Разработка математической модели процесса тепломассообмена при индукционной сушке клеевого покрытия на непроницаемой ферромагнитной подложке Текст научной статьи по специальности «Физика»

Телин Николай Владимирович — доктор технических наук, профессор кафедры промышленной теплоэнергетики Череповецкого государственного университета.

Тел.: 8(8202) 51-81-32, 51-78-29.

Синицын Николай Николаевич - доктор технических наук, профессор заведующий кафедрой промышленной теплоэнергетики Череповецкого государственного университета.

Тел.: 8(8202) 51-81-32, 51-78-29.

Соколов Алексей Федорович - кандидат технических наук, региональный представитель ООО «Компания Налко».

Тел.: 8(8202) 58-76-51.

Кобзев Иван Валентинович - региональный менеджер «ООО «Компания Налко».

Тел.: 8(8202) 58-76-51.

Лобанова Анастасия Александровна - аспирант, ассистент кафедры промышленной теплоэнергетики Череповецкого государственного университета.

Тел.: 8(8202) 51-81-32, 51-78-29.

Telin Nickolai Vladimirovich - Doctor of Technology, Professor at the Department of Thermal Engineering, Cherepovets State University.

Tel.: 8(8202) 51-81-32, 51-78-29.

Synitsyn Nickolai Nickolaevich - Doctor of Technology, Professor, Head of the Thermal Engineering Department, Cherepovets State University.

Tel.: 8(8202) 51-81-32, 51-78-29.

Sokolov Alexey Fyodorovich - Candidate of Science (Technology), Nalko Ltd., regional representative.

Tel.: 8(8202)58-76-51.

Kobzev Ivan Valentinovich - Nalko Ltd., regional representative.

Tel.: 8(8202)58-76-51.

Lobanova Anastasia Alexandrovna - Post-graduate student, teaching assistant, Department of Thermal Engineering, Cherepovets State University.

Tel.: 8(8202) 51-81-32, 51-78-29.

УДК 66.047: 66.021.4

Ю. P. Осипов, С. П. Рожин, С. Ю. Осипов, К. В. Кутовой

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОМАССООБМЕНА

ПРИ ИНДУКЦИОННОЙ СУШКЕ КЛЕЕВОГО ПОКРЫТИЯ НА НЕПРОНИЦАЕМОЙ

ФЕРРОМАГНИТНОЙ ПОДЛОЖКЕ

Y. R. Osipov, S. P. Rozhin, S. Y. Osipov, К. V. Kutovoy

DEVELOPMENT OF A MATHEMATICAL MODEL OF HEAT AND MASS TRANSFER PROCESS DURING INDUCTIVE DRYING OF GLUE COAT ON THE IMPERMEABLE FERROMAGNETIC SUBSTRATE

В статье рассматривается математическая модель тепломассообмена при сушке клеевого покрытия на непроницаемой подложке, нагреваемой электромагнитным полем, образованным токами промышленной частоты. В модели учтены процессы теплообмена между подложкой и клеевым покрытием, системой «подложка - клей» и окружающей средой, процесс мас-сопереноса в клеевом покрытии.

Тепломассообмен, сушка, индукционный нагрев, математическая модель, подложка.

The paper considers a mathematical model of heat and mass transfer process during drying of glue coat on the impermeable substrate heated by electromagnetic field formed by industrial frequency currents. The model takes into account heat exchange processes between a substrate and a glue coat, «substructure - glue» system and the environment, as well as mass transfer process in the glue coat.

Heat and mass transfer, drying, induction heating, mathematical model, substrate.

Сушка клеевого покрытия на ферромагнитной подложке является важной составной частью тех-

нологического процесса производства гуммированного металлического полотна на поточной линии. Качество сушки наносимого непосредственно на металл клеевого покрытия оказывает значительное влияние на прочность крепления и долговечность всего гуммировочного покрытия [1], [2]. Одним из возможных способов осуществления описанного выше процесса сушки клеевого покрытия является нагрев клеевого покрытия от ферромагнитной подложки, нагреваемой индукционным полем промышленной частоты. Индукционный нагрев имеет ряд преимуществ по сравнению с другими видами нагрева: высокую концентрацию энергии в нагреваемом материале, бесконтактность нагрева, надежность работы, удобство управления и автоматизации, отсутствие загрязнения окружающей среды. Индукционные нагревательные установки, работающие на промышленной частоте, обладают кроме вышеперечисленных также такими преимуществами, как: возможность осуществления электропитания непосредственно от электросети без использования промежуточных источников питания, возможность осуществления равномерного нагрева всего изделия в силу значительно большей величины проникновения электромагнитных волн в ферромагнитную загрузку по сравнению с установками, работающими на средних, высоких и сверхвысоких частотах. Таким образом, применение индукционных нагревательных установок в рамках рассматриваемого технологического процесса является актуальным и для реализации высоких требований, предъявляемых к процессу сушки, необходимо разработать математическую модель процесса.

Рассматриваем систему из металлической подложки толщиной 5СТ, находящуюся в контакте с клеевым покрытием толщиной 8КЛ. Ось координат х проходит по границе раздела клеевого покрытия и подложки. Математическая модель тепломассообмена включает температурные поля внутри подложки и внутри клеевого покрытия, причем температурное поле внутри подложки содержит внутренние источники тепла, поэтому в математическую модель включается определение их удельной мощности; теплообмен между подложкой и клеевым покрытием, теплообмен между свободными поверхностями подложки и клеевого покры-

тия и окружающей средой; массообмен внутри клеевого покрытия и массообмен между клеем и окружающей средой. Рассмотрим каждый из перечисленных компонентов математической модели.

Рассмотрим температурные поля внутри подложки и клеевого покрытия, поле влагосодержа-ния в клеевом покрытии, а также условия тепло- и массообмена на границе раздела подложки и клея. При нагреве металлической подложки в переменном электромагнитном поле плотность тепловыделения есть, главным образом, функция времени. Поэтому температурное поле подложки приближенно удовлетворяет уравнению теплопроводности [3]:

дТх

д2Т,

дх2

- + Ж(т)с~\ -8СТ < х < О

(1)

где Т] - температура подложки; т - время; а - коэффициент температуропроводности; х - координата; Щт) - интенсивность тепловыделения; с -теплоемкость.

Подложка представляет собой плоский металлический лист. Поля тепло- и массосодержаний влажного клеевого покрытия, расположенного на подложке, тоже плоские и вместе с соответствующими граничными условиями в диффузионном приближении описываются системой уравнений [2]:

дТ ~дх '

ди

д2Т

г г ди

дх

с дт

■ = а„

д2и

дх

- + 8-

д2Т дх2

О < х < 8„

(2)

где е - критерий фазового превращения; г -удельная теплота фазового перехода; и - влагосо-держание; ат - коэффициент диффузии влаги; 8 - относительный коэффициент термодиффузии.

На границе металлической подложки и сохнущего вещества температуры равны:

Г, (0, т) = Г(0,т), и существует баланс мощностей

(3)

-X,

ЗУ, (0, г) ЭГ(0,х)

дх

= -1

дТС6к:пг) дх

= -Х-

'■ди

дх

дТ

■ + г

г Г-ск + с Г — сЬс. (4)

5т 3 я*

дт

Это условие сопряжения означает, что подводимая от металлической подложки мощность

. . дТх (0, х) дТ(0,х) Ч\ К?) = ---= —-- (5)

дх

дх

расходуется на потери тепла в окружающую среду

ат^х)

-к-, на испарение влаги в слое материа-

дх

Ч ди

ла г -с!х и на нагревание сухого вещества

о дх

8"? дТ с —сЬс.

о' *

Мощность на прогревание влаги существенно меньше остальных статей баланса мощности, и ею целесообразно пренебречь. Подложка непроницаема, а это означает, что поток на поверхности соприкосновения слоя материала с подложкой (х = 0) отсутствует:

дЩ 0,х) дТ{ 0,х)

дх

- + 8

дх

(6)

Условия равенства температур (3), величины потоков энергии (4), (5) и вещества (6), заданные на поверхности раздела подложки и влажного тела, образуют совокупность условий сопряжения. Граничные условия выражают законы взаимодействия двухслойного тела «подложка - клей» и окружающей среды или тепло- и массообменные характеристики технологического процесса, которыми могут быть температура в определенной точке тела, среднее или локальное массосодержа-ние влажного вещества.

Для определения температуры необходимо два таких граничных условия, а для определения поля массосодержаний вполне достаточно одного условия, вторым может быть условие непроницаемости подложки (6).

Естественно считать, что процесс сушки определяется законом изменения среднего массосо-держания, которое выражается интегралом по толщине клеевого слоя:

ит(х)= \и(х,т)с!х .

(7)

Температуру логично считать известной в тех точках, где измерение ее связано с технологическим контролем процесса. Опасность деструкции может возникнуть при перегреве влажного материала на поверхности нагрева (х = 0). Поэтому температура вещества и подложки в точке их контакта должна быть известной функцией времени:

Г,(0, х) = 7(0, х) = Т0(т).

(В)

Кроме того, могут быть заданы температура свободной поверхности подложки

Г,(-5ст,х) = Г2(Х)

и температура свободной поверхности клеевого слоя

Г(5кл,х) = Т1(х), потери тепла от подложки в окружающую среду

или ее конвективный теплообмен со средой

-X VТх (-5СТ, х) = а, [Г, (-5СТ, х) - Тс ],

мощность нагревания материала

?(т) = -А.,У Г,(0,х)

или потери со свободной поверхности материала в окружающую среду

По технологическим условиям целесообразно вести процесс сушки так, чтобы перепад температур между нагреваемой и свободной поверхностями был заданной функцией времени:

Г1(5Ю1,т)-Г(0,т) = ©(т):

(9)

которая обеспечивает достаточно малый перепад температур и сплошность материала. Иначе говоря, вместе с температурой контакта (8) считается заданной и температура свободной поверхности материала

Г(5КЛ,т) = Г(О,Т) + 0(Т) = Г1(Х)!

(10)

а чисто технологические условия (7), (8) и (10) вместе с сопряжением (9) представляют собой условия однозначности задачи.

Для упрощения вычислений приведем выражения (1) - (7) и (10) к безразмерному виду [3]. В качестве масштаба температуры и влажности выберем их начальные значения:

Т(х, 0) = 7] (х, 0) = Т0 при -5ст<х<50;

Щх, 0) = и0 при 0 < и < 8^ .

ю(Ы, .Р) = со(х, х)

ЪТ,

'НО

можно систему уравнений переноса тепла и влаги записать в критериальном виде:

_! 37] д%

дР дЫ2

+ со при - ТУ] < N < 0 ;

дТ д2Т ди

— = —- + Ко-.

Э^ дЫ2 ды'

ди ~дЁ

= Ьи

д2и д2Т

- + Рп-

дИ2 ЭЛ^2

при 0 < N < 1;

при 0 < Т7 < ад.

Начальные значения безразмерных температур и влагосодержания Т(Ы, 0) = 7] (И, 0) = 0 и и(Ы, 0) = 1 принимают наиболее удобные значения, так что относительная влажность меняется от 1 до 0. Безразмерное среднее массосодержание

] 8„ 8Ш Е/„ О?) =— \и(х,х)сь= \ (11)

и г

о о

Определим безразмерные температуру и влажность

вместе с температурами поверхностей влажного материала

Т(х, т) - Га и (х, т)

ПМ, 70 = -; ЩМ, Л =

7 п ип

Характерным отрезком системы удобнее считать толщину влажного материала 8КЛ и отнести безразмерную координату к этой толщине: N = х/8кл. Тогда N = 1 для наружной поверхности материала, N = -/V, для свободной поверхности подложки. При таком выборе характерного размера комплекса Фурье Ро = а т/82л и симплекс темпе-ратуропроводностей А = а}/а. Введя критерии Коссовича Ко = г170 /(сГ0), Лыкова Ьи = ат / а, Поснова Рп = (8 - 70) / и() и представляя безразмерный источник энергии в виде

Г(0,Л = 70(Л и 7X1, 70 = 7] (70

являются технологическими функциями времени.

Условия сопряжения по потоку вещества в безразмерной форме имеют вид:

дщ о, л дг(0,то

- + Рп-= 0.

дИ

дЫ

(12)

и условия равенства потоков энергии

дТ(0, Т7)

дИ

У ' I

дЫ

Обозначим лапласову трансформацию функции г(^) [3]:

+г • ко • X (77)" V "2("+[1 - зщм, 5)],

л = О

= |г(.Р) ехр .

Тогда уравнения процесса запишутся следующим образом:

А]эТ1 =Т + Г;

¿Т + г" +е-Кор7, -1];

*с7-1 = ьи

—п —и

и +Рп Т

Представим в изображении среднее влагосо-держание

условия непроницаемости металлической подложки

и (О,5) + Рп-Т (О,5) = 0

и температуры поверхностей подложки и клеевого покрытия

Г(0,5) = Го<Х), Щ5) = Г,(5).

Известно, что неоднородное уравнение второго порядка V у = ау = /(х) представляет собой ряд [4]:

оо

у = С1 Я{х) + С2 з(х)+ X ст""2 Vл+,/(х),

п = О

который в нашем случае принимает вид: Т{Т, 5) = + С25ШЛ +

где интегральный оператор - антилапласиан

N л

о о

Рассмотрим условия теплообмена на верхней поверхности.

Если на свободной поверхности влажного материала происходит конвективный теплообмен

-А, УГ,(8кл, х) = а[Г(5кл, х)-Г0]

(13)

и ее температура специально не регулируется, то поле тепло- и массосодержаний сушимого вещества определяется при граничных условиях (11), (12), Г(0, т) = Г0 (х) и при граничных условиях третьего рода (13). Так как температура в начале процесса равна температуре окружающей среды, то в безразмерном виде краевое условие (13) можно записать следующим образом:

дТ( 1, Г)

алг

: В[ Т( 1, .

Его лапласово изображение суть -Т' (1,5) = = ЕЙ Т(\, 5) ; здесь и далее ЕЙ = а Б/1. Для нижней поверхности подложки В1, = а,5кл/А.2 .

Рассмотрим мощность энергоподвода. Тепловой поток, передаваемый от металлической подложки к влажному материалу, может быть найден в соответствии с законом Фурье. Если записать систему уравнений переноса в размерной симметричной форме

дТ 2 ср — = А.У Т + £грат

ОТ

У2м + 8 У2Г

ди ~&с

= а„

У2и + 8 У2Г

то из первого уравнения следует, что поток энергии ^ =-А,УГ-егратУ[м + 8Г] состоит из потока теплоты, передаваемой кондуктивно

дк =-Х V Т , и потока энергии диффузии и термодиффузии = -е гр атУ[[/ + 8 Г], т. е. из той

части потока энергии, которая переносится диффундирующей влагой. Но на влагоизолированной поверхности (металлическая подложка представляет собой идеальный изолятор влаги) диффузия влаги полностью отсутствует (6), и поток энергии

целиком совпадает с компонентой Фурье д = =

= -А, V Т.

В связи с асимметричным распределением температурного поля поток энергии, проникающей из нагревателя,

ХТ0 2

11^,(0) э«(т)

кл ; = 1 п

\п

а

V У

Нагревателем в рассматриваемой контактной сушке служит металлическая подложка, находящаяся в переменном электромагнитном поле. Так как плотность источников тепла не может быть найдена без дополнительных измерений температуры, то в первом приближении можно считать, что выделение тепла есть функция только времени. Это достигается регулированием напряженности электромагнитного поля или силы тока, проходящего через подложку.

На нижней поверхности подложки существует конвективный теплообмен с окружающей средой

ности тепловыделения JV(t) и температуры контактирующей поверхности Т0 (т):

00 СО

Г, (N, F) = ^T (F)Pn (N) +ХК (Л ■ Qn (Ю •

и=0

и=0

В связи с тем, что такое поле содержит компоненты, зависящие от мощности внутренних источников энергии и температуры наружной поверхности, целесообразнее рассмотреть более общую задачу охлаждения экзотермического тела в средах, которые имеют разные температуры и являются причиной различных значений коэффициентов теплообмена на его поверхностях. Эта задача описывается системой в виде:

dT(N0,F) 8N

dT(N, F) dN

= Bl[T(N, F)-^)].

Отсюда при #0,-8,—»со и N0=c, к = 1, JJ = const получаются граничные условия третьего рода на свободной поверхности пластины (14) и первого рода на контактирующей поверхности (15).

Распределение температур в пластине описывается суммой рядов

-X

дх

СО

= а1[Г1(-8ст,т)-Г18кл], (14) T(N, Н) = £ [топ(Н) ■ Рщ (N) + 7*п\н) ■ Рщ (N)

+

и ее температурное поле описывается уравнением

дТ

-1

= \ Т] - Щх) при 0 < х < - 8СТ ,

а граничные условия

Г1(0,т) = Г0(т).

(15)

Асимметричное температурное поле экзотермического тела может быть представлено в виде рядов, расположенных по производным интенсив-

(16)

п = О

из которых первый, ответственный за поведение температур наружных сред

00

®(N, Я) = Цг0"(Я) ■ Рч (N) + Tln\H) ■ Рщ (N)

удовлетворяет граничным условиям третьего рода на поверхностях пластины

30] (О, Я)

дЫ

Я)

т

и однородному уравнению теплопроводности

а©, _ а2© ая •

Второй ряд, ответственный за поведение нестационарного источника теплоты

п=О

удовлетворяет тем же краевым условиям первого рода:

дв2(0,Я) дЫ

= В0в2,

д®2(К, Я) дЫ

Так как температура внешней среды Т^Р) постоянна, то уравнение (16) можно представить в виде

ра: Г, (0, т) = Т0 (т), Тх (0, = Т0 (/?), которая представляет собой технологическую или экспериментальную функцию времени. Кроме того, всегда можно вычислить поток тепла, который через поверхность подложки N = О передается влажному телу. Этот поток энергии можно подсчитать, так как температурное и влажностное поля сушимого вещества известны. Разумеется, кроме критерия Био должны быть известны параметры внутреннего переноса, технологически заданные или определенные экспериментально в функции времени, среднее влагосодержание иъ (т) и температура контактирующей поверхности подложки с влажным телом. Таким образом, на греющей поверхности подложки задается граничное условие второго ряда

аГ(0,т)

дх

= Ф) :

в котором тепловой поток выражен через темпера-туру греющей поверхности и среднее массосодер-жание. На свободной нижней поверхности подложки происходит конвективный теплообмен, который описывается уравнением

дГ, (-5СТ, т) дп

= Щ [Г1(-5ст,т)-Г2].

Т{ Н,х)= £

Г 2

а

V у

N

Щ+В,

Как было указано выше, приближенно можно принять плотность тепловыделения, не зависящей от координаты:

дТ,

а2г.

с, р!—- = Х{—^ + при - 8СТ < х < О, 0 < т.

аг

дх

Определим интенсивность внутреннего источника тепла. Можно показать, что интенсивность переменного во времени источника тепла может быть найдена, если измерения температуры производить в трех точках ассиметричного поля или, что вполне равноценно, если вместе с двумя краевыми условиями задана температура внутренней точке пластины или дополнительное условие сопряжения.

На поверхности подложки, находящейся в контакте с материалом, всегда известна ее температу-98

В безразмерном виде решаемая задача формулируется следующим образом: определить внутренний источник тепла ЩЯ) уравнения теплопроводности

д2Т

дТ

— = —Т + 1У(Н) дН дЫ

при Щ <Ы< О, Щ >1, О <Я, Я = к/а, Ы = -

таким образом, чтобы его решение удовлетворяло трем граничным условиям:

ÔT(N, F)

m

= 3 [TW, Я)-7] (Я)];

Г(0,Я) = Г0(Я);

дТ{ О, Я)

dN

= 0(Я).

Мощность Щ.ч) может быть определена, если принять начальное распределение температуры в подложке и клее постоянной и равной нулю. Тогда лапласово изображение уравнения теплопроводности можно записать в виде: яГ = Т" + .

Полученная форма изображения функции IV (х) позволяет судить о величине затрачиваемой мощности на потери в окружающую среду, на нагревание самой подложки. Так, изображение мощности, необходимой для нагревания подложки и покрытия потерь теплоты от ее свободной поверхности в окружающую среду, можно представить в виде

W(s)-Q(s) = sTo(s) + -

( г \ sh N,\fs (chJViVs-l)--jU-

m

l-

д

Д

chiV,>/s+ —+ (1-5,)

sh N^yfs

+-

В, I- sh Nijs — (chJV,Vs-1)--

Таким образом, полученные соотношения составляют математическую модель процесса теп-ломассопереноса при сушке клеевого покрытия на ферромагнитной подложке, нагреваемой индукционным полем промышленной частоты. Математическая модель включает в себя описание температурных полей в подложке и клеевом покрытии, поля влагосодержания в клеевом покрытии, перенос тепла от подложки к клею и условия сопряжения, а также теплообмен системы «подложка -клей» с окружающей средой.

Список литературы

1. Лукомская А. И., Баденков П. Ф., КепершаЛ. М. Тепловые основы вулканизации резиновых изделий. - М.: Химия, 1972.-360 с.

2. Осипов Ю. Р. Термообработка и работоспособность покрытий гуммированных объектов. - М.: Машиностроение, 1995.-232 с.

3. Лыков А. В. Теория сушки. - М.: Энергия, 1968. -472 с.

4. Бардзокас Д. И., Зобнин А. И. . Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры. - М., 2003. - 376 с.

Осипов Юрий Романович - доктор технических наук, профессор кафедры теории и проектирования машин и механизмов Вологодского государственного технического университета.

Тел.: 8-921-121-53-78.

Рожин Сергей Павлович - аспирант кафедры теории и проектирования машин и механизмов Вологодского государственного технического университета.

Тел.: 8 (8172) 51-49-13, 8-911-526-32-96.

Осипов Сергей Юрьевич - кандидат технических наук, доцент кафедры менеджмента Тверского государственного технического университета, докторант Череповецкого государственного университета.

Тел.: 8(0822) 44-33-90, 8-910-533^16-66.

Кутовой Константин Викторович - аспирант кафедры теории и проектирования машин и механизмов Вологодского государственного технического университета.

Тел.: 8(8172) 53-39-27, 8-921-143-09-69.

Osipov Yuriy Romanovich - Doctor of Technology, Professor at the Department of Machines and Mechanisms Theory and Design, Vologda State Technical University

Tel.: 8-921 121 53 78.

Rozhin Sergey Pavlovich - Post graduate student at the Department of Machines and Mechanisms Theory and Design, Vologda State Technical University

Tel.: 8 (8172) 51-49-13, 8-911 526 32 96.

Osipov Sergey Yurievich - Candidate of Science (Technology), Associate Professor at the Department of Management, Tver State Technical University, Doctoral candidate at Cherepovets State University.

Tel.: 8 (0822) 44-33-90, 8-910 533 46 66.

Kutovoy Konstantin Victorovich - Post graduate student at the Department of Machines and Mechanisms Theory and Design, Vologda State Technical University

Tel.: 8 (8172) 53-39-27, 8-921-143-09-69.