.

Учитывая, что толщина пластины много меньше ширины, достаточно построить трехслойную разностную сетку по оси у (направление/) для того, чтобы в каждой пластине имелся один центральный слой Т. и два граничных Тп и Тп (рис. 2). Этот прием позволяет записать разностную схему дифференциального уравнения только для центрального слоя, исключив индексу, и существенно упростить решение разностной схемы, что дает большой выигрыш во времени счета. В итоге разностная схема уравнения теплопроводности после подстановки конечно-разностных выражений вторых производных в дифференциальное уравнение записывается следующим образом:

У-1 - 2?: + Тм + ТиГг - 2Ти + Т,А + дг. _ о к2 к) Я

Для удобства реализации метода прогонки его можно записать в виде

( кЛ

Л=1; В=1; С=2- 1 + р- ;

Выражение для температуры граничных слоев получается из условий сопряжения (1) с прилегающими пластинами путем записи их в конечных разностях:

А.(г фА.(Г-тг)

Из него можно получить выражение для температуры на границе со слоем 1

тп = —1---Тг+ . т}

л' 1+ BQ ' 1 + ВО,

ВО = Д1 'hj

где обозначено • .

'j

Аналогично для температуры на границе со слоем 2 условие сопряжения в конечных разностях:

Äj Irr, ГГ[\ X

\Тгг-Т2)=~{Т-ТГг) '% nj

И температура на границе со слоем 2

ТГ2 =—--Т-|—— т

Г2' \ + В02 ' \ + В02 2" Л7 •}1

пл _ 2 ./

где обозначено 2 д. ^ .

На торцевых участках пластины (при / = 1 и г = п) также необходимо записать разностный аналог граничных условий конвективного и лучистого теплообмена (1)

^.{ТГА-Тг) = а\тг-Т(.р)+£-суГг

]Ъ

Для реализации метода прогонки необходимо записать эти выражения в общем виде ТГ = А ТГ1 + В, выразив температуру на границе явным образом

т>» Т"

гр _ -Р/ гр 1ср___£ ' & гр4.

/=' + '=2 1 + 5* а-(1 + в;) г'

т - ^ т , ^ _ £'74.

" 1 + 5;' 1 + Д* «.(1 + ^)' "

где обозначено ^ _ ^

Для решения полученной разностной схемы методом прогонки необходимо задать начальное распределение температуры Т, Тп, Г,. (обычно задается температура, равная температуре среды Тср) и вычислить граничные значения температур Тп и Т,у

Полученная разностная схема является трехдиагональной. Решать такие схемы позволяет метод прогонки. Решение ищется в виде

т1=аш -Ты +Л+1'г' = 0.1,...,л-1

(2)

где а ,+г Ь.+/ - коэффициенты прогонки, вычисляемые по рекуррентным формулам

ам =

С- А-а,■

С- А-а,

Чтобы вычислить по этим формулам значения а. и Ь., во всех узлах сетки нужно знать значения а, и Ь;, которые определяются из левого краевого условия

Д* р Тср

1 1+5; ' 1+5; «

£■<? ГЫ

Значения температуры по правой границе находится из правого краевого условия

В

71

а-а

1 + 5; Рп 1 + 5; + " ,

т

в;

1 + 5;

1 а.

после чего по (2) вычисляются все Т. при г = п-1 до 1.

3. Анализ результатов исследований, выводы и рекомендации

При исследовании тепловых режимов работы плоского пленочного нагревателя возьмем широкие диапазоны изменения геометрических и теплофизических параметров всех элементов многослойной структуры: - коэффициент теплопроводности подложки будем изменять в пределах = 1 ... 120 Вт/мЧК\ такое широкое варьирование соответствует применению в качестве подложки как металлических, так и керамических материалов;

- толщину подложки от 2 мм (для металлических материалов) до 10 мм (для керамических);

- толщину электроизоляционных слоев 5, = 5 = 0.1... 1 мм\

- коэффициент теплопроводности электроизоляционных слоев 1, = \4 = 1... 10 Вт/мК\

- распределение мощности внутренних источников теплоты полагаем равномерным.

Как показали расчеты, в приведенном диапазоне изменения парамет-

ров температурное поле резистивно-го слоя дублирует распределение температуры в подложке с погрешностью не более 5 %. Поэтому анализ теплового режима нагревателя с требуемой точностью можно проводить по распределению температуры по ширине подложки.

На рисунке 4 приведена зависимость распределения температуры по ширине подложки от коэффициента ее теплопроводности при фиксированных значениях толщин всех слоев {Б =2мм, 5, = 0.1

мм) и коэффициентов теплопроводности напыленных пленок (1, = 10 Вт/ мК, \3 = 20 Вт/мК, \4 = 10 Вт/мК). Из рисунка видно, что увеличение коэффициента теплопроводности подложки (с 30 до 120 Вт/м К) приводит к интенсификации теплоотвода из области резистивного слоя и вызывает:

а) выравнивание поля температур в подложке;

б) понижение уровня температуры в омическом слое, что обеспечивает возможность увеличения абсолютной мощности нагревательных элементов, повышая их среднюю удельную мощность при сравнительно невысокой температуре токонесущего слоя.

Оказалось, что для керамических материалов, имеющих коэффициент теплопроводности 1 = 1... 10 Вт/ мК, получить температурное распределение в резистивном слое и подлож-

ке, имеющих требуемую равномерность, невозможно. Кроме этого, при мощностях нагревателя Р = 400... 800 Вт, максимальная его температура, не превышающая 500 °С, получается при толщине подложки не менее 10 мм. Поэтому при использовании керамической подложки необходимо напылять нагреватель таким образом, чтобы напыленный резистивный слой покрывал всю рабочую поверхность нагревателя. Только в этом случае обеспечивается равномерное поле температур и понижается уровень термических напряжений, разрушающих напыленный слой. Подобная конструктивная особенность нагревателей с керамической подложкой указывает на то, что при одинаковом уровне предельной рабочей температуры они должны обладать меньшей удельной поверхностной мощностью, чем нагреватели с металлической подложкой.

На рис. 5 приведено распределение температуры в металлической подложке в зависимости от толщины электроизоляционного слоя в диапазоне 0.1 мм до 1 мм. Искажение температурного поля как подложки, так и резистивного слоя не превышает 1-2 %. На рис. 6 показаны зависимости поля температур в подложке от ее теплопроводности и толщины. Установлено, что если выдерживать одинаковое значение произведения • то поле температур в подложке за пределами резистивного слоя будет одина-

ково. Выявленное условие имеет существенное значение при выполнении работ по оптимизации конструкции и геометрических параметров пленочных плоских нагревателей.

Полученные результаты позволяют сформулировать следующие положения технологии изготовления и конструкции нагревателей:

- технология нанесения электроизоляционного слоя может фор-

мироваться независимо от тепловых ! условий работы нагревателя и технологии напыления омического слоя;

- с целью уменьшения термических напряжений, возникающих за счет различных величин коэффициентов линейного расширения у материалов многослойной структуры, в пределах общей толщины электроизоляционного слоя (до 1 мм) следует наносить буферные слои.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алиферов А.И., Казанов A.M., Ершов A.A. Экспериментальные характеристики резистивных плоских электронагревателей // Электротехнологические процессы и установки. - Новосибирск: ИТФ СО РАН, 1995.

2. Исаченко В.П., ОсиповаВ.А., Сукомел A.C. Теплопередача. -М.: Энергоиздат, 1981.

S,

I—

dK»

i,

Рис. 1. Конструкция (а) и расчетная схема плоского нагревательного элемента (б): 1-подложка; П-трехслойная композиция нагревателя; Ш-контакты.

V т

т,

/'=1

И ! /

I ¡*1

X *

1=п

-V

Рис. 2 Расчетная схема одной пластины

и+1

1-1,} и •......л,— ¡+Ь] ¡,г-1

Ц-1 г,] г-1,}

Рис. 3. Пятиточечный шаблон (а) и обозначение точек на границе (б)

т,;с

50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 ММ

Рис.4. Распределение температуры по ширине подложки в зависимости от еетеплопроводности

1 ! / 200 / 200 !

\ ! I

: ; . ; ; ;

: ;

1 I ¡1 \ :: \ ! ' ■ !

100 100 V !

р !

< |

! . | : .1 .. .

! ' ; ! !

! ; ' ' 1 1 I......! : \ !

50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 I, ММ

Рис. 5. Распределение температуры по ширине металлической подложки в зависимости от толщины электроизоляционного слоя

т,;с ____

! : 1 ■■ г 1 I ! !.._, 200 200 : 1 !

1 1

■ 1 1 ? 60-Ю* |

' ! : ! _ и -

1 / / I \

7 \ : \ 1

; / . Т , !

г !

; 1 : ' ;

' 1 1 ! ; !

!

50 40 30 20 10 о 10 20 30 40 50 /, ММ

Рис. 6. Распределение температуры по ширине подложки при постоянном значении