CC BY
13
УДК 550.37 : 550.837 DOI: 10.25513/2222-8772.2019.2.66-78
ОСОБЕННОСТИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ДИПОЛЕЙ В ВЕРТИКАЛЬНО НЕОДНОРОДНОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ
С.А. Терентьев
к.ф.-м.н., доцент, e-mail: sa.terentyev@gmail.com А.К. Гуц
д.ф.-м.н., профессор, e-mail: guts@omsu.ru Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия
Аннотация. Электромагнитное поле в задачах электроразведки часто представляется в виде интегралов с быстроосцилирущим ядром. При вычислении этих интегралов на ЭВМ приходится деформировать контур интегрирования в плоскость комплексного переменного. В статье изучена допустимая область деформации контура интегрирования в случае неоднородной среды. Источник поля — гармонический вертикальный электрический или магнитный диполь.
Ключевые слова: электроразведка, электромагнитное поле вертикального электрического или магнитного диполя, быстроосцилирующие интегралы, деформация контура, комплексная плоскость, отсутствие особых точек, область деформации.
1. Введение
Мы изучаем электромагнитное поле в слоистой горизонтальной среде, заданное интегралом (см. S 5):
У К(x,y,X)u(z,X)d\. о
Функцию К называем ядром интегрального оператора, а u(z,\) — спектральной плотностью.
Продолжим А в комплексную плоскость
C = (А = Аж + г\у : \х, Ху е R}.
Область, лежащую в плоскости C, в которой плотность u(z, А) не имеет особенностей по А, будем обозначать через D\.
Ядро К(z, А) — это быстро осциллирующая по А функция. При вычислении таких интегралов на ЭВМ приходится деформировать контур интегрирования
в комплексную область Их изменения переменной Л. В связи с этим необходимо прежде всего определить область в которой подынтегральная функция и(г,Х) не имеет особенностей по В\.
В этой статье мы определяем область Их для электромагнитного поля, создаваемого вертикальным гармоническим электрическим или магнитным диполем.
Данная статья продолжает исследования, изложенные в статье [1]. Приведённые результаты были анонсированы в [2].
2. Основные уравнения
Уравнения Максвелла имеют вид:
d B
rot Е = ж - jm
QV
rot H = aE + — + je, (1)
div V = pe, div B = pm
где je и jm — векторы объёмной плотности электрического и магнитного сторонних токов, которые возбуждаются полями, не учитываемые в искомом электромагнитном поле; pe, pm — объёмные плотности электрического и магнитного зарядов.
Принимаем, что
V = £ Е, B = /Н. (2)
Будем изучать гармонические источники и поля, т. е. предполагаем следующую зависимость от времени
M ^ Ые^. (3)
Тогда уравнения (1) с учётом (2), (3) примут вид:
rot Е = гш/iH - jm, (4)
rot Н = (a - iue)Е + je, (5)
div E = pe, (6)
div /Н = pm. (7)
Пусть имеется неоднородная среда, ограниченная плоскими поверхностями раздела z = z0,z = zi, где z0 < zi (ось z направлена вверх, рис. 1). Параметры среды a,/,e будем считать функциями переменной z, т. е.
a = a(z), / =/(z), e = e(z). (8)
a,/,£ E С 1(R),
а (г) = 0 при г е М.
При г > г1 и г < г0 среда предполагается однородной с а = с^, ц = Источник электромагнитного поля находится в точке с декартовыми координатами (0,0,0).
На поверхностях раздела г = ^ (г = 0,1) ставим граничные условия для электромагнитного поля Е, Н. Из (5) имеем
t • мл , -е дНУ днх
(а — %ше)Ех + Л = — - —.
Далее будем совершать преобразования Фурье вида
f(C,v,()
f (x,y,z)el(^x+vy)dxdy.
— <х —<х
Тогда (9) перепишем в виде
(а — г ше) Ez + jez = —i £ Ну + г г] Нх. Применяя к (5) операцию div, получим
0 = div rot H = div(a — iше)E + div f = 0
(9)
(10)
или
Откуда
д(а — гше )Ez ,e д(а — гше )EX д(а — гше )ЕУ
dz
дх
— (а — гше)Ez = —div je + г^(а — гше) Ех + гг](а — гше)ЕУ,
d
dz
Из (4)
d
(а — г ше) dz
(а — i ше) Ez
d div je
( а — ш )
dEx dEv + г --+ г г]- у
dz
или
dEz dEy , ,m
— = ^ — J*,
dEr dEz
— i Г] Ez —
dx
dEy
dz
i ш ¡i Ну — j,
m
У — Jy ,
iш ¡¡Hx — jx
dEx dz
+ i £ Ez = i ш ¡Ну — jy
(11)
1
Умножая первое из этих уравнений на (-% г]), а второе на г £ и складывая полученные уравнения, имеем:
¿Ех
¿Е,,
+ гV-т^ - (С2 + г]2)Ег = гш^Ну - гг]Нх] + г- &
Г
Из (10), (11), (12) следует
1 а
А.
(а - гше) ¿г
(а - г ше) Ег
- (£2 + <п2)Е. = -^
сПь je
(а - гш£)
-гш ¡[(а - гш£)Ег + Ц] + ггц7 - г
или
А
(а - гш£) Ах
сIV j
(а - гш £)Ех
- (А2 + к2)Ех
А.
( а - ш )
- гш + гЛ^Х7 - гИ
17
где
X2 = £2 + г]2, к2 = -(г шла + ш2£ л). Получим уравнение для Ех, аналогичное уравнению (13). Из (4) имеем:
. х дЕу дЕх
гшл Нх - эУ~ у
или
Применяя сПь к (4),
или
дх ду
г ш цНх - ^ = -г £ Еу + % г] Ех.
сИV гшцН = ¿гь jm д(¡Нх) _ ¿гь jm д(лНх) д(лНу)
дх г ш
с1(лНг) ¿гь jХ
ш
д х д
+ г £ Нх + г г] Ну,
(1 1 (1 (Иь jm
Л ¿х гш ¿х л
¿Нх с1Ну + < ~т + г V Л ■
Из (5) имеем
дНг дНу .
- (а - гш£)Ех +1
д д дНх дН7
д х
(а - %ш£) Еу +11
или
. ^ (!Ну ^
-гг]Нг--— = (а - гш£)Ех + ц:
¿г
(12)
(13)
(14)
(15)
1
¿Нх
+ Н, = (а — г ше )ЕУ + Ъ.
Умножим первое уравнение на (—г г]), а второе на г £ и сложим полученные уравнения. Имеем
Ч^Т + Щ^Т — (е + ?12)Нг = (а — гше)[г^Еу — щЕх] — щ %. (16)
Из (14), (15), (16) выводим
(1
1 )
— а2+г!2)Н. = ~
гш аг
сПь У
— (а — г ше )[г ш — + I £ Ц — г г] ]
или
А.
1 й(11Нг)
— (\2 + к2)% = - ± гш аг
сПь }г
+
+ (а — г ше)+ г £ % — г г] Ц.
(17)
Осталось найти Нх,Ну,ЕХ,ЕУ.
Применяя преобразование Фурье к (6), (7), получим
и I • и ) ^^
г£/лНх + гг]Ну =--—--+ р ,
Ех + г гцЕу = — + р?.
¿г
Из (10) и (16) получаем
(г е + г г]2)^Ну = —С + СрГ + (а — г ше )ц г, Е, +
(гС2 + г 'Ц2)^Нх = — V ^^ + г!Г — (* — г ше К Е, — ,
(18) (19)
то есть
Нх
Ну
г ¡л X2
гц X2
— (° — % ш£ + пГ — ^ 1
—£ ^^ + ((Г — гше )мЕя + + М 1.
1
1
Аналогично
Е,,
геХ2
геХ2
Л(еЕ,) - -
—£ ^ + & + гш^Н, - ег] ]
¿(е Е,) ^ . - -V ^ + 1Р — гшце^Н, + е£ з
(21)
Таким образом, достаточно знать Нг,Ег, остальные компоненты вычисляются по формулам (20) и (21).
3. Вертикальный электрический диполь
В этом параграфе подробно изучим электромагнитное поле, создаваемое вертикальным электрическим диполем, находящимся в неоднородной среде. Для вертикального электрического диполя
г = 0, Рт = 0, ? = (0,0,8(х)8(у)8(г)).
Следовательно, (13) и (17) можно записать в виде:
(1
1
(а — гше) ¿г
(а — I ше) Ег
— (X2 + к2) ЕЕ,
А.
1
а — гше ¿г
гш^Зг
(22)
А.
1 ¿(¡1НХ ) Л ¿г
— (X2 + к2)Нг
Уравнение (22) удобно переписать в следующем виде:
(23)
А.
1
(I
( а — ш )
[(а — г ше )Е, +
X2 + к2
а ш
(а — % ше) Ег +1
X2 + к2
гшц +
а ш
Л
X2
а ш
Л.
Граничные условия здесь такие:
(24)
[(а — г ше)Ег + в
- [(а — г ше) Е, + Ц}
I & = 0,1)
(25)
1
1
0
0
0
(это вытекает из (10)) и
\рНг ],== 0, <1(цН,)
(1 = 0,1)
где квадратные скобки означают скачок
[¡(г)] = /( * + 0) — /(* — 0). Кроме того, принимаем условия на бесконечности:
1Е,|, 1Н,| ^ 0 при г ^ ж. Из (23), (26), (27) следует, что
/лН, = 0.
Задачу (24), (25), (27) для функции
и = (а — гше )Е, + Ц
заменяем задачей вида
Г
1 д,и
а — ше йг
X2 + к2
и = 0,
а — гше
условие (25) с дополнительными граничными условиями
[и] ,=0 = 0,
¿и
-X2
,=0
на фиктивной поверхности раздела = 0. Кроме того, полагаем, что
|и| ^ 0 при г ^ ж. Умножим (30) на и и проинтегрируем по г
и
А.
1 ¿и а — гше йг
X2 + к\ |2,
= 0,
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
а — гше
т Г 1 ^и , я 1 ¿и , + „
Ъш I ——и— 1:^ + ——и—
г^+о [а — гше аг 1 а — гше аг 1
}—1-.
а ш
и
¿г
+оо
X2 + к2
а ш
-\и\2с1 г.
С учётом (33) получаем
1
а(0) — ш (0)
+оо
а + гше а2 + ш2е2
и
¿г
с1
+оо
+
(X2 + к2)(а + г ше) а2 + ш2е2
\ и\ 2 .
Из (31), (32) следует
+оо
X2
а(0) — гше (0) Полагаем, что
и(0)
а + гше а2 + ш2е2
<1и
¿г
о + оо
2 о ,л2 , 7„2
, (X2 + к2)(а + гше). ,2 , ,0/1.
<1г + ±-^^--\и\ Лг. (34)
I а2 + ш2е2
X = XX + IX, и и = щ + т2. Тогда реальная часть уравнения (34) имеет вид:
(ащ + шeи2)\z=о(Xl — X2у) — ^^у (шещ — ащ)\г=о
а2(0)+ш2е 2(0)
+оо
а
а2 + ш2е2
¿и
+оо
¿X +
— X, — ш2е л} — ше [^г,^ — ац]
а2 + ш2е2
-\и\2<1г. (35)
Пусть
Ох = {(XX, Xу) е К2 : а^х — XI — ш2ел] > ше\2XxX, — ал] для У г Е К}.
Из (35) получаем
+оо
0 ^
и
¿г ^ а Q(z) при X е Ох,
где
а = т£
а
а2 + ш2е2 '
2
1
2
2
2
[а(0К(0) +ше ^^^^х — XI) — 2XхXу [ше (0)и1(0) — а(0Ы0)]
«ел) =.............^2(0)......... ■ (36)
причём
«(X) ^ 0 при X е Их.
Если теперь повторить рассуждения из [1], используя (35) вместо (2.39) и (36) вместо (2.40), то получим, что справедлива
Теорема 1. При условии а > 0 классическое решение и(г,\) краевой задачи (30)-(33) не имеет особенностей по переменной X е Бх.
Следствие 1. Электромагнитное поле Е(£,г]^^)^(£,r|,z,X) не имеет особенностей по X в области Их.
В самом деле, Ц не зависит от X, поэтому из теоремы 1 следует, что Е, = (а — %ше)-1[и — не имеет особенностей по X в Их. Остальное получаем из (20), (21) и (28).
4. Вертикальный магнитный диполь
Для вертикального магнитного диполя
ре = 0, Г = 0,
Г =(0,0,5(х)5(у)5(г)). В таком случае (17) и (13) примут вид:
сI
1 )
— (X2 + к2)Н, = - ±
ш
1 <I],
^ ¿г
+ (а — гше)]
т
,
(1
1
а — %ше ¿г
(а — г ше) Е,
— ( X2 + к2 )Е, = 0.
Причём для (38) имеем граничные условия (25) (где уже ]е = 0). Из (28), (25) следует
Е, = 0.
Уравнение (37) перепишем в следующем виде:
&
1 (1
г ш^Н, —;)
\2 + Р ^ ^
+ [г ш^Н, — Я]
= X! г
Граничные условия для (40) имеют вид:
(37)
(38)
(39)
(40)
[гш^Н, — Зт],=,, --- (гш^Н, — Я) (г = 0,1)
| Н, I ^ 0 при г ^ ж.
0
Вместо задачи (40), (41) рассмотрим для функции
и = 1ш/Нг —
следующую краевую задачу:
(1
с дополнительными условиями
1 ¿и
Л2 + к2
1
и = 0,
условия(41),
[и]г=0 = 0, и
X2,
г=0
и\ —У 0 при г — ж.
Умножая (42) на и и интегрируя, получим
1 _ ¿и / аг
+оо
г=0
1 1
и
+оо
X2 + к2
йг + I ———— \и\2йг. 1
Полагаем, что
X = Xх + IX, и и = щ + т2. Тогда из (44) с учётом (43) следует
1
+оо
/(0) ( )
1 1
и
¿г
+оо
¿X +
XX — X, — ш2£ /1
х
Л
Пусть
Q(X) = —Re/°))U(0)X2 = — /щ[(>х — XУ )Щ (0) + 2XхXуU2(0)].
Рассмотрим область
О = {(XX, Xу) Е К2 : XX — X, > ш2е / для У г Е К}.
(42)
(43)
(44)
(45)
Тогда из (45) выводим, что
Пусть
Q(X) ^ 0 для X е Ох.
а = т£ > 0. /(г)
2
2
Тогда из (45) получаем неравенство
+те
0 ^
¿и
¿г
¿г ^ а С^(Л) при Л € Их.
Теорема 2. При условии а > 0 классическое решение и(г, Л) краевой задачи (42)-(43) не имеет особенностей по переменной Л € Бх.
Следствие 2. Электромагнитное поле Е(£,г],г,Л),Н(£,г],г,Л) не имеет особенностей по Л в области Г)х.
Доказательство теоремы 2 и следствия 2 - это повторение рассуждений из статьи [1] (с заменой (2.39) на (45) и (2.40) на (46)).
5. Вычисление электромагнитного поля на ЭВМ
Как следует из Б 1 поле / (=Е и Н) задаётся интегралом
+те +те
¡(х,у, г)= [ [ №,4,0?-(*х+гю)<%
—оо —оо
При этом достаточно знать Ег,Нг, а остальные компоненты вычисляются по формулам (20), (21). Тогда зависимость / от г] выражается либо через Л2 = £2 + г]2, либо в виде множителей г£, г г]. Характер зависимости от г£, щ таков, что при переходе от / к / от множителей г£, щ можно избавиться, представив интегралы, например следующего вида
+те +те
г^ ( Л) е-х+т)(1£(1г1
— те —оо
как
+те +те
-^¡1 Р (Л) е-г(^х+11у)^(1г].
—те — те
Так как
+те +те
+те
р (Л)е= 2тГ Р (Л)Л1о(Лг )с1Л,
— те —те
Г = л/х2 + у2, то поле / выражается в виде суммы интегралов вида:
+те
<Ц
VIЛ 10( Лг )]с1Л, к^ 1,
(47)
2
где V - производная по х или у. Но не имеет особенностей по X при X е О\. Поэтому можно деформировать контур интегрирования в Их. При пренебрежимо малом ше область Их совпадает с
{( XX, X,) Е К2 : X\ > X\}, которая вполне хороша с точки зрения вычисления интегралов (47) на ЭВМ
[3].
Литература
1. Терентьев С.А., Гуц А.К. Исследования особенностей спектральной плотности для электромагнитного поля в вертикально неоднородной проводящей среде // Математические структуры и моделирование. 2018. № 4(48). С. 61-77.
2. Гуц А.К., Терентьев С.А. Исследования особенностей спектральной плотности для электромагнитного поля в вертикально неоднородной проводящей среде // Сб.: Автоматизация анализа и синтеза структур ЭВМ и вычислительных алгоритмов. Омск : ОмПИ, 1982. С. 78-80.
3. Табаровский Л.А. Применение метода интегральных уравнений в задачах геоэлектрики. Новосибирск : Изд-во «Наука», Сибирское отделение, 1975.
THE SPECTRAL DENSITY OF THE ELECTROMAGNETIC FIELD FOR ELECTRICAL AND MAGNETIC DIPOLES IN A VERTICALLY INHOMOGENEOUS CONDUCTIVE MEDIUM
S.A. Terentyev
PhD. (Phys.-Math.), Associate Professor, e-mail: sa.terentyev@gmail.com
A.K. Guts
Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: guts@omsu.ru Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Abstract. The electromagnetic field in electrical exploration problems is often represented as integrals with a fast-oscillating nucleus. When calculating these integrals on a computer, it is necessary to deform the contour of integration into the plane of the complex variable. The article studies the allowable deformation region of the integration contour in the case of a non-uniform medium. The source of the field is a vertical dipole. A similar problem was solved for a horizontally layered medium with a harmonious electrical or magnetic dipole as a source.
Keywords: Electrical exploration, electromagnetic field of vertical electric or magnetic dipole, fast-oscillating integrals, deformation contour, complex plane, absence of singular points, deformation domain.
